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AP3 MetDet1 2016 2 gabarito CEDERJ

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AP3 - Me´todos Determin´ısticos I - 2016-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de
Respostas personalizadas para o registro das suas respostas.
2. Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
4. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local
indicado para este fim.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente
assinadas e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Res-
postas.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 03/12/2016
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 e 1 a seguir.)
Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circulam apenas dois
jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da Madrugada possui
o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os jornais. Sabe-se
tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de x o nu´mero de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim,
o nu´mero de leitores deste jornal sera´ dado por x + 50 (nu´mero de leitores exclusivos do Correio
somado ao nu´mero de leitores de ambos os jornais).
Desta forma, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada, que e´ o triplo do nu´mero de leitores do
Correio, sera´ dado por 3(x + 50) = 3x + 150 e, com isso, o nu´mero de leitores exclusivos da Folha
sera´ 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos enta˜o o seguinte diagrama:
Com isso,
(3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300,
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
logo
4x+ 300 = 300,
e enta˜o x = 0.
Portanto, ningue´m leˆ apenas o Correio da Noite Alta!
Questa˜o 2 (1.0 pt) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?
Soluc¸a˜o: Como vimos no item anterior, o nu´mero de leitores da Folha da Madrugada e´ dado por
3x+ 150 = 3 · 0 + 150 = 150.
Questa˜o 3 (1.5 pt) Uma camiseta custava R$200,00 e, apo´s dois aumentos sucessivos de a%, seu
prec¸o foi para R$246,42. Determine a.
Observac¸a˜o: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
1, 012 = 1, 0201 1, 062 = 1, 1236 1, 112 = 1, 2321 1, 162 = 1, 3456
1, 022 = 1, 0404 1, 072 = 1, 1449 1, 122 = 1, 2544 1, 172 = 1, 3689
1, 032 = 1, 0609 1, 082 = 1, 1664 1, 132 = 1, 2769 1, 182 = 1, 3924
1, 042 = 1, 0816 1, 092 = 1, 1881 1, 142 = 1, 2996 1, 192 = 1, 4161
1, 052 = 1, 1025 1, 102 = 1, 2100 1, 152 = 1, 3225 1, 202 = 1, 4400
Apo´s o primeiro aumento de a%, o prec¸o da camisa, antes R$200,00, se tornara´
P1 = 200 ·
(
1 + a100
)
.
Apo´s novo aumento de a%, teremos o prec¸o
P2 = P1 ·
(
1 + a100
)
=
(
200 ·
(
1 + a100
))
·
(
1 + a100
)
= 200 ·
(
1 + a100
)2
.
Mas o prec¸o P2 calculado acima, apo´s o segundo aumento, e´ de R$246,42. Logo,
200 ·
(
1 + a100
)2
= 246, 42,
e enta˜o (
1 + a100
)2
= 246200 = 1, 2321.
Com isso, consultando a taboada fornecida, vemos que
1 + a100 = 1, 11,
logo
a
100 = 0, 11 ∴ a = 11.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 e 5 a seguir.)
Para determinar a melhor localizac¸a˜o de uma fa´brica, ao longo de uma rodovia, foram encomendadas
treˆs pesquisas:
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
• a primeira pesquisa indicou que a fa´brica deveria estar a uma distaˆncia ma´xima de 25 quiloˆmetros
do ponto correspondente ao quiloˆmetro 100;
• de acordo com a segunda pesquisa, a fa´brica deveria estar a uma distaˆncia ma´xima de 10
quiloˆmetros do ponto correspondente ao quiloˆmetro 120;
• a terceira pesquisa, por sua vez, indicou que a fa´brica deveria estar a uma distaˆncia menor do
que 10 quiloˆmetros do ponto correspondente ao quiloˆmetro 145.
Note que as distaˆncias acima sa˜o medidas ao longo da rodovia.
Questa˜o 4 (1.0 pts) : Os responsa´veis pela fa´brica, que encomendaram as pesquisas, acreditam
que uma delas esteja errada, pois, como esta´, na˜o ha´ localizac¸a˜o poss´ıvel para a fa´brica. Sabendo
que as outras duas pesquisas esta˜o corretas, determine, justificando a partir da compatibilidade entre
os valores apontados, qual pesquisa esta´ errada.
Soluc¸a˜o: Sendo x a localizac¸a˜o da fa´brica, de acordo com a primeira pesquisa,
|x− 100| 6 25 ∴ −25 6 x− 100 6 25 ∴ 75 6 x 6 125.
De acordo com a segunda pesquisa,
|x− 120| 6 10 ∴ −10 6 x− 120 6 10 ∴ 110 6 x 6 130.
Pela terceira pesquisa,
|x− 145| < 10 ∴ −10 < x− 145 < 10 ∴ 135 < x < 155.
Representando os intervalos correspondentes a`s localizac¸o˜es adequadas para a fa´brica, em cada uma
das pesquisas acima, temos
|x− 100| 6 25
|x− 120| 6 10
|x− 145| < 10
Se a terceira pesquisa estivesse correta, a fa´brica estaria em um intervalo que na˜o possui intersec¸a˜o
com os referentes a`s duas outras pesquisas. Desta forma, as duas primeiras estariam erradas. Logo,
como sabemos que sa˜o duas as pesquisas corretas, a terceira deve estar errada.
Questa˜o 5 (0.5 pts) : A partir das duas pesquisas corretas, determine, na forma de intervalo, o
trecho da rodovia onde deve estar localizada a fa´brica.
Soluc¸a˜o: As duas pesquisas corretas sa˜o as primeiras, logo, pelo esboc¸o abaixo, a localizac¸a˜o x da
fa´brica deve estar no intervalo [110, 125].
