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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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SUMÁRIO
	CAPÍTULO 0 – PARTICULARIDADES E APRESENTAÇÕES
	
	1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial ...............................................
	04
	2. Objetivos .......................................................................................................................................
	04
	3. Avaliações .....................................................................................................................................
	05
	4. Linguagem Matemática ...............................................................................................................
	06
	5. Conjuntos Numéricos ..................................................................................................................
	07
	6. ..................................................................................................................
	05
	
CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES 
	
	1. Conceitos ...................................................................................................................................
	04
	2. .............................................................................................................................
	05
	3. ......................................................................................................................
	09
	
	
	CAPÍTULO 2 – LIMITES
	
	1. Conceitos ....................................................................................................................................
	
	2.......................................................................................................................
	
	3. ...................................................................................................................
	
	
	
	CAPÍTULO 3 – DERIVADAS ..............................................................................................
	21
	
	
	CAPÍTULO 4 – INTEGRAIS ....................................................
	27
	
	
	CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS ..........................................
	56
	
	
	CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES FÍSICAS ....................................................................
	59
	
	
	LISTA GERAL DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ..... 
	78
	
	
	
	
	REFERÊNCIAS ..............................................................................................................................
	86
SERÁ CONSTRUIDO AO FINAL DA ÚLTIMA VERSÃO DA APOSTILA, AGUARDEM!�
ORIENTAÇÕES DA APOSTILA DE CDI – 1, 2012
Estas notas de aula seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos livros textos desta disciplina, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam Funções, Limites, Derivadas e Integrais de uma variável. Sempre que possível são evidenciadas potenciais aplicações, bem como formas de resolução de exercícios e/ou problemas nos softwares (Microsoft Excel( e/ou Maple( e/ou MatLab(). Obs. Referências específicas são apresentadas antes dos textos. 
Este texto destina-se aos alunos matriculados na disciplina de CDI-1, ou a quem possa interessar, devendo servir como um guia para as aulas, que são realizadas durante o semestre letivo.
Propositalmente, os resultados fornecidos pelo Maple( são apresentados, para que o aluno motive-se a executar e estudar os programas aqui apresentados.
Recomenda-se que o aluno observe atentamente cada resultado, interpretando-o corretamente.
A maioria dos programas (resolução de exercícios ou problemas da engenharia) é discutido nas aulas, e desse modo espera-se que esse material facilite a assimilação do conteúdo das aulas.
A resolução dos exercícios propostos é fundamental para entendimento dos assuntos aqui abordados. 
Adverte-se o leitor de que nestas notas de aulas se fará um estudo muito elementar de alguns tópicos e aos interessados em maiores detalhes (demonstrações), sugere-se as referências que aparecem ao longo do texto ou no final da apostila.
Meus interesses de pesquisa estão centrados nas áreas de otimização numérica, programação linear e não-linear, estatística multivariada, nas quais publiquei artigos e apresentei trabalhos em congressos. Interesso-me por questões de ensino básico e terciário e defendo a resolução de problemas como motor fundamental da aprendizagem.
Críticas e sugestões, bem como correção de eventuais erros no material, serão bem recebidas. 
donizetti@utfpr.edu.br
Notas do autor
Pato Branco, março de 2012.
Frases Relevantes
“O professor é aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” CORA CORALINA - POETISA BRASILEIRA
“Tudo deve tornar-se o mais simples possível, porém, não simplificado.” ALBERT EINSTEIN
“Não há investimento que forneça maior lucro do que o conhecimento.” AUTOR DESCONHECIDO
“Um investimento em conhecimento sempre paga o melhor juro” BENJAMIN FRANKLIN
“Excelência... não é um ato, mas um hábito.” ARISTÓTELES
“Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno” (LEITHOLD, 1994).
“Nas questões matemáticas, não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como também não pode-se estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior” DAVID HILBERT
“A Matemática é a honra do espírito humano” LEIBNIZ
“Tudo deveria se tornar o mais simples possível, mas não simplificado” ALBERT EINSTEIN
“Não adianta ter um mar de conhecimentos com uma profundidade de um milímetro” CHRISTIAN PINEDO
A educação é o transporte para o futuro. 
Para refletir: O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.
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PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA? OSCAR GUELLI
“Para que este sonho se torne realidade”, diz o arquiteto olhando a planta na sua prancheta de trabalho.
“Para interpretar os dados do computador de bordo e determinar a posição do avião”, observa o piloto.
“Necessito dela para estabelecer uma relação entre o mundo físico e a sua representação gráfica quando faço um mapa”, responde o cartógrafo.
“Preciso investigar mediante procedimentos matemáticos a situação da empresa e do mercado antes de sugerir alguns investimentos”, exclama o administrador da empresas.
“Para interpretar estatisticamente os resultados de testes sobre o comportamento humano, como aprendizado, memória, motivação”, relata o psicólogo.
“Para planejar a comida do paciente cujo médico prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de carbono na razão 7:4”, conclui o nutricionista do hospital.
“Para observar e acompanhar o registro das atividades do coração do meu paciente”, pensa o médico olhando um eletrocardiograma.
“Com o auxilio de análises matemáticas posso sugerir modificações que levem harmonia às populações das grandes cidades, como o estudo dos fluxos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o urbanista.
“Para planejar as vastas e complexas redes de comunicações modernas”, se orgulha o engenheiro.
“Para organizar o orçamento doméstico, acompanhar, interpretar e participar ética e conscientemente da política do dia-a-dia”, responde o cidadão comum.
E você? Já parou para pensar nisto alguma vez? 
Bom estudo! 
Muito problemas que ocorrem cedo na física requerem, para suas resoluções, o conhecimento de equações diferenciais; por este motivo, é importante que o aluno entre em contato com elas o mais rápido possível (GUIDORIZZI, 2001).
Devemos sempre observar o processo de construção do conhecimento, para isso, torna-se imprescindível considerar a participação do aluno ao longo do processo de aprendizagem (GUIDORIZZI, 2001).
A aprendizagem éo fruto exclusivo do trabalho ativo do aluno, cabendo ao instrutor as tarefas de propor problemas desafiantes, orientar o estudante na sua resolução, e fornecer os elementos teóricos essenciais para possibilitar a atividade deste (GUIDORIZZI, 2001). 
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1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial 
Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências.
O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos:
Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?
Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua equação horária?
PESQUISAR RICIERI PRANDIANO VIA COMUT (CAMPUS/CP)
2. Objetivos e Perspectivas: 
Trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da linguagem matemática.
Oportunizar que o aluno aprenda por compreensão, ou seja, o aluno deve saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras.
Estimular o aluno para que pense, raciocine, crie, relacione ideias, descubra e tenha autonomia de pensamento. Por exemplo: Propor: Desafios, jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc.
Trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da vivência do aluno e que façam realmente pensar, analisar, julgar e decidir-se pela melhor solução.
Proporcionar que o conteúdo trabalhado com o aluno seja significativo, que ele sinta que é importante saber aquilo para a sua vida em sociedade ou que lhe será útil para entender o mundo em que vive, e principalmente no exercer de sua atividade profissional.
Valorizar a experiência acumulada pelo aluno na escola e fora da mesma.
Estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e arredondamentos, obtendo resultados aproximados.
Considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem – “aprender a aprender” mais do que resultados prontos e acabados.
Compreender a aprendizagem da Matemática como um processo ativo.
Permitir a utilização adequada das calculadoras e computadores.
Utilizar softwares matemático para facilitar o processo de ensino-aprendizagem da matemática.
Professores, deixem seus alunos utilizarem calculadoras científicas e softwares, mas criem atividades que exijam raciocínio antes da utilização do mesmo.
Utilizar a história da Matemática como um excelente recurso didático.
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3. Avaliação:
A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre com está se realizando o processo de ensino-aprendizagem como um todo. 
A avaliação deve ser essencialmente formativa, vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico.
A avaliação será um processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das dificuldades dos alunos em atingir os objetivos da atividade de que participam.
Em resumo, avalia-se para identificar os problemas e os avanços e redimensionar a ação educativa, visando ao sucesso escolar.
Usar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, auto-avaliação, etc.), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais, etc.).
Utilizar materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.
Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu atitudes positivas em relação à Matemática. (Dante, 2002)
Avaliação: coletar dados => Avaliar = localizar necessidades + Compromisso de superação.
“A matemática é profundamente humanizadora” (Celso Vasconcellos, 2005)
Forma de Avaliação: Participação e interesse do aluno durante a aula expositiva-dialogada. Posteriormente, será realizando avaliações escrita e individual e usando um software matemático (Maple(, por exemplo). Também será pedido um trabalho onde o aluno deverá trazer uma situação do seu cotidiano (futuro mercado de trabalho, por exemplo), onde possa ser resolvido através da utilização do tópico trabalhado. Na aula seguinte, avaliar a entrega da resolução da lista de exercícios que é um elemento fundamental na fixação de conceitos.
DESAFIO: Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a segunda pessoa leva 5 pães. Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães que levam. Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8 moedas de ouro. Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja proporcional a contribuição de cada um para acabar com a fome do andante?
LEMBRE-SE:
	1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.
	2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.
Questionário:
O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber Pensar (origem grega)
O que significa a palavra cálculo? Resposta: Pedrinhas (calculus em latim) 
O que significa a palavra teorema? Resposta: (teo = Deus e rema = Verdade, portanto, verdade divina)
Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras? Vejas as seguintes ilustrações.
 
