APOSTILA ANÁLISE SEP ITABIRA

Prévia do material em texto

EEL022 - ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS – UNIFEI - CAMPUS ITABIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ANÁLISE DE SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
PROF. FREDERICO OLIVEIRA PASSOS 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ – CAMPUS ITABIRA 
 
Resumo 
O curso de Análise de Sistemas Elétricos (EEL022) é ministrado em 64horas-aulas. 
São 16 semanas de 4horas na quinta-feira as 13:30h. 
A disciplina será ministrada através de metodologia ativa onde o aluno deverá 
comparecer a aula preparado para ser desafiado e questionado sobre o conteúdo previamente 
informado. O aluno será avaliado conforme procedimento de avaliação abaixo: 
Procedimento de aula 
Avaliação individual do estudo prévio: Ocorrerá através de argüição individual; O 
aluno será escolhido através de sorteio; 
Dinâmica de grupo: Conjunto de desafios pertinentes aos conteúdos discutidos. Onde 
equipes disputarão os desafios. Cada equipe terá um líder no dia de aula e terá que dispensar 
um membro para a outra equipe; 
Dinâmica Individual: Conjunto de desafios pertinentes aos conteúdos discutidos. 
Onde cada aluno deverá finalizar o desafio em sala individualmente; 
Procedimento de avaliação de aulas 
Toda aula: NOTA DE 0-100 COMPOSTA POR: 
Nota de participação: [0-100] 30% 
Nota de estudo prévio: [0-100] 50% * a nota daqueles não sorteados será a média da 
nota dos alunos sorteados; 
Nota de desempenho na prática: [0-100] 20% 
0,7*(MÉDIA DAS AULAS ATÉ P1)+0,3*P1 = NOTA 1 
0,7*(MÉDIA DAS AULAS DEPOIS DE P1 ATÉ P2)+0,3*P2 =NOTA 2 
EXAME AVALIAÇÃO INDIVIDUAL TRADICIONAL 
 
 
 
Ementa: 
 Introdução. A representação PU: cargas, trafos de tapes variáveis, choques de 
bases e circuito pi equivalente. O método dos componentes simétricos: potência e 
componentes seqüenciais para sistemas de impedâncias desequilibrados, circuitos seqüenciais 
e análise de desequilíbrios. Capacidade de curto circuito. Impedâncias seqüenciais de 
equipamentos e máquinas. Análise de sistemas desequilibrados. Faltas métricas e assimétricas 
"shunt" e série e simultâneas. Aterramento de neutro. A matriz de impedância nodal. 
Bibliografia: 
 HERMETO, ANTONIO, E. – Apostila de Análise de Sistemas Elétricos, UNIFEI, 
2008. 
 ANDERSON, PAUL, M. – Analysis of Faulted Power Systems, Iowa State University 
Press,1973 
 GRAINGER, JOHN,J., WILLIAM D. STEVENSON- Power System Analysis, 
McGraw-Hill,1994 
 ELGERD, O.I – Introdução a Teoria de Sistemas de Energia Elétrica- McGraw-Hill 
do Brasil,1977. 
 BARTHOLD, L. O., REPPEN,N.D. e HEDMAN, D. E. - Análise de Circuitos de 
Sistemas de Potência Série PTI – Santa Maria, RS, 1978. 
 THE ELECTRICITY COUNCIL – Power System Protection – Vol. 1- Peter 
Peregrinus Ltd, Stevenage, U.K., 1981. 
 OLIVEIRA, C.C. B., SCHIMIDT,H.P., KAGAN,N. E ROBBA, E. J. – Introdução a 
Sistemas Elétricos de Potência, Edgard Blucher Ltda, 1996. 
 BLACKBURN, J.L. – Symetrical Components for Power System Engineering – 
Marcel Dekker Inc,. N.Y., 1993. 
 THE ELECTRICITY COUNCIL – Power Protection – Vol. 1 Peter Peregrinus Ltd., 
Stevenage, U.K.,1981. 
 ELECTRICAL TRANSMISSION AND DISTRIBUTION REFERENCE BOOK – 
Westinghouse Electric Corporation. 
 
 
CONTEÚDO 
 
AULA 01 – Introdução de Análise de Sistemas Elétricos, PU e Representação de Cargas 
Trifásicas em PU ..................................................................................................... 1 
Introdução de Análise de Sistemas Elétricos...................................................... 1 
Representação por Unidade – PU ....................................................................... 1 
Representação de Impedâncias em PU ............................................................... 3 
 
AULA 02 – Mudança de Base e Representação de Transformadores ....................................... 7 
Mudança de Base ................................................................................................ 7 
Representação de Transformadores em PU ........................................................ 8 
AULA 03 – Representação de Banco de Transformadores ..................................................... 12 
Representação de Banco de Transformadores em PU ...................................... 12 
AULA 04 – Representação de Cargas ..................................................................................... 19 
Representação de Cargas .................................................................................. 19 
AULA 05 – Choque de bases e Transformadores com Tapes ................................................. 27 
Choque de Bases .............................................................................................. 27 
Transformador com Tapes ................................................................................ 30 
AULA 06 – π Equivalente aos transformadores com Tapes .................................................... 33 
π Equivalente aos transformadores com Tapes ................................................ 33 
AULA 07 – Componentes Simétricos ..................................................................................... 37 
Componentes Simétricos .................................................................................. 37 
AULAS 08 e 09 – Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas............... 43 
Potência em Componentes Simétricos ............................................................. 43 
Componentes simétricos de uma rede com impedâncias desequilibradas ....... 44 
AULA 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas ................................................ 51 
Redes equilibradas providas de cargas desequilibradas ................................... 51 
AULA 11 – Desequilíbrio Shunt – Circuito de Quatro Braços ............................................... 58 
Desequilíbrio devido às faltas shunts diversas ................................................. 58 
AULA 12 – Circuito de Quatro Braços – Casos Particulares .................................................. 66 
Circuito de Quatro Braços – Casos Particulares .............................................. 66 
AULA 13 – Circuito para falta trifásica desequilibrada .......................................................... 76 
Circuito para Cálculo de Falta Trifásica Desequilibrada ................................. 76 
AULA 14 – Análise de Faltas Série ......................................................................................... 81 
Análise de Faltas Série ..................................................................................... 81 
Circuito de Quatro Braços – Casos Particulares de Desequilíbrio série .......... 84 
Abertura de Uma Fase ...................................................................................... 84 
Abertura de Duas Fase ..................................................................................... 85 
AULA 15 – Defasamento angular de Transformadores ........................................................... 90 
Defasamento angular de Transformadores em Componentes Simétricos ........ 90 
AULA 16 – Banco de Transformadores com 3 Enrolamentos ................................................ 93 
Banco de Transformadores com 3 Enrolamentos ............................................. 93 
Impedância de sequencia zero de transformadores trifásicos de 2 enrolamentos 
providos de núcleo trifásico ............................................................................. 97 
AULA 17 – Representação de Linhas de Transmissão ............................................................ 99 
Linhas de Transmissão ..................................................................................... 99 
Modelagem de Linhas de Transmissão .......................................................... 100 
AULA 18 – MáquinasSíncronas ........................................................................................... 105 
Máquinas Síncronas ....................................................................................... 105 
Impedâncias de sequencia zero e negativa de máquinas síncronas ................ 107 
AULA 19 – Motor de Indução Trifásico ................................................................................ 109 
Motor de Indução Trifásico ............................................................................ 109 
Impedâncias de sequencia zero e negativa do MIT ........................................ 110 
A contribuição do MIT durante faltas ............................................................ 112 
AULA 20 – Potência ou Capacidade de Curto-Circuito ........................................................ 113 
Potência ou Capacidade de Curto-Circuito .................................................... 113 
AULA 21 – Aterramento de Neutro....................................................................................... 116 
 
Aterramento de Neutro ................................................................................... 116 
a)Resistências desprezíveis ............................................................................ 118 
b)Resistências de sequencia positiva desprezíveis ......................................... 119 
AULA 22 – Matriz de Admitância Nodal .............................................................................. 121 
Matriz de Admitância Nodal .......................................................................... 121 
AULA 23 – Matriz de Impedância Nodal .............................................................................. 127 
Matriz de Admitância Nodal .......................................................................... 127 
Análise de curto-circuito utilizando a matriz de impedância nodal ............... 132 
ANEXO 1 
ANEXO 1- Desenvolvimento de 
1A ZA− e 1 03 g aA Z I
−  : ................................... 1 
ANEXO 2- Conceito do Teorema de Thevenin: ................................................ 4 
 
 
 
