Apostila Estatística

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA BÁSICA
SDE 0006
Prof. Marcia Julião
marciajuliao@serraplan.com.br
1.Contextualização:
A disciplina iniciará o discente no saber estatístico. Ela é importante para formação geral de todos os profissionais. Permitindo ao alunos ter Competência e habilidade de entender noções como desvio, medidas de tendência geral e dispersão. Saber fazer e interpretar tabelas.
Plano de Disciplina
A importância da estatística; 
Organização de dados em tabelas e gráficos;
Interpretação de tabelas e gráficos;
Medidas de tendência central; 
Medidas de dispersão; 
Distribuição Normal e padronização;.
Ementa
Inferência estatística; 
Noções de correlação;
Teste de hipóteses e tomada de decisão; 
Utilização de uma planilha eletrônica de amplo acesso pelos alunos que forneça o ferramental necessário para construção de tabelas, gráficos e cálculo de medidas.
Ementa
Proporcionar conceituação teórica e ferramental para o aluno ser capaz de organizar e representar dados estatísticos com o auxílio de um software.
Desenvolver a capacidade de interpretação de dados estatísticos e análise crítica de informações divulgadas pelos meios de comunicação do cotidiano; 
Objetivos Gerais
Proporcionar conhecimento estatístico básico, de modo que o aluno possa entender artigos científicos em sua área de estudo, a fim de poder se atualizar após sua formação na graduação.
Objetivos Gerais
O aluno deverá ser capaz de: 
Perceber a importância da estatística para seu curso;
Diferenciar população e amostra em estatística;
Saber a diferença entre estatística descritiva e inferencial, e suas respectivas funções;
Identificar variáveis de interesse, e classificá-las;
Objetivos Específicos
Saber organizar dados em tabelas e gráficos, utilizando a conceituação teórica e o auxílio de um software de amplo acesso pelos alunos;
Saber interpretar tabelas e gráficos;
Calcular as medidas descritivas de uma série estatística, manualmente e através do auxílio de uma planilha eletrônica;
 Saber resolver problemas utilizando a curva normal;
Objetivos Específicos
Entender a conceituação de testes de hipóteses e saber interpretá-los;
Saber a aplicabilidade dos testes de hipóteses paramétricos e não paramétricos;
Saber calcular o teste mais adequado para determinado problema, com o auxílio de um programa de computador, e saber tirar conclusões a partir do resultado fornecido pelo computador;
Objetivos Específicos
Saber detectar a presença, ou ausência, de uma relação entre duas variáveis arbitrárias através do coeficiente de correlação.
