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PUCGO-SL-2013-1 Slides3-TL

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
e SLITC
Prof. Cláudio A. Fleury
SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo 36 slides
Conteúdo
1.1. IntroduçãoIntrodução
2.2. Definição da Transformada de Definição da Transformada de LaplaceLaplace
3.3. Polos Polos e Zerose Zeros
4.4. Região de Convergência (RDC)Região de Convergência (RDC)
5.5. Propriedades da Transformada de Propriedades da Transformada de LaplaceLaplace
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 2
6.6. Pares da Transformada de Pares da Transformada de LaplaceLaplace
7.7. Transformada de Transformada de LaplaceLaplace InversaInversa
8.8. Função de Função de Transferência (Transferência (Função SistemaFunção Sistema))
9.9. Aplicação Aplicação da da TransfTransf. de . de LaplaceLaplace aos aos SLITCsSLITCs e às e às EDLCCsEDLCCs
10.10. Interconexão de Subsistemas CausaisInterconexão de Subsistemas Causais
11.11. Teoremas do Valor Inicial e do Valor FinalTeoremas do Valor Inicial e do Valor Final
� Transformadas Matemáticas
� Logaritmo � transforma um problema de 
multiplicação em um problema mais simples, 
de soma ou subtração
1. Introdução
)log()log().log()log(. CBCBACBA +===
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 3
� Fasor � converte um sinal senoidal em um número 
complexo, que pode ser manipulado algebricamente
)log()log().log()log(. CBCBACBA +===
)4,33cos(7,44ou 4,337,44
)6,3420()103,17(60403020
? );60cos(40 e )30cos(20 2121
°+=°∠=
+++=°∠+°−∠=
=+=°+=°−=
ty
jj
yyytyty
ω
ωω
Y
Y
� A Transformada de Laplace (TLTL) é uma representação 
alternativa ao domínio do tempo, para Sinais e Sistemas 
Lineares e Invariantes no Tempo Contínuo (SLITCsSLITCs)
� Trata-se de um operador linearoperador linear muito útil à análise e ao 
estudo dos SLITCs, e à resolução de Equações 
1. Introdução
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 4
estudo dos SLITCs, e à resolução de Equações 
Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes 
(EDLCCsEDLCCs)
� Em circuitos lineares usamos a TL para transformar 
EDLCCs do domínio do tempo em equações algébricas 
do domínio da freqüência
2. Transformada de Laplace (TL)
� s é uma variável complexa: s = σ + j ω
Transformada
de Laplace Funcional
{ } ∫
∞
∞−
−
≡= dtetxtxsX st)()()( L
Integral imprópria
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 5
� O resultado do cálculo da integral é função de s
� O sinal x(t) e a sua Transformada de Laplace X(s)
formam um par, normalmente, expresso por
)()( sXtx →←L
� Por ser gerada por uma integral imprópria, a TL não 
existe para todo sinal x(t)
� Na Eng. Elétrica usa-se zero para o limite inferior da 
integral � Transformada de Laplace Unilateral
� A Região de Convergência (RDCRDC) de uma TL 
2. Convergência da TL
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 6
