Material complementar de Cálculo II - (INTEGRAÇÃO POS SUBSTITUIÇÃO E POR PARTE)

Prévia do material em texto

Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
1 
 
 
 
 
 
Neste material você encontrará informações importantes no desempenho para a disciplina de Cálculo II e 
porque não dizer também no seu cotidiano, já que as ferramentas utilizadas estão presentes em nosso dia a dia, nas 
mais diferentes áreas do conhecimento. 
O módulo servirá de base conceitual para a apresentação dos conteúdos que envolvem conceitos 
matemáticos, os quais servirão e nos guiarão no decorrer do curso. 
È bom relatar, que esse material foi confeccionado sem fins lucrativos, utilizando materiais disponíveis na web, por 
vários autores em sites bem como literatura pertinentes a área, com objetivo de colaborar com o bom desempenho 
dos acadêmicos dos Cursos de Engenharias da FACTO, na disciplina de Cálculo II. 
 
Bons estudos ! 
 
Professor 
Joelson de Araújo Delfino 
 
Integração por substituição e por partes 
 
Para que você entenda esta aula, é necessário que domine os conceitos das integrais 
básicas e das integrais fundamentais da trigonometria, estudadas nas aulas anteriores. Tais 
conhecimentos se fazem necessários em função da utilização de artifícios matemáticos 
imprescindíveis à solução e operacionalização de funções na resolução de suas integrais 
utilizando as técnicas de integração por substituição ou por partes das funções para caminhar 
na direção da solução desejada 
 
Introdução 
Para determinar algumas integrais, é necessário fazermos mudança de variável, pois as 
regras básicas não servirão para resolver todas as integrais; em algumas usaremos a mudança 
de base e para outras estudaremos mais adiante outras regras de integração. Nessa aula, 
estaremos apresentando e definindo duas técnicas de integração, a integração por substituição 
e integração por partes, que são de muita utilidade para a resolução de integrais de funções 
que não possuem integrais imediatas como as estudadas na aula anterior. 
 
2.1 Método de integração por substituição 
Apresentação 
 2 
Para resolvermos uma integral utilizando a técnica de integração por substituição, é 
necessário que a função a qual queremos determinar sua integral seja definida através de uma 
função composta, podendo ser dividida duas funções, cuja derivada de uma dessas funções 
ou parte dela seja igual a outra função na integral. 
Ao detectarmos tal função, podemos chamá-la de u ou de qualquer outra variável que 
não seja a variável de domínio da função proposta, calculando du ou seja, derivada de u e 
substituímos seus respectivos valores na integral, podemos assim determinar a integral da 
função proposta, utilizando como referência as integrais imediatas estudadas na aula anterior. 
 Observe a seguinte situação: 
Para determinarmos a integral 
   dxxx
50
3²
 seria necessário desenvolver (x2 + 3)50 
pelo teorema binomial, multiplicar por x, e então integrar a expressão resultante termo a termo 
usando a regra geral da linearidade. O cálculo não seria difícil, mas seria no mínimo muito 
cansativo e bastante tedioso, pois sabemos que, no desenvolvimento, teríamos 51 monômios, 
portanto teríamos que determinar 51 integrais. Nesse caso, iremos proceder de uma forma 
mais simples que é denominada mudança de variável, da variável da função para outra 
variável. Observe agora como poderemos fazer o procedimento. 
   
50 502x x 3 dx x² 3 xdx, chame x² 3 u.     
 
 
Derivando ambos os membros teremos: 
1
2x dx du xdx du
2
  
 
 
 
 
  

 c
x
c
u
duudxxx
102
3²
512
1
2
1
3²
5151
5050
 
 
 
Veja que o método de integração por substituição foi mais simples do que você pensava, 
o mesmo não poderia dizer se tivéssemos escolhido desenvolver o teorema binomial da função 
para depois calcularmos sua integral. Veremos agora mais alguns exemplos, para que você 
consiga entender melhor essa técnica de integração. 
 
 
Exemplo: 
Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
3 
 
 dxx 35
 
 
 Mudando a variável temos que 5x – 3 = u, logo 5dx = du, ou 
5
du
dx 
 
  
c
15
3x52
2
3
u
5
1
duu
5
1
duu
5
1 2
3
2
1
2
3


 
 
Exemplo: 
 


dx
x
x
³3³
² 
Mudando a variável temos que x3 – 3 = u, logo 3x2dx = du, ou x2 dx = 1/3du. 
   


 duu
u
du
dx
x
x 3
3
1
³3
1
³3³
² 
 
c
xu






6
3³
23
1
22 
 Utilizando a técnica de integração por substituição, podemos agora determinar a integral das 
funções tg x, cotg x, sec x e cossec x. 
 
