MP 2 Métodos de Decomposição

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Métodos de Decomposição
Métodos de Previsão
Licenciatura em Matemática Aplicada à Tecnologia e à Empresa 
Ana Alexandra Martins
anamartins@deea.isel.ipl.pt
Sumário
1. Métodos de Alisamento
2. Médias Móveis
3. Método de Decomposição Clássico
4. Outros Método de Decomposição
2
Métodos de Alisamento
Podemos considerar que uma serie é constituída
por duas componentes: sinal e ruído.
Sinal – representa o padrão subjacente à serie e
que resulta da dinâmica do processo que está na
origem dos dados;
Ruído – A componente restante (idealmente ruído
branco).
4
Montgomery, D. C., Jennings, 
C. L., & Kulahci, M. 
(2015). Introduction to time 
series analysis and forecasting. 
John Wiley & Sons.
Métodos de Alisamento
Métodos de Alisamento
As técnicas de alisamento – smoothing – têm 
como objetivo separar as duas componentes, 
sinal e ruído, 
permitindo identificar caraterísticas do sinal 
(por exemplo a tendência e a sazonalidade).
Sumário
1. Métodos de Alisamento
2. Médias Móveis
3. Método de Decomposição Clássico
4. Outros Método de Decomposição
6
A média móvel simples (centrada) de ordem m (impar):
𝑚 = 2𝑘 + 1
𝑀𝑡 =
1
m
෍
𝑗=−𝑘
𝑘
𝑥𝑡+𝑗
7
Médias Móveis
8
0
2
4
6
8
10
1 6
1
1
1
6
2
1
2
6
3
1
3
6
4
1
4
6
5
1
5
6
6
1
6
6
7
1
7
6
8
1
8
6
9
1
9
6
S1
0
2
4
6
8
1 6
1
1
1
6
2
1
2
6
3
1
3
6
4
1
4
6
5
1
5
6
6
1
6
6
7
1
7
6
8
1
8
6
9
1
9
6
3-MA
0
1
2
3
4
5
6
1 6
1
1
1
6
2
1
2
6
3
1
3
6
4
1
4
6
5
1
5
6
6
1
6
6
7
1
7
6
8
1
8
6
9
1
9
6
7-MA
A média móvel simples suaviza o
conjunto de observações
eliminando aleatoriedades: quanto
maior o valor de m, maior o
alisamento.
Exemplo
Exemplo
9
0
100
200
300
400
500
600
700
800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Sales of shampoo over a three year period 5-MA
A média móvel simples de ordem m (par)
Exemplo para m=4:
𝑀𝑡 =
1
2
1
4
𝑥𝑡−1 + 𝒙𝒕 + 𝑥𝑡+1 + 𝑥𝑡+2 +
1
4
𝑥𝑡−2 + 𝑥𝑡−1 + 𝒙𝒕 + 𝑥𝑡+1
10
Médias Móveis
11
Exemplo
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Q1
1990
Q2
1990
Q3
1990
Q4
1990
Q1
1991
Q2
1991
Q3
1991
Q4
1991
Q1
1992
Q2
1992
Q3
1992
Q4
1992
Q1
1993
Q2
1993
Q3
1993
Q4
1993
Q1
1994
Q2
1994
Q3
1994
Q4
1994
Xt 2×4 MA
12
1500000000
2000000000
2500000000
3000000000
3500000000
4000000000
4500000000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Compras através de terminais de pagamento automático (€)
Compras através de terminais de pagamento automático (€) ; Mensal; Portugal (Continental e ilhas); Fonte: INE 2×12-MA
Exemplo
Sumário
1. Métodos de Alisamento
2. Médias Móveis
3. Método de Decomposição Clássico
4. Outros Método de Decomposição
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𝑻𝒕 - Tendência (ou conjunto de ciclo e tendência)
𝑺𝒕 - Componente sazonal
𝒆𝒕 - Componente irregular ou residual 
𝑿𝒕 = 𝒇 𝑻𝒕, 𝑺𝒕, 𝒆𝒕
Métodos de Decomposição 
Métodos de Decomposição 
Existem diversas abordagens de decomposição, 
no entanto em todas elas o principio é o de 
isolar cada uma das componentes: 
• Tendência
Em geral esta componente engloba Tendência e Ciclicidade.
