A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
140 pág.
APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

Pré-visualização | Página 18 de 33

subtrações.
O nome logaritmo foi escolhido por Napier das palavras gregas logos, que significa “raio”, e arithmos, que significa “número”, e pode ser interpretado como “valor do raio”. Observe que nessa época os cálculos de senos eram obtidos de circunferências de raios diferentes de 1.
Em 1615, e novamente em 1616, Napier reuniu-se com Henry Briggs (1561-1631), professor de geometria do Gresham College, em Londres, e concordou com a ideia de mudar suas tabelas de logaritmo para a base 10.
Um fabricante de relógios, o suíço Jobst Burgi (1552-1632), assistente de Johannes Kepler, também construiu uma tabela de logaritmos para facilitar a multiplicação de grandes números em 1620.
A discussão sobre quem foi o primeiro a inventar os logaritmos permaneça até hoje, embora a prioridade oficial pertença a Napier por ter publicado seu trabalho seis anos antes de Burgi.
Assim, podemos dizer que, se a mão do homem é a primeira calculadora, as tabelas de logaritmos de Napier e de Burgi representam o primeiro computador de todos os tempos.
A criação e o desenvolvimento de muitos produtos envolvem a utilização de diversas funções matemáticas.
Triste constatação
Mas essa riqueza e complexidade dos logaritmos não chega até o aluno.
Existe uma posição equivocada no trabalho com esses temas, ainda dominante nos livros didáticos, que consiste em transformar o aprendizado de exponenciais e logaritmos em um festival de equações e inequações sem nenhuma utilidade prática, e separando-as em “tipos” que os alunos devem memorizar através de exercícios que mudam para permanecerem os mesmos.
É incompreensível trabalhar com os logaritmos sem associá-los às calculadoras científicas e computadores. Afinal, a invenção dos logaritmos estava diretamente ligada à necessidade de se efetuar todos os tipos de cálculo da maneira mais rápida eficiente possível.
Alguns exemplos que podem ser analisados
Neste tópico é priorizado o trabalho com as propriedades das potências de logaritmos e a análise e interpretação dos gráficos dessas duas funções. Ao mesmo tempo procura-se mostrar as inúmeras aplicações práticas e modernas dos logaritmos. Pode-se criar problemas como estes:
1) Durante quantos meses Carlos deve deixar aplicado um capital de R$ 980,00, à taxa de juro de 1,25% ao mês, para conseguir pagar um curso de inglês que vai lhe custar R$ 1.066,00?
2) Observe o anuncio de um banco e descubra a taxa de juro mensal da aplicação:
	Aplique hoje R$ 2.000,00 e receba após 1 ano R$ 2.536,50
3) Marta foi a uma loja comprar um computador cujo preço à vista R$ 1.950,00. Como todo o dinheiro de Marta estava aplicado em uma caderneta de poupança, o dono da loja fez a seguinte proposta: ela levaria hoje o computador e pagaria somente daqui a 3 meses com um pequeno acréscimo de R$ 180,00. 
a) Qual é a taxa de juro mensal que a loja esta cobrando? 
b) Se o capital de marta está aplicado a 1,4% ao mês, que alternativa ela deve escolher:
( ) Pagar o computador daqui a 3 meses com acréscimo?
( ) Retirar R$ 1.950,00 da caderneta e pagar à vista o computador?
 Por que?
4) A escala Ritcher é usada para medir a força dos terremotos. A magnitude M de um terreno é dada por:
M indica quantas vezes a amplitude da onda sísmica do terremoto é igual à amplitude da onda em situação normal. P indica a potência de um terremoto.
 
a) Quantas vezes a potência de um terreno de magnitude M = 6 é igual à potência de um terremoto de magnitude M = 5?
b) Em 1906, o terremoto da cidade de São Francisco, Estados Unidos, atingiu a magnitude 8,25 na escala Rither. Um outro terremoto alcançou 6,9 na mesma escala. Qual é a razão das potências dos dois terremotos?
5) Em uma cidade, o número de pessoas y contagiadas por um tipo de gripe é dado pela função:
	