Apresentamos abaixo links para download de material didático, a saber: 
kit de sobrevivência em cálculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit 
E-calculo (USP) http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu
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Prof. José Paulo Q. Carneiro
(COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO MATEMÁTICA, VOL 3, p. 33)
Vamos agora fazer alguns comentários:
Algumas pessoas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos, professores, pais, etc.) expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de usar o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir a utilização da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação para aprender tal algoritmo”.
Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, deixando claras as suas limitações, em vez de proibir a sua utilização. O que é uma atitude antipática, repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato, para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e ele espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa ferramenta, e não proibi-lo de utilizá-la.
 
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Prefácio à 5a Edição
Além de uma revisão de todo o texto, reescrito em várias partes, a presente edição inclui, no início de cada capítulo, uma nota de orientação sobre o conteúdo deles; e, ao final das seções, as respostas, sugestões ou soluções dos exercícios propostos.
Livros são escritos para serem lidos. Infelizmente, os livros textos de Matemática, frequentemente vazados em linguagem muito formal e técnica, são pouco lidos pelos alunos.
Para facilitar sua leitura, este livro foi escrito em uma linguagem coloquial e solta, como se eu estivesse conversando com o leitor. Procurei expor as ideias sem os entraves das apresentações formais, que muitas vezes mais atrapalham do que ajudam no aprendizado. Objetivando maior clareza, entremeei a apresentação com muitos exemplos ilustrativos da teoria. As notas históricas ao final de cada capítulo, além de informativas, são um estímulo a mais na leiturado livro. Outro detalhe, que ajuda muito na leitura, é a referência às páginas. Assim, em vez de escrever “de acordo com o Teorema 3.7”, escrevo “de acordo com o teorema da página 78”; isso facilita bastante e torna rápida a procura do assunto referido.
Espero que o texto seja efetivamente utilizado – e com bastante proveito – por professores e alunos. A utilização do livro pelos alunos não depende somente do autor, mas também, e muito, da maneira como o professor conduz suas aulas. Portanto, colega professor, se você decidiu adotar este livro em seu curso, motive seus alunos a usá-lo efetivamente, não apenas para dele tirar listas de exercícios.
Todos nós, que já passamos pela experiência do aprendizado, sabemos muito bem que quase tudo o que se aprende é devido ao estudo individual em livros. Muito pouco se aprende em sala de aula. Para que, então, servem as aulas? A resposta é simples: para orientar o aluno e disciplinar seu estudo. É por isso que o professor não deve limitar suas aulas à mera repetição do livro, pois isso desencoraja a participação dos alunos e reduz as chances de comunicação. A aula é tanto mais proveitosa e interessante quanto mais ela é usada para esclarecer dúvidas e discutir questões, principalmente aquelas levantadas pelos alunos, resolver os problemas mais difíceis e dar aquela orientação de que o aluno, na sua inexperiência, tanto carece.
É isso que devemos fazer em sala de aula: apresentar as ideias da disciplina, o porquê dos conceitos introduzidos, os resultados dos teoremas, as linhas gerais das demonstrações mais interessantes, sempre procurando mostrar essas diversas partes de maneira organicamente integradas em um todo maior, que o aluno possa apreciar criticamente. Isso vale muito mais no aprendizado do que as apresentações formais ou os detalhes da demonstração de um teorema de importância secundária. Além do que, o aluno deve ser estimulado a estudar pelo livro em casa, onde, aí sim, cabe a ele acompanhar as demonstrações nos seus detalhes, resolver e coletar dúvidas para a aula seguinte.
O ensino de Cálculo é muito facilitado pelo significado geométrico de seus resultados. Aliás, seus conceitos e métodos têm muito de conteúdo geométrico, e a boa didática recomenda que a intuição geométrica seja utilizada sempre, não somente para motivar os resultados, mas também para justificá-los. Muitas vezes vale mais, no aprendizado, uma boa justificativa geométrica do que uma demonstração formal.
O aspecto geométrico foi levado muito em conta na preparação deste livro. Insistimos muito para que os alunos façam sempre os gráficos referentes a todos os problemas e questões que estejam estudando, pois eles são um auxiliar muito valioso no aprendizado.
Muitos alunos, ao longo dos anos, têm reclamado respostas a todos os exercícios do livro, não apenas à metade deles. Pois bem, a presente edição contém respostas a praticamente todos os exercícios, sugestões a alguns mais difíceis e soluções completas aos mais difíceis ainda. Só uma parcela insignificante de exercícios escapou a essa regra, ou por serem muito parecidos com exemplos ou exercícios já resolvidos, ou por terem soluções muito simples.
Espero que isso facilite o seu trabalho, caro estudante. Mas, não se iluda, você tem de fazer a sua parte, com seu esforço próprio, pois ninguém poderá substituir ou aliviar por completo a sua tarefa. Você deve estudar o texto, acompanhar atentamente os exemplos ilustrativos e depois – esta é a parte mais importante – resolver os exercícios propostos. Só consulte as “respostas, sugestões e soluções” depois de trabalhar bastante e não conseguir, por conta própria, superar as dificuldades encontradas.
Resta-me desejar boa sorte ao professor e ao aluno. A ambos deixo aqui o meu pedido, para que me enviem suas críticas e sugestões, que certamente serão úteis na melhoria do livro em edições futuras.
Geraldo Ávila			
Campinas, junho de 1992.
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PARA O ESTUDANTE 
O que é Cálculo? Adaptado de THOMAS, Cálculo, vol. 1, 10 ed., p. xv, 2006.
O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. Isso era verdade quando essa disciplina surgiu e continua a valer hoje.
O cálculo foi inventado inicialmente para atender às necessidades matemáticas – basicamente mecânicas – dos cientistas dos séculos XVI e XVII. O cálculo diferencial lidou com o problema de calcular taxas de variação. Ele permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, calculassem a velocidade e a aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance, além de prever quando os planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si. O cálculo integral lidou com o problema de determinar uma função a partir de informações a respeito de sua taxa de variação. Permitiu que as pessoas calculassem a posição futura de um corpo a partir de sua posição atual e do conhecimento das forças que atuam sobre ele, determinassem as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e de terminassem o volume e a massa de sólidos arbitrários.
Hoje, o cálculo e suas extensões na análise matemática estão muito mais abrangentes e os físicos, matemáticos e astrônomos que inventaram essa disciplina ficariam surpresos e maravilhados, como acreditamos que você ficará, ao observar a quantidade de problemas que ela resolve e a variedade de campos que utilizam o cálculo – em modelos matemáticos que facilitam a compreensão do universo e do mundo ao nosso redor. O objetivo desta apostila é apresentar uma visão moderna do cálculo, aprimorada pela utilização da tecnologia.
Como Aprender Cálculo?
Aprender cálculo não é como aprender aritmética, álgebra ou geometria. Nessas disciplinas, aprende-se primeiro como calcular com números, como simplificar expressões algébricas e calcular com variáveis, além de como lidar com pontos, retas e figuras no plano. O cálculo envolve essas técnicas e habilidades, mas cria outras também, de alta precisão e em um nível mais profundo. Introduz tantos conceitos e operações computacionais novos que, na verdade, você não conseguirá aprender tudo o que precisa na aula. Você terá de aprender uma boa parte sozinho ou com os colegas. Então, o que fazer?
Leia o texto. Não será possível aprender todos os significados e relações simplesmente fazendo os exercícios. Você terá de ler trechos relevantes do livro, além de acompanhar os exemplos passo a passo. A leitura dinâmica não funcionará aqui. Você deve ler e procurar detalhes de maneira lógica e contínua. Esse tipo de leitura, necessário em qualquer texto técnico e profundo, exige atenção, paciência e prática.
Faça a lição de casa, tendo em mente os seguintes princípios:
Esboce diagramas sempre que possível.
Escreva suas respostas de maneira lógica e passo a passo, como se es tivesse explicando a alguém.
Pense no porquê de cada exercício. Por que ele foi passado? Como ele se relaciona com os outros exercícios?
Utilize a calculadora gráfica e o computador sempre que possível. Faça o maior número de exercícios gráficos que puder, mesmo que eles não tenham sido passados. Os gráficos ajudam por apresentar uma representação visual de conceitos e relações. Os números podem revelar padrões interessantes. Uma calculadora gráfica ou um computador são opções na resolução de problemas reais ou em exemplos que requerem cálculos difíceis ou demorados de realizar manualmente.
Tente escrever pequenas descrições de pontos-chave ao final de cada seção do texto. Se você conseguir, isso significa que provavelmente entendeu a matéria. Caso contrário, saberá onde ‘falhou’.
Aprender cálculo é um processo que não ocorre na primeira tentativa. Seja paciente e perseverante, faça perguntas, discuta ideias e trabalhe com seus colegas. Procure ajuda o mais rápidopossível quando precisar. A recompensa de aprender cálculo é muito gratificante, tanto intelectual como profissionalmente.
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TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO
Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu
Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do cálculo.
NOTAS HISTÓRICAS
Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências.
O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos:
Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?
Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua equação horária?
Pré-requisitos: Conhecimentos de álgebra e Geometria do ensino fundamental e médio.
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NEWTON (1642-1727)
Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir lsaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).
Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático lsaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática em uma posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a revolução que introduz no campo da matemática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixar de referir a valiosa contribuição de FERMAT e DESCARTES.
Newton retira o caráter de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra – o método das primeiras e últimas razões. Em torno da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.
Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultaneamente e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.
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LEIBNIZ (1646-1716)
Filósofo e matemático alemão, Gottfriend Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 1o de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716.
Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteristica universalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars combinatoria), pudesse substituir a argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.
As ideias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.
Referência: Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976. Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.
	GEOMETRIA ANALÍTICA
Muitos matemáticos devem ter ficado surpresos quando viram pela primeira vez a ideia de um jovem filósofo e matemático francês, René descartes (1596-1650), de representar um par de números por um ponto no plano.
Que ideia tão simples e brilhante!
Mas não foi apenas pensando na Matemática que Descartes teve essa ideia. Descartes viveu em uma época agitada com a colonização do Novo Mundo e, alguns dos novos mapas que deve ter visto, provavelmente lhe sugeriam o método de construir gráficos.
Antes disso, no terceiro século a.C., os matemáticos gregos Apolônio de Perga (250-175 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.) tinham usado latitude, longitude e altura para determinar a posição de um ponto.
Descartes, em latim Cartesius, estabeleceu uma ponte entre a Geometria e a Álgebra, embora seu objetivo principal fosse criar novos métodos para construções geométricas, mais do que encontrar métodos algébricos para a geometria. 
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O NÚMERO DE OURO (
): 
Um Pouco de História do cálculo
Algumas ideias do Cálculo podem ser encontradas nos trabalhos dos matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A.C.) e em trabalhos do início do século dezessete por René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pois eles começaram a efetuar a generalização e unificação do assunto. Havia outros matemáticos do século dezessete e dezoito que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo; alguns deles foram Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph L. Lagrange (1736-1813). No entanto, não foi antes do século dezenove que os processos do Cálculo receberam fundamentação sólida por parte de matemáticos como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) e Richard Dedekind (183 1-1916).
Axioma: a palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, dispensando provas (demonstrações).
Teorema: as propriedades que podem ser obtidas como consequências lógicas dos axiomas são os teoremas. No enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do “se”, chamada de hipótese e a parte do “então”, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de um teorema é uma demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é consequência de se admitir a hipótese como verdadeira.
Conjunto: é uma coleção de objetos e os objetos de um conjunto são chamados elementos.
Variável: Uma variável é um símbolo usado para representar qualquer elemento de um conjunto dado.
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Teorema de Pitágoras – uma demonstração
Adaptado de: MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007. 
Teorema: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
	