A componente cíclica tem um comportamento de médio longo prazo e 
consequentemente a sua identificação apenas é possível quando se 
dispõe de series longas. 
• Sazonalidade 
Método Clássico
Procedimento que teve origem nos anos de 1920, com o 
trabalho de Frederick R. Macaulay no National Bureau of 
Economic Research;
Cconstitui a base para outros métodos de decomposição 
mais complexos.
Modelo Aditivo 
Modelo aditivo: 𝑿𝒕 = 𝑻𝒕 + 𝑺𝒕 +𝒆𝒕
A magnitude da componente 
sazonal não varia com o nível 
da serie
Método Clássico
1 - Identificar a forma funcional da tendência utilizando uma média móvel de 
comprimento igual ao ciclo sazonal eliminando a sazonalidade da serie 
original (Mt=Tt+Ct ). 
Seja m o ciclo sazonal da série. Caso m seja impar utilizar uma média 
móvel m-MA. No caso de m ser par, utilizar 2×m-MA.
2 - Isolar as componentes de sazonalidade e aleatória, calculando a série sem 
tendência (nem ciclicidade): Xt-(Tt+Ct ) 
Xt-Mt =St+et
𝑿𝒕 = 𝑻𝒕 + 𝑺𝒕 +𝒆𝒕
3 – Determinar a componente sazonal para cada uma das estações 
do ciclo sazonal, calculando a média de todos os valores em cada 
estação. Por exemplo, para dados mensais com ciclo sazonal anual, a 
componente para janeiro é a média de todos os valores deste mês 
na serie sem tendência (Xt-Mt). Estes valores médios podem ser 
standardizados.
Existem diversas variantes deste método, nomeadamente na 
formula para o cálculo da componente sazonal. 
4 - Isolar a componente aleatória: Xt-Mt-St=et
Método Clássico
Método Clássico
Modelo multiplicativo: 
A magnitude da componente sazonal não varia com o nível da 
serie
O método de decomposição clássico é semelhante ao utilizado 
para o modelo aditivo, substituindo as subtrações por divisões. 
𝑿𝒕 = 𝑻𝒕. 𝑺𝒕. 𝒆𝒕
Sumário
1. Métodos de Alisamento
2. Médias Móveis
3. Método de Decomposição Clássico
4. Outros Método de Decomposição
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A partir do método clássico, 
O desenvolvimento dos métodos de decomposição prosseguiu 
no U.S. Bureau of the Census – método Census II (1955),
Este método foi sendo sucessivamente melhorado e os diversos 
métodos resultantes foram sendo designados pela letra X 
seguida de um número que foi sendo incrementado ao longo do 
tempo – destaque: X-11 (1967).
Os métodos X-13 e X-11 estão implementados em R no package 
seasonal.
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Métodos de Decomposição 
STL - Seasonal and Trend decomposition using 
Loess
Loess: método não paramétrico para estimação 
de relações não lineares. 
Cleveland, R. B., Cleveland, W. S., McRae, J. E., & Terpenning, I. J. (1990). STL: A 
seasonal-trend decomposition procedure based on loess. Journal of Official 
Statistics, 6(1), 3–73.
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Métodos de Decomposição 
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Exemplo
Exemplo
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No entanto, na prática este processo nem sempre funciona bem 
em termos de previsão.
Assim os métodos de decomposição devem, em geral, ser 
utilizados como uma ferramenta de análise exploratória dos 
dados,
permitindo identificar características da serie que são 
fundamentais para a definição de um método de previsão.
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Métodos de Decomposição