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Circuitos Polifasicos Equilibrados

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______________________________________________________________________________________ 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 1 
CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Unidade 3 
CIRCUITOS POLIFÁSICOS EQUILIBRADOS 
 
3.1 – GERAÇÕES DE TENSÕES POLIFÁSICAS 
Sistema polifásico equilibrado: Conjunto de vários sistemas 
monofásicos com as tensões geradas em cada fase com mesma freqüência, 
mesma amplitude e defasadas no tempo por 360∆ = ° nθ onde n é o 
número de fases do sistema polifásico. 
Veja na figura ao lado, para uma máquina de dois pólos um 
sistema trifásico onde as bobinas aa’, bb’ e cc’ estão fisicamente 
defasadas de 120 graus. Considerando o sentido de rotação da parte móvel 
(ímã SN) conforme indicado, sentido horário, obteremos tensões geradas 
na seqüência direta (ABC), ou seja: 
 
• fase b atrasada de 120° da fase a; 
• fase c atrasada de 120° da fase b. 
No caso da rotação da parte móvel (ímã SN) no sentido ante-horário, obter-se-á tensões geradas na 
seqüência inversa (ACB ou CBA), ou seja: 
• fase c atrasada de 120° da fase a; 
• fase b atrasada de 120° da fase c; 
De uma forma geral define-se ordem de fase ou seqüência de fase como sendo a ordem pela qual as 
f.e.m. alcançam seus valores máximos. Resumindo-se, para seqüência direta a fase b atrasada de 120° da fase 
a e para seqüência inversa, a fase b adianta de 120° da fase a. 
Observe que se as tensões geradas nas fases a, b e c 
a b c(E ,E e E )
• • •
 estão na seqüência direta, então, se tomarmos os seus 
negativos ( a ' b ' c 'E , E e E
• • •
) obteremos a mesma seqüência de fases, no 
caso, também, a seqüência direta. 
A ordem da seqüência de fases de um sistema polifásico é de 
suma importância já que, em especial para o sistema trifásico, o 
mais utilizado na prática tem-se que: 
• Para um motor de indução, a inversão da seqüência de fase 
implica na inversão do sentido de rotação do eixo do motor; 
 
• No caso de carga trifásica desequilibrada os valores das correntes de linha fasorias podem ser 
completamente diferentes para as duas seqüências, tanto em módulo como em seus ângulos. 
De uma forma geral analisando as figuras, abaixo, e considerando o sentido de giro mostrado, são 
equivalentes, para efeito da seqüência de fase , as denominações: 
 
• Seqüência direta: ABC, BCA ou CAB; 
• Seqüência inversa: CBA, BAC ou ACB. 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 2 
3.2 – DIAGRAMA VETORIAL E NOTAÇÃO COM SUB-ÍNDICE DUPLO 
Quando estamos lidando com sinais alternados senoidais é de muita importância especificar o sentido 
de percurso no circuito, bem como, o sentido da força elemotriz induzida. Lembre-se que as correntes e 
tensões 
serão representadas por fasores e, desta forma, uma inversão no sentido de percurso 
implica no negativo do fasor original. O sentido será indicado pelo sub-índice duplo, 
dessa forma, na figura ao lado, abE& significa que está sendo gerada uma f.e.m. na 
bobina ab no sentido de a para b, ou melhor, o terminal b da bobina tem potencial 
maior que o terminal a. Da mesma forma, cdE& significa que está sendo gerada uma 
uma f.e.m. na bobina cd no sentido de c para d, ou melhor, o terminal d da bobina tem potencial maior que o 
terminal b. 
Exemplo 1 - Sabendo-se que as tensões geradas nas bobinas ab e cd acima sejam abE& = 100 / 60° volts e 
cdE& =100 / 0° volts quais são as opções para ligá-las aditivamente? 
a) Ligando os terminais b e c e tomando a tensão ad ab cdE E E= +& & & = 100 3 / 30° volts. 
b) Ligando os terminais a e d e tomando a tensão cb cd abE E E= +& & & = 100 3 / 30° volts. 
 
 
 
ad ab cdE E E= +& & & 
 
 
 
cb cd abE E E= +& & & 
 
 
Problema 3.2 – Conectando os terminais d e b determinar as tensões caE& e acE& ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
ca cd abE E E= −& & & = 100 / -60° volts 
 
ac ab cdE E E= −& & & = 100 / 120° volts 
 
Problema 3.2 – Para as bobinas ao lado 
determinar caE& sabendo-se que abE& =100 / 0° volts 
e cdE& =100 / 30° volts. 
 
Resp.: ca cd abE E E= −& & & = 51,76 / 105° volts 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 3 
3.3 – SISTEMAS DI E TETRAFÁSICOS 
O sistema difásico caracteriza-se pela geração de tensões alternadas senoidais com defasagem de 90o 
em duas bobinas a’a e b’b conforme indicado abaixo. Observe que temos aqui uma exceção à regra geral de 
Sistema polifásicos equilibrados onde as tensões geradas em cada fase estão defasadas no tempo por 
360
n
θ °∆ = onde n é o número de fases do sistema polifásico. No caso bifásico, n=2, o que implicaria em 
180θ∆ = ° . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ligando-se os terminais a’ e b’ teríamos uma estrela bifásica onde: 
• Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas, 
'a ae e 'b be na seqüência direta; 
• Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador, abe ou bae ; 
• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE 
observe que 2L FE E= × . Note que ' 'ab b b a aE E E= −& & & = 2 FE× / -135° ⇒ . &abE = 2L FE E= × . 
 
Sistema Tetrafásico 
O sistema tetrafásico caracteriza-se pela geração de tensões alternadas senoidais com defasagens de 
90o entre as bobinas a’a, b’b, c’c e d’d conforme indicado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Conexão em Estrela 
Ligando-se os terminais a’, b’, c’ e d’ teríamos uma estrela tetrafásica onde: 
• Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas: 
'a ae , 'b be , 'c ce e 'd de na seqüência direta; 
• Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador contíguos: abe , bce , cde e dae . 
Observe que: 
' 'ab b b a aE E E= −& & & , ' 'bc c c b bE E E= −& & & , ' 'cd d d c cE E E= −& & & e ' 'da a a d dE E E= −& & & ; 
• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE 
observe que 2L FE E= × . Note que ' 'ab b b a aE E E= −& & & = 2 FE× / -135° ⇒ &abE = 2L FE E= × . 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 4 
Conexão em Malha 
Ligando-se os terminais a ao b’, b ao c’, c ao d’ e o d ao a’ teremos uma malha tetrafásica onde: 
• Tensões de fase: Tensões geradas nas bobinas: 
'a a ae e= , 'b b be e= , 'c c ce e= e ddd ee =' na seqüência 
direta; 
• Tensões de linha: Tensões entre dois terminais de saída do gerador contíguos: 
'' ''d a ae e= , '' ''a b be e= , 
'' ''b c ce e= e '' ''c d de e= ; 
• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FE e designando o módulo da tensão de linha por LE 
observe que L FE E= ; 
• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador: , ,ab bc cd daI I I e I& & & & ; 
• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador: 
'' '' '' ''
, ,dd aa bb ccI I I e I& & & & . Observe que: 
abdaaa III &&& −=" , ''bb ab bcI I I= −& & & , ''cc bc cdI I I= −& & & e ''dd cd daI I I= −& & & ; 
• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI 
observe que 2L FI I= . Observe que ''bb ab bcI I I= −& & & = 2 45∠ − °FI ⇒ ''&bbI = 2L FI I= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema difásico à três fios (2 fases e um 
neutro) - Seqüência direta 
n 'a ' a F
n 'b ' b F
a 'b ' b a F
E E E 0
E E E 90
E E E 2 E 135
• •
• •
• • •
= = ∠ °
= = ∠ − °= − = ∠ − °
 
 
 
 
 
3.4 – f.e.m. geradas por sistemas trifásicos tetrafilares 
Para um gerador trifásico equilibrado 
na seqüência direta, ligando-se os terminais 
a’, b’ e c’ a um ponto comum e designando-
o por n (ponto neutro) tem-se uma ligação 
estrela trifásica onde: 
na a FE E E 0
• •
= = ∠ ° ; 
nb b FE E E 120
• •
= = ∠ − ° ; 
nc c FE E E 120
• •
= = ∠ + ° 
 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 5 
Note que ab b aE E E
• • •
= − = F3 E 150∠ − ° onde FE é o módulo da tensão de fase já que 
ab F F
3E 2 x OA 2 x E cos30 2 E
2
= = ° =& F3 E= . 
Observações importantes para um gerador trifásico equilibrado com ligação Estrela: 
• Tensões de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, , ;= = =& & & & & &na a nb b nc cE E E E e E E 
• Tensões de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de saída do gerador, ,& & &ab bc caE E e E . Observe que: 
= −
& & &
ab b aE E E , = −& & &bc c bE E E e = −& & &ca a cE E E ; 
• Em módulo, toda Tensão de linha = 3 Tensão de fase; 
• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador , , ;& & &na nb ncI I I 
• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador 
' ' '
,
& & &
aa bb e ccI I I . Observe que as correntes 
de linha são iguais as correntes de fase correspondentes: 
' ' '
; ;= = =& & & & & &na aa nb bb nc ccI I I I e I I 
• Em módulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase. 
• A Corrente de neutro n 'nI
•
 é nula já n 'n na nb ncI I I I 0
• • • •
= + + = ; 
• Veja as figuras abaixo ilustrando estes fatos. Observe que para efeito de treinamento, mostramos as 
tensões de linha ,& & &ba ac cbE E e E em vez das tensões ,& & &ab bc caE E e E . Quais são as relações vetoriais das 
tensões de linha representadas em termos das tensões de fase? 
 