	
Demonstração: Temos então que encontrar uma identidade. Para isto é necessário expressar de duas formas diferentes uma mesma expressão. Por exemplouma simples inspeção na figura ao lado vemos que a área do quadrado maior, pode ser expressado como a soma das áreas do quadrado inscrito mais a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos dentro dele. Denotemos por d o lado do quadrado interno. Note que este lado representa a hipotenusa dos triângulos inscritos. Assim temos:
Área do quadrado = 
áreas dos triângulos + área do quadrado interno
Assim, podemos escrever:
Portanto,
que mostra o teorema de Pitágoras.
Uma simples análise ao processo anterior, nos mostra que a ideia principal foi expressar a área do quadrado de duas formas diferentes para obter a identidade.
 
�
1. LINGUAGEM MATEMÁTICA
	SÍMBOLO
	LÊ-SE
	=
	Igual
	
	Diferente (exemplo: 
)
	
	Aproximadamente (exemplo: 
)
	(
	Coincidentes (exemplo: retas coincidentes)
	
	Não coincidentes
	
	Por cento (indica uma divisão por 100, por exemplo: 5% = 5/100)
	
	Mais ou menos (exemplo: 
)
	(
	Maior que
	(
	Maior ou igual a
	(
	Menor que
	(
	Menor ou igual a
	(
	Tal que
	
	Qualquer que seja ou todo elemento
	(
	Implica
	(
	Se, e somente se
	(
	Existe
	
	Não existe
	(
	Único
	(
	Pertence
	(
	Não pertence
	(
	União
	(
	Intersecção
	(
	Está contido 
	(
	Contém
	
	A não está contido em B
	
	Conjunto dos números naturais 
	
	Conjunto dos números inteiros 
	
	Conjunto dos números racionais
	
ou 
 ou 
	Conjunto dos
 números irracionais
	
	Conjunto dos números reais
	
 ou 
	Usado para indicar conjunto vazio
	*
	Indica a exclusão do elemento zero
	/ /
	Paralelas ou paralelos (exemplo: retas paralelas)
	
	Perpendicular ou ortogonal (exemplo: retas perpendiculares)
	
	Conforme queríamos demonstrar
	
	Somatório
	
	Produtório
	
	Infinito
	
	f é uma função do conjunto A no conjunto B 
	
	Limite da função f quando x tende a p é igual a L.
	
	Notações usadas para representar a derivada de uma função: 
.
	
	Integral indefinida da função f em relação a variável x.
	
	Integral definida da função f em relação a variável x, de a até b.
�
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
2.1. Números Naturais (Símbolo (
) 
�� EMBED Equation.3 
 Nota: 
, conhecido como conjunto dos números inteiros positivos. 
2.2. Números Inteiros (Símbolo (
) 
 
Curiosidade: A escolha da letra 
 para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
 Nota: N
 (todo número natural é um número inteiro)
2.3. Números Racionais (fração) (Símbolo (Q) 
 Definição: 
Curiosidade: A utilização da letra 
 deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.
 Notas: (i) Z ( Q (todo número inteiro é um número racional).
 (ii) Toda dízima periódica é um número racional.
(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.
 Exemplos: 
 1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.
2.4. Números Irracionais (Símbolo (
) 
Definição: São os números que não podem ser escritos na forma: 
Exemplos:
Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
	
	Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
, onde: 
O número pi 
: Geometricamente: 
�� EMBED Equation.3 
 onde: 
, com 
: raio da circunferência.
	
