Módulo VII - 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle Princípio de Conservação da Massa. Regime Permanente - UNIP Online

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Módulo VII - 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle: 
Princípio de Conservação da Massa. Regime Permanente. 
 
Conservação da Massa 
 A massa, assim como a energia, é uma propriedade que se conserva, e 
não pode ser criada nem destruída durante um processo. Em sistemas 
fechados, o princípio de conservação da massa é usado implicitamente pela 
exigência de que a massa do sistema permaneça constante. Em volumes de 
controle, ou sistemas abertos, a massa pode atravessar a fronteira do sistema 
e devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume 
de controle. 
 
 
Vazão Mássica e Vazão Volumétrica 
 Vazão mássica ou fluxo de massa, ṁ, é a quantidade de massa que 
escoa através de uma área por unidade de tempo. Esse fluxo de massa pode 
ser expresso por: 
 
 ̇ ∫ 
 
 [ ] 
 onde ρ é massa específica do fluido escoando, Vn é a componente da 
velocidade normal a secção de área transversal ao escoamento e Ac é a 
secção de área transversal ao escoamento. 
 
 A velocidade nunca é uniforme ao longo da secção transversal de um 
tubo, devido à condição de não-deslizamento nas paredes. Para isso, 
definimos a velocidade média de escoamento dado por: 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 Finalmente, para um escoamento com fluido incompressível ou para 
escoamento compressível com ρ uniforme temos: 
 
 ̇ [ ] 
 
 De maneira semelhante, vazão volumétrica é o volume de fluido 
escoando através de uma área por unidade de tempo. 
 
 ̇ ∫ 
 
 [ 
 ] 
 
Conservação da Massa para um Volume de Controle 
 A transferência líquida de massa, ou do fluxo de massa, para ou de um 
volume de controle durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida 
da massa, ou do fluxo de massa, total dentro do volume de controle durante Δt. 
 
 ∑ ∑ [ ] 
 
 
 ∑ ̇ ∑ ̇ [ ] 
 onde os subscritos e e s representam os valores que estram e saem do 
volume de controle. 
 
 Para um escoamento unidimensional temos que: 
 
 
 
 ∑ 
 
 ∑ 
 
 ∑
 
 
 
 ∑
 
 
 
 [ ] 
 
 Já para o caso de escoamento permanente, durante o processo, a 
quantidade de massa contida dentro do volume de controle não muda com o 
tempo. Assim a quantidade de massa que entra em um volume de controle tem 
que ser igual a quantidade que sai. 
∑ ̇ ∑ ̇ 
 
 No caso do escoamento em regime permanente com corrente única, 
como ocorre em muitos dispositivos de engenharia, a equação se reduz para: 
 
 ̇ ̇ 
 
 Para fluidos incompressíveis a massa específica não tem variação 
considerável no decorrer do processo e com isso podemos reduzir ainda mais 
a equação para: 
 
∑ ̇ ∑ ̇ 
 
 Neste caso também é comum a presença de apenas uma corrente: 
 
 ̇ ̇ 
 
 Não podemos deixar de comentar que não existe o princípio de 
conservação de volume e portanto as vazões volumétricas podem ser 
diferentes. 
 
Conservação da Energia para um Volume de Controle 
 O desenvolvimento do balanço de energia para um volume de controle 
pode ser obtido modificando-se o balanço da taxa de energia para sistema 
fechado de forma a levar em conta a transferência de energia, chegando a: 
 
 
 
 ̇ ̇ ̇ ( 
 
 
 
 ) ̇ ( 
 
 
 
 ) 
 onde e representam a taxa líquida de transfer ncia de energia por 
calor e trabalho através da fronteira do volume de controle no instante t. Os 
dois demais termos representam as taxas de transferência de energia interna, 
cinética e potencial dos fluxos de entrada e saída. 
 
 tra alho para volume de controle é convenientemente separado em 
duas contri ui es. ma associada press o do fluido medida que a massa 
é introdu ida nas entradas e removida nas saídas, e outra designada por VC 
que inclui todos os outros efeitos. Para o primeiro efeito a equação é dada por: 
 
 ̇ ̇ 
 
 ̇
 
 ̇ 
 
 Com isso o taxa de energia por trabalho total é dada por: 
 
 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ 
 
 Portanto para um escoamento unidimensional a taxa de energia para um 
volume de controle é: 
 
 
 
 ̇ ̇ ̇ ( 
 
 
 
 ) ̇ ( 
 
 
 
 ) 
 
 
 ̇ ̇ ̇ ( 
 
 
 
 ) ̇ ( 
 
 
 
 ) 
 
 Como ocorre para a conservação da massa, na prática podem existir 
vários locais na fronteira através dos quais a massa entra e sai. 
 
 
 
 ̇ ̇ ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 
 
 Para regime permanente, isto é, sem variação com o tempo temos: 
 
 ̇ ̇ ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 
 ̇ ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 ̇ ∑ ̇ ( 
 
 
 
 )
 
 
 
 Para regime permanente com uma entrada e saída, o fluxo de massa é 
idêntico, resumindo-se para: 
 
 ̇ ̇ ̇ *( ) 
( 
 
 )
 
 ( )+ 
 
 Se o fluido sofrer uma variação desprezível em suas energias cinética e 
potencial enquanto escoa através de um volume de controle e equação de 
energia se reduzirá a: 
 
 ̇ ̇ ̇( ) ̇ ̇ ̇( ) 
 
 
Exemplos 
1) Um aquecedor de água operando em regime permanente possui duas 
entradas e uma saída. Na entrada 1, o vapor d’água entra a p1 = 7 bar, T1 = 
200°C com vazão mássica de 40 kg/s. Na entrada 2, água líquida a p2 = 7 
bar, T2 = 40°C entra através de uma área A2 = 25 cm
2. Líquido saturado a 7 
bar sai em 3 com uma vazão volumétrica de 0,06 m3/s. Determine a vazão 
mássica na entrada 2, em kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s. 
 