 
 
 
 
Problema 3.4 - Desenhar um diagrama vetorial polar que represente as tensões de fase e de linha mostrados 
no Oscilograma VIII-1 do livro texto, usando bnV
•
como referência. Especificar o valor eficaz da tensão de 
fase, a seqüência das tensões de linha e de fase. Este Oscilograma corresponde às tensões numa carga em 
estrela equilibrada cujo valor eficaz das tensões entre linhas é 100 Volts. 
 
a) FV = 100 / 3 =57,7 volts; 
 
b) Seqüência das tensões de fase: 
an, bn, cn; 
 
c) Seqüência das tensões de linha: 
ab, bc, ca. 
 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 6 
3.5 – Sistemas Trifásicos trifilares 
Nos Sistemas Trifásicos Trifilares não existem o fio neutro e, portanto, não é possível conectar cargas 
entre as linhas e o neutro. 
 
3.6 – A conexão Triângulo ( ∆ ) 
Observe as figuras abaixo que ilustram este tipo de ligação bem como as relações existentes entre 
suas tensões e correntes de linha e de fase. 
 
 
 
 
Observações importantes para um gerador trifásico equilibrado com ligação triângulo: 
• Tensões de fase: f.e.m. induzidas nas bobinas (fases) do gerador, ,& & &ab bc caE E e E ; 
• Tensões de linha: f.e.m.existentes entre os terminais de saída do gerador, 
' ' ' ' ' '
,
& & &
a b b c c aE E e E . Observe que 
as tensões de linha são iguais as tensões de fase correspondentes: 
' '
=
& &
a b abE E , ' ' =& &b c bcE E e ' ' =& &c a caE E ; 
• Correntes de fase: Correntes que transitam nas bobinas do gerador, , ,& & &ab bc caI I I ; 
• Correntes de linha: Correntes que saem dos terminais do gerador 
' ' '
, ,aa cc bbI I I& & & . Observe que 
' ' '
; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &aa ca ab bb ab bc cc bc caI I I I I I I I I 
• Em módulo, toda Tensão de linha = Tensão de fase; 
• Em módulo, toda Corrente de linha = 3 Corrente de fase. 
 
Problema 3.5 – Desenhar o diagrama vetorial com as tensões de fase, correntes de fase e de linha, usando 
bcV& como referência, referente ao Oscilograma VIII-2 do livro texto. 
 
 
 
 
Correntes de linha saindo do gerador 
' ' '
; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &aa ca ab bb ab bc cc bc caI I I I I I I I I 
Correntes de linha chegando na carga 
' ' '
; ; ;= − = − = −& & & & & & & & &a a ab ca b b bc ab c c ca bcI I I I I I I I I 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 7 
3.7 – Estrelas e malhas n-fásicas 
Para gerações n-fásicas equilibradas, ligadas em estrela, sabe-se que o defasamento das tensões 
geradas em fases contíguas é 360
n
θ °∆ = . Neste tipo de ligação, sempre, a tensão de linha entre fases 
contíguas é a tensão de uma delas menos a tensão da outra fase. Individualizando-se para as fases a e b 
obtém-se: 
ab an nb b aE E E E E
• • • • •
= + = − ⇒ ( )ab L F 180E E 2 AB 2 E sen n
• °
= = × = × × . Para as correntes, é óbvio 
que as de linha e de fase são iguais ( L FI I= ) já que não existe nenhum nó separando-as. 
 
 
 
 
 
 
Para as ligações em malha temos uma simetria com relação à ligação em estrela, só que permutando-
se as tensões pelas correntes, ou melhor, o que ocorre com as tensões na ligação estrela ocorrerá com as 
correntes na ligação triângulo e vice-versa. Veja as figuras abaixo que ilustram este fato. 
Tensões de linha iguais a tensões de 
fase já que 
' '
=
& &
a b abE E , ' ' =& &b c bcE E , etc. 
bb ' ab bc
L F
bb ' L F
E E ;
I I I ;
180I I 2 AB 2 I sen .
n
• • •
=
= −
°
= = × = × ×&
 
 
 
 
Problema 3.6 – Para um gerador em malha hexafásico com corrente de fase igual a 100 A, qual é o valor da 
sua corrente de linha? 
 
 
360 360 60
6
° °∆ = = = °
n
θ ; 
L F
180 1I 2 I sen 2 100 sen30 2 100 100
6 2
°
= × × = × × ° = × × = ampères. 
 
Problema 3.7 – Qual é a tensão entre linhas adjacentes de um sistema duodecafásico, equilibrado, conectado 
em estrela, se FE 50= volts? Soluções numérica e gráfica. 
L f
180E 2 E sen 2 50 sen15 25,88 volts;
12
°
= × × = × × ° = 
360 360 30 50 0 50 30
12
° °∆ = = = °⇒ = ∠ ° = ∠ − °& &a bE e E
n
θ ; 
ab an nb b a
L ab
E E E E E 25,88 105 ;
E E 25,88 105 25,88volts.
• • • • •
= + = − = ∠ − °
= = ∠ − ° =&
 
 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 8 
Problema 3.8 – Determinar a tensão ente linhas alternadas num sistema hexafásico, equilibrado, conectado 
em estrela, se o módulo das tensões de fase é igual a 132,8 volts. 
 
 
360 360 60 132,8 0 ,
6
132,8 60 132,8 120 ;
° °∆ = = = °⇒ = ∠ °
= ∠ − ° = ∠ − °
&
& &
a
b c
E
n
E e E
θ
 
ac an nc c a
L ac
E E E E E 230 150 ;
E E 230 150 230volts.
• • • • •
= + = − = ∠ − °
= = ∠ − ° =&
 
 
3.8 – Carga trifásica equilibrada com ligação Estrela (Y) 
Para uma carga trifásica equilibrada com ligação estrela tem-se que (veja figura do exemplo 3.2): 
• Tensões de fase: Quedas de tensões produzidas nas impedâncias das fases: =& &an aV V , =& &bn bV V e 
=
& &
cn cV V ; 
• Tensões de linha: Quedas de tensões entre dois terminais contíguos de entrada da carga: 
& & &
' ' ' '
V V Va b a n nb= + = an bnV V−& & = a bV V−& & ; 
& & &
' ' ' '
V V Vb c b n nc= + = bn cnV V−& & = b cV V−& & ; 
& & &
' ' ' '
V V Vc a c n na= + = cn anV V−& & = c aV V−& & . 
• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FV e designandoo módulo da tensão de linha por LV 
observe que 3=L FV V . Em módulo, toda Tensão de linha = 3 Tensão de fase; 
• Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedâncias das fases: ,= = =& & & & & &an a bn b cn cI I I I e I I . 
Considerando que o sistema é equilibrado e designando a impedância de fase por FZ& tem-se que: 
,= = =
& & &
& & &
& & &
an bn cn
an bn cn
F F F
V V VI I e I
Z Z Z
; 
• Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: 
' ' '
,
& & &
a a b b c cI I e I . Observe que: 
'
=
& &
a a anI I , ' =& &b b bnI I e ' =& &c c cnI I ; 
• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI 
observe que =L FI I . Em módulo, toda Corrente de linha = Corrente de fase; 
 
Exemplo 3.2 – Para uma carga trifásica equilibrada (R = 6 Ω e LX = 8 Ω) ligada em estrela onde a tensão de 
linha é igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potência real por fase e a potência real da carga 
trifásica. 
 
L
F
F
F 2 2
F
L F
2 2
F F F
Total 3# F
V 220V 127 V
3 3
V 127 127I 12,7 A
Z 106 8
I I 12,7 A
P R I 6 x12,7 967,7 W
P P 3 x P 3 x 967,7 2.903,2 W.
= = =
= = = =
+
= =
= × = =
= = = =
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 9 
 
Exemplo 3.2.a – Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tensões, correntes e potências, 
sabendo-se que as tensões estão na seqüência direta e &anV está na referência, isto é, 127 0= ∠ °&anV volts. 
 
an bn cn FZ Z Z Z 6 j8 10 53,13= = = = + = ∠ ° Ω& & & & 
an
bn
cn
ab an bn
V 127 0 127 j0 volts
V 127 120 63,5 j110 volts
V 127 120 63,5 j110 volts
V V V 190,5 j110 220 30 volts
•
•
•
• • •
= ° = +
= − ° = − −
= ° = − +
= − = + = °
 
an
an
F
bn
bn
F
cn
cn
F
V 127 0I 12,7 53,13 A
10 53,13Z
V 127 120I 12,7 173,13 A
10 53,13Z
V 127 120I 12,7 66,87 A
10 53,13Z
•
•
•
•
•
•
•
•
•
°
= = = − °
°
− °
= = = − °
°
°
= = = °
°
 
 
na
na
V
na na na IP V I cos 127 x 12,7 x cos 53,13 967,7 W= φ = ° =
&
& 
3# naP 3 P 3 967,7 2.903,1 W= × = × = 
na
na
V
na na na IQ V I sen 127 x 12,7 x sen 53,13 1.290,3 VARs= φ = ° =
&
& 
3# naQ 3 Q 3 1.290,3 3.870,9 VARs= × = × = 
na na naN V I 127 x 12,7 1.612,9 VA= = = 
3# naN 3 N 3 1.612,9 4.838,7 VA= × = × = 
 
 
Observe que neste exemplo e nas definições anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a, b 
e c para o ponto n, embora nada impeça de considerarmos a corrente no sentido contrário. É claro que o 
sentido da corrente é definido pelo sentido da queda de tensão considerada, isto é, a tensão anV
•
⇒ 
corrente anI
•
 (corrente entrando no neutro, ponto n); a tensão naV
•
⇒ corrente naI
•
 (corrente saindo do 
neutro, ponto n). É obvio que 
na an
I I
• •
= − para um mesmo sistema de tensões geradas. 
 
