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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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db) que equivale à décima parte do bel.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os logaritmos podem ser aplicados na matemática financeira, mais especificamente, em juros compostos. Juro pode ser entendido como uma compensação financeira paga pelo empréstimo de um bem que adquirimos quando não se dispõe de moeda suficiente para pagar no ato da transação. Quando determinado capital é colocado a juros, de modo que estes são acrescentados ao final de cada período de capitalização e depois disso rendem juros, o juro é chamado composto. Essa operação para determinado capital é dada por progressão geométrica:
Utilizando as propriedades dos logaritmos podemos saber o tempo necessário para cada capitalização. Vamos calcular o montante M, no fim de cada unidade de tempo, da aplicação de um capital C a juro composto J, a taxa i por unidade de tempo.
	Unidades de tempo
	Capital
	Juro
	Montante
	1
	
	
	
	2
	
	
	
	3
	
	
	
	4
	
	
	
	...
	...
	...
	...
A última coluna dessa tabela possibilita concluir que, em cada unidade de tempo t, o montante M é dado por:
, onde:
 = montante
 = capital
 taxa unitária (taxa divida por 100)
tempo de capitalização
Notas:
Para aplicar a fórmula , deve-se ter t e i na mesma unidade de tempo.
Com essa equação calculamos o montante com juro composto e taxa constante (sempre a mesma em cada unidade de tempo). Se as taxas variarem nas unidades de tempo, isto é, i1 na primeira unidade; i2 na segunda unidade; i3 na terceira unidade; ...; it na unidade de t, então o montante M será dado por:
Exemplo:
Em quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 à 2% a.m. determinará juros equivalentes à R$ 300,00?
Solução: 
=> 
Aplica-se 
 em ambos os lados:
Resolvendo:		
Aplica-se 		
Utilizando a propriedade da potência, simplificamos: 
 Assim o tempo necessário é de 7 meses.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Para as funções logarítmicas a seguir:
(i) Construa o gráfico com pelo menos 5 pontos, destacando o zero da função.
(ii) Determine o domínio e a imagem da função.
(iii) Classifique a função em crescente ou decrescente.
a) 
		b) 
		c) 
			d) 
d) 
		e) 
		e) 
			f) 
Aplica-se R$ 100,00 à taxa de 10% ao mês. Qual a lei que expressa o montante em função do tempo. Quando terás R$ 161,05? 
Resposta: Função: ; Daqui a 5 meses
Considerando que a população de uma certa cidade é de 35.000 habitantes e que a taxa de crescimento anual é de 6%. Determine quando esta cidade terá aproximadamente 62.680 habitantes. Resposta: Daqui a 10 anos
Sonhe um pouco: Suponha que você faz uma aplicação de R$ 100, 00 em uma instituição financeira que promete duplicar o seu capital a cada mês. Nestas condições, quando você terá R$ 1.000.000,00? Considere o ano comercial: 12 meses de 30 dias, ou seja, 360 dias
Resposta: 13,2877 anos, ou melhor, 1 ano 1 mês e 8 dias
Notas de revisão:
Definição: (desde que: 
 e 
 e, ainda 
)
Propriedades:
P1) Multiplicação: 
P2) Divisão: 
P3) Potência: 
 (propriedade mais utilizada na prática)
Lei de mudança de base: 
 