	
 
Diagonal de um cubo de aresta 
	
	Aplicando duas vezes o teorema de Pitágoras, temos:
, onde: 
O número de Euler 
, usado, por exemplo, no sistema de capitalização composta contínua (usado em juros compostos, por exemplo).
�
Para lembrar: Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos.
Números irracionais célebres:
Radicias (
): a raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional.
O número 
: 3,141592653...
O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada).
O número de ouro (
): 
1,61803...
�
2.5. Números Reais (Símbolo (
) 
Chamamos de número real todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto dos números reais e a união (ou reunião) dos conjuntos dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (QC), isto é:
 e 
 ou 
Conclusão: 
 e 
2.6. A representação dos conjuntos numéricos através do diagrama de Venn, consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples (sem intersecções).
Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto universo. O nosso objeto de estudo será o conjunto dos números reais, assim o nosso universo será os números reais. 
Em 
 estão definidas as operações de adição e multiplicação. Dados 
 associamos a esse par de números: 
, 
, respectivamente a soma e o produto de 
 por 
.
2.7. Propriedades algébricas dos números reais
Associativa: 
Comutativa: 
Distributiva: 
Elemento neutro: 
 
Existência do oposto: 
Existência do inverso: 
, 
Lei do anulamento: 
 tem-se 
Lei do cancelamento: 
, tem-se: 
 
 desde que 
 Demonstração: 
(c.q.d)
�
2.8. Relação de ordem em 
Um número real 
 é maior 
 que um número real 
, quando a diferença 
 for positiva, isto é:
Notações:
Propriedades de ordem:
Tricotomia: Dados 
, temos: 
Transitiva: Dados 
, temos: 
,
,
,
,
,
 Exemplo: 
 
 
2.9. Representação gráfica dos números reais
Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta. Para isso escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcamos os demais números reais.
Mas, como representar um ponto na reta que não é racional?
Exemplo: Representar o número irracional 
2.10. Módulo ou valor absoluto de um número real
O valor absoluto (ou módulo) de um número real 
, que representamos por 
 é definido por:
Exemplo: 
Geometricamente, o módulo 
 é a distância do ponto 
 à origem (ponto 0), na reta real.
Para o nosso exemplo, temos: 
Analogamente, se desejarmos a distância de dois pontos 
 e 
 na reta real, indicamos por:
( distância de 
 até 
 e 
( distância de 
até 
 
Geometricamente,
É obvio que 
2.11. Propriedades de módulo:
Dados 
, tem-se:
 e 
 
, ou melhor: 
�� EMBED Equation.3 
Se 
2.12. 4 = 5?
Tomemos os números: 16, 25, 36 e 45. Podemos afirmar, com certeza que
16 – 36 = 25 – 45
Somando em ambos os membros da equação 
, temos:
Transformando em um trinômio quadrado perfeito,
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos:
Somando 
 em ambos os membros, vamos a:
4 = 5
 que é um absurdo. Então onde está o erro?
�
2 = 1?
��
2.13. Operações com conjuntos
União (ou reunião) de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicado por: 
Em símbolos, temos:
Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção de A com B é indicado por: 
Em símbolos, temos:
Número de elementos da união entre conjuntos
Indicando por 
 o número de elementos do conjunto A; 
 o número de elementos de B; 
 o número de elementos de 
 e 
 o número de elementosde 
, é válida a seguinte relação:
Diferença entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A diferença entre A e B é indicado por: 
Em símbolos, temos:
Exemplo: Dados os conjuntos 
, determine:
As quantidades: 
.
A relação matemática entre as quantidades determinadas anteriormente.
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva estes conjuntos através de uma propriedade que os caracterize
a) 
b) 
c) 
3) Represente os conjuntos a seguir indicando seus elementos. Caso o conjunto não tenha elementos, represente-o por: 
 ou 
. Nota: Nunca utilize a notação 
para indicar conjunto vazio, é um erro.
4) O conjunto A está representado pelo diagrama de Venn (ou Euler-Venn). Represente esse mesmo conjunto:
	Indicando seus elementos entre chaves;
	
	b) Por uma propriedade característica de seus elementos.
	
Considerando 
 como conjunto universo, determine o conjunto solução de:
Respostas:
1) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
Nota: item d) 
 
 
, assim: 
2) a) 
 b) 
 
 c) 
 ou 
3) a) 
	b) 
4) a) 
		b) 
5) a) 
		b) 
		 	c) 
			 d) 
 
(PUC-MG) O valor exato de 
 é:
a) 
			b) 
			c) 
			d) 
			e) 
Resposta: e
Escreva na forma de fração irredutível.
a) 0,2				b) –2,4				c) 0,777...			d) 0,232323...
e) 2,454545...			f) 0,5212121...		g) 0,0222...			h) 3,2444...
Resposta: a) 
 	b) 
 	 c) 
 	 d) 
 	 e) 
	 f) 
 	g) 
		h) 
Escreva na forma fracionária os seguintes números decimais:
a) 0,666			b) 0,666...			c) 0,060606...
d) 0,0666...	 	e) 0,6151515...		f) 0,615615...
Resposta: a) 
 		b) 
 	 	c) 
 	 	 d) 
 	 e) 
	f) 
 	
Usando os símbolos 
, estabeleça uma relação entre:
a) 
	 b) 
	 c) 
	 d) 
 e) 
 f) 
Resposta: a) 
 b) 
		 c)	 
		 d) 
 	 e) 
	 f) 
Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:
a) 
			b) 
		c) 
d) 
	 	e) 
			f) 
Resposta: a) 
	b) 
			c) 
 d) 
 e) 
			f) 
 
Classifique como racional ou irracional cada um dos seguintes números reais:
a) 2,3				b) 2,333... 			c) 2,34455667...		d) 
	
e) 
			f) 
				g) 
			h) 
Resposta: a) Racionais: a, b, e, g; Irracionais: c, d, f, h
 (FCM-MG) Sendo 
 e 
, todas as afirmativas abaixo são corretas, exceto: 
a) 
			b) 
		c) 
	 d) 
	 e) 
Resposta: a
Dados os conjuntos A = {x/ x(N e x é par} e B = {x/ x(Z e – 5( x( 5}, determine A(B e A(B. Resposta: A(B = {0, 2, 4} e A(B ={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6, 8, ...}
Classifique cada uma das afirmações a seguir como V (verdadeira) ou F (falsa).
6 é número racional.
 é número natural.
 é número racional.
0 é número real.
Se x é um número irracional, então 5+x é um número irracional.
A dízima periódica 4,7777... é número irracional.
– 4 é número par.
 Resposta: a) V 	 b) F 	 c) V 	d) V 		e) V 		f) F 		g) V
Transforme em fração irredutível os números decimais:
2,5
3,81
0,03
4,222... (dízima periódica)
3,4555... (Para obter a geratriz dessa dízima, faça g = 3,4555...; a seguir, multiplique por 10 e por 100 ambos os membros dessa igualdade; finalmente, efetue 100g – 10g.)
 Resposta: a) 5/2 	b) 381/100 		c)3/100 		d) 38/9 	 e) 311/90
Resolver as inequações no universo (:
 			Resposta: 
	Resposta: 
		Resposta: 
			Resposta: 
O menor número inteiro que satisfaz a inequação 
 é: Resposta: -2
( ) – 3		 ( ) –2 		 ( ) –1		 ( ) 0	 	 ( ) 1
Resolver no universo ( as inequações:
 	 Resposta: 
	 Resposta: S = (
Resolva as inequações simultânea em (:
 Resposta: 
 Resposta: 
 Resposta: 
 Resposta:
 Resposta:
Resolva as inequações:
a) 
 Resposta: 
b) 
 	 Resposta: 
c) 
 	 Resposta: 
d) 
 	 Resposta: 
Resolva as inequações:
x2 – 3x – 10 > 0 Resposta: S = {x((/ x< - 2 ou x > 5}
x2 – 1 ( 0 Resposta: S = {x((/x ( - 1 ou x ( 1} 
9x2 – 12x + 4 < 0 Resposta: S = (
–x2 + 4x – 4 ( 0 Resposta: S = (
(3x – 5)2 > (5x – 3)2 Resposta: S = {x((/ - 1 < x < 1}
Determine graficamente a solução da inequação 
 
