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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012
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RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 1994. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 1994.a Site “E-calculo”. Disponível em: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu. Acesso em: novembro 2007. Site “Kit de sobrevivência em cálculo”. Disponível em: http://www. Acesso em: novembro 2007. Prof. M. Sc. José Donizetti de Lima � ANEXO I - O PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS Adaptado do livro O HOMEM QUE CALCULAVA, de autoria do brasileiro MALBA TAHAN. O problema dos QUATRO QUATROS é o seguinte: Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log, lim, etc. Podem, entretanto ser utilizados os símbolos de Fatorial, Termial e Raiz Quadrada, além das quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão). Sobre o FATORIAL de um número natural, que indicamos por , sabemos que: , para n maior ou igual a 2 e: 0! = 1 e 1! = 1 Exemplos: 1) 2) Por outro lado, a função TERMIAL é bastante conhecida. Só não é comum a utilização de um símbolo específico e de um nome. De maneira semelhante ao fatorial, pode-se definir o Termial de um número natural, representado por , por: , para n maior ou igual a 2 Exemplos: 1) 2) 3) 4) Notas: 1) A denominação "Termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company " 2) Considerando-se que o TERMIAL de um número natural n maior ou igual a 2, é o somatório de todos os números naturais de n a 1, portanto, a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de razão 1, é trivial que o termial de n será dado por: Exemplo: 3) 7? = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 (número de peças do jogo de dominó, por exemplo) (0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3); (0, 4); (0, 5); (0, 6) => 7 peças (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6) => 6 peças (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6) => 6 peças (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6) => 4 peças (4, 4); (4, 5); (4, 6) => 3 peças (5, 5); (5, 6) => 2 peças (3, 6) => 1 peças Totalizando o número de peças, temos: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7? = 28 peças. Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela a seguir. 01 44/44 26 4!+(4+4)/4 51 44+4+((4)? 76 4·4!-(4?+4?) 02 4/4+4/4 27 4!+4-4/4 52 4!·4-44 77 [(4!)?+4+4)/4 03 (4+4+4)/4 28 4!+4+4-4 53 (4·4!+((4)?+(4 78 44+4!+4? 04 4+(4-4)/4 29 4!+4+4/4 54 4!·(4+(4+4 79 (4?)?-4+4!+4 05 (4·4+4)/4 30 (4+4)·4-(4 55 (4·4!+((4)?+4 80 (4·4+4)·4 06 (4+4)/4+4 31 ((4)?-(4+(4?·4? 56 4!+4!+4+4 81 (4?)?+4·4+4? 07 (44/4)-4 32 4!+4+(4+(4 57 (4?)?+(4+4)/4 82 4·4!-(4?+4) 08 4+4+4-4 33 4!+4?-4+((4)? 58 (4?)?+4-4/4 83 [(4!)?/4]+4+4 09 4+4+4/4 34 4·4·(4+(4 59 (4?)?+(4·4)/4 84 (4!-4)·4+4 10 (44-4)/4 35 4!+4?+4/4 60 (4+4/4)!/(4 85 (4?)?+4!+4!/4 11 44/((4·(4) 36 44-4-4 61 4·4·4-((4)? 86 (4?)?+(4!/4)?+4? 12 (44+4)4 37 44-((4)?-4 62 4!+4!+4?+4 87 (4?)?+4!+4+4 13 4!-44/4 38 44-4-(4 63 (4?)?+(4+(4+4 88 44+44 14 4+4+4+(4 39 4?·4-4/4 64 (4?)?+4?-4/4 89 (4?)?+44-4? 15 44/4+4 40 4!+4!-4-4 65 (4?)?+4+4+(4 90 4·4!-4!/4 16 4·4+4-4 41 4?·4+4/4 66 (4?)?+4?+4/4 91 4!·4-(4-((4)? 17 4·4+4/4 42 4!·(4-(4-4 67 (4?)?+4+4+4 92 44+4!+4! 18 (4!+4!+4!)/4 43 44-4/4 68 4!+4!+4!-4 93 (4?)?+4!+4!-4? 19 4!-4-4/4 44 4!·(4-(4-(4 69 4!+4!+((4+4)? 94 4!·4-4+(4 20 4·(4+4/4) 45 44+4/4 70 4!+4!+4!-(4 95 4!·4-4/4 21 4!-4+4/4 46 44-(4+4 71 (4?)?+4?+4!/4 96 4!·4+4-4 22 (44/4)·(4 47 4!+4!-4/4 72 4!·((4+4/4) 97 4!·4+4/4 23 (4!·4-4)/4 48 4!+4!+4-4 73 4!·(4?+4/4 98 4!·4+4-(4 24 4·4+4+4 49 4!·(4+4/4 74 4!+4!+4!+(4 99 (4?)?+4·4?+4 25 4!+(4-4/4 50 44+(4+4 75 (4?)?+4·4+4 100 (4!+4/4)·4 Nota: 00 = 44 – 44 ou 0 = 4 + 4 – 4 – 4 Desta forma, todos os números foram escritos utilizando-se as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), raiz quadrada, fatorial e o termial. Colaboradores: Cassio Pagnoncelli, Vanessa Frozza e Vinícius Lazzaretti. Fonte: Professor Paulo Marques - Feira de Santana – BA e Engenheiro José Cássio Filardi Oliveira. http://terra.com.br/matematica/arq11-7.htm acesso em: 09/03/2005 às 17:05 horas � ANEXO II – APLICAÇÕES FGTS - FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE SERVIÇO Alíquota única de 8% sobre os vencimentos, antes do desconto do INSS, pago pela empresa O FGTS é uma poupança aberta pela empresa em nome do trabalhador, onde todo mês ela deve depositar o relativo a 8% do valor do salário que ele recebe. Essa conta rende Juros e Atualização Monetária (JAM). No final do período de um ano, a soma de todos os depósitos equivale a mais de um salário bruto mensal. Para um funcionário que ganha R$ 1.000,00 no mês, por exemplo, temos: 12 depósitos de R$ 80,00 R$ 960,00 1 depósito de R$ 80,00 (13o salário) R$ 80,00 1 depósito de R$ 26,66 (1/3 férias) R$ 26,66 Subtotal R$ 1.066,00 + Juros Anuais + Correção Monetária R$ ????? Nota: A empresa é obrigada, também, a pagar uma taxa de 0,5% ao governo federal (INSS). Os tipos de conta do FGTS estão divididos em dois tipos de contas, ativas e inativas: Conta ativa: é a que mensalmente está recebendo depósitos pela empresa, durante o período em que você está trabalhando. Esta conta rende Juros e Atualização Monetária. Conta inativa: é a que deixa de receber depósitos, pois o trabalhador saiu da empresa e não sacou a conta. Esta conta continua rendendo Juros e Atualização Monetária (JAM) até o trabalhador sacá-la. As situações em que se pode sacar o FGTS Demissão sem justa causa (a empresa deverá pagar uma multa de 50% do valor do FGTS, sendo 40% para o empregado e 10% para o governo federal, INSS); Extinção (fechamento) da empresa; Aquisição de casa própria; Falecimento do trabalhador (dependentes); Tratamento de doenças como CÂNCER ou AIDS; Aposentadoria; Contas inativas (paradas, sem depósitos ou saques) a mais de 3 anos, e outras. Juros e Atualização Monetária (JAM) Juros: As contas abertas a partir de 23/09/1971 sempre rendem 3% ao ano. Atualização Monetária: corresponde à taxa de inflação do período, que tem por objetivo manter