� A Região de Convergência (RDCRDC) de uma TL 
especifica o intervalo de valores da variável 
complexa s para os quais X(s) converge
� A RDC deve ser especificada juntamente com a 
expressão algébrica da TL para se garantir a 
correspondência unívoca entre x(t) e X(s)
Exemplo
TL de um Sinal Exponencial Decrescente à Direita
11)(
)()(
 ),()(
0
)(
0
)(
+
=
+
−=
==
ℜ∈=
∞+−
∞
+−
∞
∞−
−−
−
∫∫
as
e
as
sX
dtedtetuesX
atuetx
tas
tasstat
at
e-at
x(t)
t
1 e
-atu(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 7
0)Re(0lim porque
 )Re( se
)(
)(
t
0
>+⇔=
−>
+
=
+
−=
+−
∞→
ase
as
as
e
as
sX
tas
RDC: Re(s) > -a
{ }
as
tue at
+
=
−
1)(L -a
jω
σ
Exemplo
Sinal Exponencial Crescente à Esquerda
11)(
)()(
 ),()(
0)(
0
)(
as
e
as
sX
dtedtetuesX
atuetx
tas
tasstat
at
+
=
+
=
−=−−=
ℜ∈−−=
∞−
+−
∞−
+−
∞
∞−
−−
−
∫∫ -e-at
x(t)
t
-1
-e-atu(-t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 8
 )Re( se
)(
as
as
e
as
sX
−<
+
=
+
=
∞−
RDC: Re(s) < -a
{ }
as
tue at
+
=−−
−
1)(L
-a
jω
σ
Exemplo
Sinal Exponencial Crescente à Esquerda
11)(
)()(
 ),()(
0)(
0
)(
as
e
as
sX
dtedtetuesX
atuetx
tas
tasstat
at
−
−=
−
−=
=−=
ℜ∈−=
∞−
−−
∞−
−−
∞
∞−
−
∫∫
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 9
RDC: Re(s) < a
 )Re( se
)(
as
as
e
as
sX
<
−
−=
−
−=
∞−
{ }
as
tue at
−
−=−
1)(L
a
jω
σ
� Seja X(s) uma função racional de s:
� Pólos são as raízes do polinômio do denominador, D(s): p1…pn
3. Polos e Zeros
)()(
)()(
)(
)()(
10
10
1
10
1
10
n
m
n
nn
m
mm
pspsa
zszsb
asasa
bsbsb
sD
sN
sX
−−
−−
=
+++
+++
==
−
−
L
L
L
L
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 10
� Zeros são as raízes do polinômio do numerador, N(s): z1…zm
� A função racional X(s) é dita ser própria se n > m
� A RDC não contém polos, pois X(s) não converge nos polos
� X(s) pode ser especificada completamente por seus zeros e polos
� Graficamente, os polos são representados por ‘××××’, e zeros por ‘ο’
Exemplo
Representação Gráfica
 1)Re( )3)(1(
22
34
)2(2)( 2 −>++
+
=
++
+
= s
ss
s
ss
s
sX
jωωωω
Raízes do
Numerador (zeros): -2
Denominador (pólos): -1, -3
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 11
-1
jωωωω
σσσσ-2-3
RDC: Re(s) > -1
Denominador (pólos): -1, -3
4. Região de Convergência (RDC)
� A RDC não contém pólo(s)
� A RDC é sempre limitada por uma reta vertical, pois a 
condição de convergência está na parte real de s : Re(s)
� Existe pelo menos um pólo na fronteira da RDC de uma 
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 12
� Existe pelo menos um pólo na fronteira da RDC de uma 
X(s) racional
� A RDC é sempre uma região contígua, isto é, ela não 
pode ser formada por regiões desconexas
� Se um sinal x(t) é finito, ou seja, x(t) = 0 para t < t1 e t > t2, 
então a RDC da Transformada de Laplace será todo o plano s, 
exceto possivelmente s = 0 ou s � ∞
� Se um sinal x(t) é unilateral direito, ou seja, x(t) = 0 para t < t1, 
