Análise Dimensional

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CURSOS DE ENGENHARIA 
 FÍSICA I 
 
Análise Dimensional 
 
A dimensão de uma grandeza física denota sua 
natureza e é um dado importante para sua completa 
caracterização. 
 
As dimensões físicas fundamentais que usaremos 
são: Massa (M), Comprimento (L), Tempo (T), 
Temperatura (θ) e Corrente Elétrica (I). 
 
Qualquer grandeza pode ser relacionada com 
estas grandezas fundamentais. 
 
Por exemplo, as dimensões de velocidade são: 
 Velocidade: 
 
 
 
 Aceleração: 
 
 
 
 
 
 
 
 Força: 
 
O Princípio da homogeneidade dimensional 
afirma que cada um dos termos de uma equação que 
descreve um fenômeno deve possuir a mesma dimensão 
física. Em outras palavras, a dimensão do membro 
esquerdo de uma equação deve ser igual à dimensão do 
membro direito. 
Exemplo: Na fórmula 
 
 
 , 
a dimensão de x é a de comprimento: . Assim, 
cada uma das parcelas da soma no membro direito da 
equação deve ter dimensão de comprimento, ou não se 
poderia efetuar a adição: 
 
 
 
 
 
 Outra vantagem da Análise Dimensional consiste 
na procura de uma relação envolvendo grandezas físicas. 
Se, por exemplo, uma grandeza G depende de duas outras 
P e Q, verifica-se que G está relacionada com P e Q 
através de uma equação da forma: 
 
 
 
sendo k uma constante adimensional e x e y os expoentes 
que devem ser determinados, com a condição de que a 
dimensão do membro esquerdo da equação seja igual à 
dimensão do membro direito. 
 
 Se quisermos, por exemplo, determinar a 
expressão matemática para o período de um pêndulo 
simples, sabendo que ele depende da massa (m), do 
comprimento (l) e da aceleração gravitacional (g), basta 
usar o método do expoente desconhecido: 
 
 
 
 
 
 Mas, [k] = 1 (número puro); [m] = M; [l] = L , 
[t] = T e [g] = LT
-2
, de forma que: 
 
T = 1 . M
x
 . L
y
 . (L . T
-2
)
z
 
 
T = M
x
 . L
y+z
 . T
-2z
 
 
T = M
x
 . L
y+z
 . T
-2z
 
 
Considerando ambos os membros da equação, 
igualamos os expoentes de cada dimensão: 
 
x = 0; y + z = 0; - 2z = 1 
 
x = 0; y = -z; z = -1/2 
 
x = 0; z = -1/2 → y = - (-1/2); 
 
x = 0; y = ½; z = -1/2 
 
 Assim, a expressão para o período do pêndulo 
simples é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Em muitas situações físicas, principalmente nas 
aplicações práticas na Engenharia, costuma-se fazer um 
modelo em miniatura do protótipo real. Usando-se escalas 
convenientes e o princípio da homogeneidade 
dimensional é possível obter resultados corretos para o 
protótipo em função de dados experimentais obtidos com 
o modelo. A similaridade deve ser pesquisada em função 
das grandezas que devem ser modeladas. Por exemplo, 
quando reduzimos todas as dimensões de um protótipo 
através de uma dada escala, dizemos que existe 
similaridade geométrica entre o modelo e o protótipo. 
Quando existe uma escala constante entre o campo de 
velocidades do modelo e o campo de velocidades do 
protótipo, dizemos que existe similaridade cinemática. 
Para que ocorra similaridade dinâmica, é preciso que as 
diversas forças que atuam sobre o protótipo sejam 
proporcionais às respectivas forças que atuam sobre o 
modelo.