Objetivos Específicos
Conteúdos
Unidade 1 - Conceitos Básicos
1.1. População e Amostra;
1.2. Estatística Descritiva e Inferencial;
1.3. Variáveis, tipos de dados e níveis de mensuração;
1.4. Introdução ao computador;
1.5. Hardware e Software;
1.6. Sistema operacional e aplicativos;
Conteúdos
1.7. Introdução ao sistema operacional a ser utilizado nos laboratórios;
1.8. Vírus de computador: o que são e precauções;
1.9. Localização de arquivos;
1.10. Introdução ao software a ser utilizado como apoio (planilha eletrônica).
Conteúdos
Unidade 2 - Organização de Dados
2.1. Rol;
2.2. Tabelas;
2.3. Gráficos;
2.4. Formatação de tabelas, com auxílio do computador; 
2.5. Elaboração de gráficos no computador.
Conteúdos
Unidade 3 - Medidas de Tendência Central
3.1. Conceituação;
3.2. Moda;
3.3. Mediana;
3.4. Quartil, decil, percentil;
3.5. Média aritmética;
3.6. Cálculo das medidas de tendência central no computador.
Conteúdos
Unidade 4 - Medidas de Dispersão
4.1. Conceituação;
4.2. Amplitude total;
4.3. Desvio médio;
4.4. Variância;
4.5. Desvio padrão;
4.6. Coeficiente de variação;
4.7. Cálculo das medidas de dispersão, com auxílio do computador.
Conteúdos
Unidade 5 - Curva Normal 
5.1. Características da curva normal;
5.2. Distribuição normal reduzida;
5.3. Determinação de probabilidades sob a curva normal.
Conteúdos
Unidade 6 - Teste de Hipóteses
6.1. Introdução;
6.2. Hipóteses nula e alternativa;
6.3. Distribuição amostral da diferença entre médias;
6.4. Nível de significância;
6.5. Erros tipo I e tipo II;
Conteúdos
Unidade 6 - Teste de Hipóteses
6.6. Testes unilaterais e bilaterais;
6.7. Exigências para o teste de diferença entre médias;
6.8. Cálculo de teste t no computador e sua interpretação.
Procedimentos de ensino:
· Aulas expositivas;
· Aulas práticas no computador;
· Aulas de resolução de exercícios;
· Trabalho fora da sala de aula.
Procedimentos de ensino:
O processo de avaliação oficial será composto de três etapas, Avaliação 1 (AV1), Avaliação 2 (AV2) e Avaliação 3 (AV3).
As avaliações poderão ser realizadas através de provas teóricas, provas práticas, e realização de projetos ou outros trabalhos, representando atividades acadêmicas de ensino, de acordo com as especificidades de cada disciplina.
Procedimentos de ensino:
A soma de todas as atividades que possam vir a compor o grau final de cada avaliação não poderá ultrapassar o grau máximo de 10, sendo permitido atribuir valor decimal às avaliações.
Caso a disciplina, atendendo ao projeto pedagógico de cada curso, além de provas teóricas e/ou práticas contemple outras atividades acadêmicas de ensino, estas não poderão ultrapassar 20% da composição do grau final.
Bibliografia Básica:
1. Crespo, A. A. Estatística Fácil. São Paulo Saraiva, 2002.
2. Lapponi, J. C. Estatística usando Excel. 4a. ed. revista e atualizada. Rio de janeiro:
Elsevier, 2005.
3. Levini, Stephan, Krehbiel e Berenson. Estatística - Teoria e Aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, 2008.
Bibliografia Complementar:
1. Callegari-Jacques, Sadia D. Bioestatística. Princípios e Aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2004.
2. Levini, Stephan, Krehbiel e Berenson. Estatística - Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro : LTC, 23008
3. Vieira, S. Introdução à Bioestatística. São Paulo : Elsevier, 2008.
Aula 01 - Conceitos
Todas as ciências têm suas raízes na história dos homens. 
A Matemática, que é considerada “a ciência que une à clareza do raciocínio à síntese da linguagem”, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário e empírico. 
Conceitos
A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante. Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje chamaríamos de ESTATÍSTICA .
Psicologia
Hipóteses
Aula 01 - Conceitos
O termo “estatística” deriva do neolatim statisticum collegium (conselho de Estado) e do italiano statista (estadista ou político). Introduzida pela primeira vez no século XVIII pelo alemão Gottfried Achenwall, designava originalmente a análise de dados sobre o Estado, significando a “ciência do Estado”. Assim o propósito original da estatística era fornecer os dados a serem usados pelo governo.
População e Amostra
Desde essa época, “a Estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos coletivos e se tornou o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação e análise de partes desse todo (amostras). Hoje, sua influência pode ser encontrada nas mais diversas atividades: agricultura, biologia, comércio, química, comunicações, economia, educação, medicina, ciências políticas e muitas outras.
População e Amostra
A estatística trabalha com dados, os quais podem ser obtidos por meio de uma população 
ou de uma amostra, definida como: 
População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em comum. 
População e Amostra
Amostra: subconjunto de elementos de uma população. Este subconjunto deve ter 
dimensão menor que o da população e seus elementos devem ser representativos da população. 
A seleção dos elementos que irão compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá 
depender do conhecimento que se temda população e da quantidade de recursos disponíveis.