então a RDC será da forma Re(s) > σmáx, ou seja, um semi-
plano à direita de σmáx
4. Propriedades da RDC
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 13
plano à direita de σmáx
� Se um sinal x(t) é unilateral esquerdo, ou seja, x(t) = 0 para t >
t1, então a RDC será da forma Re(s) < σmín, ou seja, um semi-
plano à esquerda de σmín
� Se um sinal x(t) é bilateral (duração infinita), então a RDC 
poderá ser uma faixa vertical entre as linhas verticais 
σ1 < Re(s) < σ2
� Linearidade
� Deslocamento no Tempo
� Deslocamento no Domínio s
� Mudança de Escala de Tempo
yx R RDC ),()( e R RDC ),()( :Sejam =↔=↔ sYtysXtx
yRRsbYsaXtbytax ∩⊃+↔+ xR' para ),()()()(
x0 RR' para )()( 0 =↔− − sXettx st
5. Transformada de Laplace Operacional
)Re( )()( 000 sRR'ssXtxe xts +=−↔
xRR' para 
1)( a
a
sX
a
atx =





↔
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 14
� Mudança de Escala de Tempo
� Inversão de Tempo
� Diferenciação no Tempo
� Diferenciação no Domínio s
� Integração no Tempo
� Convolução
xRR' para )( a
a
X
a
atx =



↔
xRR'para )()( −=−↔− sXtx
xRR' para )(
)(
⊃↔ ssX
dt
tdx
)0)(Re(RR' )( 1)( x >∩=↔∫
∞−
ssX
s
dx
t
ττ
yx RRR' ),().()()( ∩⊃↔∗ sYsXtytx
xRR' para 
)()(. =↔−
ds
sdX
txt
6. Transformada de Laplace Funcional
f(t) F(s) RDC
u(t) 1/s Re(s)>0
t.u(t) 1/s² Re(s)>0
t².u(t) 2/s³ Re(s)>0
tnu(t) n! / sn+1 Re(s)>0
cos(at) u(t) s / (s²+a²) Re(s)>0
f(t) F(s) RDC
δδδδ(t) 1 ∀∀∀∀s
-u(-t) 1/s Re(s) < 0
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 15
sen(at) u(t) a / (s²+a²) Re(s)>0
eatu(t) 1 / (s-a) Re(s)>a
eatcos(bt) u(t) (s-a) / [(s-a)²+b²] Re(s)>a
eatsen(bt) u(t) b / [(s-a)²+b²] Re(s)>a
cosh(at) u(t) s / (s²-a²) Re(s)>|a|
senh(at) u(t) a / (s²-a²) Re(s)>|a|
t.cos(at) u(t) (s²-a²) / [s²+a²]² Re(s)>0
t.sen(at) u(t) 2as / [s²+a²]² Re(s)>0
e-atu(t) 1 / (s + a) Re(s) > -a
-e-atu(-t) 1 / (s + a) Re(s) < -a
t.e-atu(t) 1 / (s + a)2 Re(s) > -a
-t.e-atu(-t) 1 / (s + a)2 Re(s) < -a
)()()( 32 tuetuetx tt −− +=Exemplo 1
Calcule a TL de:
2)Re( ,
2
1)(2 −>
+
→←− s
s
tue Lt
Sabemos que
As RDC’s se sobrepõem, e assim
3)Re( ,
3
1)(3 −>
+
→←− s
s
tue Lt
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 16
As RDC’s se sobrepõem, e assim
-2e(s) com
 ,)3)(2(
)5.2(2
3
1
2
1)(
>
++
+
=
+
+
+
=
R
ss
s
ss
sX
-2
jωωωω
σσσσ-2.5-3
RDC: Re(s) > -2
)()()( 23 tuetuetx tt −+= −Exemplo 2
Calcule a TL de:
3)Re( ,
3
1)(3 −>
+
→←− s
s
tue Lt
Sabemos que
As RDC’s se sobrepõem, e assim
2)Re( ,
2
1)(2 <
−
−→←− s
s
tue Lt
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 17
As RDC’s se sobrepõem, e assim
2e(s)3- : RDC com
 ,)3)(2(
5
2
1
3
1)(
<<
+−
−
=
−
−
+
=
R
ssss
sX
2
jωωωω
σσσσ-3
RDC: -3 < Re(s) < 2
)]5()([)( 2 −−= − tutuetx tExemplo 3
Calcule a TL de:
2)Re( ,
2
1)(2 −>
+
→←− s
s
tue Lt
Sabemos que
2)Re( ,
2
1)5( 5)5(2 −>
+
→←− −−− s
s
etue sLt
)5()()5()()]5()([)( )5(2102222 −−=−−=−−= −−−−−−− tueetuetuetuetutuetx ttttt
Solução: Usando as tabelas de propriedades e de pares da T.L.
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 18
As RDC’s se sobrepõem, e assim
( )
-2e(s) com
 ,1)2(
1
2
1
2
1)( )2(5510
>
−
+
=
+
−
+
=
+−−−
R
e
ss
ee
s
sX ss
2+s
jωωωω
σσσσ-2
RDC: Re(s) > -2
)]5()([)( 2 −−= − tutuetx tExemplo 3
Calcule a TL de:
( )
2Reserá parciais s RDC'duas das interseçãoa seja, ou 
,)para Re( nem e 2para definida está não )( :RDC
2
11
2
1
2
1
)]5()([)()(
105
5)2(5
0
)2(5
0
)2(
2
-(s)
sssX
s
e
e
s
e
s
dte
dtetutuedtetxsX
s
ststs
sttst
>
−∞→−=
+
+
=−
+
−
=
+
−
==
−−==
−−
+−+−+−
∞
∞−
−−
∞
∞−
−
∫
∫∫
Solução: Usando a definição.
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 19
jωωωω
σσσσ-2
RDC: Re(s) > -2
2Reserá parciais s RDC'duas das interseçãoa seja, ou -(s) >
� Transformada Inversa de Laplace
X(s) e RDC ⇒ x(t) única
� Metódos
Inversão pela Definição
7. Transformada Inversa de Laplace
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 20
� Inversão pela Definição
� Inversão pela Expansão em Frações Parciais
� Polos de Primeira Ordem – polos distintos
� Polos de n-ésima Ordem – polos repetidos
� Fórmula Geral da Transformada Inversa de Laplace :
que é uma integral de contorno no plano complexo s
� A solução desta integral pode ser obtida pelo 
∫= C
ts dsesXjtx )(2
1)(
pi
7. Inversão pela Definição
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 21
� A solução desta integral pode ser obtida pelo 
Teorema de Resíduo de Cauchy
� Embora esta fórmula calcule a Transformada Inversa 
de Laplace, na prática usa-se procedimentos mais 
simples de busca em tabelas, para transformadas na 
forma racional
� Uma Transformada de Laplace é dita ser racional
se ela é uma razão de polinômios em s
� Se X(s) é função racional própria (m < n), então ela pode ser 
invertida usando a expansão em frações parciais (EFP). 
)()(
)()(
)(
)()(
1
1
n
m
psps
zszsk
sD
sN
sX
−−
−−
==
L
L
7. Inversão pela Expansão em Frações Parciais
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 22
invertida usando a expansão em frações parciais (EFP). 
� Pólos Simples (distintos):
� Pólos Múltiplos (repetidos): 
n
n
ps
c
ps
c
sX
−
++
−
= L
1
1)(
ipsii
i
sXpsc
c
=
−= )()(
:por dados são escoeficient Os
[ ]
ips
r
ii
i
i
r
i sXpsds
d
i
kps
=
−=− )()(
!
1
 :)( forma da fatores temX(s) Se
r
ii
r
i
r
ps
k
ps
k
ps
k
)()(
0
2
21
−
++
−
+
−
−−
L
Exemplo 1
Transformada Inversa de Laplace
1- Re(s) ,
1
1)( >
+
=
s
sX )()( tuetx t−=Da Tabela
-1 Re(s) ,
1
1)( <
+
=
s
sX )()( tuetx t −−= −Da Tabela
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 23
1+s
0 Re(s) ,
4
)( 2 >+= s
s
sX )()..2cos()( tuttx =Da Tabela
1- Re(s) ,
4)1(
1)( 2 >++
+
=
s
s
sX )()..2cos()( tutetx t−=Da Tabela
Exemplo 2a
Transformada de Laplace Inversa
1- Re(s) ,
34
42)( 2 >++
+
=
ss
s
sX
1
3
22)()1(
31)3)(1(
22
34
42)(
:Parciais Frações em Expandindo
1
11
21
2
s
s
sXsc
s
c
s
c
ss
s
ss
s
sX
s
s
−=
−=
=
+
+
=+=
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 24
)()()()()(
:direito unilateral é )( logo ,1)Re( é )( de RDCA 
3
1
1
1)( :Assim
1
1
22)()3(
3
33
3
32
1
tueetuetuetx
txssX
ss
sX
s
s
sXsc
s
tttt
s
s
s
−−−−
−=
−=
−=
+=+=
−>
+
+
+
=
=
+
+
=+=
+
Exemplo 2b
Transformada de Laplace Inversa
3- Re(s) ,
34
42)( 2 <++
+
=
ss
s
sX
1
3
22)()1(
31)3)(1(
22
34
42)(
:Parciais Frações em Expandindo
1
11
21
2
s
s
sXsc
s
c
s
c
ss
s
ss
s
sX
s
s
=
+
+
=+=
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
−=
−=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 25
)()()()()(
:esquerdo unilateral é )( logo ,3)Re( é )( de RDCA 
3
1
1
1)( :Assim
1
1
22)()3(
3
33
3
32
1
tueetuetuetx
txssX
ss
sX
s
s
sXsc
s
tttt
s
s
s
−+−=−−−−=
−<
+
+
+
=
=
+
+
=+=
+
−−−−
−=
−=
−=
Exemplo 2c
Transformada de Laplace Inversa
1Re3 ,
34
42)( 2 -(s)-ss
s
sX <<
++
+
=
1
3
22)()1(
31)3)(1(
22
34
42)(
:Parciais Frações em Expandindo
1
11
21
2
s
s
sXsc
s
c
s
c
ss
s
ss
s
sX
s
s
−=
−=
=
+
+
=+=
+
+
+
=
++
+
=
++
+
=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 26
)()()(
: bilateral é )( logo ,1)Re(3 é )( de RDCA 
3
1
1
1)( :Assim
1
1
22)()3(
3
3
3
32
1
tuetuetx
txssX
ss
sX
s
s
sXsc
s
tt
s
s
s
−−
−=
−=
−=
+−−=
−<<−
+
+
+
=
=
+
+
=+=
+
Exemplo 3
Transformada de Laplace Inversa
3Re ,)5)(3(
52)( 2
2
−>
++
++
= (s)
ss
ss
sX
52
2)5(
52)()3(
)5(53)(
:5 em múltiplo pólo um e 3 em simples pólo um tem
2
3
2
2
31
2
011
ss
sss
sXsc
s
k
s
k
s
c
sX
-s-sX(s)
s
s
−=
−=
++
=
+
++
=+=
+
+
+
+
+
=
==
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 27
{ }
)(10)()(2)(
: direito unilateral é )( logo ,3)Re( é )( de RDCA 
)5(
10
5
1
3
2)( :Assim
1)3(
16
3
52)()5(
10
3
52)()5(
553
2
5
2
2
5
2
5
2
1
5
2
5
2
0
tutetuetuetx
txssX
sss
sX
s
ss
s
ss
ds
d
sXs
ds
dk
s
ss
sXsk
ttt
ss
s
s
s
−−−
−=−=
−=
−=
−=
−−=
−>
+
−
+
−
+
=
−=
+
++
=






+
++
=+=
−=
+
++
=+=
� Também chamada de Função Sistema
� Definição
� É a Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva 
de um SLITC
)(
convolução da epropriedad a aplicando ),()()(
sY
thtxty ∗=
8. Função de Transferência SLITCx(t) y(t)
h(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 28
)(
)()()()()( :teremos
sX
sY
sHsHsXsY =⇒=
h(t)
x(t) y(t)
H(s)
X(s) Y(s)
� Algumas propriedades dos SLITC’s podem ser associadas 
às características de H(s) no plano s
� Causalidade: a RDC deve ser a região à direita de todos os pólos 
� Estabilidade: a RDC deve conter o eixo vertical s=j ω
� Sistemas causais e estáveis
Todos os pólos da função de transferência destes sistemas 
8. Função Sistema
Caracterização de Sistemas
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 29
� Todos os pólos da função de transferência destes sistemas 
devem estar no semi-plano esquerdo do plano s (todos com 
partes reais negativas) e a RDC deve conter o eixo vertical
Logo: Re(s) > σmáx e σmáx < 0
9. SLITC e EDLCC
� Seja um SLITC com entrada x(t) e saída 
y(t) obedecendo uma EDLCC da forma ∑∑
==
=
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k dt
txdb
dt
tyd
a
00
)()(
)()()()(
0000
∑∑∑∑
====
=⇒=
M
M
k
k
k
N
k
k
k
M
k
k
k
N
k
k
k sbsXsasYsXsbsYsa