Determine graficamente os pontos da reta 
para os quais 
Dada a inequação 
tem-se que a solução é: Resposta: b 
a) 
	 b)
 c) 
 d) 
 Considerando as funções 
 e 
, para que valores reais de x tem-se 
? Resposta: S = {x((/ 0 < x < 2 ou x > 5}
26) Resolva as inequações modulares:
|x – 2| = 1 	Resposta: x = 1 ou x = 3
|x + 1| = 3x – 1 	Resposta: condição de existência (3x – 1) ( 0 x = 1
|x|2 – |x| – 2 = 0 	Resposta: x = ( 2
|x – 2| ( 3 	Resposta: 
(4x – 1) < 3 	Resposta: 
27) Simplifique: a) 
		b) 
			c) 
28) Divida 
por 
 e conclua que: 
29) Verifique as identidades:
x2 – a2 = (x – a) (x + a)
x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2)
x4 – a4 = (x – a) (x3 + ax2 + a2 x + a3)
xn – an = (x – a) (xn-1 + axn-2 + a2 xn-3 + ... + an-2 x + an-1)
30) Verifique as identidades: 
a) 
b) 
c) 
d) 
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Dona Vera, professora de uma turma de 40 alunos, quis saber quantos se interessariam pelos cursos extras que a escola estava oferecendo. Existiam as seguintes opções: curso de computação e curso de ecologia. Sabendo que 25 ergueram o braço quando ela perguntou quem gostaria de fazer o curso de computação, 10 interessados levantaram a mão, escolhendo o curso de ecologia e 5 alunos demonstraram participar dos dois cursos, determine quantos alunos não se interessaram por nenhum dos cursos. Resposta: 10
Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 alunos. Sabendo-se que cada aluno consultou pelo menos um dos dois livros, pergunta-se:
Quantos alunos consultaram os dois livros?
Quantos alunos consultaram apenas o livro A?
Solução:
 
 
 
 
. Assim, os livros A e B foram consultados por 6 alunos.
Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B. Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livros A é 26 - 6 = 20.
Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes da tabela a seguir.
	Jornais
	A
	B
	C
	A e B
	A e C
	B e C
	A, B e C
	Nenhum
	Número de leitores
	300
	250
	200
	70
	65
	105
	40
	150
Pergunta-se:
Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
Quantas pessoas lêem o jornal A ou B?
Quantas pessoas não lêem o jornal C?
Quantas pessoas foram consultadas?
Resposta: a) 205	b) 480	 c) 500		d) 700
(Unicsul-SP) Os conjuntos A, B e A
B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. O número de elementos de A
B é: Resposta: e
a) 22			b) 25			c) 17		 	d) 32		 	 e) 18
Em uma creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo?Resposta: 90
O quadro a seguir mostra o resultado de uma pesquisa entre alunos de uma escola de ensino médio sobre suas preferências em relação às revistas A ou B.
	Revistas
	A
	B
	
	Nenhuma
	Número de Leitores
	180
	160
	60
	40
 Pergunta-se:
Quantos estudantes foram consultados?
Quantos lêem apenas a revista A?
Quantos não lêem a revista A?
Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B?
Resposta: a) 320	b) 120		c) 140		d) 280
Uma escola ofereceu aos alunos da 1a série do ensino médio cursos paralelos de informática (I), xadrez (X) e fotografia (F). As inscrições constam na tabela a seguir.
	Cursos
	I
	X
	F
	I 
 X
	I 
 F
	X 
 F
	I
 X 
 F
	Nenhum
	Número de inscrições
	24
	10
	22
	3
	5
	4
	2
	4
Pergunta-se:
Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio?
Quantos optaram apenas pelo curso de fotografia?
Quantos não se inscreveram no curso de xadrez?
Quantos fizeram inscrições para os cursos de informática ou fotografia?
Resposta: a) 50			 b) 15				 c) 40			 	 d) 41
(Fuvest) No vestibular Fuvest 90 exigia-se dos candidatos à carreira de administração a nota mínima 3,0 em matemática e em redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em matemática e 76 candidatos foram eliminados em redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados apenas pela redação? Resposta: 44
(PUC-PR) Em um levantamento com 100 vestibulando da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, física e português foi o seguinte: matemática, 47; física, 32; português, 21; matemática e física, 7; matemática e português, 5; física e português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias? Resposta: 16
(Esal-MG) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: Resposta: d
a) 800			b) 720				c) 570		 	d) 500	 	 e) 600
(PUC-RS) Em uma empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam o inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é: Resposta: c
a) 9			b) 17				c) 18		 	d) 27		 	 e) 89
(PUC-MG) O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é 
= 15. Se 
= 7 e 
=3, 
é igual a: Resposta: c
a) 6			b) 7				c) 8		 	d) 9		 	 e) 10
(Vunesp) Em uma classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: Resposta: a
a) exatamente 6	b) exatamente 10	c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18
(PUC-MG) Dados os conjuntos 
 e 
, o conjunto X tal que 
 e 
 é: Resposta: c
a) 
			b) 
			c) 
		 d) 
		 e) 
�
3. INTERVALOS
3.1. Introdução:
Sempre que existirem problemas em que as variáveis assumam valores que oscilam entre determinados números reais, utilizamos o conceito de intervalo.
Exemplo:
Na olimpíada de matemática realizada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) com médias variando de 0 a 10, foram premiados os candidatos que obtiveram médias iguais ou superior a 5,0, segundo o quadro a seguir.
	Médias
	Prêmios
	
	R$ 150,00
	
	R$ 300,00
	
	R$ 500,00
Assim, a premiação foi efetuada de acordo com os intervalos aos quais pertencem cada nota.
Definições: 
Se 
 e 
, um intervalo de 
 é um subconjunto de 
 que tem uma das seguintes formas:
Notas:
Os caracteres 
 não são números, são apenas símbolos. Os mesmos são lidos, respectivamente, menos infinito e mais infinito.
é denominado intervalo fechado (os extremos fazem parte do conjunto), os demais são intervalos semi-abertos (apenas um dos extremos pertence ao conjunto) ou abertos (os extremos não pertencem ao conjunto).
Faça a representação geométrica (na reta real) de cada um dos conjuntos apresentados anteriormente.
�
Exemplos:
1) Represente na reta real os intervalos:
a) [-3; 4]			b) [1; 3[			c) 
		 d) 
e) 
	f) 
	g) 
	 h) 
Resolva a inequação: 
 Resposta: 
 ou 
Resolva a inequação: 
 Resposta: 
 ou 
Determine a união dos seguintes intervalos
		Resposta: 
 ou 
		Resposta: 
 ou 
		Resposta: 
 ou 
Determine a intersecção dos seguintes intervalos
		Resposta: 
 ou 
	Resposta: 
		Resposta: 
Nota: A intersecção de dois intervalos pode ser um intervalo, um conjunto unitário (apenas um elemento) ou o conjunto vazio.
Resolva no universo 
 as inequações:
 Resposta: 
 Resposta: 
 ou 
Reescreva as desigualdades, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdades.
 	Resposta: 
 
 	Resposta: 
 
�
3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Represente na reta real os intervalos:
a) [-3; 4]			b) [1; 3[			c) 
		 d) 
e) 
	f) 
	g) 
	 h) 
Dados os conjuntos 
 e 
, determine:
a) 
			b) 
Resposta: a) 
	b) 
Determine os seguintes intervalos representados na reta real, usando a notação de colchetes.
	
