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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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uma simples inspeção na figura ao lado vemos que a área do quadrado maior, pode ser expressado como a soma das áreas do quadrado inscrito mais a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos dentro dele. Denotemos por d o lado do quadrado interno. Note que este lado representa a hipotenusa dos triângulos inscritos. Assim temos:
Área do quadrado = 
áreas dos triângulos + área do quadrado interno
Assim, podemos escrever:
Portanto,
que mostra o teorema de Pitágoras.
Uma simples análise ao processo anterior, nos mostra que a ideia principal foi expressar a área do quadrado de duas formas diferentes para obter a identidade.
 
�
1. LINGUAGEM MATEMÁTICA
	SÍMBOLO
	LÊ-SE
	=
	Igual
	
	Diferente (exemplo: 
)
	
	Aproximadamente (exemplo: 
)
	(
	Coincidentes (exemplo: retas coincidentes)
	
	Não coincidentes
	
	Por cento (indica uma divisão por 100, por exemplo: 5% = 5/100)
	
	Mais ou menos (exemplo: 
)
	(
	Maior que
	(
	Maior ou igual a
	(
	Menor que
	(
	Menor ou igual a
	(
	Tal que
	
	Qualquer que seja ou todo elemento
	(
	Implica
	(
	Se, e somente se
	(
	Existe
	
	Não existe
	(
	Único
	(
	Pertence
	(
	Não pertence
	(
	União
	(
	Intersecção
	(
	Está contido 
	(
	Contém
	
	A não está contido em B
	
	Conjunto dos números naturais 
	
	Conjunto dos números inteiros 
	
	Conjunto dos números racionais
	
ou 
 ou 
	Conjunto dos
 números irracionais
	
	Conjunto dos números reais
	
 ou 
	Usado para indicar conjunto vazio
	*
	Indica a exclusão do elemento zero
	/ /
	Paralelas ou paralelos (exemplo: retas paralelas)
	
	Perpendicular ou ortogonal (exemplo: retas perpendiculares)
	
	Conforme queríamos demonstrar
	
	Somatório
	
	Produtório
	
	Infinito
	
	f é uma função do conjunto A no conjunto B 
	
	Limite da função f quando x tende a p é igual a L.
	
	Notações usadas para representar a derivada de uma função: 
.
	
	Integral indefinida da função f em relação a variável x.
	
	Integral definida da função f em relação a variável x, de a até b.
�
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
2.1. Números Naturais (Símbolo (
) 
�� EMBED Equation.3 
 Nota: 
, conhecido como conjunto dos números inteiros positivos. 
2.2. Números Inteiros (Símbolo (
) 
 
Curiosidade: A escolha da letra 
 para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
 Nota: N
 (todo número natural é um número inteiro)
2.3. Números Racionais (fração) (Símbolo (Q) 
 Definição: 
Curiosidade: A utilização da letra 
 deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.
 Notas: (i) Z ( Q (todo número inteiro é um número racional).
 (ii) Toda dízima periódica é um número racional.
(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.
 Exemplos: 
 1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.
2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.
2.4. Números Irracionais (Símbolo (
) 
Definição: São os números que não podem ser escritos na forma: 
Exemplos:
Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
	
	Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
, onde: 
O número pi 
: Geometricamente: 
�� EMBED Equation.3 
 onde: 
, com 
: raio da circunferência.
	
	
 
Diagonal de um cubo de aresta 
	
	Aplicando duas vezes o teorema de Pitágoras, temos:
, onde: 
O número de Euler 
, usado, por exemplo, no sistema de capitalização composta contínua (usado em juros compostos, por exemplo).
�
Para lembrar: Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos.
Números irracionais célebres:
Radicias (
): a raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional.
O número 
: 3,141592653...
O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada).
O número de ouro (
): 
1,61803...
�
2.5. Números Reais (Símbolo (
) 
Chamamos de número real todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto dos números reais e a união (ou reunião) dos conjuntos dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (QC), isto é:
 e 
 ou 
Conclusão: 
 e 
2.6. A representação dos conjuntos numéricos através do diagrama de Venn, consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples (sem intersecções).
Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto universo. O nosso objeto de estudo será o conjunto dos números reais, assim o nosso universo será os números reais. 
Em 
 estão definidas as operações de adição e multiplicação. Dados 
 associamos a esse par de números: 
, 
, respectivamente a soma e o produto de 
 por 
.
2.7. Propriedades algébricas dos números reais
Associativa: 
Comutativa: 
Distributiva: 
Elemento neutro: 
 
Existência do oposto: 
Existência do inverso: 
, 
Lei do anulamento: 
 tem-se 
Lei do cancelamento: 
, tem-se: 
 
 desde que 
 Demonstração: 
(c.q.d)
�
2.8. Relação de ordem em 
Um número real 
 é maior 
 que um número real 
, quando a diferença 
 for positiva, isto é:
Notações:
Propriedades de ordem:
Tricotomia: Dados 
, temos: 
Transitiva: Dados 
, temos: 
,
,
,
,
,
 Exemplo: 
 
 
2.9. Representação gráfica dos números reais
Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta. Para isso escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcamos os demais números reais.
Mas, como representar um ponto na reta que não é racional?
Exemplo: Representar o número irracional 
2.10. Módulo ou valor absoluto de um número real
O valor absoluto (ou módulo) de um número real 
, que representamos por 
 é definido por:
Exemplo: 
Geometricamente, o módulo 
 é a distância do ponto 
 à origem (ponto 0), na reta real.
Para o nosso exemplo, temos: 
Analogamente, se desejarmos a distância de dois pontos 
 e 
 na reta real, indicamos por:
( distância de 
 até 
 e 
( distância de 
até 
 
Geometricamente,
É obvio que 
2.11. Propriedades de módulo:
Dados 
, tem-se:
 e 
 
, ou melhor: 
�� EMBED Equation.3 
Se 
2.12. 4 = 5?
Tomemos os números: 16, 25, 36 e 45. Podemos afirmar, com certeza que
16 – 36 = 25 – 45
Somando em ambos os membros da equação 
, temos:
Transformando em um trinômio quadrado perfeito,
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos:
Somando 
 em ambos os membros, vamos a:
4 = 5
 que é um absurdo. Então onde está o erro?
�
2 = 1?
��
2.13. Operações com conjuntos
União (ou reunião) de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicado por: 
Em símbolos, temos:
Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção de A com B é indicado por: 
Em símbolos, temos:
Número de elementos da união entre conjuntos
Indicando por 
 o número de elementos do conjunto A; 
 o número de elementos de B; 
 o número de elementos de 
 e 
 o número de elementos