 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 1 
AULA 01 – Introdução de Análise de Sistemas Elétricos, PU e Representação de Cargas 
Trifásicas em PU 
Introdução de Análise de Sistemas Elétricos 
Na engenharia elétrica, sempre se busca a forma mais adequada para representar, 
estudar e resolver alguma questão ou problema relacionado a um determinado sistema 
elétrico. Dada a complexidade e tamanho que, em geral, os sistemas elétricos reais têm, 
utilizam-se diversas ferramentas e métodos para facilitar a compreensão e solução dos 
problemas de engenharia. 
Para que um sistema elétrico possa entrar em operação, funcionar continuamente com o 
mínimo de interrupções e se expandir para atender o aumento da demanda, um conjunto de 
estudos devem ser realizados para que a tão necessária energia elétrica dos dias atuais esteja 
disponível para as diversas aplicações no âmbito industrial, comercial e residencial. Estudos 
complexos de fluxo de potência, análise de curto-circuito e estudos de estabilidade, entre 
outros, são fundamentais para que a energia elétrica saia dos pontos de geração e chegue até 
os diversos tipos de consumidores finais. Com objetivo de garantir uma energia elétrica de 
qualidade (níveis de tensão e freqüência adequados), com um fornecimento de qualidade 
(serviço de fornecimento adequado e sem interrupções) e com a maior eficiência e segurança 
viavelmente possíveis (minimizar os custos e impactos ambientais e garantir a segurança 
operacional do sistema e das pessoas diretamente envolvidas). 
Ao longo do curso, tais ferramentas e métodos serão apresentados para o graduando em 
engenharia elétrica. Assim, para que o mesmo comece essa jornada é fundamental o 
conhecimento de alguns conceitos básicos. 
A matéria de Análise de Sistemas Elétricos consiste em apresentar os conceitos de: 
valores PU de grandezas elétricas, componentes simétricos e suas transformações, 
representação de elementos e máquinas elétricas em componentes simétricos, análise de 
circuitos equilibrados com cargas desequilibradas, circuitos desequilibrados, capacidade de 
curto-circuito de uma determinada barra do sistema e aterramento de neutro. 
Representação por Unidade – PU 
 Sabendo que ao longo de todo um sistema elétrico existem diversos níveis de tensão e, 
consequentemente, diversos níveis de corrente, a interpretação dos valores das grandezas 
elétricas para diversos pontos diferentes do sistema fica muito difícil. Tais diferenças nos 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 2 
valores podem chegar à ordem de mil vezes. Ou seja, se alguém for informado que ocorreu 
uma variação de tensão de 10% do valor nominal, qualquer um conseguiria interpretar essa 
informação, entretanto, se fosse informado que a tensão variou 100V, aparece a dúvida, pois 
se ocorreu na parte do sistema onde a tensão é 220V nominais é uma grande variação, caso 
ocorresse no sistema onde a tensão nominal é de 13800V, a variação é irrisória. 
Para que tais grandezas elétricas possam ser interpretadas em qualquer ponto do 
sistema, utiliza-se uma comparação da grandeza elétrica com um valor referência estabelecido 
para a mesma grandeza para aquele determinado ponto do sistema, chamado base do sistema. 
Sabe-se que conhecidas duas grandezas elétricas de um elemento, todas as outras 
grandezas podem ser obtidas. O mesmo conceito vale para as bases do sistema, pois ao 
definir valores base de duas grandezas para um determinado ponto do sistema, as bases das 
outras grandezas podem ser obtidas facilmente. Em sistemas de potência, as grandezas 
usualmente utilizadas como base são a potência aparente e a tensão. 
Sendo as bases valores referência, qualquer valor em módulo pode ser adotado, entre 
tanto é comum a utilização dos valores nominais de tensão e potencia aparente como base do 
sistema. É importante ressaltar que o valor base de potência será o mesmo para qualquer 
ponto do sistema e os valores base de tensão, corrente e impedância poderão mudar ao longo 
do sistema devido às relações de transformação dos transformadores existentes no sistema 
elétrico. 
Para qualquer grandeza, tem-se: 
_ __
_ _ _
Valor da GradezaValor pu
Valor Base da Gradeza
= 
*obs: os valores PU são adimensionais! 
 
Exemplo – Adotando as seguintes bases do sistema: 100BV kV= e 100BS MVA= , 
obter as bases de corrente e impedância e calcular os valores PU das grandezas medidas 
abaixo: 80aV kV= ; 600aI A= ; 200aZ = Ω ; 100aS MVA= . 
2 2 3 2 2 6 2
6 6
100 .(10 ) 100 .10 100 100
100.10 100.10 100
B B
B
B B
V VZ
I S
= = = = = = Ω 
6 6
3 3
100.10 10 1000
100.10 10
B B
B
B B
V SI A
Z V
= = = = = 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 3 
3
3
80.10 0,8
100.10
a
aU
B
VV pu
V
= = = 
600 0,6
1000
a
aU
B
II pu
I
= = =
 
200 2
100
a
aU
B
ZZ pu
Z
= = = 
6
6
100.10 1
100.10
a
aU
B
SS pu
S
= = = 
Representação de Impedâncias em PU 
Dada uma carga trifásica equilibrada com três impedâncias iguais de valor Z[Ω] 
conectadas, ora em estrela (Y), ora em delta (∆), pode-se calcular o valor do módulo de Z 
através dos valores do módulo da Tensão de Linha (VL ) e do módulo da Potência Aparente 
Trifásica (S3F). 
 
2
3 33
33 3 .
3
3
L L
F L L L
F L F FF
L
V V
V V V VZ
I I S SS
V
   
         = = = = =        
 
 
ou 
2
2
2 2
3 3 3
3 3
3 3
L L
F L
F FF F
V V
V VZ S SS S
 
 
 = = = = 
Agora considerando as mesmastensões e a mesma potencia aparente total dessa carga, mas 
conectada em delta (∆): 
2
333
3
1
3 33 3
F L L L L
LF FFF
LL
V V V V VZ
II SSS
VV
= = = = =
      
            
 
ou 
2 2 2
3 3
3
3
F L L
FF F
V V VZ SS S
= = = 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 4 
A impedância teria que ser três vezes maior para que a carga consumisse a mesma 
potencia! 
Ao considerar o valor base de tensão igual ao valore da tensão de linha (VB = VL) e a 
valor base de potencia igual à potência aparente trifásica da carga (SB = S3F): 
2 2
3
B L
B
B F
V VZ
S S
= = 
Consequentemente, para a conexão em estrela: 
Y BZ Z= 
Para conexão em delta: 
3 BZ Z∆ = 
Para que as duas conexões fossem equivalentes: 
3Y
ZZ ∆= 
Ao trabalhar com valores em PU temos para a conexão estrela: 
2
B
B
B
VZ
S
=
 e 
2
B
U
B B
Z SZ Z
Z V
= =
 
Onde: 
233 3 .
3
3
B B
B B B
B
B B BB
B
V V
V V VZ
I S SS
V
   
         = = = =        
 
 
Para conexão em delta temos: 
2
3
1
3 33 3
B B B B B
B
BB BBB
BB
V V V V VZ
II SSS
VV
= = = = =
      
            
 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 5 
Assim, o valor em PU no delta fica: 
2
3 BB
B
VZ
S
=
 e 
23
B
U
B B
Z Z SZ
Z V
 
= =  
  
Caso as cargas em estrela e delta fossem equivalentes (consumissem a mesma potencia 
para a mesma tensão) o valor ôhmico de Z no delta seria três vezes menor, assim o valor em 
PU seria o mesmo. Isso ocorre, pois o valor em PU representa a carga em delta através de seu 
respectivo equivalente estrela (conversão delta-estrela). 
Exemplo – Sabendo que uma carga trifásica passiva consome 20MVA, quando aplicada 
uma tensão de 500kV,e a mesma tem um fator de potência = 0,5 indutivo, calcular os valores 
ôhmicos das impedâncias quando conectadas em estrele e delta com os respectivos valores 
em PU. 
Trabalhando agora com valores complexos, para estrela: 
*
3 3. .F L LS V I= 
0 0 0 0
2
60
* *
60
3603603 3
0
3 3 3 3
33 3
j j j j
L L L L
jF L
c
j
F L FjFjF F
j
LL L
V e V e V e V e
V VZ e
I I SSS e S ee
VV e V
−
       
                = = = = = =          
                
   




 
( )232 2 6 260 60 60 60 60
6 6
3
500.10 500 .10 500 12,5
20.10 20.10 20
j j j j jL
c
F
VZ e e e e e k
S
       = = = = = Ω             
    
 
 
Obs: Verifica-se que quando os valores de tensão estão em kV e potencia em MVA, basta 
utilizar os valores sem as respectivas ordens de grandeza. 
Para o delta: 
*
3 3. .F L LS V I= 
Aula 1 - Introdução de Análise, PU e Cargas Trifásicas 6 
0 0 0 0 2
60
* *
60
3603603 3
0
3
1
3 333 3
j j j j
jF L L L L L
c
j
LF FjFjF F
j
LLL
V V e V e V e V e VZ e
II SSS e S ee VVV e
−
 
= = = = = =                                
   




 
( )232 2 6 260 60 60 60 60
6 6
3
500.10 500 .10 5003 3 3 3 37,5
20.10 20.10 20
j j j j jL
c
F
VZ e e e e e k
S
       = = = = = Ω             
    
 
Agora calculando os valores em PU: 
Carga em estrela: 
2
B
B
B
VZ
S
=
 
2
60 603
2 2
3
. 1j jC B L FCU C
B B F L
Z S V SZ Z e e pu
Z V S V
   
= = = =   
  
 
 
Para a conexão em delta: 
2
3 BB
B
VZ
S
=
 
2
60 603
2 2
3
1 1. . 3 . . 1
3 3 3
j jC B L F
CU C
B B F L
Z S V SZ Z e e pu
Z V S V
    
= = = =    
    
 
 
Verifica-se que terão os mesmos valores em PU, quando as cargas forem equivalentes. 
Aula 2 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 7 
AULA 02 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 
Mudança de Base 
Utilizar valores em PU trás diversas vantagens para a análise de circuitos. Sabendo que 
os valores em PU estão sempre associados a um valor base de uma certa grandeza, faz-se 
necessário a utilização correta desses valores. 
Ao analisar um circuito elétrico com valores em PU, determinam-se sempre duas bases 
fixas num certo ponto do sistema. Ao considerar a base de potência, a mesma deve ser 
mantida para todo o sistema. Ao fixar a base de tensão, ou corrente, ou impedância num certo 
ponto do sistema, deve-se obter as respectivas bases para os outros pontos do sistema 
considerando as relações de transformação devido à existência de transformadores no 
sistema. 
Na maioria dos casos, as informações em PU fornecidas em cada equipamento que 
compõem o sistema elétrico são dadas nas bases nominais de cada equipamento, ou seja, cada 
equipamento terá seus valores PU associados as suas próprias bases. Assim, um sistema 
elétrico pode ter diversos valores em PU associados a diversas bases distintas, inviabilizando 
qualquer análise do sistema. 
Portanto, para que uma correta análise do sistema possa ser feita, todos os valores em 
PU devem estar nas mesmas bases – chamadas bases do sistema. Para que isso ocorra, a 
mudança de base é de fundamental importância. 
A mudança de base é simplesmente converter um valor em PU dado numa certa base, 
obtendo o valor real da grandeza (ex: valor ôhmico[Ω], tensão[V] e corrente[A]). Em 
seguida, de posse do valor real e da base do sistema que se deseja colocá-lo, obter o novo 
valor em PU associado à nova base. 
Conhecendo uma impedância em PU de um equipamento nas bases nominais do 
mesmo, obtêm-se o novo valor PU associado às bases do sistema conforme abaixo: 
E
EU
BE
ZZ
Z
= , assim: [ ].E EU BEZ Z Z= Ω 
Com o valor da grandeza calculado, basta converter para valor em PU na nova base (ZBS). 
. .E EU BE BESU EU
BS BS BS
Z Z Z ZZ Z
Z Z Z
= = = 
Aula 2 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 8 
Sabendo que ZBE foi obtido dos valores nominais de tensão e potencia do equipamento e que 
ZBS foi obtido dos valores de tensão e potencia adotados no sistema, tem-se: 
2 2
2 2. . .
BE LE S LE S
SU EU EU EU
BS E LS LS E
Z V S V SZ Z Z Z
Z S V V S
      
= = =      
      
 
Exemplo – Um motor de indução trifásico com potencia 216kW, Rendimento=0,9, 
fator de potencia =0,8 e tensão nominal de 1,2kV, tem uma impedância na partida de 
0,125ej80°pu nas bases nominais. Obter o valor em PU da impedância do motor na partida 
para as bases do sistema de VB=1kV e SB= 500kVA. 
( ) ( )
216 300
.cos 0,9.0,8
M
M
PS kVA
η ϕ
= = = 
2
2.
LE S
SU EU
LS E
V SZ Z
V S
  
=   
  
 
( )280 80
2
1,2 0,50,125 0,3
1 0,3
j j
SUZ e e pu
  
= =     
 
 
 
Representação de Transformadores em PU 
 
Para compreender a representação de transformadores em valores PU é importante 
entender a modelagem do mesmo. A figura 1 abaixo representa um modelo de transformador 
com relação de transformação de tensão “N”. 
 