3.9 – Carga trifásica equilibrada com ligação Triângulo (∆∆∆∆) 
Para uma carga trifásica equilibrada com ligação triângulo tem-se que (veja figura do exemplo 3.3): 
• Tensões de fase: Quedas de tensões produzidas nas impedâncias das fases: ,& & &ab bc caV V e V ; 
• Tensões de linha: Quedas de tensões entre dois terminais contíguos de entrada da carga: &
' '
Va b , & ' 'Vb c e 
&
' '
Vc a . Observe que a 'b ' ab b 'c ' bc c 'a ' caV V , V V e V V= = =& & & & & & ; 
• Fazendo o módulo da tensão de fase igual a FV e designando o módulo da tensão de linha por LV 
observe que =L FV V . Em módulo, toda Tensão de linha = Tensão de fase; 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 10 
• Correntes de fase: Correntes que transitam nas impedâncias das fases: ,& & &ab bc caI I e I . Considerando 
que o sistema é equilibrado e designando a impedância de fase por FZ& tem-se que: 
,= = =
& & &
& & &
& & &
ab bc ca
ab bc ca
F F F
V V VI I e I
Z Z Z
; 
• Correntes de linha: Correntes que chegam dos terminais da carga: 
' ' '
,
& & &
a a b b c cI I e I . Observe que: 
& & &
'
I I Ia a ab ca= −
 
& & &
'
I I Ib b bc ab= −
 
& & &
'
I I Ic c ca bc= −
 
• Fazendo o módulo da corrente de fase igual a FI e designando o módulo da corrente de linha por LI 
observe que 3=L FI I . Em módulo, toda Corrente de linha = 3 Corrente de fase; 
 
Exemplo 3.3 – Para uma carga trifásica equilibrada (R = 6 Ω e LX = 8 Ω) ligada em triângulo onde a tensão 
de linha é igual a 220 volts pede-se: a corrente de linha, a potência real por fase e a potência real da carga 
trifásica. 
 
 
2 2 2 2
F L
F L
F
F
F
L f
2 2
F F F
Total 3# F
Z R X 6 8 10
V V 220 V
V 220I 22 A
Z 10
I 3 I 3 22 38,1 A
P R I 6 x 22 2.904 W
P P 3 P 3 2.904 8.712 W
= + = + = Ω
= =
= = =
= × = × =
= = =
= = = × =
 
 
Exemplo 3.3.a – Para o exemplo anterior, determine vetorialmente as tensões, correntes e potências, 
sabendo-se que as tensões estão na seqüência direta e &abV está na referência, isto é, 220 0= ∠ °&abV volts. 
 
ab bc ca FZ Z Z Z 6 j8 10 53,13= = = = + = ∠ ° Ω& & & & 
ab
bc
ca
V 220 0 volts
V 220 120 volts
V 220120 volts
•
•
•
= °
= − °
= °
 
ab
ab
F
bc
bc
F
V 220 0I 22 53,13 A
10 53,13Z
V 220 120I 22 173,13 A
10 53,13Z
•
•
•
•
•
•
°
= = = − °
°
− °
= = = − °
°
 
ca
ca
F
a 'a ab ca
V 220120I 22 66,87 A
10 53,13Z
I I I 38,11 83,13 A
•
•
•
°
= = = °
°
= − = − °& & &
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 11 
ab
ab
V
ab ab ab IP V I cos 220 x 22 x cos 53,13 2.904 W= φ = ° =
&
& 
3# abP 3 P 3 2.904 8.712 W= × = × = 
VARssensenIVQ ab
ab
V
Iababab 872.313,5322220 =°××==
&
&φ 
3# abQ 3 Q 3 3.872 11.616 VARs= × = × = 
ab ab abN V I 220 x 22 4.840 VA= = = 
3# abN 3 N 3 4.840 14.520 VA= × = × =
 
 
 
Observe que neste exemplo e nas definições anteriores consideramos as correntes fluindo dos terminais a 
para b, de b para c e de c para a, embora nada impeça de considerarmos a corrente no sentido contrário ou 
outro qualquer. É claro que o sentido da corrente é definido pelo sentido da queda de tensão considerada, 
isto é, a tensão abV
•
⇒ corrente abI
•
 (corrente de a para b); a tensão baV
•
⇒ corrente baI
•
 (corrente de b 
para a). É obvio que ba abI I
• •
= − para um mesmo sistema de tensões geradas. Por exemplo, se for 
especificado uma seqüência de fases ba cb acV ,V ,V ,
• • •
 quer dizer que cbV
•
 atrasa de baV
•
 de 120o e que 
ac acV atrasa de V de120
• •
° , usaríamos como base para os cálculos as correntes de fase ba cb acI , I , I
• • •
. 
 
Observações importantes sobre as relações existentes entre tensões, correntes e potências para 
ligações Estrela e Triângulo com mesmas impedâncias de fase ( FZ& ) e alimentadas com a mesma tensão de 
linha ( LV ). Analisando os resultados obtidos nos exercícios 3.2.a e 3.3.a conclue-se que: 
• 
yL L
V V
∆
= (hipótese); 
• 
yF F
V 3 V
∆
= ; 
• 
yF F
I 3 I
∆
= ; 
• 
yL L
I 3 I
∆
= ; 
• 
yF F
P 3 P
∆
= ; 
• 
y3# 3#
P 3 P
∆
= . 
 
3.10 - Diagrama vetorial de tríplice origem em Sistemas Trifásicos Equilibrados 
a) Tensões geradas (tensões no gerador) 
Seja um geradorligado em estrela, seqüência direta, conforme ilustrado na página seguinte. Observe 
que as tensões de linha são dadas por: ab b aE E E
• • •
= − , bc c bE E E
• • •
= − e ca a cE E E
• • •
= − . Temos na figura (a), uma 
ligação em estrela; na figura (b) o diagrama fasorial correspondente das tensões de fase cba EeEE &&& , 
geradas na seqüência direta e das tensões de linhas cabcab EeEE &&& , , composição vetorial das tensões de fase 
e, finalmente, na figura (c) um diagrama fasorial equivalente àquele da figura (b) e que designamos 
diagrama vetorial de tríplice origem, onde as tensões de linha formam um triângulo eqüilátero. Observou-
se nesta figura, para seqüência direta, que girando no sentido horário encontramos os pontos a, b e c na 
seqüência ABC (seqüência direta). Se a seqüência gerada para as tensões cba EeEE &&& , fosse seqüência 
inversa teríamos encontrado, girando novamente no sentido horário, os pontos na seqüência ACB, ou CBA 
ou BAC (seqüência inversa). 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 12 
 
 
 
 
Exemplo 1 - Para tensões geradas na seqüência inversa, sabendo-se que o& 90200∠=bcE V determine as 
tensões de fase cba EeEE &&& , e de linha cabcab EeEE &&& , , usando o diagrama vetorial de tríplice origem 
correspondente: 
 
 
 
VE
VE
VE
ca
bc
ab
o
o
o
&
&
&
150200
90200
30200
−∠=
+∠=
−∠=
 e 
VEE
VEE
VEE
cnc
bnb
ana
o
o
o
&&
&&
&&
6047,115
6047,115
18047,115
+∠==
−∠==
+∠==
 
 
Exemplo 2 - Similar ao exemplo 1, seqüência direta, dado VEE cnc °∠== 90100&& . Têm-se: 
 
 
 
VEE
VEE
VEE
cnc
bnb
ana
o
o
o
&&
&&
&&
90100
150100
30100
+∠==
−∠==
−∠==
 e 
VE
VE
VE
ca
bc
ab
o
o
o
&
&
&
603100
603100
1803100
−∠=
+∠=
+∠=
 
 
Observe nos exemplos 1 e 2 anteriores, que partimos da hipótese de que o gerador tinha ligação estrela e, 
neste caso, existe fisicamente o ponto n, ponto comum das três bobinas. Daí, determinamos as tensões de 
neutro-fase cncbnbana EEeEEEE &&&&&& === , e as tensões fase-fase cabcab EeEE &&& , . Se assumirmos a hipótese 
de que o gerador está ligado em triângulo, não teremos o ponto n físico, mas por outro lado o procedimento 
é totalmente similar na determinação das tensões neutro-fase e fase-fase. Este ponto n seria o neutro do 
gerador ligado em estrela, equivalente a este último ligado em triângulo. 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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Tensões na carga 
Seja uma carga trifásica equilibrada e seus diagramas fasoriais indicados abaixo. O procedimento é 
análogo ao caso do gerador com a única diferença de que as tensões geradas são no sentido do neutro para a 
fase, ),( ncnbna EeEE &&& e, na carga, são no sentido da fase para o neutro ),( cnbnan VeVV &&& , ou seja, as tensões 
seguem o sentido da corrente convencional. Considere seqüência direta com .0120 VV oan ∠=& Têm-se: 
 
 
 
ancnca
cnbnbc
bnanab
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
−=
−=
−=
 ; 
VV
VV
VV
ca
bc
ab
o
o
o
&
&
&
1503120
903120
303120
+∠=
−∠=
+∠=
 e 
VV
VV
VV
cn
bn
an
o
o
o
&
&
&
120120
120120
0120
+∠=
−∠=
∠=
. 
 