Logaritmos de Bases especiais: 
 e 
 
LOGARITMOS – “O PORQUE E O PARA QUE”
Essencial:
Qual a necessidade dos logaritmos? Exemplo: Como resolver a equação: 
Deixar claro a definição, seguida de exemplos. 
, com 
; 
 e 
 Deixar claro a importância das calculadoras e computadores no processo de ensino-aprendizagem da matemática.
Utilizar no mínimo 10 aplicações.
1) Demonstre que: 
2) Demonstre que essa propriedade anterior vale para a soma de 
- elementos, ou seja, 
3) Usando a propriedade anterior, podemos facilmente demonstrar que: 
Demonstração:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 			(c.q.d.)
Nota: Essa é a propriedade mais importante dos logaritmos do ponto de vista de aplicações. Em geral, de posse da clareza do conceito de logaritmos e dessa propriedade podemos resolver as aplicações sem maiores dificuldades.
Exemplo:
1) Resolver a equação exponencial: 
Solução: 
Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os membros dessa equação, temos:
* Usando a referida propriedade
De posse de uma calculadora, para uma maior precisão, ....
Nota: O aluno não precisa decorar a fórmula de mudança de base:
Justificação: 
 = ? ?
Solução: Pela definição de logaritmos, temos:
Aplicando a propriedade de potência dos logaritmos, 
, vem: 
De posse de uma calculadora, para uma maior precisão, ....
4) Provar que: 
Aplicações:
1) Crescimento populacional: 
2) Juros compostos: 
 (ver minha apostila de Matemática Financeira)
onde: 
: Montante; 
: Capital; 
: Taxa unitária (taxa dividida por 100)
Obs.: Mostrar como se chega nesta relação a partir da função exponencial:
3) Depreciação: Definir o que é: 
onde: 
: valor atual; 
: valor no instante 
; 
: taxa unitária de depreciação 
4) Escala de Richter: Escala do terremotos
5) Motor dos automóveis: 1.0; 2.0
6) PH de uma substância (ver livros de química) 
7) Intensidade sonora (medida em decibéis, ver livros de física)
8) Estudos biológicos (crescimento de plantas, colônias de bactérias, etc. ...)
Nota: 
Definição de potência: 
, usando esta definição demonstrar que:
(i) 
Demonstração: 
(ii) 
(iii) 
1) Prove que todo número (não nulo) elevado ao expoente nulo é igual a um, ou seja: 
 
Solução: 
Seja 
, uma constante real não nula, então: 
, é claro.
Assim,
 se 
* propriedade de potência.
Entenda os terremotos e como eles afetam o planeta
Adaptado de: MARCONDES, G. S. Matemática, Ática, São Paulo, 2003.
Um terremoto é um tremor de terra que pode durar segundos ou minutos. Ele é provocado por movimentos na crosta terrestre, composta por enormes placas de rocha (as placas tectônicas). O tremor de terra ocasionado por esses movimentos é também chamado de "abalo sísmico".
Essas placas se movimentam lenta e continuamente sobre uma camada de rocha parcialmente derretida, ocasionando um contínuo processo de pressão e deformação nas grandes massas de rocha. 
Quando duas placas se chocam ou se raspam, elas geram um acúmulo de pressão que provoca um movimento brusco. Há três tipos de movimentos: convergente (quando duas se chocam), divergente (quando se movimentam em direções contrárias) e transformante (separa placas que estão se deslocando lateralmente).
Ondas sísmicas são vibrações provocadas por terremotos que acontecem na Terra. Sismógrafos são aparelhos que gravam tais vibrações, usando traços em ziguezague que mostram a variação de amplitude dos terremotos. A duração, a localização e a magnitude de cada fenômeno podem ser determinadas por estes aparelhos, instalados em estações sismológicas, em todo o mundo.
Medição
Os sismógrafos são instrumentos utilizados para registrar a hora, a duração e a amplitude de vibrações dentro da Terra e do solo.
Eles são formados por um corpo pesado pendente a uma mola, que é presa a um braço de um suporte preso em um leito de rocha. Se a crosta terrestre é abalada por um terremoto, o cilindro se move e o pêndulo, pela inércia, se mantém imóvel e registra em um papel fotográfico as vibrações do solo.
Os terremotos são classificados principalmente pela escala de Richter, fórmula matemática que determina a largura das ondas. A escala Richter foi desenvolvida por Charles F. Richter, em 1935, no Instituto de Tecnologia da Califórnia, EUA, para comparar dados e efeitos dos abalos sísmicos. Richter usou a fórmula a seguir para determinar uma escala para medição da força dos terremotos:
M = log A + 3 log (8∆t) – 2,92
em que M é a magnitude do terremoto (o que originou a tabela Richter), A é a amplitude (em milímetros) do terremoto, medida em um sismógrafo e ∆t é o intervalo

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