04_ExerciciosResolvidos_InferenciaIndutiva_03_TesteDeHipoteses

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA E INFORMA´TICA - DEInfo
ESTATI´STICA EXPLORATO´RIA B
Resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios das listas 23-26
Monitor: Nielson Avelino de Santana
Orientador: Paulo Renato Alves Firmino
19 de outubro de 2014
Suma´rio
0.1 Teste de Hipo´tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Teste de hipo´teses: Passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Aulas 25-26: Teste de hipo´teses para a me´dia (variaˆncia conhecida) . . . . . . . . 3
1
Aulas 23-24: Teste de Hipo´teses
0.1 Teste de Hipo´tese
Exerc´ıcio 1 Exerc´ıcio 1: Delineie H0 e descreva os respectivos erros do tipo I e do tipo II nos
seguintes casos:
1. De acordo com as especificac¸o˜es de uma nova tecnologia adotada, a produc¸a˜o me´dia dia´ria
de leite de dado rebanho sera´ de 10 litros. Um eventual comprador deseja estudar se tais
especificac¸o˜es sa˜o satisfeitas.
2. De acordo com a literatura me´dica, a proporc¸a˜o de indiv´ıduos que desenvolvem dado caˆncer
e´ de 5%. Deseja-se estudar se determinada droga e´ cancer´ıgena.
3. Estuda-se se determinada dieta eleva a resisteˆncia de cavalos. Sabe-se que, em me´dia, um
cavalo e´ capaz de percorrer ate´ 12 km sem apresentar sinais de fadiga.
4. Determinado cirurgia˜o defende que desenvolveu um me´todo ciru´rgico que requer menor
tempo. Sabe-se que o procedimento tradicional requer, em me´dia, 40 minutos.
5. A exemplo dos quesitos acima, sugira´ hipo´teses nulas (paradigmas ou pre´-especificac¸o˜es)
relacionadas a problemas da sua futura a´rea de atuac¸a˜o profissional e estude os tipos de
erro.
Resoluc¸a˜o Exerc´ıcio 1
1) H0 : µ = 10
(µ ≡ Produc¸a˜o me´dia do rebanho que vivencia o novo me´todo;
Tipo 1: Rejeitar H0 quando esta e´ verdadeira.
� Concluir erradamente que o novo me´todo leva a uma produc¸ao me´dia diferente de 10
litros.
Tipo 2: Na˜o rejeitar H0 quando esta e´ falsa.
� Concluir erradamente que o novo me´todo leva a uma produc¸ao me´dia de 10 litros.
2) H0 : p = p0 = 5%
(p ≡ Proporc¸a˜o de indiv´ıduos, dentre aqueles que consomem a droga, que desenvolvem o
caˆncer; p0 ≡ Proporc¸a˜o de indiv´ıduos, dentre aqueles de toda a populac¸a˜o, que desenvol-
vem o caˆncer (independente de consumirem ou na˜o a droga).
Tipo 1: Rejeitar H0 quando esta e´ verdadeira.
� Concluir erradamente que a droga e´ cancer´ıgena.
Tipo 2: Na˜o rejeitar H0 quando esta e´ falsa.
� Concluir erradamente que a droga na˜o e´ cancer´ıgena.
Questa˜o 3,4 e 5 a cargo do aluno.
2
0.2 Teste de hipo´teses: Passos
Exerc´ıcio 2 Exerc´ıcio 2: Delineie H1 para os casos abaixo
1. De acordo com as especificac¸o˜es de uma nova tecnologia adotada, a produc¸a˜o me´dia dia´ria
de leite de dado rebanho sera´ de 10 litros. Um eventual comprador da tecnologia deseja
estudar se tais especificac¸o˜es sa˜o satisfeitas.
2. Estuda-se se determinado produto e´ cancer´ıgeno. Sabe-se que a incideˆncia deste caˆncer
em indiv´ıduos de um modo geral e´ de 5%.
3. Estuda-se se determinada dieta eleva a resisteˆncia de cavalos. Sabe-se que, em me´dia, um
cavalo e´ capaz de percorrer ate´ 12 km sem apresentar sinais de fadiga.
4. Determinado cirurgia˜o defende que desenvolveu um me´todo ciru´rgico que requer menor
tempo. Sabe-se que o procedimento tradicional requer, em me´dia, 40 minutos.