População 
Exemplo de População:
Eleitores da cidade do Rio de Janeiro;
Automóveis produzidos no Brasil entre 2000 e 2008;
A quantidade de lixo coletada no município do Rio;
Amostra 
Exemplo de Amostra:
700 eleitores escolhidos aleatoriamente;
10000 automóveis que fizeram recall;
Quantidade de lixo coletado no centro.
Conceitos
A Estatística é uma ciência que se dedica à coleta, análise e interpretação de dados.
Preocupa-se com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação (Estatística
Descritiva) e interpretação dos dados, assim como tirar conclusões sobre as características das fontes de onde estes foram retirados, para melhor compreender as situações (Estatística
Inferencial).
Conceitos
A Estatística Descritiva, como o próprio nome já diz, se preocupa em descrever os dados. A Estatística Inferencial, fundamentada na teoria das probabilidades, se preocupa com a análise destes dados e sua interpretação.
Inferência Estatística 
A Inferência Estatística consiste de procedimentos para fazer generalizações sobre as características de uma população a partir da informação contida na amostra.
Conceitos
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo Estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados (estatística do Ministério da Educação, estatísticas dos acidentes de tráfego etc.) desconhecendo que o aspecto essencial da estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.
Conceitos
A palavra Estatística tem mais de um sentido. No singular se refere à teoria estatística e ao método pelo qual os dados são analisados enquanto que, no plural, se refere às estatísticas descritivas que são medidas obtidas de dados selecionados.
Conceitos
A Estatística descritiva, cujo objetivo básico é o de sintetizar uma série de valores de mesma natureza, permitindo dessa forma que se tenha uma visão global da variação desses valores, organiza e descreve os dados de três maneiras: por meio de Tabelas, de Gráficos e de 
Medidas Descritivas.
Conceitos
A Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações, enquanto os gráficos são 
formas de apresentação dos dados, cujo objetivo é o de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.
Média diária de lixo
nos aterros de 1995 a 2009
Fonte: www.comlurb.rio.rj.gov.br
Conceitos
Para ressaltar as tendências características observadas nas tabelas, isoladamente, ou em 
comparação com outras, é necessário expressar tais tendências através de números ou 
estatísticas. Estes números ou estatísticas são divididos em duas categorias: medidas de posição e medidas de dispersão.
Exemplo de Gráfico
Fonte: www.ipeadata.gov.br
Por que utilizamos Amostras?
A partir de uma amostra coletamos informações que nos permitirão aprender algo sobre a população. O principal motivo é a redução de custos.
Pode-se provar que para populações muito grandes, uma amostra fornece resultados bastante confiáveis sobre as características da população.
Equilíbrio
A redução dos custos na tomada de decisão baseada em uma amostra é equilibrado com a possibilidade de cometermos erros na escolha, em função de não estarmos trabalhando com a população. A estatística permite quantificarmos os riscos dessas decisões incorretas.
Conclusão
Podemos descrever dados através de gráficos e tabelas. Isto é chamado de Estatística Descritiva. E a maioria dos trabalhos de mercados fazem isto!
Podemos tentar tirar conclusões sobre as características da população a partir dos dados observados na amostra. Isto se chama Estatística Inferencial.
Dados
Podemos classificar os dados que constituem amostras ou dados amostrais, em dois tipos fundamentais:
Dados qualitativos e Dados quantitativos
Dados
Dados qualitativos : representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias modalidades.
Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado.
Dados
Dados Quantitativos
Dados Quantitativos consistem em números que representam contagens ou medidas.
Quando trabalhamos com dados quantitativos, é importante usar as unidades de medida apropriadas, tais como dólares, horas, metros, e assim por diante.
Variáveis
A cada fenômeno, corresponde a número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:
Para o fenômeno SEXO, são os dois resultados possíveis: masculino e feminino.
Para o fenômeno número de filhos, há um número de resultados possíveis expresso através dos números naturais:
 			 0, 1, 2, 3... n; 
Variáveis 
Variável é uma característica ou condição das unidades de população.