 
Observe no exemplo acima que mesmo considerando a seqüência direta, o diagrama físico da carga, induz 
erroneamente à seqüência inversa. Lembre-se que a seqüência de fases é definida pelo diagrama vetorial e 
não pelo diagrama físico. 
 
Exemplo 3 - Para seqüência inversa, o& 45180∠=bcV V, determine todas as tensões fase-neutro e fase-fase 
numa carga trifásica equilibrada. Têm-se: 
 
;165180
;45180
;75180
VV
VV
VV
ca
bc
ab
o
o
o
&
&
&
∠=
∠=
−∠=
 e 
;16592,103
;7592,103
;4592,103
VV
VV
VV
cn
bn
an
o
o
o
&
&
&
−∠=
∠=
−∠=
. 
 
Embora, não muito usual, mas nada nos impede de que as tensões e correntes numa carga trifásica 
sejam consideradas saindo do neutro da carga. Com seqüência direta, veja exemplos seguintes: 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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Ex. 1 - Diagrama polar de uma carga equilibrada em estrela com fp = 1. 
 
 
 
Ex. 2 - Diagrama polar de carga equilibrada conectada em triângulo com fp = 1. 
Exemplo 3.4 – Para uma carga trifásica equilibrada de 10 KVA com tensão de linha de 200 volts, apresente 
os diagramas de tríplice origem com as tensões geradas de fase e de linha e com as correntes de linha para: 
(a) Seqüência direta e fator de potência unitário; (b) Seqüência direta e fator de potência 0.6 atrasado; (c) 
Seqüência inversa e fator de potência 0.6 atrasado; 
Solução: 
• cos( 1α ) = 1 ⇒ 1α = 0º; 
• cos( 2α ) = 0.6 ⇒ 2α = 53,1º 
Têm-se os diagramas: 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 15 
 
 
3.11 - CÁLCULO DA POTÊNCIA REAL OU MÉDIA EM SISTEMAS EQUILIBRADOS (W) 
ft
ffff
PnP
IVP
⋅=
= θcos
 
Para sistema Trifásico: 
ffft IVP θcos3= 
a) Ligação estrela 
.cos3cos
3
33
;
fLLfL
L
tfL
fL
IVIVPVV
II
θθ =⋅⋅⋅=⇒⋅=
=
 
b) Ligação triângulo: 
.cos3cos
3
3
;3
fLLf
L
LtfL
fL
IVIVPVV
II
θθ ==⇒=
=
 
Problema 3.9 - Tensões de linha trifásicas, VVL 300.2= , são aplicadas a uma carga equilibrada conectada 
em Υ com Ω+= 2,173100 jZ f por fase, pede-se LI e Pt. 
kWIVP
kWIRP
AZVII
jZ
fLLt
fft
f
L
fL
f
23,1360cos64,6300.23cos3
;23,1364,610033
;64,6
200.3
300.2/
3
;602002,173100
22
=×××==
=××=××=
====
Ω°∠=+=
oθ
 
Problema 3.10 - Idem exemplo anterior com carga em ∆. 
.67,3960cos92,19300.23cos3
;67,395,1110033
;92,195,1133
;5.11
200
300.2
22
kWIVP
kWIRP
AII
A
Z
V
Z
V
I
fLLt
fft
fL
f
L
f
f
f
=×××==
=××==
=×==
====
oθ
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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3.12 – POTÊNCIA APARENTE (VOLT-AMPÈRES - VA) 
Para sistemas trifásicos equilibrados é definida como a soma dos VA das fases, ou melhor, 
fffasetotais IVVAVAN 33 === . Em função das tensões e correntes de linha, têm-se: 
• Ligação ∆ ⇒ N LLLL IV
IV 3
3
3 == ; 
• Ligação Υ ⇒ N LLLL IVI
V 3
3
3 == . 
3.13 – POTÊNCIA REATIVA (VOLT AMPÈRES REATIVOS – VAr) 
Definida como a soma dos volt-ampères reativos das fases, fffx senIVPQ θ3== . Similarmente 
aos itens anteriores, têm-se: 
• Ligação fLLx senIVP θ.3=⇒∆ ; 
• Ligação fLLx senIVPY θ3=⇒ . 
3.14 – TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS 
 
Em sistemas trifásicos equilibrados, as potências real (P), 
reativa (Q) e aparente (N) formam um triângulo retângulo conforme 
mostrado ao lado onde fθ é o ângulo da impedância de fase da 
carga trifásica equilibrada. 
Problema 3.11 - Dado um sistema de tensões trifásicas equilibrada com 440=LV volts aplicada à carga ∆ 
equilibrada e com 68 jZ f +=& Ω, pede-se: 
a) Calcular fN , fQ e o fator reativo. 
• VAIVVAN ffff 360.19
68
440440
22
=
+
=== ; 
• VArsenVAQfff 616.1110
6360.19 =





×== θ ; 
• Fator reativo = 6,0== fsenfr θ . 
 
3.15 - FATORES DE POTÊNCIA (fp) E REATIVO (fr) 
Para sistemas trifásicos equilibrados alimentados por ondas sensoriais, são definidos como: 
• Fator de potência: cosseno do ângulo entre fV e fI ⇒ fp = N
P
VA
P
f ==θcos ; 
• Fator reativo: seno do ângulo entre fV e fI ⇒ fr = N
Q
VA
P
sen xf ==θ ; 
 
Exemplo 3.5 - Dado um motor trifásico de 5 HP alimentado por tensões trifásicas equilibradas 220 volts, 
rendimento de 0,85 e o fator de potência = 0,86, pede-se a potência real entregue ao motor em plena carga e 
a corrente elétrica absorvida da rede elétrica. 
• Potência real entregue ao motor = WHP 5,386.4
85,0
7,7455
85,0
5
=
×
= ; 
• AIWIIVP LLfLL 385,135,386.486,02203cos3 =⇒=×××⇒= θ . 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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Exercício - Para um motor trifásico, 10 CV, fator de potência = 0,85 atrasado, tensão de linha = 220 volts, 
rendimento = 0,81, zHf 60= , pede-se: 
a) As potências absorvidas da rede de alimentação (P, Q e N), e apresente o triângulo de potência (1 cv = 
735,5 W); 
;64,682.10
85,0
25,080.9
cos
;25,080.9
81,0
5,73510
VAPN
WPP mecânicaelétrica
===
=
×
==
ϕ
µ
 
.43,627.522 VArPNQ =−= 
 
b) A corrente de linha; 
AIIVN LLL 035,282203
64,682.103 =
×
=⇒= . 
c) A corrente de fase se a ligação interna do motor é ligação ∆ e o valor de sua impedância de fase; 
;592,13
186,16
220
;186,16
3
035,28
3
Ω======
F
F
F
L
F I
VZAII
&
 
.788,31592,13788,3185,0cos Ω∠=⇒== oo &FF Zarcθ 
d) O valor das capacitâncias em (µF) de três capacitores iguais ligados em paralelo à este motor, com 
ligação ∆, de modo que o fator de potência do conjunto (motor + capacitores) seja 0,95 indutivo. 
 
;53,984.2195,1825,080.9
;195,1895,0
1
1
1
1
VArtgQ
P
Q
tg
fp
=×=⇒=
=⇒=
o
o
θ
θ
 
;90,642.212 scapacitivoVArQQQ =−= 
 
Cálculo das capacitâncias ligadas em triângulo: 
a) Enfoque monofásico 
;937,54
97,880
220
;97,880
3
2
1
2
22
2
1
2
1
Ω===
⇒=





==
==
F
F
C
c
F
C
F
CCcF
F
Q
VX
X
V
X
VXIXQ
VArQQ
 
.282,48
937,54120
1011 6
F
wX
C
wC
X
C
c
µ
pi
=
×
==⇒=
 
b) Enfoque trifásico ( )
( )
.282,48
937,54120
1011
;937,54
004,4
220
;004,4
3
;936,6
12203
90,642.2
903
6
2
F
Xw
C
Cw
X
I
VX
A
I
I
AII
senIVQ
C
C
F
F
c
L
F
LL
LL
C
C
C
C
µ
pi
=
×
==⇒=
Ω===
==
=
−××
−
==
⇒−= o
 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 18 
3.16 - Potências Monofásicas e Trifásicas Equilibradas com alimentação Alternada Senoidal 
Os valores instantâneos da potência da carga monofásica indicada abaixo é dada por: 
 
 
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ]
( )awtwtsensenIVwtsenIV
wtsenwtsenwtsenIV
wtsenwtsenIVwtsenIwtsenVp
vip
wtsen
mmmm
mm
mmmm