Aula 2 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 9 
Nesta representação os elementos primários e secundários estão separados pela relação 
de transformação. Dessa forma, é importante referir todos os elementos apenas para um lado, 
seja ele o primário ou secundário do transformador. 
Referindo ao primário: 
P P
S S
e n N
e n
= = → P Se Ne= 
Pelo modelo da figura acima: 
S S S Se V Z I= +  → P S S SeNV NZ I= +  
Da mesma forma: 
P P P PV e Z I= +  → P P P S S SV Z I NZ I NV= + +    
Multiplicando o 2° termo da ultima equação acima por (
N
N
): 
( )2 SP P P S S
IV Z I N Z NV
N
 
= + + 
 

   
Adotando: 
S SV NV′ =  
2
S SZ N Z′ =  SS
II
N
′ =

 
Resulta: 
P P P S S SV Z I Z I V′ ′ ′= + +    
Redesenhando o circuito equivalente da equação acima temos: 
 
 
A relação de transformação continua existindo e dificultando a análise do circuito. Para 
resolver tal questão, utiliza-se a representação em PU. 
Aula 2 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 10 
Adotando as bases do primário do transformador BPV , BPI , BPZ , tem-se as bases no 
secundário dada a relação de transformação “N” para as três grandezas elétricas: 
BP
BS
VV
N
= BS BPI NI= 2
BP
BS
ZZ
N
= onde: BSBS
BS
VZ
I
= e BPBP
BP
VZ
I
= 
Reescrevendo a equação que relaciona PV e SV e transformando para PU nas bases 
primárias, temos: 
( )2 SP P P S S
IV Z I N Z NV
N
 
= + + 
 

   
 
2
P P P S S S
BP BP BP BP BP BP
V Z I N Z I VN
V Z I Z NI V
     
= + +     
     
   
 
Sabendo que PPU
BP
VV
V
=

 , PPU
BP
ZZ
Z
= , PPU
BP
II
I
=

 , resulta em: 
2
S S S
PU PU PU
BP BP BP
N Z I VV Z I N
Z NI V
  
= + +  
  
 
  
Conhecendo as relações entre as bases no primário e secundário, substitui-se as bases. 
( ) ( )
2
2
S S S
PU PU PU
BSBS BS
N Z I VV Z I N
IN Z NVN
N
 
  
 = + +           
 
  
S S S
PU PU PU
BS BS BS
Z I VV Z I
Z I V
  
= + +  
  
 
  
Sabendo que SSU
SP
VV
V
=

 , SSU
BS
ZZ
Z
= , SSU
BS
II
I
=

 , resulta em: 
PU PU PU SU SU SUV Z I Z I V= + +    
O circuito equivalente fica: 
Aula 2 – Mudança de Base e Representação de Transformadores 11 
 
Considerando que a corrente de magnetização é muito pequena (ordem de 1%de In), 
para a maioria dos estudos o ramo magnetizante é desprezado. Assim o circuito equivalente 
fica: 
 
Finalizando em: 
PU U U SUV Z I V= +   
Esta é a representação mais simples de transformadores monofásicos. O mesmo 
conceito vale para transformadores trifásicos, onde o equivalente unifilar é representado, 
assim como o defasamento angular devido ao fechamento do transformador. 
 
Exemplo - Um transformador Dyn1 de 20MVA, 138kV-13,8kV apresenta Z%=5% e 
X/R=10, obter os valores ôhmicos Zps e Zsp. 
a (10)5
100
j tg
UZ e= pu 
2 2
84,29 84,291380,05 47,61
20
j jLP
PS U B U
T
VZ Z Z Z e e
S
 
= = = = Ω 
 
 
 
2 2
84,29 84,2913,80,05 0,4761
20
j jLS
SP U B U
T
VZ Z Z Z e e
S
 
= = = = Ω 
 
 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 12 
AULA 03 – Representação de Banco de Transformadores 
Representação de Banco de Transformadores em PU 
 
A construção de transformadores trifásicos para elevadas potências na maioria das vezes 
não é viabilizada. Isso ocorre por diversos motivos técnicos e econômicos, pois o tamanho 
que tais transformadores alcançariam traria diversos problemas, tais como: custo do 
projeto,problemas técnicos de construção, o transporte da fábrica até o local de instalação e a 
necessidade de um sobressalente para resolver contingências. 
Para resolver tais questões, é comumente praticada a utilização de banco de 
transformadores trifásicos compostos por transformadores monofásicos, conectados para 
fornecer a elevada potência necessária. Ao substituir um grande transformador trifásico em 
diversos transformadores monofásicos, o transporte fica mais fácil e barato, o sobressalente 
também é mais barato e suficiente para substituir qualquer um dos elementos do banco e 
elevadas potências podem ser alcançada de forma econômica e tecnicamente viáveis. 
 
 
 
É fundamental para um engenheiro eletricista conseguir representar um banco de 
transformadores de um sistema baseando-se nas informações de placa de cada transformador 
monofásico que o compõe. 
Assim como num transformador trifásico comum, podem existir diversos fechamentos 
do banco de transformadores (YY, ∆∆, Y∆, ∆Y,...). Conhecidas as informações do 
transformador monofásico VPN, VSN, SN e ZUϕ e o fechamento do banco é possível determinar 
a representação em PU do mesmo. O primeiro passo é obter os valores ôhmicos das 
impedâncias vistas por ambos os lados do transformador (primário e secundário). 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 13 
PS
U
BP
ZZ
Zφ
= ou SPU
BS
ZZ
Zφ
= 
.PS U BPZ Z Zφ= 
2
. PNPS U
N
VZ Z
Sφ
= 
.SP U BSZ Z Zφ= 
2
. SNSP U
N
VZ Z
Sφ
= 
Sabe-se que: 
2
P
PS P S
S
nZ Z Z
n
 
= +  
 
 e 
2
S
SP S P
P
nZ Z Z
n
 
= +  
 
 
 
Desenhe a composição do banco conforme o fechamento desejado ((YY, ∆∆, Y∆, 
∆Y,...). Para primeira análise segue o fechamento YY abaixo: 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 14 
 
Para representar este banco trifásico basta fazer o mesmo para transformadores 
trifásicos. Representar apenas uma das fases da conexão em estrela. 
 
Assim, os valores da representação trifásica do banco serão os mesmos do 
transformador monofásico. 
3PS PSZ Zφ = e 3SP SPZ Zφ = 
Agora repetindo o mesmo procedimento para uma conexão ∆∆: 
 
Como a representação deve ser feita através da conexão em estrela, a equivalência deve 
ser feita: 
*
3
P P P
P
P P P
Z Z ZZ
Z Z Z
= =
+ +
 e *
3
S S S
S
S S S
Z Z ZZ
Z Z Z
= =
+ +
 
*
3
P
P
nn = e *
3
S
S
nn = 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 15 
 
Assim a representação do banco trifásico conectado em ∆∆ fica: 
 
E os valores das impedâncias: 
2*
* *
3 *
P
PS P S
S
nZ Z Z
nφ
 
= +  
 
 e 
2*
* *
3 *
S
SP S P
P
nZ Z Z
nφ
 
= +  
 
 
Substituindo *PZ ,
*
SZ , 
*
Pn ,
*
Sn : 
2 2
3
3 1
3 3 3 33
P S P P PS
PS P S
SS
Z Z n n ZZ Z Z
nnφ
    
 = + = + =         
2 2
3
3 1
3 3 3 33
S P S S SP
SP S P
PP
Z Z n n ZZ Z Z
nnφ
    
= + = + =          
Resultando em: 
3 3
PS
PS
ZZ φ = e 3 3
SP
SP
ZZ φ = 
 
Por ultimo, a conexão Y∆: 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 16 
 
 
 
 
Ao fazer o equivalente estrela do lado delta, temos a representação do banco trifásico: 
 
E os valores das impedâncias: 
2
*
3 *
P
PS P S
S
nZ Z Z
nφ
 
= +  
 
 e 
2*
*
3
S
SP S P
P
nZ Z Z
nφ
 
= +  
 
 
Substituindo *SZ , 
*
Sn : 
2 2
3
3
3
S P P
PS P P S PS
S S
Z n nZ Z Z Z Z
n nφ
   
= + = + =   
  
 
2 2
3
1
3 3 33
S S S SP
SP P S P
PP
Z n n ZZ Z Z Z
nnφ
    
= + = + =         
 
Verifica-se que ao olhar pelo lado do delta a impedância do banco trifásico sera um 
terço da impedância do transformador monofásico e quando olhar pelo lado da estrela sera o 
mesmo valor, independente do tipo de conexão (YY, ∆∆, Y∆, ∆Y). 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 17 
Conhecidos os valores ôhmicos de 3PSZ φ e 3SPZ φ , basta converter para PU nas bases do 
sistema do lado primário e secundário, respectivamente. 
2
BsisP
BsisP
Bsis
VZ
S
= 
2
BsisS
BsisS
Bsis
VZ
S
=3
3 3 2
PS Bsis
PS U PS
BsisP BsisP
Z SZ Z
Z V
φ
φ φ
 