Classificação de uma Variável
Qualitativas: Quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino) cor da pele (branca, preta, amarela, parda, etc.)
Variáveis Qualitativas
São as variáveis cujo significado não se refere a quantidades, mas a qualidades ou atributos dos elementos, mesmo que expressos através de números. Os números, nestes casos, não representam quantidades. Por exemplo: religião, cor da urina, número da carteira de identidade, motivo da internação, grau de gravidade de determinada doença.
Variáveis Qualitativas
Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser Nominais ou Ordinais.
Variáveis Nominais
Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio, tipo sanguíneo, estado civil, procedência,raça, cor dos cabelos.
Variáveis Ordinais
Existe uma ordenação entre as categorias.
Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro). 
São dados classificados em categorias distintas, nas quais o ordenamento está implícito.Exemplo: “Excelente” = 5, “Bom” = 4, “Regular” = 3 , “Ruim” = 2, “Péssimo” = 1.
Variáveis Quantitativas
Quantitativos: Quando seus valores são expressos em números (salários dos operários de uma fábrica, idade dos alunos de uma escola, etc.).
São variáveis necessariamente numéricas. Indicam o resultado de uma contagem ou medição.
Variáveis Quantitativas
Uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.
Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites, recebe o nome de variável contínua.
Variáveis
O número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N=(1, 2, 3...58...) mas nunca valores como 2,5 ou 3,75; logo é uma variável discreta.
Já o peso destes alunos é uma variável contínua pois um dos alunos pode pesar 62,5 ou 72,64, dependendo este valor da precisão da medida.
Variáveis
De modo geral as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações a variáveis discretas.
Designamos as variáveis por letras latinas, geralmente as últimas:
				x, y, z
Classificação das Variáveis
Níveis de Mensuração
A forma de medição dos dados é importante porque a aplicabilidade, ou não, dos modelos estatísticos a serem utilizados posteriormente na análise do material vai depender em grande parte  deste aspecto.
Níveis de mensuração:
As variáveis quantitativas podem ser:
Intervalar: quando o valor zero atribuído a uma variável não representa ausência da característica a ser contada ou medida, mas um ponto de referência, a posição do zero na escala de medida é arbitrária. Por exemplo, temperatura zero graus Celsius não representa ausência de temperatura, uma nota zero em determinado teste não indica que o aluno não saiba nada daquela disciplina.
Níveis de mensuração:
Razão:um resultado nulo (zero) indica ausência daquela característica. Uma resposta zero para a quantidade de filhos indica ausência de filhos.
Dados Estatísticos:
Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados.
Quando desorganizados recebem o nome de “dados estatísticos brutos’’ e quando organizados recebem o nome de “dados estatísticos em rol ou ROL.
Dados Estatísticos:
Os dados estatísticos em rol podem ser organizados em ordem numérica, alfabética ou ainda alfanumérica (quando aplicável); de forma crescente ou decrescente.
Veja os exemplos abaixo:
Dados Estatísticos Brutos
U=(9, 5, 1, 7, 5, 3, 3, 6, 9, 7, 8, 5)
Dados Estatísticos em Rol
U=(1, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9)
U=(9, 9, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5, 3, 3, 1)
Dados Estatísticos:
Quando relacionamos os dados estatísticos a alguns fatores, tais como tempo, local e fenômeno, dizemos que estes dados formam uma Série.
As séries estatísticas geralmente encontradas são:
• Série Temporal, Cronológica, Histórica ou Evolutiva;
• Série Geográfica, Territorial ou Espacial;
• Série Específica ou Especificativa;
• Série Mista.
Séries Estatísticas:
As séries estatísticas consistem na apresentação das
	informações (variáveis estatísticas) em formas de tabelas, objetivando sintetizar os dados estatísticos observados e tornando-os mais compreensivos. Uma tabela e mesmo um gráfico deve apresentar o cabeçalho, o corpo e o rodapé.