−
=−
=−=−=
⇒=
4434421
2
2
2 coscos
coscos
θθ
θθ
θθ
 
Relembrando-se que: 
⇒−=
+=
wtsenwtwt
wtsenwt
22
22
cos2cos
cos1
 
( )bwtwtsen
wtsenwt
2
2cos1
22cos1
2
2
−
=
⇒=−
 
Substituindo (b) em (a), obtém-se: 
=−
−
=
2
2
cos
2
2cos1 wtsen
senIVwtIVp mmmm θθ 
[ ] [ ]
444 3444 21444 3444 2143421
321
2
2
2cos
2
cos
2
cos
wtsen
senIV
wt
IVIV mmmmmm θθθ
−− 
Onde: 
(1) θcos
2
mm IV
 - parcela constante correspondente à potência real; 
(2) [ ]wtIV mm 2coscos
2
θ− - parcela alternada correspondente a potência real; 
(3) [ ]wtsensenIV mm 2
2
θ− - parcela alternada correspondente a potência reativa. 
Desenvolvendo (1) + (2) obtém-se: 
[ ] ( )θθθ −−=+− wtIVsenwtsenwtIV mmmm 2cos
2
2cos2cos
2
 - parcela alternada correspondente a 
potência real e reativa de freqüência dupla dos sinais de tensão e de corrente do circuito monofásico. 
Para o sistema trifásico equilibrado, considerando as potências instantâneas de cada fase função da 
tensão da fase e de sua respectiva corrente de fase, ( )aaa IVfP ,= , ( )bbb IVfP ,= e ( )ccc IVfP ,= , têm-se: 
( )
( ) ( )
( ) ( ).240240
;120120
;
θ
θ
θ
−−−=
−−−=
−=
oo
oo
wtsenwtsenIVp
wtsenwtsenIVp
wtsenwtsenIVp
mmc
mmb
mma
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 19 
Extendendo-se o desenvolvimento efetuado anteriormente 
para o circuito monofásico tem-se: 
( )θθ −−= wtIVIVp mmmma 2cos2cos2 ; 
( )θθ −°−−= 1202cos
2
cos
2
wt
IVIVp mmmmb ; 
( )θθ −°−−= 2402cos
2
cos
2
wt
IVIVp mmmmc 
 
Para a carga trifásica obtém-se: 
2
cos3 θ⋅=++= mmcbat
IVPPPP já que a soma das três parcelas 
senoidais é nula – sinais senoidais de mesma freqüência, mesma amplitude e defasados de 120°. 
 
3.17 - MEDIDAS DE POTÊNCIA EM SISTEMAS EQUILIBRADOS 
Um wattímetro acusa uma leitura proporcional ao produto da corrente na sua bobina de corrente pela 
tensão na bobina de tensão e pelo cosseno do ângulo entre a tensão e a corrente percebidas por suas bobinas 
de tensão e de corrente. Assim, o valor medido será: ( )IVIVW θθ −= cos watts. Nas figuras abaixo têm-se 
esquemas possíveis para a medição de potências trifásicas em cargas ligadas em triângulo e estrela onde a 
potência trifásica é a soma das potências medidas pelos três wattímetros. Entretanto nem sempre é possível 
in- 
 
 
terromper as fases de uma carga ∆, assim como, ter acesso ao neutro de uma carga Y. Dessa forma, sugere-
se o método de dois wattímetros indicados abaixo, que além de resolver os problemas citados anteriormente 
precisa apenas de dois e não de três medidores de potência real. Neste método, insere-se dois wattímetros em 
 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 20 
duas fases a seu critério com suas bobinas de corrente recebendo as correntes de linha sentido fonte para a 
carga. Suas bobinas de tensões devem perceber as tensões de sua fase para a fase sem wattímetro. 
Observando-se o diagrama fasorial correspondente, conclui-se que os wattímetros (a) e (b) medirão: ( ) ( )
( ) ( ) .30cos30cos
;30cos30cos
2'
1'
WIVIV
WIVIV
LLbbbcb
LLaaaca
=+=+=
=−=−=
oo
oo
θθ
θθ
W
W
 
Onde: 
LV
 é a tensão de linha do sistema trifásico equilibrado; 
LI é a corrente de linha que a carga trifásica equilibrada absorve da rede de alimentação; 
θ é o ângulo da impedância de fase. No diagrama fasorial anterior a título de exemplo, utilizou-se uma 
carga indutiva, corrente atrasada do ângulo θ da tensão correspondente; 
e que a soma de suas leituras resultará na potência trifásica, ou melhor, [ ]
[ ] .cos3
2
3
cos230coscos2
3030coscos3030coscos
3FLLLLLL
LLba
PIVIVIV
sensensensenIV
===
=−++=+
θθθ
θθθθ
o
ooooWW
 
Observou-se acima que o wattímetro (a) acusou uma medida proporcional a ( )o30cos −θ e que o 
wattímetro (b) acusou uma medida proporcional a ( )o30cos +θ . Podemos generalizar estas 
proporcionalidades usando o critério seguinte e que será comprovado atravésde diagramas fasoriais 
posteriormente. Para seqüência de fases direta (ABC), tem-se o critério: 
Critério para seqüência de fases direta (ABC) 
• Escolha duas fases para inserções dos wattímetros, por exemplo, fases 
(a) e (b); 
• Partindo da fase (c), aquela sem wattímetro, girando-se no sentido 
horário, encontra-se o primeiro wattímetro (a) que designaremos de 1W 
e que acusará a medida ( )o30cos1 −= θLL IVW ; 
• Prosseguindo no sentido horário, encontra-se o segundo wattímetro (b) 
que designaremos de 2W e que acusará a medida ( )o30cos2 += θLL IVW ; 
 
Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os pares de 
wattímetros: ( )ba WW , , ( )cb WW , e ( )ac WW , . Têm-se as medições para os pares de wattímetros seguintes: 
I - Watímetros nas fases (a) e (b): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVbbbcb
LLIVaaaca
bbbc
aaac
θθθ
θθθ
&&
&&
 
II - Watímetros nas fases (b) e (c): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVcccac
LLIVbbbab
ccca
bbba
θθθ
θθθ
&&
&&
 
III - Watímetros nas fases (c) e (a): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVaaaba
LLIVcccbc
aaab
cccb
θθθ
θθθ
&&
&&
 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 21 
 
Similarmente, para seqüência de fases inversa (CBA), tem-se o critério: 
Critério para seqüência de fases inversa (CBA) 
• Escolha duas fases para inserções dos wattímetros, por exemplo, fases 
(c) e (b); 
• Partindo da fase (a), aquela sem wattímetro, girando-se no sentido 
horário, encontra-se o primeiro wattímetro (c) que designaremos de 1W 
e que acusará a medida ( )o30cos1 −= θLL IVW ; 
• Prosseguindo no sentido horário, encontra-se o segundo wattímetro (b) 
que designaremos de 2W e que acusará a medida ( )o30cos2 += θLL IVW ; 
 
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Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial abaixo para os pares de wattímetros: 
( )bc WW , , ( )ab WW , e ( )ca WW , . Têm-se as medições para os pares de wattímetros seguintes: 
I - Watímetros nas fases (c) e (b): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVbbbab
LLIVcccac
bbba
ccca
θθθ
θθθ
&&
&&
 
II - Watímetros nas fases (b) e (a): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVaaaca
LLIVbbbcb
aaac
bbbc
θθθ
θθθ
&&
&&
 
III - Watímetros nas fases (a) e (c): ( )
( )



=°+=−=
=°−=−=
2'
1'
)30(coscos
)30(coscos
'
'
WIVIVW
WIVIVW
LLIVcccbc
LLIVaaaba
cccb
aaab
θθθ
θθθ
&&
&&
 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 23 
Varredura dos ângulos percebidos pelos wattímetros (1) e (2) no método dos dois wattímetros 
Observou-se que o wattímetro (1) perceberá, sempre, o ângulo )30( °−θ e o wattímetro (2), o ângulo 
)30( °+θ . Como o ângulo )(θ pode variar de -90° até +90° para uma carga puramente capacitiva até uma 
carga puramente indutiva. Desta forma pode-se ter o intervalo de valores possíveis para os ângulos dos 
wattímetros: 
• Ângulo de 1W : intervalo [ ]°°− 60,120 ; 
• Ângulo de 2W : intervalo [ ]°°− 120,60 . 
Sabe-se que o cosseno é negativo nas faixas )90,120[ °−°− - ]120,90( °° e dessa forma, dependendo 
do fator de potência da carga, um dos wattímetros pode acusar uma leitura negativa. Num experimento 
prático, se um wattímetro acusar um valor negativo é de fundamental importância identificar se esta leitura 
deve ser considerada negativa no cálculo da potência trifásica ou se ela ocorreu por conexão errônea da 
montagem do circuito. Por outro lado, a maioria dos watímetros não tem escala para valores negativos e, 
neste caso, se uma leitura for negativa faz-se necessário trocar a polaridade de umas das bobinas (de tensão 
ou de corrente) deste wattímetro, efetuar a medida e considera-la como sendo negativa. 
Sinais corretos das leituras dos wattímetros 
Observou-se anteriormente a necessidade de considerar os sinais corretos às leituras dos wattímetros. 
Apresenta-se então dois procedimentos para assegurar este fato. 
Método I: Wattímetro ligado com as polaridades corretas em suas bobinas de corrente e de tensão: 
1. Identifique no wattímetro a polaridade positiva de suas bobinas de corrente e de tensão; 
2. Faça sua ligação de modo que a corrente proveniente da fonte de tensão entre pelo terminal positivo e 
saia pelo terminal negativo da bobinas de corrente do wattímetro; 
3. Faça sua ligação de tensão de modo que a fase do wattímetro esteja ligada ao terminal positivo e a fase 
sem wattímetro esteja ligado ao terminal negativo da bobinas de tensão do wattímetro; 
4. Se o wattímetro acusar leitura negativa ao energizar o circuito considere sua leitura negativa, caso 
contrário a medição obtida deve ser considerada positiva. 
Método II: Abertura das bobinas de corrente dos wattímetros separadamente: 
1. aW deve indicar leitura positiva com (b) aberto 
2. bW deve indicar leitura positiva com (a) aberto. 
3. Se algum wattímetro aW , bW indicar leitura negativa com (a) e (b) 
fechados sua leitura deve ser considerada negativa. 
Justificativa: Observe que nos itens (1) e (2) acima que ao 
desligar os terminais (b) e (a), respectivamente, a carga trifásica 
transformou-se numa carga monofásica onde a tensão aplicada é a tensão 
de linha e a impedância da carga monofásica é FZ&2 , sendo FZ& a impedância de cada fase da carga 
trifásica. Dessa forma, leitura positiva significa wattímetro ligado corretamente (Método I) pois ele está 
medindo a potência real entrega a uma carga monofásica. Com relação ao item (3) é obvio que se os 
wattímetros estão ligados corretamente e se algum deles acusar leitura negativa este fato é devido ao fator 
de potência da carga e sua leitura deverá ser considerada negativa no método dos dois wattímetros. 
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Curva da relação de potência no Método dos Dois Wattímetros 
Observou-se para cada valor de θθθθ, isto é, para cada fator de potência têm-se valores definidos para as 
leituras dos wattímetros 1W e 2W onde ( )°−= 30cos1 θLL IVW e ( )°+= 30cos2 θLL IVW . Dessa forma, a 
relação ( 21 /WW ) nos permite determinar o fator de potência da carga trifásica a partir da “Curva das 
Relações de Potência” mostrada abaixo onde em valores absolutos 1W é menor que 2W . Exemplos: 
 