	Resposta: 
Resposta: 
Resposta: 
Resposta: 
Resposta: 
Resposta: 
Usando desigualdades, indique em cada caso os intervalos em destaque.
	a)
	
	Resposta: 
Resposta: 
Resposta: 
	b)
	
	
	c)
	
	
Determine a intersecção dos seguintes intervalos
		Resposta: 
 ou 
		Resposta: 
	Resposta: 
	Resposta: 
 ou 
Determine a união dos seguintes intervalos
		Resposta: 
 ou 
	Resposta: 
 ou 
		Resposta: 
ou 
d) 
	Resposta: 
�
EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
O que são equações e como resolvê-las?
O Papiro de Rhind, um dos documentos mais antigos e importantes sobre Matemática egípcia, nos mostra que em 1.700 a.C. o homem já trabalhava com problemas que envolviam quantidades desconhecidas. No século III, o matemático grego Diofante dá a esses problemas um tratamento especial. É quando se inicia a teoria das equações. Só a partir do século XVI, no entanto, com o desenvolvimento da notação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo independente da Matemática. A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para a ampliação do conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais facilmente podemos expressar e resolver problemas, científicos ou cotidianos. Estudaremos em seguida as equações algébricas.
O que as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal de igualdade. O sinal de igual (=) tem um significado amplo em Matemática. Nas equações, é utilizado para expressões que somente são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variáveis. Aqui, as variáveis são chamadas de termos desconhecidos ou incógnitas. Escrever essas igualdades equivale a dar às variáveis a condição de igualarem duas expressões.
Igualdade
Vamos pensar na seguinte situação: fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa 2,50 reais e quatro latas de extrato de tomate por 0,60 centavos de reais cada. Quanto pagamos ao todo? Para resolver esta questão podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática:
2,50 + 0,60 x 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =. Aqui diremos que se trata de uma igualdade.
Identidade
Uma identidade é uma igualdade que se verifica para qualquer valor numérico das variáveis.
Propriedade fundamental
Podemospensar em uma equação como uma balança de dois pratos, em que o fiel da balança corresponderia ao sinal de igual (=). Observando a foto abaixo percebemos que o equilíbrio entre os pratos da balança não se modifica se adicionarmos ou retirarmos uma mesma quantidade dos dois pratos:
O mesmo acontece com os membros de uma equação. Se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número, a igualdade se mantém.
�
INEQUAÇÕES DO 10 GRAU
Assim como as equações, as inequações também são necessárias em várias situações do nosso dia-a-dia. Observe o exemplo a seguir:
Dividindo a massa m, em kg, de uma pessoa pela segunda potência de sua altura h, em metros, obtém-se um valor IMC, chamado de Índice de Massa Corporal, isto é:
A tabela a seguir classifica uma pessoa como magra, normal, levemente obesa ou obesa, em função de seu índice IMC de massa corporal:
	Homem
	Mulher
	Classificação
	
	
	 Magra
	
	
	 Normal
	
	
	 Levemente obesa
	
	
	 Obesa
De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer uma mulher de 1,70 m de altura e 65 kg para ser classificada como magra?
Solução:
A massa 
, em kg, que a mulher precisa perder deve satisfazer a desigualdade: 
Assim, se conclui que a mulher deve perder 10,09 kg.
As desigualdades 
 e 
 são chamadas de inequações do 10 grau.
	Inequação do 10 grau na variável 
 é toda desigualdade que pode ser representada sob as formas: 
 
 
 
 
que 
 e 
são constantes reais, com 
.
A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades descritas a seguir:
Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade, ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém. Exemplos: 
 e 
.
Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, a desigualdade se mantém. Exemplo: 
.
Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de uma desigualdade do tipo 
, a desigualdade inverte o sentido. Exemplos: 
e 
.
LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer um homem de 1,70 m de altura e 65 kg para ser classificada como magro? Resposta: 7,2 kg
2) Considere as seguintes informações:
Salário mínimo => R$ 260,00
Mês => 30 dias
Gasto =>10 R$/dia
x => número de dias decorridos, ou seja, 
, ou ainda, 
=> Saldo em função do número de dias decorridos
Pergunta-se:
Qual a função que estabelece a relação entre 
 e 
?
 Resposta: 
 
Em dia o saldo será nulo?
 Resposta: No dia 26, ou ainda, 
Quais os dias em que o saldo será positivo? 
Resposta: Do dia 10 até o 250 dia, ou ainda, 
Quais os dias em que o saldo será negativo?
Resposta: Do dia 270 até o 300 dia, ou ainda, 
3) Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de setembro, segundo a função 
, em que 
( {1, 2, 3, ..., 30} e 
 é o saldo do cliente em milhares de reais, no dia 
 de setembro. 
Em que dia do mês de setembro o saldo do cliente chega a R$ 0,00. 
 Resposta: 27 de setembro
Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é positivo?
 Resposta: de 1 a 26 de setembro
Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é negativo?
 Resposta: de 28 a 30 de setembro
4) Para enviar uma mensagem por fax, um comerciante cobra uma taxa fixa de R$ 1,20 mais R$ 0,54 por página enviada, completa ou não. Qual é o número mínimo de páginas que devem ser enviadas para que o preço ultrapasse R$ 10,00? 	Resposta: 17 páginas
5) Duas cidades possuem juntas mais de 200.000 habitantes. Uma delas possui 20.000 habitantes a mais que a metade da população da outra. Pode-se afirmar que: Resposta: c
a) A cidade mais populosa possui menos de 150.000 habitantes.
b) A cidade menos populosa possui mais de 90.000 habitantes.
c) A cidade mais populosa possui mais de 120.000 habitantes.
d) A cidade menos populosa possui 80.000 habitantes. 
e) A cidade menos populosa possui 70.000 habitantes.
Solução:
Portanto, a alternativa c é a correta.
�
FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
Par ordenado: É um conjunto formado por dois elementos 
, onde 
 é o 10 elemento do par (chamado abscissa) e 
 é o 20 elemento do par (chamado ordenada). Todo par ordenado pode ser representado no plano cartesiano.
Exemplo: Localizar os seguintes pares no plano cartesiano:
	A(3; -2)
	B(4; 2)
	C(3; 1)
	D(-2; -2)
	E(0; 0)
	F(2; 0)
	G(-2; 0)
	H(0; -3)
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Determine as coordenadas dos pontos: M, N, P, Q, R, S, T e V
Estão escritos, logo abaixo, os pares que correspondem aos pontos que permitem desenhar o chapéu do zorro, no quadriculado (plano cartesiano):
(-3, 0); (6, 4); (2, 3); (1, 5); (-1, 4); (0, 2)
 Localize esses pontos no plano cartesiano abaixo, una-os na ordem em que estão escritos. Ligue, por fim, o último ao primeiro.
�
O diretor do jardim zoológico recebe uma mensagem secreta anunciando a chegada de um novo animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares escritos na mensagem. Ligue-os na ordem em que estão escritos e obterá a resposta.
Mensagem Secreta:
(4,7); (5, 5); (6, 7); (6, 8); (4, 9); (3, 8); (3, 6); (2, 4); (0, 4); (1, 3); (3, 4); (4, 6); (3, 2); (4, 5);
(5, 4); (5, 1); (6, 1); (7, 4); (8, 4); (9, 1); (10, 1); (10, 4); (12, 2); (10, 5); (9, 7); (6, 7).
Aplicações de Funções – Noções Intuitivas - Cotidiano
Exemplos:
1) Função saldo
Dados:
Considere o salário mínimo => R$ 350,00
Considere o mês com 30 dias.
Gasto => 17,50 R$/dia.
x => número de dias decorridos, ou seja, 
, ou ainda, 
=> Saldo em função do número de dias decorridos
Pergunta-se:
Qual a função que estabelece a relação entre 
 e 
?
 Resposta: 
 