= =  
 
 
3
3 3 2
SP Bsis
SP U SP
BsisS BsisS
Z SZ Z
Z V
φ
φ φ
 
= =  
 
 
Exemplo – Três transformadores monofásicos idênticos de 50MVA, 500kV-230kV 
com Zu=j0,05 são ligados para formar um banco trifásico com conexão delta na maior tensão 
e estrela aterrada do lado de menor tensão. Determinar a reatância em PU do banco , nas 
bases do sistema de 100MVA e 750kV no primário do banco. Provar que a impedância em 
PU olhando de ambos os lados do banco são iguais e desenhar o circuito equivalente. 
2 2500. . 0.05. 250
50
PN
PS U BP U
N
VZ Z Z Z j j
Sφ φ
= = = = Ω 
2 2230. . 0,05. 52,9
50
SN
SP U BS U
N
VZ Z Z Z j
Sφ φ
= = = = Ω 
Do lado do delta temos: 
3
250 83,33
3 3
PS
PS
Z jZ jφ = = = Ω 
Do lado da estrela temos: 
3 52,9SP SPZ Z jφ = = Ω 
Em PU: 
Aula 3 – Representação de Banco de Transformadores 18 
3
3 3 2 2
10083,33. 0,0148
750
PS Bsis
PS U PS
BsisP BsisP
Z SZ Z j j pu
Z V
φ
φ φ
   = = = =   
  
 
Para obter a tensão base do lado da estrela basta achar a relação de transformação do banco 
∆Y : 
500
230 3
N = BsisP
BsisS
V N
V
= 
230 3750. 597,5575
500
BsisP
BsisS
VV kV
N
= = = 
( )
3
23 3 2
10052,9. 0,0148
597,5575
SP Bsis
SP U SP
BsisS BsisS
Z SZ Z j j pu
Z V
φ
φ φ
  
= = = =       
 
3 3 3 0,0148PS U SP U UZ Z Z j puφ φ φ= = = 
Em PU basta representar a impedância obtida e o defasamento angular devido a 
conexão delta-estrela(adotando no caso Dyn1). 
 
Aula 4 – Representação de Cargas 19 
AULA 04 – Representação de Cargas 
Representação de Cargas 
Os elementos de carga sempre serão grandes problemas para a representação num 
circuito modelo para análise. Isso ocorre devido à diversidade dos tipos de carga, da 
aleatoriedade inerente do consumo de energia elétrica. A complexidade do modelo será 
proporcional à complexidade da carga. 
Para exemplificar a variedade e complexidade dos elementos de cargas, alguns tipos de 
consumidores serão lembrados: Industriais que utilizam, na grande maioria, cargas rotativas 
para o acionamento tradicional de seus processos; siderurgias que utilizam fornos de indução 
e a arco - voltaico para fundição da matéria prima; empresas tecnológicas que utilizam cargas 
sensíveis, para acionamento, automação e controle de processos diversos; usinas de açúcar 
que proporcionam co-geração ao sistema; consumidores residenciais que proporcionam 
características de consumo sazonais; entre outros quase infinitos tipos de consumidores de 
energia elétrica. 
Dada a complexidade do consumo e das cargas, fica evidente a necessidade de uma 
representação simplificada e mais próxima possível do seu comportamento real. Assim, 
define-se quatro tipos de representação de cargas. 
Qualquer elemento chamado de carga consumirá alguma potência ativa, reativa ou 
ambas. Sabendo que o principal produto entregue por um sistema elétrico é a tensão com 
módulo e freqüência dentro de certas faixas de valores definidas, defini-se quatro tipos de 
cargas que relacionam a tensão e a potência com certas características: 
1( )cPc f V=  e 2( )cQc f V=  
• Impedância Constante; 
• Potencia constante em função da tensão; 
• Módulo da Corrente constante em função da tensão; 
• Combinação das três acima. 
 
Impedância Constante 
Modelo adequando para cargas passivas, onde representa-se a carga por uma 
impedância fixa composta por uma resistência e uma reatância (capacitiva ou indutiva) em 
Aula 4 – Representação de Cargas 20 
série. Sabendo que a representação é feita por fase de um circuito em estrela ou seu 
equivalente, temos: 
 
c
c
c
VZ
I
=

 e 
*
c c cS V I=   → 
*
c
c
c
SI
V
 
=  
 


 
Assim: 
( )
* 2 2
**
jc c c c
c j
c cc
VV V VZ e
S SS e
ϕ
ϕ
= = =
 
 
Em PU, basta dividir pela base 
2
B
B
B
VZ
S
= 
22 2
2
. .j j jc B c B cUcU
c B B c cU
V S V S VZ e e e
S V V S S
ϕ ϕ ϕ    = = =    
     
 
 
Verifica-se que a função da tensão pela potência é quadrática: 
2
c c cS Z V= , pois a 
impedância é constante. 
 
 
Potencia constante em função da tensão 
Aula 4 – Representação de Cargas 21 
Esse modelo é utilizado para representar cargas onde a potência não varia ao variar a 
tensão aplicada. Uma carga que apresenta esse comportamento durante certo tempo é o motor 
de indução trifásico, entre outros. Para uma certa tensão CNV a carga absorve CNS que é 
mantida constante. Assim a grandeza que varia, ao ocorrer uma variação de tensão é a 
corrente. 
Para valores nominais, temos: 
*
( )N
N
j
jCN CN
CN j
CN CN
S e SI e
V e V
ϕ
α ϕ
α
− = = 
 
 
Caso ocorra uma tensão diferente da nominal, temos: 
*
( )
j
jCN CN
C j
C C
S e SI e
V e V
ϕ
α ϕ
α
− = = 
 
 
Onde muda o módulo e ângulo da corrente, verificando que a corrente é inversamente 
proporcional a tensão. 
Ao utilizar este modelo verifica-se a necessidade de utilização de iterações de cálculo, 
pois a tensão na carga dependerá da queda de tensão ao longo do sistema que por sua vez 
depende da corrente da carga e essa também depende da tensão. Assim, esse problema só será 
resolvido ao adotar inicialmente uma tensão na carga, calcular a corrente, verificar a queda de 
tensão, adotar o novo valor de tensão na carga devido a queda e consequentemente nova 
corrente, até os valores convergirem. 
 
 
Módulo da corrente constante em função da tensão 
Esse modelo é utilizado para representar cargas onde a corrente se mantém constante ao 
variar a tensão aplicada na carga. Para isso acontecer a potencia tem que ser diretamente 
proporcional à tensão aplicada. 
Aula 4 – Representação de Cargas 22 
 
 
 
Para valores nominais, temos: 
*
( )N
N
j
jCN
CN CNj
CN
S eI I e
V e
ϕ
α ϕ
α
− = = 
 
 
Sendo CNI e ϕ constantes, temos para qualquer valor de 
j
C CV V e
α= , temos: 
( )j
C CNI I e
α ϕ−= e *C C CS V I=   → 
( ).j j jC C CN C CNS V e I e V I e
α ϕ α ϕ−= = 
 
Ao utilizar este modelo verifica-se a necessidade de utilização de iterações de cálculo 
também, pois a tensão na carga dependerá da queda de tensão ao longo do sistema que por 
sua vez depende do ângulo da corrente da carga e esse também depende da tensão. Assim, 
esse problema também só será resolvido ao adotar inicialmente uma tensão na carga, calcular 
a corrente, verificar a queda de tensão, adotar o novo valor de tensão na carga devido a queda 
e consequentemente nova corrente, até os valores convergirem 
 
Exemplo – Um barramento infinito (Zg=0Ω) com tensão de 500kV está conectado num 
transformador YnYn0 (500kV-138kV), Z%=8%, X/R=∞ de 50MVA que alimenta uma carga 
através de um linha de transmissão com um reatância indutiva de 10Ω. 
Sabendo que a carga tem Vn=138kV e Sn=100MVA e cosφ=0,8 indutivo, calcular a 
tensão na carga quando: 
a) Impedância constante; 
b) Potencia constante; 
 
Aula 4 – Representação de Cargas 23 
Solução: 
Adotando Sb=100MVA e Vb=500kV no primário do trafo, temos: 
 
a) 
01 jPUV e pu
°= 
2
2
500 1000,08. 0,16
50 500TU
Z j j pu  = =     
2
10010. 0,0525
138LTU
Z j j pu = = 
 
 
2 2
cos(0,8) 36,87138 190,44
100
j ja jCN
C
CN
VZ e e e
S
ϕ °= = = Ω
36,87 36,87
2 2
100190,44 1
138
j jB
CU C
B
SZ Z e e pu
V
° ° = = = 
 Calculando a corrente de carga: 
0
45,44
90 90 36,87
1 0,877
( ) (0,16 0,0525 1 )
j
jPU
CU j j j
TU LTU CU
V eI e pu
Z Z Z e e e
°
− °
° ° °
= = =
+ + + +


Assim: 
36,87 45,44 8,571 .0,877 0,877j j jCU CU CUV Z I e e e pu
° − ° − °= = =  
8,57 8,570,877 .138 121,03j jC CU BV V V e e kV
− ° − °= = =  
 
Aula 4 – Representação de Cargas 24 
b)Potencia constante 
01 jPUV e pu
°= 0,16TUZ j pu= 0,0525LTUZ j pu= 
Sabendo que a potencia é constante e com valor nominal, calcula-se a corrente que 
passaria pela carga, caso a carga estivesse com tensão nominal aplicada: 
6
6
( ) (0 36,87 ) 36,87
3
3
100.10
100.10 1
138.10
138.10
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− °− ° − °
 
 
 = = =
 
 
 
 
Se a corrente fosse o valor obtido acima,a tensão na carga seria: 
0 90 90 36,87 11,025( ) 1 (0,16 0,0525 )1 0,8889j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =   
Repete o cálculo da corrente e tensão na carga até os valores convergirem: 
( ) ( 11,025 36,87 ) 47,8951 1,125
0,8889
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 47,895 11,025( ) 1 (0,16 0,0525 )1,125 0,8381j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,025 36,87 ) 47,8951 1,1932
0,8381
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 47,895 11,826( ) 1 (0,16 0,0525 )1,1932 0,8295j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,826 36,87 ) 48,6961 1,2056
0,8295
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 48,696 11,826( ) 1 (0,16 0,0525 )1,2056 0,8251j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Aula 4 – Representação de Cargas 25 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,826 36,87 ) 48,6961 1,2120
0,8251
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 48,696 11,903( ) 1 (0,16 0,0525 )1,2120 0,8242j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,903 36,87 ) 48,7731 1,2132
0,8242
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = =
 
