aula 6

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Aula 6:
Diagramas de Esforços internos
Estudo das Vigas Isostáticas
Como já mencionado, vigas são peças (barras) da estrutura
onde duas dimensões são pequenas em relação a terceira. Isto
é, o comprimento é a maior dimensão da peça, estando às
outras dimensões situadas no plano a ele perpendicular (plano
da seção transversal da peça).
b
h
c
b
h
c
Estudo das Vigas Isostáticas
Classificação de Vigas
As vigas são classificadas como:
biapoiadas engastada e livre
biapoiadas com balanço inclinadas
Estudo das Vigas Isostáticas
Equações Fundamentais da Estática
Seja a viga biapoiada submetida ao carregamento indicado:
Os esforços na seção S são:
Estudo das Vigas Isostáticas
Derivando as expressões acima em relação à abscissa S que
define a seção, na qual são quantificados os esforços, obtém-se:
A partir de q(x) obteremos, então, as funções Ms e Qs que nos
dão os valores dos momentos fletores e esforços cortantes
atuantes em qualquer seção da viga. Representando
graficamente estas funções Ms e Qs perpendicularmente ao
eixo da viga, teremos seus assim chamados diagramas de
momentos fletores e de esforços cortantes atuantes.
Estudo das Vigas Isostáticas
Diagramas de esforços (ou linhas de estado) são, para cada
esforço seccional considerado, curvas traçadas sobre o eixo
longitudinal da estrutura (quando composta de barras), que tem
por objetivo representar como varia o esforço considerado ao
longo das sucessivas seções transversais da estrutura.
Vigas Biapoiadas
1- Cargas Concentradas
Estudo das Vigas Isostáticas
Vigas Biapoiadas
2- Carga Uniformemente Distribuída
3- Carga Linearmente Distribuída – Triangular
4- Carga Momento Concentrado
5- Caso Geral de Carregamento
Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as
condições da estrutura, ou de parte dela, à
esquerda ou à direita da seção transversal
estudada.
Exemplo
apoio fixo A:
deslocamentos
restritos vx e vy
apoio móvel C:
deslocamento
restrito vy
x
y
C
B
VA
A
Vc
HA
4,0 1,5m
5,0
kN/m
8,0
kN
8,0
kN
Reações de apoio
Carga distribuída transformada
em força concentrada fictícia,
Fq = 5,0.5,5=27,5 kN
Equações de equilíbrio
x
y
27,5 kN
RA Rc
HA
4,0 1,5m
kNRRM
kNRRRRF
kNHF
CCzA
CACAy
Ax
9,1804.
2
5,5
.5,27:0
5,2705,5.5:0
0,8:0






kNRR CA 6,89,185,275,27 
8,0
kN
Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
equações de equilíbrio
x
y
10,0
kN
RA
2,0
MB
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,70
2
0,2
.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0






VB
NB
HA
6. Equações analíticas e diagrama de
esforços
6.1- Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma
determinada seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação)
ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como
um todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços
em função da coordenada x, onde são representados
os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma
seção transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos
contínuos e descontínuas onde houver alguma força
(ou reação) concentrada ou descontinuidade
geométrica da estrutura.
Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 m
equações de equilíbrio
x
y
5,0.s
RA
s
MS
2
.5,2.6,80
2
..0,5.:0
.0,56,8.0,56,80.0,5:0
0,80:0
ssMMsssRM
sVsVsVRF
kNNNHF
SSAzS
SSSAy
SSAx






VS
NS
s
HA
Esforços solicitantes para o trecho AC, entre
apoios
Para s=0:
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
0,0.5,2.6,8
6,8.0,56,8
2 

ssMM
kNsVV
AS
AS
mkNssMM
kNsVV
esqSS
esqSS
.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8
4,110,4.0,56,8.0,56,8
22
,
,


Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m
x
y
5,0.s
RA
s
MS
2
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0
2
..0,5)0,4.(.:0
5,27.0,5
.0,59,186,80.0,5:0
0,80:0
sssM
MsssRsRM
sV
sVsVRRF
kNNNHF
S
SCAzS
S
SSCAy
SSAx








VS
NS
s
RC
HA
mkN
sssMM
kNsVV
dirCS
dirCS
.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
5,75,270,4.0,55,27.0,5
2
2
,
,



Esforços solicitantes para o trecho CD,
em balanço
Para s=4,0:
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0,05,275,5.0,55,27.0,5
2
2



sssMM
sVV
DS
DS
Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas
dos esforços solicitantes seguindo algumas
convenções:
Momento fletor e força cortante, valores positivos
indicados abaixo do eixo de abcissa x
8,6
11,4
7,5+
_
+
7,2
5,6
+
_
B
1,4
V (kN)
M
(kN.m)
Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama
devido a uma carga concentrada no ponto C
(reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos
valores de força cortante, à direita e à
esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-
11,4)=18,9kN) representam a carga
concentrada naquele ponto (reação de apoio
VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da
inclinação no diagrama devido a uma carga
concentrada no ponto C (reação de apoio)
Estudo das Vigas Isostáticas - Diagramas
Estudo das Vigas Isostáticas - Diagramas
Estudo das Vigas Isostáticas - Diagramas
Estudo das Vigas Isostáticas - Diagramas
Estudo das Vigas Isostáticas - Diagramas
Estudo das Vigas Isostáticas
Vigas Biapoiada com Balanço na Extremidade
Estudo das Vigas Isostáticas
Vigas Biapoiada com Balanço na Extremidade
Seja a viga biapoiada com balanço na extremidade como mostrado na
figura abaixo:
Uma maneira de resolver é separando a viga em 3 partes
A outra é resolver sem separar a viga.
Estudo das Vigas Isostáticas
Vigas Biapoiada com Balanço na Extremidade
Seja a viga biapoiada com balanço na extremidade como mostrado na
figura abaixo:
Estudo das Vigas Isostáticas
Vigas Biapoiada com Balanço na Extremidade
Seja a viga biapoiada com balanço na extremidade como mostrado na
figura abaixo: