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TRANSFORMADA DE LAPLACE e SLITC Prof. Cláudio A. Fleury SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo 36 slides Conteúdo 1.1. IntroduçãoIntrodução 2.2. Definição da Transformada de Definição da Transformada de LaplaceLaplace 3.3. Polos Polos e Zerose Zeros 4.4. Região de Convergência (RDC)Região de Convergência (RDC) 5.5. Propriedades da Transformada de Propriedades da Transformada de LaplaceLaplace ACL Prof. Cláudio ABR/2006 2 6.6. Pares da Transformada de Pares da Transformada de LaplaceLaplace 7.7. Transformada de Transformada de LaplaceLaplace InversaInversa 8.8. Função de Função de Transferência (Transferência (Função SistemaFunção Sistema)) 9.9. Aplicação Aplicação da da TransfTransf. de . de LaplaceLaplace aos aos SLITCsSLITCs e às e às EDLCCsEDLCCs 10.10. Interconexão de Subsistemas CausaisInterconexão de Subsistemas Causais 11.11. Teoremas do Valor Inicial e do Valor FinalTeoremas do Valor Inicial e do Valor Final � Transformadas Matemáticas � Logaritmo � transforma um problema de multiplicação em um problema mais simples, de soma ou subtração 1. Introdução )log()log().log()log(. CBCBACBA +=== ACL Prof. Cláudio ABR/2006 3 � Fasor � converte um sinal senoidal em um número complexo, que pode ser manipulado algebricamente )log()log().log()log(. CBCBACBA +=== )4,33cos(7,44ou 4,337,44 )6,3420()103,17(60403020 ? );60cos(40 e )30cos(20 2121 °+=°∠= +++=°∠+°−∠= =+=°+=°−= ty jj yyytyty ω ωω Y Y � A Transformada de Laplace (TLTL) é uma representação alternativa ao domínio do tempo, para Sinais e Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Contínuo (SLITCsSLITCs) � Trata-se de um operador linearoperador linear muito útil à análise e ao estudo dos SLITCs, e à resolução de Equações 1. Introdução ACL Prof. Cláudio ABR/2006 4 estudo dos SLITCs, e à resolução de Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes (EDLCCsEDLCCs) � Em circuitos lineares usamos a TL para transformar EDLCCs do domínio do tempo em equações algébricas do domínio da freqüência 2. Transformada de Laplace (TL) � s é uma variável complexa: s = σ + j ω Transformada de Laplace Funcional { } ∫ ∞ ∞− − ≡= dtetxtxsX st)()()( L Integral imprópria ACL Prof. Cláudio ABR/2006 5 � O resultado do cálculo da integral é função de s � O sinal x(t) e a sua Transformada de Laplace X(s) formam um par, normalmente, expresso por )()( sXtx →←L � Por ser gerada por uma integral imprópria, a TL não existe para todo sinal x(t) � Na Eng. Elétrica usa-se zero para o limite inferior da integral � Transformada de Laplace Unilateral � A Região de Convergência (RDCRDC) de uma TL 2. Convergência da TL ACL Prof. Cláudio ABR/2006 6 � A Região de Convergência (RDCRDC) de uma TL especifica o intervalo de valores da variável complexa s para os quais X(s) converge � A RDC deve ser especificada juntamente com a expressão algébrica da TL para se garantir a correspondência unívoca entre x(t) e X(s) Exemplo TL de um Sinal Exponencial Decrescente à Direita 11)( )()( ),()( 0 )( 0 )( + = + −= == ℜ∈= ∞+− ∞ +− ∞ ∞− −− − ∫∫ as e as sX dtedtetuesX atuetx tas tasstat at e-at x(t) t 1 e -atu(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 7 0)Re(0lim porque )Re( se )( )( t 0 >+⇔= −> + = + −= +− ∞→ ase as as e as sX tas RDC: Re(s) > -a { } as tue at + = − 1)(L -a jω σ Exemplo Sinal Exponencial Crescente à Esquerda 11)( )()( ),()( 0)( 0 )( as e as sX dtedtetuesX atuetx tas tasstat at + = + = −=−−= ℜ∈−−= ∞− +− ∞− +− ∞ ∞− −− − ∫∫ -e-at x(t) t -1 -e-atu(-t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 8 )Re( se )( as as e as sX −< + = + = ∞− RDC: Re(s) < -a { } as tue at + =−− − 1)(L -a jω σ Exemplo Sinal Exponencial Crescente à Esquerda 11)( )()( ),()( 0)( 0 )( as e as sX dtedtetuesX atuetx tas tasstat at − −= − −= =−= ℜ∈−= ∞− −− ∞− −− ∞ ∞− − ∫∫ ACL Prof. Cláudio ABR/2006 9 RDC: Re(s) < a )Re( se )( as as e as sX < − −= − −= ∞− { } as tue at − −=− 1)(L a jω σ � Seja X(s) uma função racional de s: � Pólos são as raízes do polinômio do denominador, D(s): p1…pn 3. Polos e Zeros )()( )()( )( )()( 10 10 1 10 1 10 n m n nn m mm pspsa zszsb asasa bsbsb sD sN sX −− −− = +++ +++ == − − L L L L ACL Prof. Cláudio ABR/2006 10 � Zeros são as raízes do polinômio do numerador, N(s): z1…zm � A função racional X(s) é dita ser própria se n > m � A RDC não contém polos, pois X(s) não converge nos polos � X(s) pode ser especificada completamente por seus zeros e polos � Graficamente, os polos são representados por ‘××××’, e zeros por ‘ο’ Exemplo Representação Gráfica 1)Re( )3)(1( 22 34 )2(2)( 2 −>++ + = ++ + = s ss s ss s sX jωωωω Raízes do Numerador (zeros): -2 Denominador (pólos): -1, -3 ACL Prof. Cláudio ABR/2006 11 -1 jωωωω σσσσ-2-3 RDC: Re(s) > -1 Denominador (pólos): -1, -3 4. Região de Convergência (RDC) � A RDC não contém pólo(s) � A RDC é sempre limitada por uma reta vertical, pois a condição de convergência está na parte real de s : Re(s) � Existe pelo menos um pólo na fronteira da RDC de uma ACL Prof. Cláudio ABR/2006 12 � Existe pelo menos um pólo na fronteira da RDC de uma X(s) racional � A RDC é sempre uma região contígua, isto é, ela não pode ser formada por regiões desconexas � Se um sinal x(t) é finito, ou seja, x(t) = 0 para t < t1 e t > t2, então a RDC da Transformada de Laplace será todo o plano s, exceto possivelmente s = 0 ou s � ∞ � Se um sinal x(t) é unilateral direito, ou seja, x(t) = 0 para t < t1, então a RDC será da forma Re(s) > σmáx, ou seja, um semi- plano à direita de σmáx 4. Propriedades da RDC ACL Prof. Cláudio ABR/2006 13 plano à direita de σmáx � Se um sinal x(t) é unilateral esquerdo, ou seja, x(t) = 0 para t > t1, então a RDC será da forma Re(s) < σmín, ou seja, um semi- plano à esquerda de σmín � Se um sinal x(t) é bilateral (duração infinita), então a RDC poderá ser uma faixa vertical entre as linhas verticais σ1 < Re(s) < σ2 � Linearidade � Deslocamento no Tempo � Deslocamento no Domínio s � Mudança de Escala de Tempo yx R RDC ),()( e R RDC ),()( :Sejam =↔=↔ sYtysXtx yRRsbYsaXtbytax ∩⊃+↔+ xR' para ),()()()( x0 RR' para )()( 0 =↔− − sXettx st 5. Transformada de Laplace Operacional )Re( )()( 000 sRR'ssXtxe xts +=−↔ xRR' para 1)( a a sX a atx = ↔ ACL Prof. Cláudio ABR/2006 14 � Mudança de Escala de Tempo � Inversão de Tempo � Diferenciação no Tempo � Diferenciação no Domínio s � Integração no Tempo � Convolução xRR' para )( a a X a atx = ↔ xRR'para )()( −=−↔− sXtx xRR' para )( )( ⊃↔ ssX dt tdx )0)(Re(RR' )( 1)( x >∩=↔∫ ∞− ssX s dx t ττ yx RRR' ),().()()( ∩⊃↔∗ sYsXtytx xRR' para )()(. =↔− ds sdX txt 6. Transformada de Laplace Funcional f(t) F(s) RDC u(t) 1/s Re(s)>0 t.u(t) 1/s² Re(s)>0 t².u(t) 2/s³ Re(s)>0 tnu(t) n! / sn+1 Re(s)>0 cos(at) u(t) s / (s²+a²) Re(s)>0 f(t) F(s) RDC δδδδ(t) 1 ∀∀∀∀s -u(-t) 1/s Re(s) < 0 ACL Prof. Cláudio ABR/2006 15 sen(at) u(t) a / (s²+a²) Re(s)>0 eatu(t) 1 / (s-a) Re(s)>a eatcos(bt) u(t) (s-a) / [(s-a)²+b²] Re(s)>a eatsen(bt) u(t) b / [(s-a)²+b²] Re(s)>a cosh(at) u(t) s / (s²-a²) Re(s)>|a| senh(at) u(t) a / (s²-a²) Re(s)>|a| t.cos(at) u(t) (s²-a²) / [s²+a²]² Re(s)>0 t.sen(at) u(t) 2as / [s²+a²]² Re(s)>0 e-atu(t) 1 / (s + a) Re(s) > -a -e-atu(-t) 1 / (s + a) Re(s) < -a t.e-atu(t) 1 / (s + a)2 Re(s) > -a -t.e-atu(-t) 1 / (s + a)2 Re(s) < -a )()()( 32 tuetuetx tt −− +=Exemplo 1 Calcule a TL de: 2)Re( , 2 1)(2 −> + →←− s s tue Lt Sabemos que As RDC’s se sobrepõem, e assim 3)Re( , 3 1)(3 −> + →←− s s tue Lt ACL Prof. Cláudio ABR/2006 16 As RDC’s se sobrepõem, e assim -2e(s) com ,)3)(2( )5.2(2 3 1 2 1)( > ++ + = + + + = R ss s ss sX -2 jωωωω σσσσ-2.5-3 RDC: Re(s) > -2 )()()( 23 tuetuetx tt −+= −Exemplo 2 Calcule a TL de: 3)Re( , 3 1)(3 −> + →←− s s tue Lt Sabemos que As RDC’s se sobrepõem, e assim 2)Re( , 2 1)(2 < − −→←− s s tue Lt ACL Prof. Cláudio ABR/2006 17 As RDC’s se sobrepõem, e assim 2e(s)3- : RDC com ,)3)(2( 5 2 1 3 1)( << +− − = − − + = R ssss sX 2 jωωωω σσσσ-3 RDC: -3 < Re(s) < 2 )]5()([)( 2 −−= − tutuetx tExemplo 3 Calcule a TL de: 2)Re( , 2 1)(2 −> + →←− s s tue Lt Sabemos que 2)Re( , 2 1)5( 5)5(2 −> + →←− −−− s s etue sLt )5()()5()()]5()([)( )5(2102222 −−=−−=−−= −−−−−−− tueetuetuetuetutuetx ttttt Solução: Usando as tabelas de propriedades e de pares da T.L. ACL Prof. Cláudio ABR/2006 18 As RDC’s se sobrepõem, e assim ( ) -2e(s) com ,1)2( 1 2 1 2 1)( )2(5510 > − + = + − + = +−−− R e ss ee s sX ss 2+s jωωωω σσσσ-2 RDC: Re(s) > -2 )]5()([)( 2 −−= − tutuetx tExemplo 3 Calcule a TL de: ( ) 2Reserá parciais s RDC'duas das interseçãoa seja, ou ,)para Re( nem e 2para definida está não )( :RDC 2 11 2 1 2 1 )]5()([)()( 105 5)2(5 0 )2(5 0 )2( 2 -(s) sssX s e e s e s dte dtetutuedtetxsX s ststs sttst > −∞→−= + + =− + − = + − == −−== −− +−+−+− ∞ ∞− −− ∞ ∞− − ∫ ∫∫ Solução: Usando a definição. ACL Prof. Cláudio ABR/2006 19 jωωωω σσσσ-2 RDC: Re(s) > -2 2Reserá parciais s RDC'duas das interseçãoa seja, ou -(s) > � Transformada Inversa de Laplace X(s) e RDC ⇒ x(t) única � Metódos Inversão pela Definição 7. Transformada Inversa de Laplace ACL Prof. Cláudio ABR/2006 20 � Inversão pela Definição � Inversão pela Expansão em Frações Parciais � Polos de Primeira Ordem – polos distintos � Polos de n-ésima Ordem – polos repetidos � Fórmula Geral da Transformada Inversa de Laplace : que é uma integral de contorno no plano complexo s � A solução desta integral pode ser obtida pelo ∫= C ts dsesXjtx )(2 1)( pi 7. Inversão pela Definição ACL Prof. Cláudio ABR/2006 21 � A solução desta integral pode ser obtida pelo Teorema de Resíduo de Cauchy � Embora esta fórmula calcule a Transformada Inversa de Laplace, na prática usa-se procedimentos mais simples de busca em tabelas, para transformadas na forma racional � Uma Transformada de Laplace é dita ser racional se ela é uma razão de polinômios em s � Se X(s) é função racional própria (m < n), então ela pode ser invertida usando a expansão em frações parciais (EFP). )()( )()( )( )()( 1 1 n m psps zszsk sD sN sX −− −− == L L 7. Inversão pela Expansão em Frações Parciais ACL Prof. Cláudio ABR/2006 22 invertida usando a expansão em frações parciais (EFP). � Pólos Simples (distintos): � Pólos Múltiplos (repetidos): n n ps c ps c sX − ++ − = L 1 1)( ipsii i sXpsc c = −= )()( :por dados são escoeficient Os [ ] ips r ii i i r i sXpsds d i kps = −=− )()( ! 1 :)( forma da fatores temX(s) Se r ii r i r ps k ps k ps k )()( 0 2 21 − ++ − + − −− L Exemplo 1 Transformada Inversa de Laplace 1- Re(s) , 1 1)( > + = s sX )()( tuetx t−=Da Tabela -1 Re(s) , 1 1)( < + = s sX )()( tuetx t −−= −Da Tabela ACL Prof. Cláudio ABR/2006 23 1+s 0 Re(s) , 4 )( 2 >+= s s sX )()..2cos()( tuttx =Da Tabela 1- Re(s) , 4)1( 1)( 2 >++ + = s s sX )()..2cos()( tutetx t−=Da Tabela Exemplo 2a Transformada de Laplace Inversa 1- Re(s) , 34 42)( 2 >++ + = ss s sX 1 3 22)()1( 31)3)(1( 22 34 42)( :Parciais Frações em Expandindo 1 11 21 2 s s sXsc s c s c ss s ss s sX s s −= −= = + + =+= + + + = ++ + = ++ + = ACL Prof. Cláudio ABR/2006 24 )()()()()( :direito unilateral é )( logo ,1)Re( é )( de RDCA 3 1 1 1)( :Assim 1 1 22)()3( 3 33 3 32 1 tueetuetuetx txssX ss sX s s sXsc s tttt s s s −−−− −= −= −= +=+= −> + + + = = + + =+= + Exemplo 2b Transformada de Laplace Inversa 3- Re(s) , 34 42)( 2 <++ + = ss s sX 1 3 22)()1( 31)3)(1( 22 34 42)( :Parciais Frações em Expandindo 1 11 21 2 s s sXsc s c s c ss s ss s sX s s = + + =+= + + + = ++ + = ++ + = −= −= ACL Prof. Cláudio ABR/2006 25 )()()()()( :esquerdo unilateral é )( logo ,3)Re( é )( de RDCA 3 1 1 1)( :Assim 1 1 22)()3( 3 33 3 32 1 tueetuetuetx txssX ss sX s s sXsc s tttt s s s −+−=−−−−= −< + + + = = + + =+= + −−−− −= −= −= Exemplo 2c Transformada de Laplace Inversa 1Re3 , 34 42)( 2 -(s)-ss s sX << ++ + = 1 3 22)()1( 31)3)(1( 22 34 42)( :Parciais Frações em Expandindo 1 11 21 2 s s sXsc s c s c ss s ss s sX s s −= −= = + + =+= + + + = ++ + = ++ + = ACL Prof. Cláudio ABR/2006 26 )()()( : bilateral é )( logo ,1)Re(3 é )( de RDCA 3 1 1 1)( :Assim 1 1 22)()3( 3 3 3 32 1 tuetuetx txssX ss sX s s sXsc s tt s s s −− −= −= −= +−−= −<<− + + + = = + + =+= + Exemplo 3 Transformada de Laplace Inversa 3Re ,)5)(3( 52)( 2 2 −> ++ ++ = (s) ss ss sX 52 2)5( 52)()3( )5(53)( :5 em múltiplo pólo um e 3 em simples pólo um tem 2 3 2 2 31 2 011 ss sss sXsc s k s k s c sX -s-sX(s) s s −= −= ++ = + ++ =+= + + + + + = == ACL Prof. Cláudio ABR/2006 27 { } )(10)()(2)( : direito unilateral é )( logo ,3)Re( é )( de RDCA )5( 10 5 1 3 2)( :Assim 1)3( 16 3 52)()5( 10 3 52)()5( 553 2 5 2 2 5 2 5 2 1 5 2 5 2 0 tutetuetuetx txssX sss sX s ss s ss ds d sXs ds dk s ss sXsk ttt ss s s s −−− −=−= −= −= −= −−= −> + − + − + = −= + ++ = + ++ =+= −= + ++ =+= � Também chamada de Função Sistema � Definição � É a Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva de um SLITC )( convolução da epropriedad a aplicando ),()()( sY thtxty ∗= 8. Função de Transferência SLITCx(t) y(t) h(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 28 )( )()()()()( :teremos sX sY sHsHsXsY =⇒= h(t) x(t) y(t) H(s) X(s) Y(s) � Algumas propriedades dos SLITC’s podem ser associadas às características de H(s) no plano s � Causalidade: a RDC deve ser a região à direita de todos os pólos � Estabilidade: a RDC deve conter o eixo vertical s=j ω � Sistemas causais e estáveis Todos os pólos da função de transferência destes sistemas 8. Função Sistema Caracterização de Sistemas ACL Prof. Cláudio ABR/2006 29 � Todos os pólos da função de transferência destes sistemas devem estar no semi-plano esquerdo do plano s (todos com partes reais negativas) e a RDC deve conter o eixo vertical Logo: Re(s) > σmáx e σmáx < 0 9. SLITC e EDLCC � Seja um SLITC com entrada x(t) e saída y(t) obedecendo uma EDLCC da forma ∑∑ == = M k k k k N k k k k dt txdb dt tyd a 00 )()( )()()()( 0000 ∑∑∑∑ ==== =⇒= M M k k k N k k k M k k k N k k k sbsXsasYsXsbsYsa Aplicando a operação L{ · } e usando a propriedade da diferenciação, teremos: ACL Prof. Cláudio ABR/2006 30 )( )()( 0 0 ∑ ∑ = = == N k k k M k k k sa sb sX sY sH SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo EDLCC – Equação Diferencial Linear de Coeficientes Constantes a RDC deve ser especificada pelas condições complementares do sistema, como estabilidade ou causalidade � H(s) será sempre racional Exemplo 1 Função Transferência 11 :Laplace de Transf. a Aplicando )(1)(1)( :equação pela descrito é RC circuito O )()( e )()( Fazendo tx RC ty RCdt tdy tvtytvtx cs =+ == R vs(t) C vc(t)i(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 31 )(1)}({)( :será )( impulsiva resposta a causal, sistema um de tratar sePor 1 11)()( )( )(1)()1( )(1)(1)( 1 tue RC sHLth th RCsRC sH sX sY sX RC sY RC s sX RC sY RC ssY RCt−− == + == =+ =+ Exemplo 2 Conversão de EDLCC em Eq.s Algébricas :doReescreven 1)]0()([)(1)( )()()(1)( :circuito do Equação 0 s IvssVC s sV LR sV tuI dt tdvCdttv LR tv DC L DC t =−++ →=++ ∫ t=0 RIDC C v (t)L ACL Prof. Cláudio ABR/2006 32 LaplacedeInversa Transf.a calcular devemos tempo,do domínio noresposta a obter sePara )/(1)/()( 111)( :doReescreven 2 LCRCss CI sV s IsC sLR sV DC DC ++ = = ++ 10. Interconexão de Subsistemas Causais � Interconexão em Série (Cascata) )().()( e )().()( :Então )()()()()()( :Sejam sXsGsRsRsFsY sRtrsYtysXtx == ↔↔↔ F(s) x(t) y(t) G(s) r(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 33 )()()( )()( )()].().([ :Logo )]().().[()( :Temos )().()( e )().()( :Então sGsF sX sY sH sXsGsFY(s) sXsGsFsY sXsGsRsRsFsY == = = == Função Sistema Equivalente 10. Interconexão de Subsistemas Causais � Interconexão em Paralelo F(s) x(t) y(t) G(s) Σ v(t) r(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 34 )()()( )()( )()].()([ :Logo )().()().()()()( :Temos )().()( e )().()( :Então )()()()()()()()( :Sejam sGsF sX sY sH sXsGsFY(s) sXsRsXsFsVsRsY sXsGsVsXsFsR sVtvsRtrsYtysXtx +== += +=+= == ↔↔↔↔ Função Sistema Equivalente 10. Interconexão de Subsistemas Causais � Interconexão com Realimentação F(s) x(t) y(t) G(s) Σ r(t) e(t) ACL Prof. Cláudio ABR/2006 35 )()(1 1 )( )()( )()]()(1)[( )()]()()([ :Logo )()()( :Temos )()()( :Como )().()()().()( :Então )()()()()()()()( :Sejam sGsFsX sY sH sXsGsFsY sFsGsYsXY(s) sRsXsE trtxte sGsYsRsFsEsY sEtesRtrsYtysXtx − == =− += += += == ↔↔↔↔ Função Sistema � Indicam os comportamentos inicial e final de um circuito a partir da Transf. de Laplace, sem que se precise calcular sua inversa 11. Teoremas do V. Inicial e do V. Final )(.lim)(lim :InicialValor 0 sFstf st ∞→→ = ACL Prof. Cláudio ABR/2006 36 )(.lim)(lim :FinalValor 0 sFstf st →∞→ = Valor Inicial: pressupõe que f(t) não contém nenhuma função impulso Valor Final: todos os pólos de F(s) estejam no semi-plano esquerdo
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