a) 21 WW = com mesmos sinais ⇒ 21 /WW = 1 ⇒ cos (θ) = 1 ⇒ θ = 0°. 
Contra-prova: ( )( )
( )
( )
( )
( ) .18660,0
8660,0
30cos
30cos
300cos
300cos
30cos
30cos
2
1
==
°+
°−
=
°+°
°−°
=
°+
°−
=



θ
θ
W
W
 
b) 21 WW = com sinais contrários ⇒ 21 /WW = -1 ⇒ cos (θ) = 0 ⇒ θ = 90°. 
Contra-prova: ( )( )
( )
( )
( )
( ) .15,0
5,0
120cos
60cos
3090cos
3090cos
30cos
30cos
2
1
−=
−
=
°
°
=
°+°
°−°
=
°+
°−
=



θ
θ
W
W
 
c) 21 WW= /2 com mesmos sinais ⇒ 21 /WW = 0,5 ⇒ cos (θ) ≅ 0,866 ⇒ θ ≅ 30°. 
Contra-prova: ( )( )
( )
( )
( )
( ) .5,00,1
5,0
0cos
60cos
3030cos
3030cos
30cos
30cos
2
1
==
°
°
=
°−°
°+°
=
°−
°+
=



θ
θ
W
W
 
d) 21 WW = /2 com sinais contrários ⇒ 21 /WW = -0,5 ⇒ cos (θ) ≅ 0,1867 ⇒ θ ≅ 79,24°. 
Contra-prova: ( )( )
( )
( )
( )
( ) .5,0505,06529,0
3295,0
24,49cos
24,109cos
3024,79cos
3024,79cos
30cos
30cos
2
1
−≅−=
−
=
°
°
=
°−°
°+°
=
°−
°+
=



θ
θ
W
W
 
e) 01 =W ⇒ 21 /WW = 0 ⇒ cos (θ) ≅ 0,5 ⇒ θ ≅ 60°. 
Contra-prova: ( )( )
( )
( )
( )
( ) .0866,0
0
30cos
90cos
3060cos
3060cos
30cos
30cos
2
1
==
°
°
=
°−°
°+°
=
°−
°+
=



θ
θ
W
W
 
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Exemplo 3.7 - No circuito indicado ao lado aW acusa 800 W e bW , 400 W. 
Com o terminal (a) aberto Wb acusou leitura negativa. Pede-se: 
a) A potência trifásica consumida pela carga. 
( ) 4004008003 =−+=+= baF WWP watts. 
b) O fator de potência da carga trifásica. 
Na curva de relações de potência, com 5,0
800
400/ 21 −=
−
=WW obtém-se 
 
o fator de potência = 1867,0cos =θ . 
3.18 – VOLT-AMPÉRES REATIVOS 
No método dos dois wattímetros pode-se usar a as leituras 1W e 2W para determinar a potência 
reativa, ou melhor, 
[ ]
[ ] ⇒====
=−−+=
=°+−°−=−
32
12302
)3030cos(cos3030coscos
)30(cos)30(cos)(
3
21
F
LLLLLL
LL
LLLL
Q
senIVsenIVsensenIV
sensensensenIV
IVIV
θθθ
θθθθ
θθ
o
oooo
WW
 
)(3 213 WWQPQ Fx −=== . 
 
Cálculo do fator de potência baseado nas leituras 1W e 2W 
Exemplo 3.8 – Para o exercício anterior com seqüência ABC, pede-se: 
a) A potência reativa trifásica da carga. 
Seqüência ABC ⇒ WWW a 8001 == e WWW b 4002 −== ; 
( ) 46,078.2)400800(3)(3 213 =−−=−== WWQQ F VAr. 
b) O fator de potência da carga trifásica. 
 
Solução 1: 
( ) 400)400800()( 213 =−+=+== WWPP F W; 
189,0)cos(107,79196,5
400
46,078.2
==⇒°=⇒=== θθθ fp
P
Q
tg . 
Solução 2: 
6,116.246,078.2400 2222 =+=+= QPN VA; 
189,0
6,116.2
400
===
N
Pfp . 
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3.19 - MÉTODO DE UM WATTÍMETRO PARA MEDIÇÃO DE POTÊNCIA REATIVA 
De maneira similar ao método dos dois wattímetros para medição de potências trifásicas equilibradas 
real e reativa pode-se comprovar através de diagramas fasoriais o “Método de um wattímetro para a 
medição da potência reativa trifásica.” Têm-se: 
Critério para seqüência de fases direta (ABC) 
• Escolha uma fase para inserção do wattímetro, por exemplo, a fase (a); 
• Partindo da fase (a), aquela com wattímetro, girando-se no sentido horário, 
encontra-se a tensão bcV& que deverá ser aplicada a bobina de tensão do 
wattímetro (a), aW . 
• A potência reativa será dada por: aWQ 3= ; 
• O sinal de aW implicará no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significa 
 
potência reativa capacitiva, caso contrário, potência reativa indutiva. Ressalta-se a importância da ligação 
experimental com as polaridades corretas. 
Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os 
wattímetros nas fases (a), (b) e (c). Têm-se as medições para os wattímetros seguintes: 
I - Watímetros na fase (a): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVaabca aabc =°−=−= && ; 
II - Watímetros na fase (b): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVbbcab bbca =°−=−= && ; 
III - Watímetros na fase (c): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVccabc ccab =°−=−= && . 
 
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Similarmente, para seqüência de fases inversa (CBA), tem-se o critério: 
Critério para seqüência de fases inversa (CBA) 
• Escolha uma fase para inserção do wattímetro, por exemplo, a fase (c); 
• Partindo da fase (c), aquela com wattímetro, girando-se no sentido horário, 
encontra-se a tensão baV& que deverá ser aplicada a bobina de tensão do 
wattímetro (c), cW . 
• A potência reativa será dada por: cWQ 3= ; 
• O sinal de cW implicará no sinal de Q , ou seja, um valor negativo significa 
 
potência reativa capacitiva, caso contrário, potência reativa indutiva. Ressalta-se a importância da ligação 
experimental com as polaridades corretas. 
Observe a comprovação do critério acima no diagrama fasorial da página seguinte para os 
wattímetros nas fases (c), (b) e (a). Têm-se as medições para os wattímetros seguintes: 
I - Watímetros na fase (c): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVccbac ccba =°−=−= && ; 
II - Watímetros na fase (b): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVbbacb bbac =°−=−= && ; 
III - Watímetros na fase (a): ( ) )()90(coscos
'
'
θθθθ senIVIVIVW LLLLIVaacba aacb =°−=−= && . 
 
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3.20 - SISTEMAS TRIFÁSICOS TETRAFILARES 
Nos sistemas trifásicos tetrafilares equilibrados não existem correntes no neutro e, portanto, podem 
ser tratados da mesma forma que os sistemas trifásicos trifilares. 
3.21 – SISTEMAS EM ∆ 
Sempre existe sistema em Y equivalente ao ∆, portanto, pode-se usar as mesmas regras anteriores. 
Observe-se que foram utilizadas apenas correntes e tensões de linha nas expressões literais para os cálculos 
de potências. 
Problema 3.12 – Para uma carga trifásica equilibrada ligada em ∆, seqüência direta, fp=1 e valores 
instantâneos máximos de linha: máximoLV = 155,5 volts e máximoLI = 14,14 ampères, pede-se o valor acusado 
pelos wattímetros aW e cW , ligados em concordância com o método dos dois wattímetros. 
VVV máximoLL 96,1092/ == ; AII máximoLL 102/ == ; 
fp=1 ⇒ θ = arc cos (1) = 0°; 
Seqüência ABC ⇒ 1WWc = e 2WWa = ; 
1WWc = = ( ) WIV LL 2,952)300cos(1096,10930cos =°−°××=°−θ ; 
2WWa = = ( ) WIV LL 2,952)300cos(1096,10930cos =°+°××=°+θ . 
 