5. Considerando as hipo´teses elaboradas no quesito 5 do Exerc´ıcio 1, delineie as respectivas
hipo´teses alternativas
Resoluc¸a˜o Exerc´ıcio 1
1) H1 : µ < 10
(µ ≡ Produc¸a˜o me´dia de leite do rebanho que vivencia o novo me´todo). Note-se que H1
representa o interesse do eventual comprador citado no enunciado da questa˜o. Assim, neste
caso na˜o haveria razo˜es para considerar como hipotese alternativa µ > 10 ja´ que neste caso
o proprieta´rio da tecnologia teria, ele mesmo, elevado o valor de µ nas especificac¸o˜es do
produto.
2) H1 : p > p0 = 0.05
(p ≡ Proporc¸a˜o de indiv´ıduos que desenvolvem caˆncer quando submetidos a` droga; p0 ≡
Proporc¸a˜o de indiv´ıduos que desenvolvem caˆncer independente de consumirem ou na˜o
a droga). Em palavras, se a droga e´ cancer´ıgena, ela fara´ a proporc¸a˜o de incideˆncias de
caˆncer aumentar entre os indiv´ıduos que a consomem em relac¸a˜o a` proporc¸a˜o de incideˆncia
de caˆncer na populac¸a˜o como um todo.
Questa˜o 3,4 e 5 a cargo do aluno.
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Aulas 25-26: Teste de hipo´teses para
a me´dia (variaˆncia conhecida)
Exerc´ıcio 1 Questa˜o 1: Resolva os problemas de teste de hipotese a seguir:
1. Argumenta-se que devido a uma nova tecnologia adotada, a produc¸a˜o me´dia dia´ria de leite
de dado rebanho sera´ maior que 10 litros. Sabe-se que a variabilidade na produc¸a˜o de leite
do rebanho resulta em um desvio-padra˜o de 3 litros. Uma amostra aleato´ria de 25 ocasio˜es
onde o desempenho da nova tecnologia foi medido, levou a uma me´dia de produc¸a˜o de 13
litros de leite. O que voceˆ concluiria sob um n´ıvel de significaˆncia de 5%? E sob um n´ıvel
de significaˆncia de 1%?
2. Defende-se que determinada dieta reduz a resisteˆncia de cavalos. Sabe- se que, em me´dia,
um cavalo e´ capaz de percorrer ate´ 12 km sem apresentar sinais de fadiga, sob um desvio-
padra˜o de 3 km. Uma amostra aleato´ria com 16 cavalos submetidos a` tal dieta resultou
em uma resisteˆncia me´dia de 10.5 km. O que voceˆ concluiria a um n´ıvel de significaˆncia
de 5.5%? E sob um n´ıvel de significaˆncia de 2.5%?
3. Uma equipe de manutenc¸a˜o suspeita que dado equipamento de medic¸a˜o na˜o esteja cali-
brado. Para uma determinada condic¸a˜o, sua medida deve ser de, em me´dia, 35 unidades,
sob um desvio-padra˜o de 3 unidades. Montou-se uma amostra aleato´ria envolvendo 49
medic¸o˜es do equipamento e obteve-se o valor me´dio de 32 unidades. O que voceˆ concluiria
a um n´ıvel de significaˆncia de 7%? E sob um n´ıvel de significaˆncia de 0.1%?
4. Para cada uma das questo˜es acima, responda: (a) Em palavras, quais hipo´teses esta˜o
sendo confrontadas? (b) Quais sa˜o os paraˆmetros utilizados para abordar o problema?
Quais sa˜o os respectivos estimadores associados? (c) Como as hipo´teses confrontadas
podem ser matematicamente descritas a partir dos paraˆmetros utilizados? (d) Quais sa˜o
as respectivas regras de decisa˜o elaboradas? (e) Quais suposic¸o˜es embasam suas ana´lises?
Resoluc¸a˜o Exerc´ıcio 1 Para a resoluc¸a˜o das questo˜es acima, vale ressaltar que como regra
de decisa˜o geral, ha´ razo˜es para rejeitar H0 se e so´ se a probabilidade p∗ de ocorrer um evento
”ao menos ta˜o estranho”quanto aquele revelado pela amostra for menor que a probabilidade
mı´nima tolera´vel pelo decisor, expressa pelo n´ıvel de significaˆncia: α = P (Rejeitar H0|H0 ver-
dadeira). Assim, α representaria a probabilidade mı´nima aceita´vel pelo decisor para considerar
que as diferenc¸as observadas na amostra em relac¸a˜o ao que afirma H0 se deram devido ao acaso,
simplesmente. Em outros termos, se p∗ < α conclui-se que o evento observado seria ta˜o raro
que torna-se mais plaus´ıvel rejeitar H0.