Séries Estatísticas
Série temporal, cronológica, evolutiva ou histórica – É a série estatística em que os dados são observados segundo a época de ocorrência. O tempo é variável e o fato e o local são fixos.
Séries Estatísticas
Série geográfica ou de localização – É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência. O local varia e o tempo e o fato são fixos.
Séries Estatísticas
Série Específica – Os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. Fato variável, tempo e local fixos.
Séries Estatísticas
Série Mista – É uma combinação de duas ou mais dos 3 tipos de séries anteriores
Fases do trabalho estatístico
Planejamento
Coleta
Crítica
Apuração
Exposição
Interpretação
Planejamento:
• Identificar com precisão a questão a ser respondida e definir com clareza a população de interesse.
• Estabelecer um plano para a coleta dos dados.
• Definir (elaborar) o instrumento de registro de informações a ser utilizado (ex: questionário, ficha de observação, etc).
Coleta de Dados
• O pesquisador pode ir a campo e fazer uma contagem ou um inquérito (dados primários), ou então utilizar dados já coletados por outros (dados secundários). A coleta pode ser contínua, periódica ou ocasional.
Coleta de Dados
• Contínua: existem ocorrências que são continuamente anotadas como registros de nascimento, óbito.
Periódica: é feita periodicamente como Censo nacional, balancetes comerciais.
Ocasional: devido a algum problema que tenha surgido, alguma emergência.
Críticas
• Devem ser feitas críticas aos dados coletados para que não participe da apuração qualquer informação falsa ou discrepante. Assim, questionários com respostas possivelmente erradas ou não preenchidas devem ser excluídos. É comum fazer a critica paralelamente a coleta.
Apuração
• Apurar os dados consiste em processar os dados coletados.
Exposição
Tabular os dados. É a fase da organização das informações coletadas em tabelas e gráficos.
Interpretação
• Interpretar numericamente os dados (porcentagens, médias, desvios, coeficientes de correlação etc).
• Analisar os resultados, tirar conclusões e fazer previsões.
Organizando dados de
 Pesquisa em tabelas
A coleta de dados em uma pesquisa tem por objetivo analisar determinada situação, as informações coletadas devem ser organizadas em tabelas para se ter um melhor entendimento das diferentes opções de respostas escolhidas pelos entrevistados.
Organizando dados de
 Pesquisa em tabelas
A Frequência absoluta registra exatamente a quantidade de vezes que determinada realização ocorreu, não sendo possível uma análise de comparação. Para que os dados se tornem significativos devemos recorrer à Frequência relativa da pesquisa, sendo esta feita através de dados percentuais, definidos como a razão entre a frequência absoluta e o número total de observações. 
Organizando dados de
 Pesquisa em tabelas
Em uma empresa foi realizada uma pesquisa a fim de saber a quantidade de filhos de cada funcionário. Os dados da pesquisa foram organizados na seguinte tabela: 
Exemplo:
Exemplo:
A frequência relativa nos fornece uma melhor visualização, pois os dados percentuais traduzem melhor a situação comparativa de cada caso. Veja a análise: 
18,75% dos funcionários não possuem filhos. 
22,5% possuem exatamente um filho. 
37,5% possuem dois filhos. 
15% possuem três filhos. 
6,25% possuem quatro filhos. 
Exemplo
Os estudos estatísticos são responsáveis pela análise de informações através de tabelas informativas e representações gráficas, no intuito de fornecer clareza nos resultados obtidos. Os dados coletados são organizados em tabelas que detalham as frequências absoluta e relativa.
Exemplo
Em algumas situações, a quantidade de informações diferenciadas torna inviável a construção de uma tabela com uma linha para cada representação de valor. Nesses casos optamos por agrupar os dados em intervalos de classes.