 
Exercício - Para uma carga trifásica equilibrada ligada em triângulo, Ω°∠= 40100FZ& , alimentada com 
200=LV volts onde VVV Fan °−∠= 30& , seqüência inversa, pede-se: 
 
a) As tensões ,,, cnbnan VVV &&& ,,, cabcab VVV &&& correntes: ,,, cabcab III &&& ccbbaa III ''' ,, &&& e suas composições fasoriais 
envolvendo os valores de fase e de corrente. 
;15047,115
;9047,115
;3047,115
VV
VV
VV
cn
bn
an
°−∠=
°+∠=
°−∠=
&
&
&
 
;180200
;60200
;60200
VV
VV
VV
ca
bc
ab
°+∠=
°+∠=
°−∠=
&
&
&
 
;1402
;202
;1002
AI
AI
AI
ca
bc
ab
°+∠=
°+∠=
°−∠=
&
&
&
 
.170464,3
;50464,3
;70464,3
'
'
'
AI
AI
AI
cc
bb
aa
°+∠=
°+∠=
°−∠=
&
&
&
 
 
 
 
 
b) Calcular N, P e Q para o sistema trifásico equilibrado. 
.32,771
;23,919cos
;96,199.1464,320033
VArsenNQ
WNP
VAIVN LL
==
==
=××==
θ
θ 
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c) Calcular as leituras dos watímetros (b) e (c) conforme indicados na página anterior. 
 
.27,682)170180(cos464,3200)cos(
;95,236)50120(cos464,3200)cos(
'
'
'
'WIVW
WIVW
ccca
bbba
IVcccac
IVbbbab
=°−°××=−=
=°−°××=−=
&&
&&
θθ
θθ
 
 
d) Calcular P, Q e N a partir das leituras de Wb e Wc de acordo com o método dos dois wattímetros 
 
Seqüência inversa (CBA), wattímetros nas fases (b) e (c) ⇒ 
( ) ;27,6823040cos464,3200)30(cos1 WIVWW LLc =°−°××=°−== θ 
( ) .95,2363040cos464,3200)30(cos2 WIVWW LLb =°+°××=°+== θ 
.96,199.132,77122,919
;32,771)95,23627,682(3)(3
;22,919)95,23627,682(
2222
21
21
VAQPN
VArWWQ
WWWP
=+=+=
=−×=−=
=+=+=
 
 
 
e) Calcular a leitura do wattímetro (a) colocado na fase A, para medição da potência reativa. 
 
Seqüência inversa (CBA), wattímetro na fase (a) ⇒ tensão cbV& aplicada à 
bobina de tensão do wattímetro (a); 
.32,77132,44533
;32,445)70120(cos464,3200)(cos
'
'
VArWQ
WIVW
a
IVaacba aacb
=×==
=°+°−××=−= && θθ
 
 
 
3.22 – COBRE NECESSÁRIO PARA TRANSMITIR POTÊNCIASOB CONDIÇÕES FIXADAS 
 
Problema 3.13 – Determinar a relação de cobre necessária para transmissão bifásica trifilar com relação ao 
sistema trifásico trifilar sob as condições: 
a) Mesma potência real transmitida; 
b) Mesma distância de transporte; 
c) Mesma perda total na linha de transmissão; 
d) Mesma tensão entre linhas; 
e) Mesma densidade de corrente nos três condutores bifásicos. 
Solução: 
Vamos considerar o índice (2) associado ao sistema bifásico e, (3), ao sistema trifásico. Para o sistema 
bifásico, têm-se: 
 
 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 30 
Da condição (a), têm-se : )1(cos
2
2cos3
2
2
3323 θθ L
L
LL I
V
IVPP =⇒= ; 
Substituindo a condição (d) em (1) tem-se: )2(
3
2
2
23
23
2
3 LL
L
L II
I
I =⇒= ; 
Da condição (e), têm-se : 
2222
22 fasenLn SSII =⇒= onde S é a seção dos condutores ⇒ 
2
2
2
L
n
R
R = (3); 
Da condição (c), têm-se : )4(23 22223 222233 nnLLLL IRIRIRPP +=⇒= ; 
Substituindo a condição (3) em (4) e lembrando-se que 
22
2 Ln II = , tem-se: 
( ) ( ) )5(222
2
23 2
222
222
2
2233 LLL
L
LLLL IRI
R
IRIR +=+= ; 
Substituindo a condição (2) em (5), tem-se: 
( ) ( ) ( ) )6(
2
22
2
2222
3
23
3
2
2
3
2223
2
2
+
=⇒
+
=⇒+=







L
L
L
L
LLLL S
S
R
R
IRIR ; 
Assim, a relação do cobre necessário é dada por: 
)7(
3
22
.
3
22
3
2
3
22
3
2
3
2 +
=
+
==
L
L
L
LL
S
S
Sl
SlSl
Volume
Volume
Peso
Peso
; 
Substituindo a condição (6) em (7), tem-se: 94,1
3
22
2
22
3
2
=
+
×
+
=
Peso
Peso
. 
 
3.23 – HARMÔNICAS NO SISTEMA Y 
Uma f.e.m. gerada num condutor será senoidal apenas quando o fluxo cortando o condutor for 
senoidal. Existem vários fatores que distorcem a distribuição de fluxo senoidal em geradores C.A, tais como: 
• Ranhuras e dentes de armadura – modificam a relutância do percurso do fluxo; 
• Introdução da carga – provocando uma corrente no induzido; 
Certas disposições dos indutores na armadura e suas conexões reduzem certas harmônicas ou, 
mesmo, as eliminam por completo. Além disso, transformadores com núcleos de ferro conectados ao circuito 
podem provocar distorção do sinal senoidal devido a sua corrente de excitação que pode não ser senoidal 
ainda que a tensão aplicada seja uma onda senoidal pura. Torna-se, portanto, necessário considerar os efeitos 
de certas harmônicas de tensões e de correntes nas fases de um sistema trifásico já que afetam as tensões de 
linha do sistema. 
Supondo-se que a f.e.m. induzida na fase a de um gerador conectado em Υ, 
mostrada na figura ao lado, seja 
)7()5()3( 7755331 ααα ++++++= wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmna . 
Supondo seqüência direta, fundamental da fase (b) atrasada de 120° da fundamental 
da fase (a), fase (c) atrasada de 240° e como, usualmente, um deslocamento de um 
grau da fundamental provoca um deslocamento de n graus na n-ésima harmônica 
têm-se para as tensões das fases (b) e (c): 
)1207()2405()3()120( 7755331 °−++°−++++°−= ααα wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmnb ; 
)2407()1205()3()240( 7755331 °−++°−++++°−= ααα wtsenEwtsenEwtsenEwtsenEe mmmmnc . 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 31 
Conclue-se: 
• Todas as 3as harmônicas e seus múltiplos de 6: 9as, 15as, 21as, etc., estão em fase; 
• A seqüência de fase da 5a harmônica e de seus múltiplos de 6: 11a, 17a, 23a, etc., estão invertidas em 
relação à fundamental; 
• A 7a harmônica e seus múltiplos de 6: 13a, 19a, 25a, etc., têm a mesma seqüência de fase da fundamental. 
Para determinar as tensões de linha devem-se efetuar as suas composições em termos das tensões de 
fase considerando separadamente cada harmônica, conforme indicado abaixo: 





+=
+=
+=
nacnca
ncbnbc
nbanab
eee
eee
eee
 
 
 
 
Obtendo-se: 
)1507(3)1505(3)150(3 77551 °−++°+++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmab ; 
)907(3)905(3)90(3 77551 °+++°−++°+= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmbc ; 
)307(3)305(3)30(3 77551 °−++°+++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmca
.
 
Como as 3as harmônicas se anulam nas tensões de linha, têm-se para os valores eficazes das tensões de fase e 
de linha no gerador em estrela: 
;3
2
3
;
2
2
7
2
5
2
1
2
7
2
5
2
3
2
1
fL
mmm
ba
mmmm
na
EEEEEE
EEEEE
≤⇒
++
=
+++
=
 
Observa-se, então, que a relação da tensão de linha para a tensão de fase na ligação Υ é 3 apenas quando 
não há, na onda da tensão de fase, a terceira harmônica ou seus múltiplos de 6. 
 
Correntes no sistema Y 
Considerando a Lei de Kirchhoff para as correntes ( 0=++ ncnbna III &&& ) conclui-se que não existe 3a 
harmônica de corrente na conexão Υ trifilar, pois, em condições equilibradas, esta condição pode ser 
satisfeita apenas quando as três correntes são iguais em módulo e defasadas de 120° (que não é o caso já que 
estão em fase) ou quando o módulo de cada uma delas são nulos. Por outro lado, nos sistemas Υ tetrafilares a 
corrente de 3a harmônica retornará pelo neutro e se valor será Harmônican II °= 33 . O comportamento dos 
diagramas fasoriais de correntes são similares àqueles apresentados para as tensões. 
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3.24 – HARMÔNICAS NO SISTEMA ∆ 
Para as mesmas três bobinas do item anterior com tensões induzidas nae , nbe e nce contendo as 1
a
, 3a, 
5a e 7a harmônicas, conectadas em ∆, provocará, a vazio, uma 
corrente de 3a harmônica no triângulo dada por: 
H
H
H
H
HHH
HHH
g
g
g
g
bcabca
ncnbna
H Z
e
Z
e
ZZZ
eee
I
3
3
3
3
333
333
3
3
3 &&&&&
==
++
=
++
. 
Nota-se, então, que a tensão terminal nas linhas que é a 
tensão gerada menos a queda interna não conterão a 
componente de 3a harmônica já que a tensão de 3a harmônica 
gerada é consumida na impedância interna da bobina 
geradora. Dessa forma têm-se as tensões de linha: 
 
