A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
140 pág.
APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

Pré-visualização | Página 22 de 33

lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, vamos mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, representando uma composição de funções.
Para isso, indicaremos por:
x = medida do lado de cada lote;
y = área de cada lado;
z = área do terreno.
(1) Área de cada lote = (medido do lado)2 => y = x2. Então, a área de cada lote é uma função da medida do lado, ou seja: y = f(x) = x2.
(2) Área do terreiro = 20 . (área de cada lote) => z = 20y. Então, a área do terreno é uma função da área de cada lote, ou seja, z = g(y) = 20y.
(3) Comparando (1) e (2), temos: Área do terreno = 20 . (medida de cada lote)2, ou seja, z = 20x2, pois y = x2 e z = 20y. 
Então, a área do terreno é uma função da medida de cada lote, ou seja. z = h(x) = 20x2.
A função h, assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por g ( f.
Portanto, (g ( f) (x) = g(f(x)), para todo x ( Dom(f).
Definição de função composta:
Dados as funções f: A(B e g: B(C, denominamos função composta de g e f a função g ( f: A→C, que é definida por (g ( f) (x) = g(f(x)), x ( A.
�
Há muitas situações nas quais uma quantidade é dada como uma função de uma variável, que, por sua vez, pode ser escrita como uma função de uma segunda variável. Combinando as funções de uma forma adequada, podemos expressar a quantidade original como uma função da segunda variável. Esse processo é chamado de composição de funções.
A função composta g[h(x)] é a função formada pelas duas funções g(u) e h(x), substituindo-se u por h(x) na fórmula de g(u). Em diagramas, temos:
Exemplos: 
Determinar a função composta g[h(x)], se g(u) = u2 + 3u + 1 e h(x) = x +1
Resposta: g[h(x)] = x2 + 5x + 5
Determine 
se 
 Resposta: 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Calcule a função composta g[h(x)].
a) g(u) = 3u2 + 2u – 6, h(x) = x + 2 Resposta: g[h(x)] = 3x2 + 14x + 10
b) g(u) = (u – 1)3 + 2u2 , h(x) = x + 1 Resposta: g[h(x)] = x3 + 2x2 + 4x +2
c) 
 Resposta: 
d) 
 Resposta: g(h(x)] = (x(= 
Calcule a função composta indicada.
f(x – 2) sendo f(x) = 2x2 – 3x + 1 Resposta: f(x – 2) = 2x2 – 11x + 15
f(x – 1) sendo f(x) = (x + 1)5 – 3x2 Resposta: f(x – 1) = x5 – 3x2 + 6x -3
 Resposta: 
 Resposta: 
Determine funções h(x) e g(u) tais que f(x) = g[h(x)].
 Resposta: 
 Resposta: 
 Resposta: 
�
Aplicações de Funções Compostas
Um estudo ambiental de uma comunidade sugere que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão (ppm), quando a população é p mil. É estimado que t anos a partir de agora a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0,1t2 mil.
a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.
Solução: 
c(p) = 0,5p + 1 e p(t) = 10 + 0,1t2
c[p(t)] = 0,5p(t) + 1 = 0,5(10 + 0,1t2) + 1 = 5 + 0,05t2 + 1
c[p(t)] = 6 + 0,05t2
b) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,8 ppm?
Solução: 
c[p(t)] = 6,8
6 + 0,05t2 = 6,8( 0,05t2 = 0,8 ( t2 = 16 ( t = 4
Portanto, daqui a 4 anos.
Nota: Exemplificando – A poluição depende do número de habitantes, mas o número de habitantes depende do tempo. Queremos estabelecer uma relação entre poluição e tempo.
Definição: Sejam 
 duas funções. Diremos que h é a composição das funções f e g se:
.
Onde: 
A função h é denotada como 
�
FUNÇÕES: APLICAÇÕES ECONÔMICAS
Adaptado de: SEIJI, Hariki; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: administração, economia e contabilidade. São Paulo, Saraiva, 1999.
Os modelos lineares são úteis para descrever o comportamento de algumas funções econômicas.
FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO
Considere uma firma que fabrica e vende um determinado bem (produto). Se x representa a quantidade produzida e vendida, então: 
o Custo Fixo (CF) é a soma de todos os custos que não dependem do nível de produção tais como aluguel e seguros;
o custo variável [CV(x)] é a soma de todos os custos que dependem do número x de unidades produzidas tais como mão de obra e material;
o custo total C(x) é a soma do custo fixo com o custo variável;
a receita total R(x) é a quantia que o fabricante recebe pela venda de x unidades; 
o lucro total L(x) é a diferença entre a receita total R(x) e o custo total C(x):
L(x) = R(x) – C(x).
Resumindo:
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Lucro Total = Receita Total – Custo Total
PONTO DE EQUILÍBRIO (BREAK-EVEN POINT)
É o ponto de interseção entre o gráfico da receita total e o do custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor começará a ter lucro positivo.
Exemplo ilustrativo: Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15.000,00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, quantas peças deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês?
Solução: 
Custo Total = 15.000 + 6x
Receita Total = 10x
Lucro = Receita Total – Custo Total
30.000 = 10x – (15.000 + 6x) => 30.000 = 4x – 15.000 => 45.000 = 4x => x = 11.250
Portanto, a indústria precisa fabricar mais de 11.250 peças por mês para ter lucro.
�
FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA; PONTO DE EQUILÍBRIO
A quantidade demandada de um determinado bem depende do preço desse bem, dos preços de outros bens, e de outros fatores. A lei da procura (demanda) afirma que: quanto menor o preço de um determinado bem, maior a quantidade que se deseja comprar, por unidade do tempo, ceteris paribus (ou seja, mantidas constantes as demais condições).
Uma curva de demanda (procura) deve então ter o aspecto da curva mostrada na Figura a seguir, onde p designa preço e q designa quantidade.
Atenção: os economistas, contrariando o costume dos matemáticos, representam a variável independente p (preço) no eixo vertical e a variável dependente q (quantidade demandada) no eixo horizontal.
A quantidade ofertada de um determinado bem depende do preço desse bem, da oferta de insumos, dos impostos e subsídios, e de outros fatores. Em uma situação “normal”, se o preço aumentar, a quantidade ofertada aumentará concomitantemente. O gráfico de uma curva de oferta será parecido com o da Figura a seguir.
O ponto de equilíbrio é o ponto de interseção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. Veja a Figura a seguir. Se o preço está acima do preço de equilíbrio há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está abaixo do preço de equilíbrio, há escassez de oferta e o preço tende a subir.
Exemplo ilustrativo: Em um modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas são, respectivamente, funções lineares do preço:
qd = 24 – p
qs = -20 + 10p
Pede-se o preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação.
Solução:
Fazendo qd = qs, temos o preço de equilíbrio:
24 – p = - 20 + 10p
Logo, p = 4
Substituindo em qd (ou qs) obtemos qd = 20.
Logo, preço de equilíbrio = 4, quantidade de equilíbrio = 24 – 4 = 20.
Veja a Figura a seguir.
Atenção: O símbolo qd designa quantidade demandada e qs indica quantidade ofertada (a letra s vem do inglês supply = oferta).
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Uma firma de serviços de fotocópias tem custo fixo de R$ 800,00 por mês e custo variável de R$ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.