, onde: 
 é o números de dias
 Quantas pessoas aproximadamente estarão contagiadas em uma semana?
O trabalho com equações e inequações não é deixado em segundo plano. Apenas selecionamos com mais cuidado e rigor as equações mais úteis e que levam à formação de conceitos matemáticos.
É sugerido que os alunos sempre esbocem os gráficos das funções logarítmicas e exponenciais no trabalho com as inequações. Provavelmente, a construção, a análise e a interpretação dos gráficos serão muito mais úteis aos alunos do que a resolução de inequações, qualquer que seja a profissão que seguirem.
Para resolver inequação 
, por exemplo, fazemos um esboço do gráfico da função 
 comparamos os logaritmos 
 e 
.
(Resposta)
É incompreensível trabalhar com os logaritmos sem associá-los às calculadoras científicas e computadores. Afinal, a invenção dos logaritmos estava diretamente ligada à necessidade de se efetuar todos os tipos de cálculo da maneira mais rápida eficiente possível.
Criado para auxiliar os astrônomos, os logaritmos podem ser muito úteis para simplificar cálculos numéricos, principalmente se utilizados com uma calculadora científica. Como o nosso sistema de numeração é baseado no número 10, os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos comuns. É comum omitir a base no caso dos logaritmos comuns. Assim:
Com uma calculadora científica podemos obter valores aproximados para os logaritmos comuns. Por exemplo:
	45,8
	
	LOG
	
	=
	
	1,6609
ou
	LOG
	
	45,8
	
	=
	
	1,6609
Portanto, 
 
Podemos usar os logaritmos comuns para resolver muitos problemas:
6) Em quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 é duplicado se aplicado à taxa de juro de 26% ao ano? 
Solução:
Usamos uma calculadora científica para obter n:
	2
	
	LOG
	
	
	
	1,26
	
	LOG
	
	=
	
	2,9992
ou 
	LOG
	
	2
	
	
	
	LOG
	
	1,26
	
	=
	
	2,9992
Portanto, em aproximadamente 3 anos o capital vai dobrar.
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Como apreender movimentos quantitativos muito rápidos e com números bem altos?
Ângela resolveu criar coelhos e comprou 4 casais. Na primeira gestação, cada um dos 4 casais gerou outros 4 casais, totalizando 4 X 4 = 42 = 16. A segunda gestação repetiu o número de filhotes, totalizando 4 X 4 X 4 = 43 = 64 casais. Nas gestações seguintes os números vão crescendo: 44, 45, 46, 47, ... A multiplicação cresce rapidamente e logo atinge números muito altos. Esta rapidez e estes valores são registrados de um modo mais simples por potências, em que é o expoente que varia. Como este existem vários outros movimentos quantitativos que são causados por variações muito altas e rápidas. Para estudá-los, matemáticos como o escocês John Napier (1550 - 1617), figura abaixo, criaram as funções exponenciais e logarítmicas, colocando em prática ideias que surgiram com o grego Arquimedes (século III a.C.).
 
Exemplo:
Substancias radioativas são aquelas que emitem partículas de seu núcleo. Essa emissão faz com que a massa radioativa do material diminua com o tempo. A essa relação entre a massa radioativa do material e o tempo dá-se o nome de decaímento radioativo.
O gráfico anterior mostra o decaímento radiativo para o isótopo 14 do carbono (14C). Este átomo radioativo está presente nos tecidos vivos. Quando um organismo morre, começa a diminuir a quantidade de 14C existente nele. Conhecendo a atual quantidade de 14C no tecido vivo, pode-se determinar a idade de um fóssil. 
Você pode responder:
a) Passados 5600 anos, em quanto, em termos percentuais, a massa radioativa diminuiu?
b) Qual é a idade de um fóssil que tem resíduos de 12,5% de 14C?
MEDIDA DO NÍVEL SONORO
Para medir o nível sonoro utiliza-se a escala logarítmica. Considerando I0 a menor intensidade física do som audível e I a intensidade física do som que se quer medir, o nível sonoro ( de I é calculado por:
na unidade de medida bel (símbolo B), nome dado em homenagem a Graham Bell, inventor do telefone. Na prática utiliza-se o decibel (símbolo

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.