0 90 90 48,773 11,903( ) 1 (0,16 0,0525 )1,2132 0,8238j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,903 36,87 ) 48,7731 1,2139
0,8238
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 48,773 11,900( ) 1 (0,16 0,0525 )1,2139 0,8237j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Mais uma iteração: 
( ) ( 11,903 36,87 ) 48,7801 1,2140
0,8237
Nj j jCNU
CNU
CNU
SI e e e pu
V
α ϕ− − °− ° − °= = = 
0 90 90 48,780 11,900( ) 1 (0,16 0,0525 )1,2140 0,8237j j j j jCU PU TU LTU CUV V Z Z I e e e e e pu
° ° ° − ° − °= − + = − + =  
 
Após o resultado estabilizar, temos: 
11,910 11,910,8237 .138 113,6706j jC CU BV V V e e kV
− ° − °= = =  
 
Algoritmo do Matlab para o cálculo rápido deste exemplo: 
clear all 
Scu=1*exp(j*acos(0.8)); 
Vcu(1)=1; 
Ztu=j*0.16; 
Zltu=j*0.0525; 
 
for a=1:10 
 Icu(a)=(Scu/Vcu(a))'; 
 Vcu(a+1)=1-(Ztu+Zltu)*Icu(a); 
end 
 
plot(abs(Icu),'-xr') 
hold on 
Aula 4 – Representação de Cargas 26 
plot(abs(Vcu),'-sb') 
grid on 
 
V=[abs(Vcu') -rad2deg(angle(Vcu'))]%a função transposição tb faz o conjug. 
I=[abs(Icu') -rad2deg(angle(Icu'))] 
 
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 27 
AULA 05 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 
Choque de Bases 
Sabe-se que existem grandes vantagens na utilização da ferramenta PU. A principal 
vantagem é a eliminação da relação de transformação devido aos transformadores existentes 
no sistema, facilitando muito a análise. Essa vantagem ocorre, pois ao definir a base de tensão 
num determinado ponto do sistema e propagá-la ao longo do circuito, conforme as relações de 
transformação existentes, o resultado em PU são valores iguais no primário e secundário dos 
transformadores quando não existir quedas de tensão. 
Entretanto, essa facilidade falha quando o sistema é malhado e composto por 
transformadores com relações de transformação diferentes. Pois ao definir a base num ponto 
do circuito e propagá-la por um caminho tem-se diferentes bases quando propagá-las pelo 
outro caminho. Essa questão é chamada de Choque de Base. 
 
Para solucionar o choque de base basta utilizar um auto-transformador ideal em 
qualquer ponto do circuito onde ocorra o choque de base. Sendo esse auto-transformador com 
relação de transformação igual a relação das bases em choque. 
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 28 
 
Sabendo que: 
2 2S SV V ′=  
800
2
2
V
S
S U
BS
VV
V
=

 
1000
2
2
''
V
S
S U
BS
VV
V
=

 
Temos: 
800 10002 2
'
V VS U BS S U BS
V V V V=  1000
800
2
2'
V
V
BSS U
S U BS
VV
V V
α= =

 
O auto-transformador é na verdade um recurso matemático para solucionar o problema, 
apresentando uma relação de transformação na representação em PU. Dessa forma, ocorre um 
pequeno aumento no grau de dificuldade para a solução e análise do sistema. Onde é 
necessária a utilização de sistema de equações para obter as variáveis como as correntes que 
fluem ao longo do circuito e as tensões de todos os pontos. 
Para o circuito exemplo acima teríamos o seguinte equacionamento: 
Olhando pela linha superior: 
1 1 1( )CU PU T U LT U UV V Z Z I= − +   
Na carga: 
CU CU CUV Z I=  
Olhando pela linha inferior: 
2 2 2CU S U LT U UV V Z I′ ′= −   
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 29 
 22
S U
S U
VV
α
′ =

 2 2 2S U PU T U UV V Z I= −   2 22 PU T U US U
V Z IV
α α
= −
 
 
2
2
U
U
II
α
′
=

 1 2CU U UI I I ′= +   1 2U CU UI I Iα= −   
Com as relações das correntes, na primeira equação temos: 
1 1 1 1 2( ) ( )CU PU T U LT U CU T U LT U UV V Z Z I Z Z Iα= − + + +    
1 1 1 1 2( ) ( )CU CU PU T U LT U CU T U LT U UZ I V Z Z I Z Z Iα= − + + +    
1 1 1 1 2( ) ( )PU T U LT U CU CU T U LT U UV Z Z Z I Z Z Iα= + + − +   
Voltando na equação da linha inferior: 
 2 2 2 2
PU T U U
CU LT U U
V Z IV Z I
α α
′= − −
 
  
2 2
2 2
PU T U U
CU CU LT U U
V Z IZ I Z Iα
α α
= − −
 
  
2
2 2
T U
PU CU CU LT U U
ZV Z I Z Iα α α
α
 = + + 
 
   
( )22 2 2PU CU CU T U LT U UV Z I Z Z Iα α= + +   
Conhecido PUV , temos duas equações e duas incógnitas( CUI , 2UI ) no sistema abaixo: 
( )
1 1 1 1 2
2
2 2 2
( ) ( )PU T U LT U CU CU T U LT U U
PU CU CU T U LT U U
V Z Z Z I Z Z I
V Z I Z Z I
α
α α
 = + + − +
 = + +
  
   
Resolvendo o sistema obtem-se CUI , 2UI , assim a tensão na carga é : 
CU CU CUV Z I=  
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 30 
Transformador com Tapes 
É muito comum a construção de transformadores providos de tapes. O tape é utilizado 
para alterar a relação de transformação dentro de uma certa faixa de operação. Ao comutar o 
tape, ocorre adição ou subtração do número de espiras enlaçadas no primário, secundário ou 
ambos os lados, assim alterando a relação de transformação do mesmo. 
Tal flexibilidade é fundamental para ajustes de tensão ao longo do sistema. Em geral, os 
valores de tapes são discretos e limitados a um percentual acima ou abaixo do valor de tensão 
nominal do enrolamento. Tais informações e configuraçõesencontram-se na placa de 
identificação do transformador. 
Ao alterar o tape para valores não nominais, verifica-se um acréscimo ou decréscimo do 
número de espiras. Consequentemente a impedância do transformador será diferente da 
impedância em condição nominal informada também na placa de identificação. Portanto, ao 
representar um transformador provido de tapes é necessário o ajuste de impedância, assim 
como o acréscimo de um auto-transformador ideal para corrigir a relação de transformação. 
Desconsiderando a impedância de magnetização e considerando que a impedância do 
enrolamento varie com o quadrado do número de espiras, temos: 
2
P
P PN
PN
nZ Z
n
 
=  
  e 
2
S
S SN
SN
nZ Z
n
 
=  
  
Sendo a impedância vista do lado primário: 
2
P
PS P S
S
nZ Z Z
n
 
= +  
  → 
2 2 2
P S P
PS PN SN
PN SN S
n n nZ Z Z
n n n
     
= +     
      
2 2
P P
PS PN SN
PN SN
n nZ Z Z
n n
   
= +   
    → 
2 2 2
P P PN
PS PN SN
PN SN PN
n n nZ Z Z
n n n
     
= +     
      
2 2
P PN
PS PN SN
PN SN
n nZ Z Z
n n
    
 = +        
 
Porém: 
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 31 
2
PN
PSN PN SN
SN
nZ Z Z
n
 
= +  
  
Assim: 
2
P
PS PSN
PN
nZ Z
n
 
=  
  → 
2
P
PS PSN
PN
nZ Z
n
 
=  
  
 
Da mesma forma: 
2
S
SP SPN
SN
nZ Z
n
 
=  
  
Em PU basta dividir pela respectiva base: 
2 2 2
PSN P P P
PSU PSNU UN
BP PN PN PN
Z n n nZ Z Z
Z n n n
     
= = =     
     
 
2 2 2
SPN S S S
SPU SPNU UN
BS SN SN SN
Z n n nZ Z Z
Z n n n
     
= = =     
     
 
Lembrando que para condição nominal: UN PSNU SPNUZ Z Z= = . 
O circuito que representa o transformador com tape fora da condição nominal é: 
 
Aula 5 – Choque de bases e Transformadores com Tapes 32 
 
 
Exemplo- Um transformador YnYn0 de 50MVA e (138kV(P)-69kV(S)) com Z%=10% e 
X/R=∞, possui tapes em ambos enrolamentos. Representar o mesmo em PU sabendo que no 
primário o tape está np=1,05 e no secundário ns=0,95. 
2
20,1.1,05 0,1103PPSU UN
PN
nZ Z j j pu
n
 
= = = 
 
 
2
20,1.0,95 0,0902SSPU UN
SN
nZ Z j j pu
n
 
= = = 
 
 
1,05 1,1053
0,95
P
PN
S
SN
n
nn n
n
= = =
 
 
 
 
Aula 6 – π Equivalente aos transformadores com Tapes 33 
 
AULA 06 – π Equivalente aos transformadores com Tapes 
π Equivalente aos transformadores com Tapes 
Para facilitar a implementação de algoritmos para resolver circuitos elétricos com 
transformadores com tapes em computadores é necessário a substituição do auto-
transformador do circuito equivalente para um circuito π. Assim, a solução por sistema de 
equações é substituída por um circuito que é facilmente modelado para soluções 
computacionais. 
Para obter o circuito π equivalente, comparações devem ser feitas entre o circuito π e a 
representação através de auto-transformador. 
 