Resolução: 
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3 
ṁ3 = ρ3A3V3 = (A3V3/v3) 
ṁ1 + ṁ2 = (A3V3/v3) 
Da tabela v3 = 1,108x10
-3 m3/kg 
40 + ṁ2 = (0,06/1,108x10
-3) 
ṁ2 = 14,15 kg/s 
 
ṁ2 = (A2V2/v2) 
Da tabela v2 = 1,0078x10
-3 m3/kg 
14,15 = (0,0025 V2/1,0078x10
-3) 
V2 = 5,7 m/s 
 
ρ1A1V1 + ρ2A2V2 = ρ3A3V3 
(A1V1/v1) + (A2V2/v2) = (A3V3/v3) 
 
 
2) vapor d’água entra em uma tur ina operando em regime permanente com 
uma vazão mássica de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de 
1000 kW. Na entrada, a pressão é de 60 bar, a temperatura é 400°C e a 
velocidade é 10 m/s. Na saída, a pressão é 0,1 bar, o título é 0,9 e a 
velocidade é 30 m/s. Calcule a taxa de transferência de calor entre a turbina 
e a vizinhança em kW. 
 
Resolução: 
 ̇ ̇ ̇ *( ) 
( 
 
 )
 
 ( )+ 
z1 = z2 
Das tabelas termodinâmicas na entrada para vapor superaquecido h1 = 3177,2 
kJ/kg e na saída há mistura de vapor e líquido que dá h2 = 2345,4 kJ/kg 
 ̇ 
 
 
 
(
 
 
) *( )
 
 
 
( )
 
 (
 
 
) (
 
 
)+ 
 ̇ 
 
 
Exercícios Propostos 
1) Um computador deve ser resfriado por um ventilador com uma vazão 
volumétrica igual a 0,34 m3/min. Determine o fluxo de massa de ar através 
do ventilador a uma altitude de 3400 m onde a massa específica do ar é de 
0,7 kg/m3. Se a velocidade média do ar não exceder os 110 m/min, 
determine também o diâmetro da carcaça do ventilador. 
Resposta: 0,238 kg/min; 0,063 m 
 
2) Os requisitos mínimos de ar fresco de um prédio residencial são 
especificados como 0,35 de renovação de ar por hora (ASHRAE, Standard 
62, 1989). Ou seja, 35% de todo o ar contido em uma residência deve ser 
substituído por ar fresco externo a cada hora. Se a exigência de ventilação 
de uma residênciade 200 m2 com 2,7 m de altura deve ser atendida 
totalmente por um ventilador, determine a vazão em litros/min do ventilador 
que precisa ser instalado. Determine também o diâmetro do duto se a 
velocidade do ar não deve exceder 6 m/s. 
Resposta: 3150 l/min; 0,106 m 
 
3) Um tanque de mistura contém 3000 lb (1360,8 kg) de água líquida. O 
tanque é equipado com dois tubos de entrada, um tubo para a distribuição 
de água quente a uma vazão mássica de 0,8 lb/s (0,36 kg/s) e um outro 
para a distribuição de água fria a uma vazão mássica de 1,3 lb/s (0,59 kg/s). 
A água sai através de um único tubo de saída a uma vazão mássica de 2,6 
lb/s (1,2 kg/s). Determine a quantidade de água, em lb, no tanque após uma 
hora. 
Resposta: 1200 lb 
 
4) Sob condições de regime permanente, um fluxo de água líquida a 20°C e 1 
bar é misturado com um fluxo de etileno glicol (M = 62,07) de maneira a 
formar uma mistura refrigerante com 50% de glicol em massa. A vazão 
mássica molar da água é de 4,2 kmol/min. A massa específica do etileno 
glicol é 1,115 vezes maior que da água. Determine: 
a) a vazão mássica molar, em kmol/min, e a vazão volumétrica, em m3/min, 
do etileno glicol na entrada. 
b) os diâmetros, em cm, de cada um dos dutos de alimentação se as 
velocidades são iguais a 2,5 m/s. 
Resposta: 1,219 kmol/min; 0,068 m3/min; 2,54 e 2,4 cm 
 
5) Ar em regime permanente em um tubo de 28 cm de diâmetro a 200 kPa e 
20°C com uma velocidade de 5 m/s. O ar é aquecido a medida que escoa e 
sai do tubo a 189 kPa e 40°C. Determine: 
a) a vazão volumétrica na entrada, 
b) o fluxo de massa de ar e 
c) a velocidade e a vazão volumétrica de saída. 
Resposta: 0,3079 m3/s; 0,7318 kg/s; 5,94 m/s; 0,3654 m3/s 
 
6) Ar em regime permanente a 200 kPa, 52°C e uma vazão mássica de 0,5 
kg/s entra em um duto isolado com diferentes áreas de seção transversal de 
entrada e saída. Na saída do duto, a pressão do ar é de 100 kPa, a 
velocidade é de 255 m/s e a área da seção transversal é de 2x10-3 m2. 
Admitindo o modelo de gás ideal, determine: 
a) A temperatura do ar na saída, em °C. 
b) A velocidade do ar na entrada, em m/s. 
c) A área da seção transversal da entrada, em m2. 
Resposta: 82°C; 355 m/s; 6,57x10-4 m2