Em dia o saldo será nulo?
 Resposta: No dia 20, ou ainda, 
Quais os dias em que o saldo será positivo? 
Resposta: Do dia 10 até o 190 dia, ou ainda, 
Quais os dias em que o saldo será negativo?
Resposta: Do dia 210 até o 300 dia, ou ainda, 
e) Estude o sinal da função construída.
f) Usando a planilha eletrônica Microsoft Excel e a opção gráfico de dispersão (após, use o botão direito do mouse e escolha o tipo de gráfico e linha de tendência). 
Nota: Essa função é uma função do 10 grau e mais, a mesma é uma função decrescente.
Salário proporcional ao número de horas trabalhadas (trabalhador horista)
Dados:
ou 
=> Salário mensal a ser recebido.
=> número de horas mensais.
R$ 5,00 => Valor da hora trabalhada.
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
 ou 
Salário fixo mais uma comissão pelas vendas
Dados:
Salário fixo => R$ 350,00.
ou 
=> Salário mensal a ser recebido.
=> Total de vendas efetuadas no mês (valores em reais).
Comissão de 3% sobre o valor total de vendas.
Escrevendo na linguagem matemática, temos:
 ou 
�
PRODUTO CARTESIANO
Definição: Sejam 
 e 
 conjuntos diferentes do vazio, chama-se produto cartesiano de 
 por 
, e indica-se 
, o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados 
, tais que
 e 
.
Em símbolos, sendo 
, temos:
Sejam, por exemplo, os conjuntos 
. Vamos formar todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertença a A e o segundo, a B. Assim: (1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4) e (5, 5).
O conjunto formado por todos esses pares ordenado é chamado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: 
.
Então:
Esse conjunto pode ser representado no plano cartesiano assim:
Outra forma de representar 
 é por meio de um diagrama de flechas.Exercício proposto: Determine o produto cartesiano 
 nos casos:
				
c) 
 e 
Solução:
Relação entre dois conjuntos: Dados dois conjuntos 
 e 
, chama-se relação 
 de 
 em 
 a todo subconjunto do produto cartesiano 
.
Exemplo:
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, temos, como relações, por exemplo:
 R1 = { (1, 4); (2, 5)}; R2 = {(2, 4); (1, 5)] (3, 4); (3, 5)}; R3 = {(2, 4), (2, 5), (3, 5)}, entre outras.
Função: Sejam 
 e 
 conjuntos diferentes do vazio. Uma relação 
 de 
 em 
 é função se, e somente se, todo elemento de 
 estiver associado, através de 
, a um único elemento de 
.
Notação: 
(indica que 
 é uma função de 
 em 
)
Em símbolos, sendo 
, temos:
 é uma função 
 
 
Em diagramas:
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Uma empresa de locação de carros está fazendo uma promoção: quando o carro é retirado, ele já vem com R$ 25,00 de gasolina no tanque. Para cada dia de uso, deverão ser pagos R$ 60,00. O custo total em reais (y) é função do número de dias (x), dada por: 
. 
Pergunta-se o preço da locação por 7 dias. Resposta: R$ 395,00	
Suponha que o custo total em unidades monetárias (u.m.) de produzir q unidades de um certo bem é dado pela função: C(q) = q3 – 30q2 + 400q + 500.
Calcule o custo de produzir 20 unidades. Resposta: C(20) = 4500
Calcule o custo de produzir a vigésima unidade. Resposta: C(20) – C(19) = 371
Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em Pato-City era 
 graus Celsius.
Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: C(14) 
33,33 0 C
De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas? 
 Resposta: C(21) – C(18) = - 7,50C
Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente 
 minutos.
Qual é o domínio da função 
, ou seja, quais valores são possíveis para 
?
Resposta: Todo número real 
, exceto 
 = 0 ((*)
Para que valores de 
 a função 
(
) tem significado no contexto do experimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo 
Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos
Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?
Resposta: 12a tentativa 
De acordo com a função 
, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos? 
 Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.
Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (metros) após t segundos é dado pela função H(t) = - 16t2 + 256.
Que altitude estava a bola após 2 segundos? Resposta: H(2) = 192m
Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? Resposta: H(3) – H(2) = 80m
Que altura tem o prédio? Resposta: H(0) = 256m
Quando a bola atingirá o solo? Resposta: H(t) = 0 ( t = 4 seg. (após 4 segundos)
6) Em um vôo, cada passageiro está autorizado a transportar uma bagagem de até 20 kg, inclusive. A partir desse valor, o passageiro paga dois reais por quilograma excedente. Dê a lei que expressa a quantia paga por uma pessoa que pretende embarcar carregando 30 kg em função da massa de sua bagagem. Esboce o gráfico dessa função.
Resposta: 
�
7) O consumo 
 de água, em 
, pela população de uma cidade em função do tempo 
, em segundos, é dado pela equação: 
a) Qual é o consumo de água dessa população em 10 segundos?
b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas?
c) Em quantos segundos essa população consome 48.000 
 de água?
Resposta: a) 20.000 
		b) 72.000.000
		c) 24 segundos 
8) Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, contou o número de bactérias em umdeterminado instante ao qual chamou de instante zero; e ao final de cada uma das seis horas seguintes fez nova contagem das bactérias. Os resultados dessa experiência são descritos pelo gráfico a seguir. Observando o gráfico, responda:
a) Qual o número de bactérias no início da contagem, isto é, no instante zero?
b) De quanto aumentou o número de bactérias da quinta para a sexta hora?
c) De quanto aumentou o número de bactérias da terceira para a quinta hora?
Resposta: a) 32 bactérias		b) 85 bactérias		c) 98 bactérias
9) O gráfico a seguir representa o crescimento de uma planta em função do tempo. Analisando o gráfico responda:
	
	Qual a altura da planta ao final da terceira semana?
Qual foi o crescimento da planta durante a terceira semana?
Durante qual das três semanas registradas houve o maior desenvolvimento da planta?
Resposta: a) 30 cm 	b) 5 cm c) 1a semana
�
10) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em KWH). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
	Companhia de Eletricidade
	Fornecimento
	Valor (R$)
	401 KWH x 0,13276000
	53,23
	Companhia de Saneamento
TARIFAS DE ÁGUA/M3
	Faixas de consumo
	Tarifa
	Consumo
	Valor (R$)
	até 10
	5,50
	tarifa mínima
	5,50
	11 a 20
	0,85
	7
	5,95
	21 a 30
	2,13
	
	
	31 a 50
	2,13
	
	
	acima de 50
	2,36
	
	
	 Total
	11,45
I) Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:
a) R$ 55,23		 b) R$ 106,46	 c) R$ 802,00	 d) R$ 100,00 e) R$ 22,90
II) Suponha agora que dobre o consumo de água. O novo valor da conta será de:
a) R$ 22,90		 b) R$ 106,46	 c) R$ 43,82	 d) R$ 17,40 e) R$ 22,52
Resposta: I) b		II) c
11) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador através da equação 
, em que 
 é o preço em dólares e 
 é o número de sacas vendidas.
Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?
Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?
Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?
O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x( ()? 
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) ( US$ 50 quando x ( ( 
12) (ENEM) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico a seguir:
 Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:
a) 1960		b) 1963		c) 1967		d) 1970		e) 1980 
Resposta: b
13) Um móvel movimenta-se de acordo com o gráfico a seguir. A distância percorrida pelo móvel, entre os instantes 3 s e 5 s, é:
a) 80 m		b) 800 m		c) 600 m		d) 1.880 m 		e) 8 m 
Resposta: a
14) O consumo de combustível de um automóvel é medido pelo número de quilômetros que percorre, gastando 1 litro de combustível. O consumo depende, entre outros fatores, da velocidade desenvolvida. O gráfico (da revista Quatro Rodas) a seguir indica o consumo, na dependência da velocidade, de certo automóvel.
	