Equacionamento do circuito com auto-transformadores: 
( )PU SU SPU SUV n V Z I= +   → PU SU SPU SUV nV nZ I= +   
1
PU SUI In
= 
 
Equacionamento do circuito π equivalente: 
 
( )2 3PU SU SUV Z I I V= + +    → 2 3 2PU SU SUV Z I Z I V= + +    
3
3
SUVI
Z
=

 2 2
3
SU
PU SU SU
VV Z Z I V
Z
= + +

   2 2
3
1PU SU SU
ZV V Z I
Z
 
= + + 
 
   
Aula 6 – π Equivalente aos transformadores com Tapes 34 
 
1 3
PU SU
PU SU
V VI I
Z Z
= + +
 
  
2
2
3
1 3
1 SU SU
SU
PU SU
Z V Z I
Z VI I
Z Z
 
+ + 
 = + +
 

  
2 2
1 1 3 1 3
1 SU
PU SU SU SU
Z Z VI V I I
Z Z Z Z Z
 
= + + + + 
 

    
2 2
1 1 3 3 1
1 1 1PU SU SU
Z ZI V I
Z Z Z Z Z
   
= + + + +   
  
   
3 2 1 2
1 3 1
1PU SU SU
Z Z Z ZI V I
Z Z Z
   + +
= + +   
  
   
Resumindo as duas equações de cada modelo: 
PU SU SPU SUV nV nZ I= +   
2
2
3
1PU SU SU
ZV V Z I
Z
 
= + + 
 
  
 
1
PU SUI In
= 
 
3 2 1 2
1 3 1
1PU SU SU
Z Z Z ZI V I
Z Z Z
   + +
= + +   
  
  
 
Comparando as quatro equações temos: 
2 SPUZ nZ= 
2
3
1 Zn
Z
 
= + 
 
 
3
1 SPUnZn
Z
 
= + 
 
 ( ) 31 SPUn Z nZ− = ( )3 1
SPUnZZ
n
=
−
 
2
1
1 1 Z
n Z
 
= + 
 
 1 2
1 1 Z Z
n
 − = 
 
 1 21
nZ Z
n
 =  − 
 
2
1 1 SPU
nZ Z
n
 
=  − 
 
3 2 1
1 3
0Z Z Z
Z Z
 + +
= 
 
 3 2 1 0Z Z Z+ + = 
 
Aula 6 – π Equivalente aos transformadores com Tapes 35 
 
Para o modelo referindo ao primário: 
 
2
PSU SPUZ n Z= 2
1
SPU PSUZ Zn
= 
Assim, obtemos 1Z , 2Z e 3Z referidos ao primário: 
2
1 1 SPU
nZ Z
n
 
=  − 
 
2
1 2
1
1 PSU
nZ Z
n n
 
=  − 
 1
1
1 PSU
Z Z
n
 =  − 
 
2 SPUZ nZ= 2 2
1
PSUZ n Zn
= 2
1
PSUZ Zn
= 
( )3 1
SPUnZZ
n
=
−
 
( )
2
3
1
1
PSUn ZnZ
n
=
−
 
( )3 1
PSUZZ
n n
=
−
 
Exemplo – Um transformador estrela-estrela de 40MVA, 161kV-69kV, Xu=j0,1, tem tape no 
secundário. Obter o circuito π equivalente para o tape secundário ajustado em 66kV nas bases 
100MVA e 161kV no primário. 
Solução: 
Sabendo que não existe tape no primário: 
2 2
2 2
161 1000,1 0,25
40 161
BT PT S
PSU U U
BS T PS
Z V SZ Z Z j j pu
Z S V
  = = = =     
1 69
66 66
69
P
PN
S
SN
n
nn n
n
= = =
 
Aula 6 – π Equivalente aos transformadores com Tapes 36 
 
1
1
1 PSU
Z Z
n
 =  − 
 1
1 0,25 5,5691
66
Z j j pu
 
 
= = − 
 −
 
 
2
1
PSUZ Zn
= 2
1 660,25 0,25 0,239169 69
66
Z j j j pu= = = 
( )3 1
PSUZZ
n n
=
−
 3
0,25 5,2609
69 69 1
66 66
jZ j pu= =
 − 
 
 
Conferindo: 
3 2 1 0Z Z Z+ + = 5,2609 0,2391 5,5 0j j j+ − = 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 7 – Componentes Simétricos 37 
 
AULA 07 – Componentes Simétricos 
Componentes Simétricos 
Sistemas polifásicos equilibrados são facilmente modelados e analisados. Pois ao 
utilizar apenas uma das fases e assim obter os resultados para todas as outras fases, reduz-se 
muito o grau de dificuldade para solução dos problemas. Entretanto, tal simplificação não é 
possível quando o sistema não for equilibrado e/ou simétrico. Dessa forma, a análise de tais 
sistemas deve ser realizada através de sistemas de equações baseadas nas leis de Kirchhoff e 
Ohm, considerando as malhas e nós de todo um sistema polifásico. 
Tal questão foi solucionada por Fortescue em 1918 com o trabalho intitulado “O 
método dos componentes simétricos na solução de circuitos polifásicos”, onde apresentou a 
poderosa ferramenta para análise de sistemas desequilibrados e/ou assimétricos. 
Sua importância é justificada pela a maioria dos sistemas elétricos serem inerentemente 
desequilibrados e assimétricos. A busca constante pelo o equilíbrio e simetria dos sistemas 
consegue bons resultados, mas ainda existem diversas situações que causam desequilíbrios e 
assimetrias no sistema, tais como: cargas desequilibradas, linhas de transmissão não 
transpostas, transformadores de núcleo trifásico à vazio, faltas desequilibradas e assimétricas 
entre outros. 
A ferramenta componentessimétricos consiste em representar os “n” fasores 
desequilibrados e/ou assimétricos de um sistema polifásico de “n” fases através da 
composição de “n” conjuntos de fasores simétricos e equilibrados. Como na maioria dos 
casos os sistemas são trifásicos, o método dos componentes simétricos (Teorema de 
Fortescue) decompõe um sistema trifásico desequilibrado e/ou assimétrico em três conjuntos 
de fasores equilibrados e simétricos. Esses conjuntos de fasores são chamados de sequencia 
positiva, sequencia negativa e sequencia zero. 
Para qualquer sistema trifásico com fasores desequilibrados e/ou assimétricos existirá 
uma composição de 3 conjuntos de fasores equilibrados e simétricos que o compõe, conforme 
a figura abaixo: 
 
Aula 7 – Componentes Simétricos 38 
 
 
 
 
Tais sistemas são chamados componentes de sequencia positiva, negativa e zero. Sendo 
os fasores de sequencia positiva com módulos iguais, defasados 120° e sequencia de fase 
igual ao sistema original. A sequencia negativa tem as mesmas características exceto a 
sequencia de fase ser contrária ao sistema original. A sequencia zero é composta por 3 fasores 
de mesmo módulo e ângulo girando na mesma freqüência dos fasores originais, assim como a 
sequencia positiva e negativa. A amplitude e defasamento angular de cada sequencia serão 
resultantes da assimetria e desequilíbrio do sistema original. 
Para entender o teorema, segue a formulação abaixo: 
0 1 2A a a aV V V V= + +    
0 1 2B b b bV V V V= + +    
Aula 7 – Componentes Simétricos 39 
 
0 1 2C c c cV V V V= + +    
Como as sequencias são equilibradas e simétricas, temos: 
0 0b aV V=  
240
1 1
j
b aV e V=  
120
2 2
j
b aV e V=  
0 0c aV V=  
120
1 1
j
c aV e V=  
240
2 2
j
b aV e V=  
Substituindo em função dos fasores da fase A de cada sequencia: 
0 1 2A a a aV V V V= + +    
240 120
0 1 2
j j
B a a aV V e V e V= + +    
120 240
0 1 2
j j
C a a aV V e V e V= + +    
Criando o operador 120ja e= , temos: 
0 1 2A a a aV V V V= + +    
2
0 1 2B a a aV V a V aV= + +    
2
0 1 2C a a aV V aV a V= + +    
De forma matricial temos: 
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
A a
B a
C a
V V
V a a V
V a a V
    
    =    
        
 
 
 
 
Dessa forma, obtem-se os fasores originais da fase A, B e C através apenas dos fasores 
de sequencia positiva, negativa e zero da fase A. 
A matriz quadrada que relaciona os fasores das componentes simétricas da fase A com 
os fasores A,B e C originais é chamada de “Matriz de Síntese”. 
Aula 7 – Componentes Simétricos 40 
 
2
2
1 1 1
1
1
A a a
a a
 
 =  
  
 
Para obter as componentes simétricas em função dos fasores trifásicos originais, segue: 
012ABCV AV=  
1 1
012ABCA V A AV
− −=  
1
012ABCA V IV
− =  
1
012 ABCV A V
−=  
Onde 1A− é a matriz inversa de A , sendo: 
1 2
2
1 1 1
1 1
3
1
A a a
a a
−
 
 =  
  
 
Essa matriz se chama Matriz de Análise. 
0
2
1
2
2
1 1 1
1 1
3
1
a A
a B
a C
V V
V a a V
V a a V
    
    =    
        
 
 
 
 
Através dessa transformação é possível representar um sistema desequilibrado e/ou 
assimétrico através de 3 sistemas trifásicos equilibrados e simétricos representados apenas 
por uma das fases (fase A). Assim, um sistema que a análise seria difícil de ser executada 
devido ao desequilíbrio, se transforma na análise de 3 circuitos unifilares independentes onde 
após os cálculos em componentes simétricos, retorna-se através da matriz de síntese para os 
valores de fase. 
Aula 7 – Componentes Simétricos 41 
 
 
 
Exemplo - Obter os componentes simétricos das medições abaixo de um sistema 
trifásico: 
a)
0
120
120
100
100
100
j
A
j
B
j
C
eV
V e
V e
−
  
   =   
      






[V] 
0
0
2 120
1
2 120
2
1001 1 1
1 1 100
3
1 100
j
a
j
a
j
a
eV
V a a e
V a a e
−
    
    =     
         






 
( ) ( )0 120 120 0 120 1200 1 100100 100 100 03 3
j j j j j j
aV e e e e e e
− −= + + = + + =
      [V] 
( ) ( )0 120 120 120 120 0 0 01 1 100100 100 100 1003 3
j j j j j j j j
aV e e e e e e e e
− −= + + = + + =
        [V] 
( ) ( )0 120 120 120 120 0 120 1202 1 100100 100 100 03 3
j j j j j j j j
aV e e e e e e e e
− − −= + + = + + =
        [V] 
 