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
|x− 100| 6 25
|x− 120| 6 10
x ∈ [110, 125]
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 e 7 a seguir.)
Considere as func¸o˜es f(x) = 6− 2x e g(x) = x2 − 5x+ 6. A func¸a˜o F e´ definida por
F (x) =
√√√√f(x)
g(x) .
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o de intervalos, o dom´ınio
da func¸a˜o F .
Soluc¸a˜o: Para que o quociente
f(x)
g(x) esteja definido, precisamos ter g(x) 6= 0, pois o denominador
de uma func¸a˜o racional na˜o pode se anular. Para que a raiz quadrada de
f(x)
g(x) esteja definida,
precisamos ter
f(x)
g(x) > 0.Com isso, o dom´ınio da func¸a˜o F (x) e´ o conjunto
Dom(F ) =
{
x ∈ R
∣∣∣∣∣ g(x) 6= 0 e f(x)g(x) > 0
}
.
Vamos analisar cada uma das condic¸o˜es:
• g(x) 6= 0:
Temos
g(x) = 0 ⇔ x2 − 5x+ 6 = 0
⇔ x = 3 ou x = 2
Assim, g(x) 6= 0 se, e somente se, x ∈ R− {2, 3}.
• Podemos escrever f(x) = −2(x−3) e g(x) = (x−2)(x−3). Assim, temos o seguinte quadro
de sinais:
(−∞, 2) 2 (2, 3) 3 (3,∞)
sinal de (x− 2) − 0 + + +
sinal de (x− 3) − − − 0 +
sinal de −2(x− 3) + + + 0 −
sinal de (x− 2)(x− 3) + 0 − 0 +
sinal de f(x)
g(x) =
−2(x−3)
(x−2)(x−3) + @ − @ −
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Logo,
f(x)
g(x) > 0 se, e somente se, x < 2.
A intersec¸a˜o das duas condic¸o˜es obtidas acima e representadas no esboc¸o abaixo, nos da´ x ∈ (−∞, 2).
Questa˜o 7 (1.0 pts) : Existe algum valor de x para o qual F (x) = 0?
Soluc¸a˜o: Se F (x) = 0, teremos
√
f(x)
g(x) = 0, logo
f(x)
g(x) = 0. Com isso, f(x) = 0, portando
6− 2x = 0 e, enta˜o, x = 3.
Assim, para termos F (x) = 0, precisar´ıamos ter x = 3. Mas x = 3 na˜o pertence ao dom´ınio de F ,
determinado na questa˜o anterior. Com isso, na˜o existe x tal que F (x) = 0.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 e 10 a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −2P 2 + A e Q(P ) = 8P + 80,
onde A e´ uma constante real, P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta,
respectivamente, em milho˜es de unidades. Sabe-se que o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do
qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo (D = 0) e´ de R$10,00.
Questa˜o 8 (0.5 pt) Determine o valor de A
Soluc¸a˜o: Como D(10) = 0, temos
−2 · 102 + A = 0 ∴ −200 + A = 0 ∴ A = 200.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P para o qual
D(P ) = Q(P ).
Com isso,
−2P 2 + 200 = 8P + 80,
que equivale a
−2P 2 − 8P + 120 = 0,
ou ainda, dividindo por −2 para simplificar as contas,
P 2 + 4P − 60 = 0.
Assim,
P =
−4±
√
42 − 4 · 1 · (−60)
2 · 1 =
−4±√256
2 =
−4± 16
2 ,
logo P = 6 ou P = −10.
Como o prec¸o e´ uma valor positivo, descartamos o P = −10, obtendo apenas P = 6, isto e´, o prec¸o
de equil´ıbrio e´ de R$6,00.
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 7
Questa˜o 10 (1.5 pt) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste pro-
duto, especificando os pontos de intersec¸a˜o dos gra´ficos com os eixos coordenados e deles entre
si.
Soluc¸a˜o: A curva de demanda, isto e´, o gra´fico da func¸a˜o D, e´ uma para´bola. Suas ra´ızes sa˜o os
valores de P tais que
−2 · P 2 + 200 = 0,
ou, equivalentemente, P 2 = 100, ou ainda P = ±10.
Esta para´bola tem ve´rtice no eixo vertical, pois as ra´ızes sa˜o sime´tricas. Assim, o ve´rtice e´ o ponto
(0,D(0)) = (0, 200). Outra forma de determinar o ve´rtice e´ ver que
(
− b2a ,−∆4a
)
=
=
(
− 02·(−2) ,−0
2−4(−2)(200)
4·(−2)
)
= (0, 200).
A curva de oferta Q e´ uma reta. Um ponto por onde passa esta reta e´ o (0,Q(0)) = (0, 80), e
precisamos descobrir algum outro ponto para poder esboc¸a´-la. Vamos, para este outro ponto, fazer
P = 6 e descobrir a coordenada vertical correspondente. E por que escolhemos P = 6? Ora, pelo
que vimos na questa˜o anterior, esse e´ o valor de P para o qual as curvas de demanda e de oferta
(isto e´, a para´bola dada por D e a reta dada por Q) se intersectam. Como Q(6) = 8 · 6+80 = 128,
o ponto sera´ (6, 48).
Podemos enta˜o esboc¸ar o gra´fico:
Note, pore´m, que na˜o existe prec¸o P negativo. Ale´m, disso, no gra´fico de D, na˜o podemos ter
P > 10, pois, neste caso, na˜o ha´ demanda. Assim, um esboc¸o mais correto sera´ o dado abaixo.
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