Lista 6 - Sequências e séries (RESOLVIDA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA
AULA 6 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
Questa˜o 1. Considere a sequeˆncia definida recursivamente por
y1 = 1 e yn+1 = 3− 1
yn
, para n ≥ 1.
(a) Mostre que a sequeˆncia (yn)n∈N e´ crescente.
(b) Mostre que a sequeˆncia e´ convergente.
(c) Determine o limite da sequeˆncia.
(a) Uma sequeˆncia (an)n∈N e´ crescente se an+1 > an para todo n ∈ N.
Usaremos induc¸a˜o para provar o que se pede. Observe inicialmente que y2 = 3 − 1 = 2 e
que y2 > y1. Suponhamos agora que yn > yn−1 para n > 2. Enta˜o 1yn−1 >
1
yn
, ou ainda,
− 1
yn
> − 1
yn−1
.
Portanto yn+1 = 3− 1yn > 3− 1yn−1 = yn. O que significa que a sequeˆncia e´ crescente.
(b) Vamos provar que a sequeˆncia e´ limitada, ou seja, que existem nu´meros reais N e M tais que
N ≤ yn ≤M para todo n ∈ N.
Inicialmente observe que, como a sequeˆncia e´ crescente e y1 > 0, todos os elementos da
sequeˆncia sa˜o positivos. Portanto da relac¸a˜o yn+1 = 3 − 1yn , segue que yn ≤ 3 para todo
n ∈ N. Logo
0 ≤ yn ≤ 3 para todo n ∈ N.
Usando o Teorema que garante que toda sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente, pode-
mos concluir que a sequeˆncia (yn)n∈N e´ convergente.
(c) Como o limite lim
n→∞
yn = a ∈ R, podemos usar as propriedades de limites na igualdade
yn+1 = 3− 1yn para obter a relac¸a˜o a = 3− 1a . Logo a deve satisfazer a relac¸a˜o a2−3a+1 = 0.
Resolvendo-se esta u´ltima obtemos que
a =
3 +
√
5
2
.
Portanto a sequeˆncia (yn)n∈N converge para
a =
3 +
√
5
2
.
Questa˜o 2. Considere a sequeˆncia (an)n∈N dada por
a1 = 1 e an+1 = an + (n + 1), para todo n > 1.
Decida se a sequeˆncia dada e´ convergente ou divergente.
Observemos que a2 = 1 + 2, a3 = a2 + 3 = 1 + 2 + 3, a4 = a3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4, .... Provemos
inicialmente que an = 1+2+ · · ·+n. Suponhamos, por induc¸a˜o, que an−1 = 1+2+3+ · · ·+n−1.
Enta˜o
an = an−1 + n = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n− 1 + n.
Agora provaremos que an =
n(n + 1)
2
para todo n ∈ N. De fato, a1 = 1 = 1(1+1)2 . Suponhamos
por induc¸a˜o que
an−1 =
(n− 1)(n− 1 + 1)
2
, onde n > 1.
Enta˜o
an = an−1 + n =
(n− 1)(n− 1 + 1)
2
+ n =
(n− 1)n
2
+ n =
(n− 1)n + 2n
2
=
(n + 1)n
2
.
Consideremos a func¸a˜o f : (0,+∞)→ R definida por
f(x) =
x(x + 1)
2
.
Como lim
x→+∞
f(x) = +∞, segue que a sequeˆncia (an)n∈N diverge e lim
n→+∞
an = +∞.
Questa˜o 3. Decida se a sequeˆncia dada e´ convergente ou divergente.
(a)
(
en cosn
3n
)
n∈N
(b)
(
n + 4
n! + 2
)
n∈N
(c)
(
− 2
n sen (1/n)
+
1
n
)
n∈N
(d)
(
ln 1
n
2
√
n
)
n∈N
(e)
{
ln(2n2 + 1)− ln(n2 + 1)}
n∈N
(f)
{
n− 1
n
}
n∈N
(a)
(
en cosn
3n
)
n∈N
Observe que como | cosn| ≤ 1, enta˜o
−e
n
3n
≤ e
n cosn
3n
≤ e
n
3n
.
Como a sequeˆncia {
en
3n
}
n∈N
=
{(e
3
)n}
n∈N
e e/3 < 1 segue que esta sequeˆncia converge para zero. Logo a sequeˆncia
{(− en
3n
)}
n∈N tambe´m
converge para zero. Usando a propriedade de sequeˆncias que diz que se (an)n∈N e (bn)n∈N sa˜o
sequeˆncias que convergem para o mesmo limite L e (cn)n∈N e´ uma outra sequeˆncia tal que
an ≤ cn ≤ bn, para todo n ∈ N, enta˜o a sequeˆncia (cn)n∈N tambe´m converge e converge para
L, conclu´ımos que a sequeˆncia dada converge para zero.
(b)
(
n + 4
n! + 2
)
n∈N
Observe que 0 ≤ n + 4
n! + 2
≤ n + 4
n!
≤ n + n
n!
=
2
(n− 1)! , se n > 4.
Como limx→+∞
1
(n− 1)! = 0, segue que a sequeˆncia dada converge para zero.
(c)
(
− 2
n sen (1/n)
+
1
n
)
n∈N
Como
lim
x→+∞
1
x sen (1/x)
= lim
x→+∞
1/x
sen (1/x)
= lim
y→0
y
sen y
= 1,
segue que a sequeˆncia
(
1
n sen (1/n)
)
n∈N
converge para 1. Ale´m disso, a sequeˆncia
(
1
n
)
n∈N
converge para zero. Como o produto de uma sequeˆncia convergente por uma constante e´
convergente e a diferenc¸a de sequeˆncias convergentes e´ tambe´m uma sequeˆncia convergente,
segue que a sequeˆncia e´ convergente e converge para -2.
(d)
(
ln 1
n
2
√
n
)
n∈N
Da relac¸a˜o
ln 1
n
2
√
n
=
− ln√n√
n
e do fato que
lim
x→+∞
lnx
x
= lim
x→+∞
1/x
1
= 0,
segue a sequeˆncia converge para zero.
(e)
{
ln(2n2 + 1)− ln(n2 + 1)}
n∈N
Observe que as sequeˆncias
{
ln(2n2 + 1)
}
n∈N e
{
ln(n2 + 1)
}
n∈N sa˜o divergentes. Logo na˜o
podemos usar a propriedade que nos da´ informac¸a˜o sobre a diferenc¸a de sequeˆncias.
Neste caso observamos que
{
ln(2n2 + 1)− ln(n2 + 1)}
n∈N =
{
ln
(
2n2 + 1
n2 + 1
)}
n∈N
.
Como
lim
x→+∞
2n2 + 1
n2 + 1
= 2,
segue que a sequeˆncia converge para ln(2).
(f)
{
n− 1
n
}
n∈N
Como a sequeˆncia {n}n∈N diverge e a sequeˆncia
{
1
n
}
n∈N
converge para zero, afirmamos que
a sequeˆncia dada e´ divergente. De fato, se tal sequeˆncia fosse convergente enta˜o a sequeˆncia
{n}n∈N =
{
1
n
}
n∈N
+
{
n− 1
n
}
n∈N
seria convergente (pois a soma de sequeˆncias convergentes e´ tambe´m convergente). O que e´
um absurdo.