Aula 7 – Componentes Simétricos 42 
 
b) 90
90
0
100
50
A
j
B
j
C
V
V e
V e
−
  
   =   
     





[V] 
0
2 90
1
2 90
2
01 1 1
1 1 100
3
1 50
a
j
a
j
a
V
V a a e
V a a e
−
    
    =     
        





 
( )90 90 900 1 0 100 50 16,673
j j j
aV e e e
− −= + + =
   [V] 
( ) ( )90 120 90 120 30 30 10,891 1 10 100 50 100 50 44,093 3
j j j j j j j
aV e e e e e e e
− − −= + + = + =
       [V] 
( ) ( )90 120 90 120 210 210 169,112 1 1100 50 100 50 44,093 3
j j j j j j j
aV e e e e e e e
− − −= + = + =
       [V] 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 43 
 
AULAS 08 e 09 – Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 
Potência em Componentes Simétricos 
É possível obter a potencia de um sistema em termos dos componentes simétricos. 
Assim temos: 
* * *
A A B B C CS V I V I V I= + +      
De forma vetorial: 
*
A
A B C B
C
I
S V V V I
I
 
  =   
  

   

` onde: 
A
ABC B
C
V
V V
V
 
 =  
  

 

 
A
ABC B
C
I
I I
I
 
 =  
  

 

 
*.TABC ABCS V I=   
Representando através de componentes simétricos: 
*
012 012
T
S AV AI   =      
* *
012 012
T TS A V A I=   
* *
012 012. . .
T TS A A V I=   
Sabendo que a matriz A é simétrica, temos: 
* * 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 3 0 0
. . 1 1 0 3 0 3
1 1 0 0 3
TA A A A a a a a I
a a a a
     
     = = = =     
          
 
Assim: 
*
012 0123 . .
TS I V I=   
*
012 0123 .
TS V I=   
*
0
0 1 2 1
2
3
a
a a a a
a
I
S V V V I
I
 
  =   
  

   

 
 * * *0 0 1 1 2 23 a a a a a aS V I V I V I = + +       
Assim representa-se a potencia de um certo sistema através das componentes de 
sequencia positiva, negativa e zero de tensão e corrente. 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 44 
 
Componentes simétricos de uma rede com impedâncias desequilibradas 
Uma rede desequilibrada pode ser representada através de um conjunto de impedâncias 
que relacionam as tensões e correntes na mesma. Esse circuito é representado por 
impedâncias série do condutor e mútuas entre condutores e a terra. Tal circuito é 
representado abaixo: 
 
 
Aplicando a lei de Kirchoff de tensão em uma das malhas do circuito acima, temos: 
' ' ' ' 0AN AA A N N NV V V V− − − =    ' ' ' 'AN A N AA N NV V V V− = +
   
 
Onde: 
'AA aa A ab B ac C ag NV Z I Z I Z I Z I= + + −     e 'N N gg N ga A gb B gc CV Z I Z I Z I Z I= − − −     
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 45 
 
Sendo 03NaI I=
 
, temos: 
' ' 0 03 3AN A N aa A ab B ac C ag a gg a ga A gb B gc CV V Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z I Z I− = + + − + − − −          
( ) ( ) ( ) ( )' ' 03AN A N aa ga A ab gb B ac gc C gg ag aV V Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I− = − + − + − + −      
Refazendo o mesmo procedimento para as outras malhas: 
' ' ' ' 0BN BB B N N NV V V V− − − =    
( ) ( ) ( ) ( )' ' 03BN B N ba ga A bb gb B bc gc C gg bg aV V Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I− = − + − + − + −      
' ' ' ' 0CN CC C N N NV V V V− − − =    
( ) ( ) ( ) ( )' ' 03CN C N ca gc A cb gc B cc gc C gg cg aV V Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I− = − + − + − + −      
Agrupando de forma matricial: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
' '
' ' 0 `
' '
3
aa ga ab gb ac gc gg ag
AN A N A
BN B N ba ga bb gb bc gc B a gg bg
CN C N C
ca ga cb gb cc gc gg cg
Z Z Z Z Z Z Z ZV V I
V V Z Z Z Z Z Z I I Z Z
V V IZ Z Z Z Z Z Z Z
   − − − −                − = − − − + −             − − − −           
  
   
  
 
Ou 
0' 3ABC ABC ABC g aV V ZI Z I− = +    
Da equação de síntese: 
012 012 012 0' 3 g aAV AV ZAI Z I− = +    
Multiplicando a equação por 1A− : 
1 1
012 012 012 0' 3 g aV V A ZAI A Z I
− −− = +    
 
 
 
 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 46 
 
Desenvolvendo 1A ZA− e 1 03 g aA Z I
−  temos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
3
1 1
aa ga ab gb ac gc
ba ga bb gb bc gc
ca ga cb gb cc gc
Z Z Z Z Z Z
a a Z Z Z Z Z Z a a
a a a aZ Z Z Z Z Z
 − − −        − − −          − − −   
( )
( )
( )
2
0 `
2
1 1 1
13 1
3
1
gg ag
a gg bg
gg cg
Z Z
I a a Z Z
a a Z Z
 −      −      −  

 
Conforme o desenvolvimento do anexo 1, os resultados dos termos acima seguem abaixo na 
equação original: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )0 0 0 2 2 2 1 1 1 00 0 0
1 1 1 1 0 0 2 2 1 1
2 2 2 2 1 1 0 0 2 2
2 3 3 3 3 3'
' 2 3
' 2 3
S M ga S M ga S M ga gg aga a a
a a S M S M S M a ag
a a S M S M S M a ag
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZV V I
V V Z Z Z Z Z Z I Z
V V Z Z Z Z Z Z I Z
   + − − − − − −     
        − = − − + + −        
       − + − −          
  
  
  
0
0
0
aI 
 
 
   

 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 2 2 2 1 1 1
0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 2 2 1
2 2 2
2 2 2 1 1 0 0
2 6 3 3 3'
' 3 2
' 3 2
S M ga gg S M ga S M ga
a a a
a a S M ga S M S M a
a a a
S M ag S M S M
Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZV V I
V V Z Z Z Z Z Z Z I
V V IZ Z Z Z Z Z Z
 + − + − − − −            − = − − − +           − − + −       
  
  
  
 
Onde: 
( )0
1
3S aa bb cc
Z Z Z Z= + + ( )0
1
3M bc ca ab
Z Z Z Z= + + ( )0 13ga ga gb gcZ Z Z Z= + + 
( )21 13S aa bb ccZ Z aZ a Z= + + ( )
2
1
1
3M bc ca ab
Z Z aZ a Z= + + ( )21 13ga ga gb gcZ Z aZ a Z= + + 
( )22 13S aa bb ccZ Z a Z aZ= + + ( )
2
2
1
3M bc ca ab
Z Z a Z aZ= + + ( )22 13ga ga gb gcZ Z a Z aZ= + + 
 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 47 
 
Ou: 
0 0 00 01 02 0
1 1 10 11 12 1
2 2 20 21 22 2
'
'
'
a a a
a a a
a a a
V V Z Z Z I
V V Z Z Z I
V V Z Z Z I
      
      − =      
            
  
  
  
 
Podendo os elementos da matriz de impedância serem todos diferentes! 
Ao montar o circuito equivalente em sequencia positiva, negativa e zero, observamos: 
 
Verifica-se os acoplamentos inter-sequenciais. Assim, quando a rede do sistema elétrico 
for desequilibrada, a representação da mesma será através do circuito acima considerando o 
acoplamento mútuo entre as componentes sequenciais. 
Caso a rede seja equilibrada, verifica-se um caso particular: 
aa bb cc SZ Z Z Z= = = ab bc ca MZ Z Z Z= = = ga gb gc MgZ Z Z Z= = = 
Ao substituir, temos: 
( )0
1
3S aa bb cc S
Z Z Z Z Z= + + = ( ) ( )2 21 1 1 03 3
S
S aa bb cc
ZZ Z aZ a Z a a= + + = + + = 
( ) ( )2 22 1 1 03 3
S
S aa bb cc
ZZ Z a Z aZ a a= + + = + + = 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 48 
 
 
( )0
1
3M bc ca ab M
Z Z Z Z Z= + + = ( ) ( )2 21 1 1 03 3
M
M bc ca ab
ZZ Z aZ a Z a a= + + = + + = 
( ) ( )2 22 1 1 03 3
M
M bc ca ab
ZZ Z a Z aZ a a= + + = + + = 
 
( )0 13ga ga gb gc MgZ Z Z Z Z= + + = ( ) ( )
2 2
1
1 1 0
3 3
Mg
ga ga gb gc
Z
Z Z aZ a Z a a= + + = + + = 
( ) ( )2 22 1 1 03 3
Mg
ga ga gb gc
Z
Z Z a Z aZ a a= + + = + + = 
 
Assim, substituindo na equação matricial principal, temos: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 2 2 2 1 1 1
0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 2 2 1
2 2 2
2 2 2 1 1 0 0
2 6 3 3 3'
' 3 2
' 3 2
S M ga gg S M ga S M ga
a a a
a a S M ga S M S M a
a a a
S M ag S M S M
Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZV V I
V V Z Z Z Z Z Z Z I
V V IZ Z Z Z Z Z Z
 + − + − − − −            − = − − − +           − − + −       
  
  
  
 
( )
( )
( )
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2 6 3 0 0'
' 0 0
' 0 0
S M Mg gga a a
a a S M a
a a S M a
Z Z Z ZV V I
V V Z Z I
V V Z Z I
 + − +     
      − = −      
      −       
  
  
  
 
0 0 00 0
1 1 11 1
2 2 22 2
' 0 0
' 0 0
' 0 0
a a a
a a a
a a a
V V Z I
V V Z I
V V Z I
      
      − =      
            
  
  
  
 
Onde: 
00 2 6 3S M Mg ggZ Z Z Z Z= + − + 11 22 S MZ Z Z Z= = − 
Para circuitos passivos 11 22Z Z= 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 49 
 
 
Dessa forma, os circuitos em componentes simétricos são desacoplados, facilitando 
muito a análise de qualquer sistema com a rede equilibrada. 
Através de uma avaliação simples do caso acima citado, também pode-se obter as 
impedâncias seqüenciais através da impedância vista pelas correntes de sequencia conforme 
figuras abaixo: 
 
Para o circuito de sequencia positiva e negativa: 
11 22
S a M b M c
a
Z I Z I Z IZ Z
I
+ +
= =
  