Por sua vez, o significado matema´tico de evento ”ao menos ta˜o estranho”dependera´ da hipo-
tese alternativa associada ao teste. De maneira geral, considerando θˆobs como sendo a estimativa
proveniente da amostra para o paraˆmetro de interesse θ, relativa a um estimador de θ, Θˆ, e θ0
como o valor de θ fixado em H0, tem-se que
4
i) Se H1 : θ > θ0, enta˜o p∗ = P (Θˆ ≥ θˆobs);
ii) Se H1 : θ < θ0, enta˜o p∗ = P (Θˆ ≤ θˆobs);
iii) Se H1 : θ 6= θ0, enta˜o
p∗ = 2× P (Θˆ ≤ θˆobs) se θˆobs < θ0 ou
p∗ = 2× P (Θˆ ≥ θˆobs) se θˆobs > θ0.
Da linguagem estat´ıstica adotada pelos praticantes de testes de hipo´teses, as situac¸o˜es (i) e (ii)
acima sa˜o tambe´m denominadas de testes de hipo´tese unilaterais, enquanto que (iii) e´ denomi-
nada de teste bilateral.
1) H0 : µ = µ0 = 10 vs H1 : µ > 10
(µ ≡ Produc¸a˜o me´dia dos rebanhos que vivenciam o novo me´todo)Note-se, do enunciado, que questiona-se se a nova tecnologia leva a produc¸a˜o me´dia dia´ria
de leite a superar os 10 litros. Note-se ainda que trata-se de um teste de hipo´teses sobre a
me´dia, onde se conhece o desvio-padra˜o populacional (σ = 3 litros). O enunciado destaca
ainda que adotou-se uma amostra de (n =) 25 ocasio˜es onde a produc¸a˜o de leite via nova
tecnologia foi medida, gerando-se uma estimativa para µ de x¯obs = 13 litros, baseada no
estimador me´dia amostral
(
X¯ =
∑25
1 Xi
25
)
. Para o estimador, Xi ≡ Quantidade de leite
produzida na ia ocasia˜o onde a nova tecnologia foi aplicada.
Como a hipo´tese alternativa e´ dada por H1 : µ > 10, o coˆmputo de p∗ envolve:
p∗ = P (X¯ ≥ x¯obs|µ = 10)
Supondo que H0 seja verdadeira, que o tamanho da amostra (n = 25) e´ suficientemente
grande para se fazer valer o teorema central do limite e, ainda, que a produc¸a˜o de leite em
uma ocasia˜o onde a nova tecnologia foi adotada na˜o influencia na de outra ocasia˜o, tem-se
que
X¯ ∼ Normal
(
µX¯ = µ = 10, σX¯ =
σ√
n
= 35 = 0.6
)
.
Seguindo da propriedade acima, temos que
p∗ = P (X¯ ≥ x¯obs|µ = 10) = P (Z ≥ x¯obs−µX¯σX¯ )
onde Z =
X¯−µX¯
σX¯
de tal forma que Z ∼ Normal(0, 1), isto e´, Z segue uma distribuic¸ao
normal-padra˜o (onde a me´dia e a variaˆncia equivalem, respectivamente, a 0.0 e a 1.0).
Seguindo,
p∗ = P
(
Z ≥ x¯obs−µX¯σX¯
)
= P
(
Z ≥ 13−100.6
)
= P (Z ≥ 5) = 1− P (Z < 5) ≈ 0.
Nos ca´lculos acima, recorreu-se a` tabela da normal-padra˜o adotada durante as aulas. Con-
tudo, de forma mais precisa a partir da func¸a˜o dist.norm(5.0, 0.0, 1.0, 1) do Excel ou da
func¸a˜o pnorm(5) do R, obte´m-se que p∗ = P (Z ≥ 5) = 2.9 × 10−7. De qualquer forma,
tanto para um n´ıvel de significaˆncia de (α =)5% quanto de 1%, conclui-se que ha´ razoo˜es
para rejeitar H0. De fato, mostra-se bastante improva´vel que se observe uma estimativa
para a me´dia ao menos ta˜o distante de µ = 10 (note que tal igualdade e´ defendida pela
hipo´tese H0) quanto x¯obs. Para qualquer n´ıvel de significaˆncia maior que p∗, concluir-se-
ia que H0 deve ser rejeitada. Assim, defende-se, a partir das evideˆncias provenientes da
5
amostra, que a produc¸a˜o me´dia dos rebanhos que vivenciam o novo me´todo e´ maior que
10 litros, sob uma probabilidade de 2.9× 10−7 de se estar tomando a decisa˜o errada.
Vale destacar que caso a variaˆncia (σ2) fosse desconhecida e, no seu lugar, se envolvesse
uma estimativa s2, seria necessa´rio recorrer a` distribuic¸a˜o t-Student ao inve´s da normal-
padra˜o.
Demais questo˜es a cargo do aluno.
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