	A análise do gráfico mostra que:
O maior consumo se dá aos 60 km/h.
A partir de 40 km/h, quanto maior a velocidade, maior é o consumo.
O consumo é diretamente proporcional à velocidade.
O menor consumo se dá aos 60 km/h.
O consumo é inversamente proporcional à velocidade.
Resposta: d
15) O gráfico a seguirmostra a velocidade (v) de um automóvel em função do tempo (t):
a) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é crescente?
b) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é decrescente?
c) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é constante?
Resposta: a) 
	b) 
		c) 
16) (ENEM) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir:
Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante?
a) Entre 0 e 1 segundos.
b) Entre 1 e 5 segundos.
c) Entre 5 e 8 segundos.
d) Entre 8 e 11 segundos.
e) Entre 12 e 15 segundos.
Resposta: c
17) Um economista, para fazer uma análise da variação da taxa de inflação em um determinado ano, em um determinado país, enumerou os meses de 1 a 12 e associou a cada mês a inflação correspondente, obtendo assim a tabela a seguir. 
GOVERNO DIVULGA BALANÇO ANUAL DA INFLAÇÃO
	Mês
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	Taxa de Inflação (%)
	6
	8
	9
	7
	6
	9
	9
	9
	8
	6
	5
	9
Considere a relação R do conjunto dos meses A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} no conjunto das taxas, em %, B = {6, 8, 9, 7, 5}, associando a cada mês a taxa de inflação correspondente. Construa o gráfico da relação R e, observando o gráfico responda:
Do mês 1 ao mês 3, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Do mês 6 ao mês 8, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Do mês 9 ao mês 11, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?
Qual a variação da taxa de inflação do mês 7 ao mês 8?
Observação: Note pelo gráfico que do mês 1 ao mês 2 a taxa de inflação cresceu 2%; por isso dizemos que do mês 1 ao 2 a variação da taxa de inflação foi de +2%. Note ainda, pelo gráfico, que do mês 4 ao mês 5 a taxa de inflação decresceu 1%; por isso dizemos que a variação da taxa de inflação do mês 4 ao 5 foi de –1%. Resposta: a) Crescente	b) Constante		c) Decrescente 	d) 0%
�
18) Um menino sai de sua casa, caminha ao longo da rua até uma confeitaria onde toma um refrigerante e, em seguida, retorna à sua residência. Na figura deste exercício, 
 representa o tempo decorrido desde o instante em que ele saiu de casa e 
 a distancia do menino à sua residência em cada instante. Procure interpretar este gráfico que descreve o movimento do menino e responda:
a) Qual a distancia da casa do menino à confeitaria e quanto tempo ele gasta para chegar até lá? Resposta: 200 m e 5 min
b) Quanto tempo ele permanece na confeitaria? Resposta: 10 min
c) Quanto tempo ele gastou para fazer a caminhada de volta? Resposta: 10 min
19) O alcance 
 de uma estação de uma TV está relacionado com a altura 
 da antena da emissora por uma equação cuja forma aproximada é:
 (com 
 e 
 medidos em metros)
a) Quando a altura de uma antena é duplicada, quantas vezes maior torna-se o alcance da emissora? Resposta: 1,4 vezes
b) Quantas vezes mais alta devia ser a antena para que o alcance da emissora fosse duplicada? Resposta: 4 vezes
c) Usando a relação matemática entre 
, complete o quadro deste problema e construa o gráfico 
 (observe que, assim, você construiu o gráfico de uma grandeza que varia proporcionalmente à raiz quadrada de outra grandeza).
	
 (m)
	
(m)
	0
	
	4
	
	9
	
	16
	
	25
	
20) Em Congonhas do Campo (MG), onde se encontram as célebres estatua dos profetas, esculpidas pelo Aleijadinho, os artistas modernos reproduzem miniaturas desta obra com o mesmo tipo de pedra-sabão usada pelo famoso artista. Uma desta miniaturas, com 20 cm de altura, pesa cerca de 2 kg. Sabendo-se que a estatua original tem 2 m de altura, qual deve ser, aproximadamente, o peso desta estátua? Resposta: 2.000 kg = 2 toneladas (V1 = 203 = 8.000 cm3 e V2 = 2003 = 8.000.000 cm3; agora faça uma regra de três, por exemplo).
�
21) Em épocas de chuvas, as enchentes de rios e córregos, causam grandes problemas, sobretudo às populações ribeirinhas. A incidência de enchentes pode ser prevista através da análise da vazão de um rio em função da sua altura limnimétrica. A altura limnimétrica é medida com um aparelho denominado limnógrafo, que registra continuamente a variação do nível de um rio, adotando como nível normal ou nível 0 (zero) o nível do rio fora da estação das chuvas. Um engenheiro, estudando a vazão de um rio, obteve o gráfico a seguir, que mostra a vazão em função da altura limnimétrica. Observando o gráfico responda:
	
	Qual a vazão do rio para a altura limnimétrica zero?
Qual a vazão do rio se ele estiver 4 metros acima do seu nível normal?
Se o rio se mantiver, durante 2 horas, 3 metros acima do nível normal, qual será a vazão total nessas 2 horas?
Sabendo que ocorre enchente somente se a vazão chega a 40.800 litros por minuto, verifique se ocorrerá enchente se o rio estiver 3 metros acima do nível normal.
Resposta: a) 606 litros/segundo b) 685 litros/segundo c) 4.887.360 litros d) Não haverá enchente 
22) Qual dos gráficos seguintes representa uma função de 
 em 
. Resposta: c
	 
23) Uma panela, contendo uma barra de gelo a – 400C é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas condições o gráfico abaixo nos mostra a evolução de temperatura (T) da água em função do tempo (t). Escreva sob a forma de colchetes os intervalos onde:
	A temperatura em que temos só água no estado sólido;
O tempo em que temos só água no estado sólido;
A temperatura em que temos água no estado sólido e líquido;
O tempo em que temos água no estado sólido e líquido;
A temperatura em que temos água no estado líquido;
O tempo em que temos água no estado líquido;
A temperatura em que temos somente líquido;
O tempo em que temos somente líquido.
	
Resposta: a) [-40, 0] b) [0, 2] c) 0oC d) [2, 10] e) [0, 100] f) [2, 20] g) [0, 100] h) [10, 20] 
�
 24) Determine, de forma intuitiva, a lei que relaciona Y com X nas tabelas seguintes:
a) 
	X
	2
	3
	4
	5
	6
	Y
	5
	7
	9
	11
	13
b) 
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	Y
	2
	5
	8
	11
	14
Resposta: a) 
		b) 
25) Calcule os valores indicados da função dada.
a) f(x) = 3x2 + 5x – 2; f(1), f(0), f(-2) 		Resposta: f(1) = 6, f(0) = -2, f(-2) = 0
b) 
 		Resposta: 
c) 
 		Resposta: 
d) f(t) = (2t – 1)-3/2; f(1) , f(5), f(13) 		Resposta: 
e)f(x) = x - (x - 2(; f(1), f(2), f(3) 		Resposta: 
f)
 	Resposta: 
26) Dados os conjuntos 
, construa em cada caso o esquema de flechas e, através dele, identifique as relações de A em B que são funções.
a) 
		b) 
c) 
		d) 
27) Sendo
, escreva o conjunto de pares (x, y), com 
, definidos por:
a) 
			b) 
Resposta: a) (-2, 4); (-1, 1); (0, 0), (1, 1)	b) (-2, 0); (-1, 1); (0, 2); (1, 3)
28) Os esquemas seguintes mostram relações de A em B. Indique as relações que são funções. Justifique.
Resposta: a, b e d
29) Dada 
, definida por 
, pede-se:
a) 
			b) 
	 	 c) 
	 d) 
30) Dada 
, definida por 
, calcule:
a) 
			b) 
	 		c) 
	 d) 
31) No diagrama seguinte está representada uma função f de M em N.
Determine:
a) 
	b) 
	c) 
 d) 
	 e) 
 f) 
Resposta:
a) 2 b) 3 c) 1 d) 
={1, 2, 3} e)
 f) 
 
SALÁRIO FAMÍLIA
Empregador 
Salário-família
	Salário-de-contribuição (R$)
	Salário-família
	Até R$ 414,78
	R$ 21,27
	de R$ R$ 414,79 até 623,44
	R$ 14,99
Observações:
O valor do salário-família é pago por filho ou equiparado de 0 a 14 anos. 
Se a mãe e o pai estão nas categorias e faixa salarial que têm direito ao salário-família, os dois recebem o benefício.
O valor da quota será integral nos meses de admissão e demissão do empregado. 
Para o trabalhador avulso, a quota será integral independentemente do total de

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