Para a melhor representação dessa situação iremos apresentar um grupo de pessoas, das quais suas alturas foram coletadas. Observe:
Exemplos
Amorim: 1,91	
 Antônio: 1,78
Bernardo: 1,69
Carlos: 1,82
Celso: 1,80
Danilo: 1,72
Douglas: 1,73
Daniel: 1,76
Everton: 1,77
Gabriel: 1,94
	 11. Gustavo: 1,84
 12. Heitor: 1,87
 13. Ítalo: 1,85
 14. João Carlos: 1,89
 15. João Vinicius: 1,70
 16. Leonardo: 1,91
 17. Lucas: 1,86
 18. Marlon: 1,70
 19. Orlando: 1,71
 20. Pedro: 1,93
Exemplo
Para definirmos os intervalos, vamos realizar a subtração entre a maior e a menor altura: 1,94 – 1,69 = 0,25.
O número de intervalos deve ser sempre maior que quatro. No caso descrito, vamos estipular cinco intervalos de classe, dessa forma adicionamos 0,01 a 0,24 e dividimos por 5:
0,25 : 5 = 0,05. Veja os intervalos:
Agrupamento de Dados em Intervalos
1,69 1,74 (1,69 + 0,05)
1,74 1,79 (1,74 + 0,05)
1,79 1,84 (1,79 + 0,05)
1,84 1,89 (1,84 + 0,05)
1,89  	 1,94  (1,89 + 1,94) 
Tabela de Frequencia
A tabela informa as alturas de acordo com os intervalos, a frequência absoluta e a frequência relativa e percentual.
RELEMBRANDO...
VARIÁVEL
	QUALQUER VARIÁVEL ASSOCIADA A UMA POPULAÇÃO
			CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS
CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
QUALITATIVA
QUANTITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
CONTÍNUA
DISCRETA
Sexo, cor dos olhos, 
Classe social, grau de instrução
Peso, altura, salário
Nr. de filhos, Nr. decarros 
Pesquisa
Ao realizar uma pesquisa é aconselhável realizar um estudo estatístico dos dados apresentados. Através desse estudo podemos tirar as conclusões necessárias sobre o universo pesquisado. A estatística descritiva é a parte da estatística responsável por realizar essa análise, apontando tendências de comportamento das variáveis, criando gráficos e descrevendo as características dos conjuntos pesquisados. 
Medidas de Tendência Central
Numa pesquisa, os dados tendem a se concentrar em torno dos valores centrais. Uma medida de tendência central é um valor intermediário da série estatística com a qual estamos trabalhando. As principais medidas de tendência central são:
Moda,
Mediana e a,
Média
Medidas de Tendência Central
Primeiramente analisaremos o modelo matemático para o cálculo dessas medidas, tomando os valores de um Rol. Depois, serão mostrados os modelos para o cálculo utilizando uma tabela de distribuição de frequências: 
Cálculo das medidas de tendência
 central com o rol:
A Moda: para os valores de um rol, definimos a Moda por meioda observação do elemento de se apresenta com a maior frequência. 
Ex.: Dado o seguinte rol: {1,1,2,2,2,3,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,9}, o elemento 5 se repete 4 vezes, e é o elemento que mais se repete dentro do rol. Logo, essa amostra é unimodal, com Mo = 5
Moda
Escore ou categoria que ocorre com maior frequência.
 Símbolo: Mo.
 Classificação:
 Unimodal: série estatística que possui apenas uma moda.
 Bimodal: 2 modas.
 Multimodal: Mais de 2 modas.
 Amodal: série sem moda.
Moda
Exemplo 2. A tabela abaixo apresenta as notas em matemática de uma turma de 30 alunos.
Na coluna da esquerda temos as notas na disciplina de matemática e na coluna da direita, quantos alunos obtiveram a respectiva nota. Dessa forma, podemos observar que a nota que mais aparece nesse conjunto de dados é 7. Portanto, Mo = 7. 
 Mediana
A mediana é o valor que se encontra no ponto intermediário da Rol. Caso a Rol possua uma quantidade ímpar de elementos, a Mediana pertencerá a Rol bastando, para determina-lá, observar o elemento equidistante aos extremos da Rol. Se a Rol possuir uma quantidade par de elementos, a Mediana será determinada por meio do ponto médio dos dois elementos centrais.