2.1.1 Integral da função tangente (f(x) = tg x) 
 Demonstração: 
senx
tgxdx dx
cosx
 
 
Chamando u = cos x, temos du = - sen x dx, logo, – du = sen x dx, substituindo na 
integral 
du
tgxdx ln u
u
tgxdx ln cos x C
   
  
 

 
 
 
2.1.2 Integral da função cotangente (f(x) = cotg x) 
 Demonstração: 
 4 
cosx
cotgxdx dx
senx
 
 
Chamando sen x de u, temos du = cos x dx, substituindo na integral 
 
du
cotgxdx ln u
u
cotgxdx ln senx C
 
 
 

 
 
2.1.3 Integral da função secante (f(x) = sec x) 
Demonstração: 
Para calcularmos a integral da função secante, multiplicaremos e dividiremos a função por (sec 
x + tg x), assim: 
2sec x(sec x tgx) sec x sec x tgx
sec xdx dx dx
(sec x tgx) (sec x tgx)
  
 
   
 
 
Chamando (sec x + tg x) de u, temos du = (sec x  tg x + sec2 x)dx, substituindo na integral 
du
sec xdx ln u
u
sec xdx ln sec x tgx C
 
  
 

 
 
 2.1.4 Integral da função cossecante (f(x) = cossec x) 
 Demonstração: 
Para calcularmos a integral da função cossecante, multiplicaremos e dividiremos a função por 
(cossec x - cotg x), assim: 
 
2cossec x(cossec x cotgx) cossec x cosec x cotgx
cossec xdx dx dx
(cossec x cotgx) (cossec x cotgx)
  
 
   
 
Chamando (cossec x - cotg x) de u, temos: 
du = (- cossec x  cotg x + cossec2 x)dx, substituindo na integral 
Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
5 
du
sec xdx ln u
u
sec xdx ln cossec x cotgx C
 
  
 

 
 
2.2 Integração por partes 
Toda regra ou técnica de derivação pode ser invertida, originando outra regra de 
integração correspondente. Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um 
método para determinar uma integral muito útil, que chamamos de método da integração por 
partes. 
Sejam as funções f(x) e g(x), calculando a derivada do produto de f(x)g(x) temos: 
 
           f x g x `dx f` x g x dx f x g` x dx        
 
           f x g x f` x g x dx f x g` x dx     
 
           f x g` x dx f x g x f` x g x dx     
 
 
Substituindo f(x) por u e g(x) por v, teremos f`(x) = du e g`(x) = dv, logo, podemos definir 
que a equação de recorrência para se resolver uma integral utilizando a técnica de integração 
por partes é dada por; 
udv u.v v du  
 
Como é possível verificar, para a utilização da técnica de integração por partes, será 
necessário verificarmos na integral se a função é uma função composta, onde uma das funções 
dessa função composta será derivada e a outra integrada. Para melhor entedermos essa 
técnica de integração, aplicaremos a mesma na resolução dos exemplos a seguir: 
 
Exemplo: 
Para determinarmos o valor de
xcosxdx
, usando a integração por partes com u = x e dv = 
cos x, logo du = dv e v = sen x. Assim, utilizando a equação de recorência, 
` 
          f x g x f` x g x f x g` x      
 6 
udv u.v vdu  
 
teremos 
 
   dxxsensenxxdxcoxx
 
 
  cxxsenxcxsenxx  coscos
 
 
Exemplo: 
Determinando a 
 dxxx ln
, usaremos a integraçao por partes. Para isso, tomaremos u = ln 
x e dv = xdx. Logo dx
du
x

 e 2x
v c
2
 
. Assim, temos: 
 
x² x² 1
xlnx dx lnx dx
2 2 x
   
     
   
 
 
x² 1
xlnx dx lnx xdx
2 2
 
   
 
 
 
2x² x
xlnx dx lnx C
2 4
 
   
 

 
 
Exemplo: 
Determinando a 
 dxxsene
x
, usaremos a integração por partes, em que u = ex e dv = 
senx dx. Portanto temos que du = ex dx e 
v = - cosx 
  vduuvdxxsene
x 
 x x xe sen x dx e cosx cosx.e dx    
 
x x xe cos x dx e cosx cosx.e dx (I)    
 
 
Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
7 
Agora, vamos determinar pela integração por partes a integral de 
 
 dxex
x.cos
. 
 
Considere u = ex 
Logo du = ex dx, e dv = cosx Logo v = senx + c. Portanto 
 
 x x xe cos x dx e senx senx.e dx (II)  
 
 
Observe que o último termo da expressão ( II ) é igual à integral inicial. Podemos concluir 
da seguinte forma. Logo, substituindo ( II ) em ( I ) temos 
 x x x xe senx dx e cosx e senx senx.e dx    
 
x x x2 e sen x dx e cosx e senx  
 
x x
x e cosx e senxe sen x dx
2
 

 
 xx e senx cosxe sen x dx C
2

 
 
 
 A integral por substituição facilita o cálculo da integral de algumas funções e serve de 
pré-requisito para compreendermos a aplicação da técnica de integração por partes, o qual é 
muito utilizado em funções composta de funções logaritmos, funções trigonométricas e 
exponenciais. Portanto, a importância de aprendermos sua resolução se deve a suas 
aplicações nas engenharias e em outros campos do estudo da matemática. 
 
 
 
 
 
 
 8