Aplicando a operação L{ · } e usando a propriedade da diferenciação, teremos:
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 30
 )(
)()(
0
0
∑
∑
=
=
== N
k
k
k
M
k
k
k
sa
sb
sX
sY
sH
SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo
EDLCC – Equação Diferencial Linear de Coeficientes Constantes
a RDC deve ser especificada pelas 
condições complementares do sistema, 
como estabilidade ou causalidade
� H(s) será sempre racional
Exemplo 1
Função Transferência
11
 :Laplace de Transf. a Aplicando
)(1)(1)(
:equação pela descrito é RC circuito O
)()( e )()( Fazendo
tx
RC
ty
RCdt
tdy
tvtytvtx cs
=+
==
R
vs(t) C vc(t)i(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 31
)(1)}({)(
:será )( impulsiva resposta a causal, sistema um de tratar sePor 
1
11)()(
)(
)(1)()1(
)(1)(1)(
1 tue
RC
sHLth
th
RCsRC
sH
sX
sY
sX
RC
sY
RC
s
sX
RC
sY
RC
ssY
RCt−−
==
+
==
=+
=+
Exemplo 2
Conversão de EDLCC em Eq.s Algébricas
:doReescreven
1)]0()([)(1)(
)()()(1)(
:circuito do Equação
0
s
IvssVC
s
sV
LR
sV
tuI
dt
tdvCdttv
LR
tv
DC
L
DC
t
=−++
→=++ ∫
t=0
RIDC C v (t)L
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 32
 LaplacedeInversa Transf.a calcular devemos
 tempo,do domínio noresposta a obter sePara 
)/(1)/()(
111)(
:doReescreven
2 LCRCss
CI
sV
s
IsC
sLR
sV
DC
DC
++
=
=





++
10. Interconexão de Subsistemas Causais
� Interconexão em Série (Cascata)
)().()( e )().()( :Então
)()()()()()( :Sejam
sXsGsRsRsFsY
sRtrsYtysXtx
==
↔↔↔
F(s)
x(t) y(t)
G(s)
r(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 33
)()()(
)()(
)()].().([ :Logo
)]().().[()( :Temos
)().()( e )().()( :Então
sGsF
sX
sY
sH
sXsGsFY(s)
sXsGsFsY
sXsGsRsRsFsY
==
=
=
==
Função Sistema
Equivalente
10. Interconexão de Subsistemas Causais
� Interconexão em Paralelo
F(s)
x(t) y(t)
G(s)
Σ
v(t)
r(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 34
)()()(
)()(
)()].()([ :Logo
)().()().()()()( :Temos
)().()( e )().()( :Então
)()()()()()()()( :Sejam
sGsF
sX
sY
sH
sXsGsFY(s)
sXsRsXsFsVsRsY
sXsGsVsXsFsR
sVtvsRtrsYtysXtx
+==
+=
+=+=
==
↔↔↔↔
Função Sistema
Equivalente
10. Interconexão de Subsistemas Causais
� Interconexão com Realimentação
F(s)
x(t) y(t)
G(s)
Σ
r(t)
e(t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 35
)()(1
1
)(
)()(
)()]()(1)[(
)()]()()([ :Logo
)()()( :Temos
 )()()( :Como
)().()()().()( :Então
)()()()()()()()( :Sejam
sGsFsX
sY
sH
sXsGsFsY
sFsGsYsXY(s)
sRsXsE
trtxte
sGsYsRsFsEsY
sEtesRtrsYtysXtx
−
==
=−
+=
+=
+=
==
↔↔↔↔
Função
Sistema
� Indicam os comportamentos inicial e final de um 
circuito a partir da Transf. de Laplace, sem que se 
precise calcular sua inversa
11. Teoremas do V. Inicial e do V. Final
)(.lim)(lim :InicialValor 
0
sFstf
st ∞→→
=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 36
)(.lim)(lim :FinalValor 
0
sFstf
st →∞→
=
Valor Inicial: pressupõe que f(t) não contém nenhuma função impulso
Valor Final: todos os pólos de F(s) estejam no semi-plano esquerdo

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