Mediana
Valor que divide uma série estatística em dois
subconjuntos de valores com mesmo número de termos.
 Símbolo: Md.
Para séries com número ímpar de termos: Valor do termo central.
Para séries com número par de termos: Média dos 2 valores centrais.
A Mediana
Ex1.: Observe que a seguinte Rol:
	{1,1,2,2,2,3,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,9}
	possui 17 elementos.
	Assim, como 17:2 = 8.5, a mediana será o nonagésimo valor do rol. 
	Logo, Md = 5.
A Mediana
Ex2.: Agora, observe que a Rol
 {10, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 20} possui 16 elementos.
Assim, os dois elementos centrais estarão na oitava e nona posições.
Logo, Md = ( 15 + 16):2 = 15,5.
Mediana
A tabela abaixo reproduz uma tabela, com os índices de massa corporal de 50 indivíduos:
18,73 	21,38	 26,03	 23,66	 26,14 
21,87 	21,26	 20,52	 22,1	 28 
17,92 	23,95	 26,56	 25,53 	31,23 
23,24 	30,61	 28,41	 26,14	 26,78 
32,41 	19,59	 24,97	 21,36	 17,99 
32,37 	26,37	 19,68	 26,31	 34,6 
22,76 	21,79	 20,7	 20,38	 26,94 
26,2 		28,62	 22,41	 30,73	 30,82 
18,69	22,31	 25,86	 26,72	 24,3 
19,98	30,83	 24,38	 24,03	 24,73
Determinação da Mediana
Usando um Rol à partir dos dados anteriores:
17,92	21,26	 23,66	 26,14 	 28,41 
17,99 	21,36	 23,95	 26,14	 28,62 
18,69	21,38	 24,03	 26,2	 30,61 
18,73	21,79	 24,3	 26,31 	 30,73 
19,59	21,87	 24,38	 26,37	 30,82 
19,68 	22,1	 24,73	 26,56	 30,83 
19,98	22,31	 24,97	 26,72	 31,23 
20,38	22,41	 25,53	 26,78	 32,37 
20,52	22,76	 25,86	 26,94	 32,41 
20,7		23,24	 26,03	 28	 34,6
Determinação da Mediana
A mediana será o dado (x25 + x26)/2 = 24,55 .
A mediana é o ponto central da série de dados. Temos 25 dados nas duas primeiras classes e outros 25 dados entre a 3ª e a 5ª classes. 
Portanto, a mediana é dada aproximadamente por 24,60
Fórmula da Mediana
A Média
A média nem sempre é o escore que aparece com maior frequência.
Também não é necessariamente o ponto central de uma distribuição.
 A média é o “centro de gravidade”, isto é, o ponto de qualquer distribuição em torno do qual se equilibram as discrepâncias (diferença entre a média e qualquer escore bruto) positivas e negativas.
Média ou Média Aritmética
A média de um conjunto de dados numéricos obtêm-se somando os valores de todos os dados e dividindo a soma de número de dados.
2 + 4 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10
/ 7 
42/7 = 6. Portanto, 6 é a média.
Média - Distribuição
Valores
F
FX
1
2
2
2
3
6
3
4
12
4
1
4
5
8
40
6
4
24
7
2
14
8
1
8
9
7
63
32
173
X = ( " FX ) / N
X = 173 / 32 = 5,40625
X = 5,41
Aplicando a fórmula:
Seja uma amostra aleatória: 
10,3 – 4,9 – 8,9 – 11,7 – 6,3 – 7,7
Gráficos Estatísticos
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas.
Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.
Gráficos Estatísticos
Simplicidade – o gráfico não deve conter informações redundantes ou sem importância que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros.
Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.
Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo
Classificação dos Gráficos 
1 - Diagramas: 
	São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas. Eles podem ser :
 Gráficos em barras horizontais.
 Gráficos em barras verticais ( colunas ).