)7()5( 77551 αα ++++= wtsenEwtsenEwtsenEe mmmca ; 
)1207()2405()120( 77551 °−++°−++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmab ; 
)2407()1205()240( 77551 °−++°−++°−= αα wtsenEwtsenEwtsenEe mmmbc . 
Todas as harmônicas de corrente são possíveis nas fases do triângulo e as 
correntes de linha são determinadas pelas composições daquelas de fase indicadas 
ao lado, não possuindo a componente de 3a harmônica. Têm-seos valores eficazes 
para as correntes de fase e de linha: 
;
2
2
7
2
5
2
3
2
1 mmmm
f
IIIII +++= 





−=
−=
−=
cabccc
bcabbb
abcaaa
III
III
III
&&&
&&&
&&&
'
'
'
 
2
3
2
7
2
5
2
1 mmm
L
IIII ++= ⇒ fL II 3≤ . 
Observa-se, então, que a relação da corrente de linha para a corrente de fase na ligação ∆ é 3 apenas 
quando não há, na onda da tensão de fase, a terceira harmônica ou seus múltiplos de 6. 
Na síntese das harmônicas de tensão e de corrente existentes na fase e na linha para as várias 
combinações de geração-carga, mostradas adiante, têm-se as convenções: 
• Nas bobinas do gerador, independentemente da ligação Υ ou ∆, foram gerados as 1a, 3a e 5a harmônicas; 
• Os índices tem os significados: ( f ) – fase; ( g ) – gerador; ( L ) – linha; ( c ) – carga. 
 
a) Sistema Υ-Υ trililar – 3 fases 
 
gfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LE – 1
a
 e 5a harmônicas; 
gfI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
LI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
cfI – 1
a
 e 5a harmônicas. 
 
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b) Sistema Υ-Υ tetrafilar – 3 fases + neutro 
 
gfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LE – 1
a
 e 5a harmônicas; 
cfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
gfI – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LI – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
nI – 3 x harmônicaI °3 . 
 
c) Sistema Υ-∆ trililar – 3 fases 
 
gfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LE – 1
a
 e 5a harmônicas; 
gfI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
LI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
cfI – 1
a
 e 5a harmônicas. 
 
d) Sistema ∆-∆ trililar – 3 fases 
 
gfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LE – 1
a
 e 5a harmônicas; 
gfI – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
cfI – 1
a
 e 5a harmônicas. 
 
e) Sistema ∆-Υ trililar – 3 fases 
 
gfE – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LE – 1
a
 e 5a harmônicas; 
gfI – 1
a
, 3a e 5a harmônicas; 
LI – 1
a
 e 5a harmônicas; 
cfI – 1
a
 e 5a harmônicas. 
 
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Exemplo 3.49 – Um gerador emY gera na sua tensão de fase Ef os harmônicos 1°, 3°, 5° e 7°. Sabendo-se 
que VL = 230 volts e Vf = 160 volts medidos através de um voltímetro, pede-se o módulo de tensão gerada 
V3 para a terceira harmônica. 
Sabe-se que: 
 
).2(
23
230
2
)3()3()3(230
);1()()160(
2
160
2
7
2
5
2
1
22
7
2
5
2
1
22
2
7
2
5
2
3
2
1
mmmmmm
l
mmmm
f
VVVVVVV
VVVVV
++
=⇒
++
==
=⇒
+++
==
 
Substituindo (2) em (1) obtemos: 
;23,126267,966.7
23
230160 3
2
3
2
3
2
2
=⇒×=⇒+= mm
m VVV 
Módulo de VVV mm 26,892
3
3 == . 
 
Exemplo. 3.50 - Para o circuito abaixo foi gerado as harmônicas 1°, 3°, 5°, e 7°. Através de um voltímetro 
obteve-se as medidas: Vac=2.500 volts e Vbb’=1.800 volts. Pede-se a tensão Vab’. 
 
).3(
2
500.2
22
);2(
3
2800.1
2
3800.1
2
)3(800.1
);1(
2
)2(
2
32
2
7
2
5
2
1
2
7
2
5
2
3
2
1
3
3
2
3
''
2
3
2
7
2
5
2
1
''
memmmmmmm
ac
me
mem
bbcbacbabb
mmmm
abcbacab
VVVVVVVVV
VVVVVVVV
VVVVVVVV
−=
++
⇒
+++
=
×
=⇒=⇒==⇒++=
+++
=⇒+=
&
&&&&&
&&&&
 
Substituindo (3) em (1) elevado ao quadrado, obtêm-se: 
).4(
2
3500.22
2
500.2)( 23223
2
322
' mm
me
ab VV
VV +=+−=& 
Substituindo (2) em (4), obtêm-se: 
CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
UFU – FEELT – Mauro Guimarães 35 
4,707.2800.1
3
1500.2
3
2800.1
2
3500.2)(
'
22
2
22
'
=⇒×+=






 ×
+= abab VV& volts. 
 
Exemplo. 3.52 – Para o circuito indicado abaixo, gerador trifásico equilibrado, carga puramente resistiva, 
tem-se que: leitura do amperímetro: 15 A, leitura do voltímetro: 230 V, leitura do watímetro: 600 watts, e 
que são gerados sinais de 1° e 3° harmônicas. Pede-se a corrente de linha e a tensão Van. 
 
.34,1756,16
;6,16
8
79,132
;8
5
40
;68,1384079,132
;40
115
6006000cos
;79,132
3
2302303
;5153
22
1
1
33
22
11''
33
3
AI
A
R
V
I
RIRV
voltsV
voltsVVIW
voltsEEVEEEV
AIAIIIIII
l
Han
H
HHan
an
nnn
HHbccbbcbc
HHncnbnanN
o
o
oo
Ho
oo
oo
=+=
===
Ω==⇒=
=+=
=
×
=⇒=°=
==⇒==⇒−==
=⇒==⇒++=
&&&&&&
&&&&&&&
 
 
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Problemas - Capítulo 8 – Corcoran 
 
 
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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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CE2 - Unidade 3 - Circuitos Polifásicos Equilibrados 
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Respostas dos Problemas - Capítulo 8 - Corcoran 
8.14) VF = 78 V; V12 = 78 V. 8.15) VF = 193,19 V; V13 = 193,19 V; V17 = 386,37 V. 
8.16) IF6 = 10 A; IF12 = 19,32 A. 
8.17) Três maneiras: b1 + b2 com EL =190,5 V; b1 - b4 com EL = 219,97 V; b1 // (-b4) com EL = 109,99 V. 
8.18) Estrela trifásica 
 
 Malha trifáica 
 
 
 Ligação bifásica 
 
 
8.19) Malha trifásica ⇒ E =119,06 V; Estrela trifásica ⇒ E = 68,74 V. 
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8.20) 
 
8.21) Y ⇒ IL = 6,64 A, 
 P = 2.116 W; 
∆ ⇒ IL = 19,92 A, 
 P = 6,348 W. 
8.22) 
 
8.23) EL = 80 V. 8.24) VL = 207,61 V. 
8.25) IF = 5,75 A; IL = 9,96 A. 8.26) VL = 271,26 V; P = 4.411,76 W. 
8.27) IL = 36,51 A. 8.28) Ligação ∆: &Z F =2,634 + j9,878 Ω; Ligação Y: &Z F = 0,878 + j3,293 Ω. 
8.29) IL = 16,72 A; P = 2.338,46 W; f p = 0,8076. 
8.30) N = 8,73 kVA; fp = 0,958; IL = 22,91 A. 8.31) VL = 279,69 V. 
8.32) f p atrasado ⇒ Q = 5,773 kVArs; f p adiantado ⇒ Q = 11,547 kVars. 
8.33) f p atrasado e ∆ ⇒ C = 96,50 µF; f p atrasado e Y ⇒ C = 289,49 µF; 
 f p adiantado e ∆ ⇒ C = 193,01 µF; f p adiantado e Y ⇒ C = 579,02 µF. 
8.34) VL = 89,64 V; PL = 325,26 W; Pc = 813,14 W. 8.35) EL = 382,59 V. 
8.36) EL = 2.091,19 V; P = 76,92 kW; f p = 0,424. 8.37) VL = 2.385 V. 
8.38) fo = 820,7 Hz. 8.39)a) C= 1,187 µF; b) L = 16,60 mH. 
8.40)Wa = -127,22 W; Wb = 402,45 W; PF = 91,74 W. 8.41)W1 = 8,274 kW; W2 = -3,274 kW. 
8.42) WR = 529,68; QT = 917,43 VArs; QW
T
R
= 3 . 8.43) Prova. 
8.44) a) θ = 10,89 °; b) θ = 86,33 °. 8.45) N = 2.884,44 VA; f p = 0,2774. 
8.46) IL = 20 A ; f p = 0,6; P = 14.400 W. 
8.47) eab = 219,97 sen (wt - 150°) + 51,96 sen (5wt - 170°) V. 8.48) eL = 127 sen wt + 30 sen (5wt + 40°). 
8.49) VM3 = 89,25 V. 8.50) Vab’ = 2.707,4 V. 
8 51) Vbb’ = 2.056,7 V. 8.52) IL = 17,34 A; VAN = 138,68 V. 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 42 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo 
Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating 
Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 8, p. 307-353. 
2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; 
revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. 
reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 22, 
p. 663-686. 
3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado 
Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 12. p. 475-549. 
4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. Tradução: Ronaldo Sérgio Biasi. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Tradução de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 11. p. 365-391. 
5. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e 
ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 1. p. 1-105. 
6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos 
Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & 
Sons, 1990. cap 13. p. 319-343.

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