 
( )
11 22
S a M b c
a
Z I Z I I
Z Z
I
+ +
= =
  
 
Sendo: 0a b cI I I+ + =    b c aI I I+ = −   
11 22
S a M a
S M
a
Z I Z IZ Z Z Z
I
−
= = = −
 
 
Para o circuito de sequencia positiva e negativa: 
Aulas 8 e 9 –Potência em Componentes Simétricos e Redes Desequilibradas 50 
 
0 0 0 0 0 0
00
0
3 3 3S a M a M a Mg a gg a gM a
a
Z I Z I Z I Z I Z I Z I
Z
I
+ + − + −
=
     
 
00 2 6 3S M Mg ggZ Z Z Z Z= + − + 
 
 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 51 
 
AULA 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 
Redes equilibradas providas de cargas desequilibradas 
Sabe-se que o desequilíbrio é inerente em qualquer sistema elétrico, mas os mesmos são 
consideravelmente mitigados com diversas ações técnicas. Assim, na maioria dos casos, 
considera-se as redes que alimentam certa carga como redes equilibradas. Entretanto, mesmo 
com a rede equilibrada, o desequilíbrio pode acontecer devido à carga conectada. 
Como as redes, as cargas podem ser consideradas equilibradas, entretanto contingências 
no sistema podem ocorrer. Curto-circuitos de diversas formas podem ocorrer, rompimento de 
condutores interrompendo o fluxo de corrente em umaou diversas fases do sistema também 
podem ocorrer, assim como a combinação dos dois casos. 
Sabendo que um curto-circuito é uma carga de elevada potência, podemos representá-lo 
através de um conjunto de impedâncias que se compõem conforme o tipo de curto-circuito 
ocorrido. 
A princípio, vamos analisar uma carga desequilibrada “shunt” conectada numa rede 
equilibrada. 
 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 52 
 
O procedimento para análise segue abaixo: 
1) Isolar a carga desequilibrada do resto do sistema equilibrado no ponto de 
conexão; 
2) Representar toda a rede equilibrada por um equivalente Thevenin em 
componentes simétricos; 
3) Equacionar as relações de tensão e corrente em componentes simétricos no 
ponto de conexão visto pelo lado do sistema equilibrado; 
4) Equacionar da mesma forma pelo lado da carga; 
5) Igualar as equações obtidas na condição de fronteira e obter os valores de tensão 
e corrente em componentes simétricos. 
6) Transformar através da matriz de síntese para obter os valores de fase. 
 
Análise geral de uma carga sem conexão de neutro: 
 
Avaliando do lado do sistema, temos: 
0 00
1 11 1
2 22 2
0 0 0 0
0 0
0 0 0
a
a TH a
a a
V Z
V V Z I
V Z I
       
       = −       
             

  
 
 
Avaliando do lado do sistema, temos: 
'
0 0 1
0 0 1
0 0 1
AN P A
BN Q B N N
CN R C
V Z I
V Z I V
V Z I
      
      = +      
            
 
  
 
 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 53 
 
Assim, temos: 
'ABC PQR ABC N N
V Z I V= +   
Da equação de síntese: 
'012 012PQR N N
AV Z AI V= +   
Multiplicando a equação por 1A− : 
'
1 1
012 012PQR N N
V A Z AI A V− −= +   
Desenvolvendo 1 PQRA Z A
− e '
1
N N
A V−  temos: 
1 2 2
2 2
1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 1
3
1 0 0 1
P
PQR Q
R
Z
A Z A a a Z a a
a a Z a a
−
     
     =      
          
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 2
2 2
1
3
P Q R P Q R P Q R
PQR P Q R P Q R P Q R
P Q R P Q R P Q R
Z Z Z Z a Z aZ Z aZ a Z
A Z A Z aZ a Z Z Z Z Z a Z aZ
Z a Z aZ Z aZ a Z Z Z Z
−
 + + + + + +
 
 = + + + + + +
 
+ + + + + +  
 
0 2 1
1
1 0 2
2 1 0
C C C
PQR C C C
C C C
Z Z Z
A Z A Z Z Z
Z Z Z
−
 
 =  
  
 
Onde: 
( )
0 3
P Q R
C
Z Z Z
Z
+ +
= 
( )2
1 3
P Q R
C
Z aZ a Z
Z
+ +
= 
( )2
2 3
P Q R
C
Z a Z aZ
Z
+ +
= 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 54 
 
Para '
1
N N
A V−  temos: 
'
' '
'
1 2
2
1 1 1
1 1
3
1
N N
N N N N
N N
V
A V a a V
a a V
−
  
  =   
     

 

 
Assim: 
' ' '
' ' ' ' '
' ' '
1 2
2
1
1 0
3
0
N N N N N N
N N N N N N N N N N
N N N N N N
V V V
A V V aV a V V
V a V aV
−
 + +  
   = + + =   
   + +   
  
    
  
 
O resultado do equacionamento é: 
'
1 1
012 012PQR N N
V A Z AI A V− −= +  
 
'
0 0 2 1
1 1 0 2 1
2 2 1 0 2
0 1
0
0
a C C C
a C C C a N N
a C C C a
V Z Z Z
V Z Z Z I V
V Z Z Z I
       
       = +       
             

  
 
 
Comparando o equacionamento do lado do sistema e do lado da carga, temos: 
Lado do Sistema: 
0 00
1 11 1
2 22 2
0 0 0 0
0 0
0 0 0
a
a TH a
a a
V Z
V V Z I
V Z I
       
       = −       
             

  
 
 
Lado da Carga: 
'
0 0 2 1
1 1 0 2 1
2 2 1 0 2
0 1
0
0
a C C C
a C C C a N N
a C C C a
V Z Z Z
V Z Z Z I V
V Z Z Z I
       
       = +       
             

  
 
 
Comparando: 
0 0aV = e '0 2 1 1 2a C a C a N NV Z I Z I V= + +    → ' 2 1 1 2C a C aN NV Z I Z I= − −   
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 55 
 
1 11 1a TH aV V Z I= −   e 1 0 1 2 2a C a C aV Z I Z I= +   → 11 1 0 1 2 2TH a C a C aV Z I Z I Z I− = +    
2 22 2a aV Z I= −  e 2 1 1 0 2a C a C aV Z I Z I= +   → 22 2 1 1 0 2a C a C aZ I Z I Z I− = +   
De 22 2 1 1 0 2a C a C aZ I Z I Z I− = +   , temos: 
( )
1 1
2
0 22
C a
a
C
Z II
Z Z
= −
+

 
Substituindo: 
( )
1 2 1
11 1 0 1
0 22
C C a
TH a C a
C
Z Z IV Z I Z I
Z Z
− = −
+

   
( )
1
1 2
11 0
0 22
TH
a
C C
C
C
VI
Z ZZ Z
Z Z
=
 
+ − + 

 
Sendo 
( )
1 2
11 0
0 22
C C
T C
C
Z ZZ Z Z
Z Z
= + −
+
, temos: 
1
TH
a
T
VI
Z
=

 
( )
1
2
0 22
C TH
a
C T
Z VI
Z Z Z
 
= −  +  

 
Para obter os valores de fase basta utilizar a equação de síntese: 
2
1
2
2
1 1 1 0
1
1
A
B a
C a
I
I a a I
I a a I
     
     =     
         

 
 
 
 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 56 
 
Exemplo - Uma carga composta por três impedâncias distintas conectadas em estrela e sem 
conexão de neutro ( 0,1AZ j pu= ,
600,5 jBZ e pu
°= , 600,8 jCZ e pu
− °= ) esta conectada a 
uma rede equilibrada, onde o equivalente Thevenin no ponto de conexão é 
1THV pu= , 00 0,4Z j pu= , 11 22 0,01Z Z j pu= = 
 
Obter as correntes de fase na carga, assim como as tensões fase-terra nos três terminais da 
carga. 
( ) ( )60 60 13,81
0
0,1 0,5 0,8
0,2231
3 3
j j
P Q R j
C
Z Z Z j e e
Z e pu
° − °
− °
+ + + +
= = = 
( ) ( )2 (60 120) ( 120 60) 175,60
1
0,1 0,5 0,8
0,4346
3 3
j j
P Q R j
C
Z aZ a Z j e e
Z e pu
+ ° − − °
°
+ + + +
= = = 
( ) ( )2 (60 120) (120 60) 28,97
2
0,1 0,5 0,8
0,2477
3 3
j j
P Q R j
C
Z a Z aZ j e e
Z e pu
− ° − °
°
+ + + +
= = = 
( ) ( )
1 175,60 28,97
13,811 2
11 0 13,81
0 22
1
0,4346 .0,24770,01 0,2231
0,2231 0,01
TH
a j j
jC C
C j
C
VI
Z Z e eZ Z j e
Z Z e j
° °
− °
− °
= =
   
+ − + −    + +   


( )
21,60
1
1 2
11 0
0 22
1,5206 jTHa
C C
C
C
VI e pu
Z ZZ Z
Z Z
− °= =
 
+ − + 

 
( ) ( )
175,60
21,60 14,711 1
2 13,81
0 22
0,4346 .1,5206 2,991
0,2231 0,01
j
j jC a
a j
C
Z I eI e e pu
Z Z e j
°
− ° − °
− °
= − = − =
+ +

 
17,03
2 21,60 135,58
2 14,71 165,04
1 1 1 0 4,5043
1 1,5206 2,7729
1 2,991 2,4078
j
A
j j
B
j j
C
I e
I a a e e pu
I a a e e
− °
− ° °
− ° − °
      
      = =      
            



 
 
Aula 10 – Redes Equilibradas com Cargas Desequilibradas 57 
 
 
0 00
21,60
1 11 1
14,71
2 22 2
0 0 0 0 0 0,4 0 0 0
0 0 1 0 0,01 0 1,5206
0 0 0 0 0 0 0,01 2,991
a
j
a TH a
j
a a
V Z j
V V Z I j e
V Z I j e
− °
− °
             
             = − = −             
                         

  
 
0
0,81
1
104,71
2
0
0,9945
0,0299
a
j
a
j
a
V
V e
V e
− °
− °
   
   =   
     



 
2,50
0
2 119,59
1
2 119,65
2
1 1 1 0,9878
1 0,9732
1 1,0233
j
A a
j
B a
j
C a
V V e
V a a V e pu
V a a V e
−