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Caderno didático de Sistemas de Controle I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - UFSM
CENTRO DE TECNOLOGIA - CT
DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO - DELC
PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA
CADERNO DIDÁTICO
DE
SISTEMAS DE CONTROLE 1
ELABORAÇÃO: Prof. Hélio Leães Hey, Dr. Eng.
 
DIGITAÇÃO: Patrick , bolsista
AGOSTO - 1997
APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE
1.1- INTRODUÇÃO ___________________________________________________________ I-1
1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS ___________________________________________________ I-1
1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA___________________ I-2
1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE __________________________ I-3
1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA _____________ I-4
CAPÍTULO 2 - REVISÃO MATEMÁTICA
2.1- INTRODUÇÃO ___________________________________________________________II-1
2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA ____________II-1
2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS __________________________________________________II-2
2.4- TEOREMA DE EULER ____________________________________________________II-2
2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE __________________________________________II-3
2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES __________II-3
a) Função Exponencial___________________________________________________________ II-3
b) Função Degrau ______________________________________________________________ II-4
c) Função Rampa_______________________________________________________________ II-4
d) Função Senoidal _____________________________________________________________ II-4
e) Função Co-senoidal___________________________________________________________ II-5
2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE__________________________II-6
a) Função Transladada___________________________________________________________ II-6
b) Função Pulso ________________________________________________________________ II-7
c) Função Impulso ______________________________________________________________ II-7
d) Multiplicação de f(t) por e-αt ____________________________________________________ II-8
e) Mudança de escala de tempo____________________________________________________ II-8
f) Demonstração do teorema da diferenciação ________________________________________ II-8
g) Teorema do Valor Final ______________________________________________________ II-10
h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________ II-11
2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ________________________________ II-11
2.6.1- MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS_______________________II-12
DETERMINAÇÃO DOS RESÍDUOS ASSOCIADOS AOS PÓLOS _____________ II-12
a) Pólos Reais e Distintos _______________________________________________________ II-12
b) Pólos Reais Múltiplos_______________________________________________ II-14
c) Pólos Complexos Conjugados _________________________________________________ II-15
2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO
TEMPO ATRAVÉS DE T.L. ___________________________________________________II-16
 
 
CAPÍTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS
3.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ III-1
3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA___________________________________________ III-1
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA _______________________ III-1
3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS ________________________________________________ III-2
- Blocos e Fluxo de Sinais _______________________________________________________ III-2
- Ponto de Soma ______________________________________________________________ III-2
- Pontos de Ramificações________________________________________________________ III-2
3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA _________ III-3
3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES_____________ III-4
3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS ______________________ III-5
3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL _________________________________________ III-6
DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁF. DE FLUXO DE SINAIS __________ III-7
ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS_________________________________ III-7
3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON _______________________________________ III-8
3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO _______ III-9
3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO
DE VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA________________________________ III-12
3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS_________________________________________________ III-13
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA _____________________________________________ III-13
3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR
DAS EQUAÇÕES DE ESTADO _______________________________________________ III-14
3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE ESTADOIII-15
CAPÍTULO 4 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
4.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ IV-1
4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ________________ IV-1
- Massa _____________________________________________________________________ IV-1
- Força ______________________________________________________________________ IV-2
- Torque_____________________________________________________________________ IV-2
- Deslocamento, Velocidade e Aceleração __________________________________________ IV-2
- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular______________________ IV-2
LEIS DE NEWTON ___________________________________________________________ IV-3
- Segunda lei de Newton (Translação) _____________________________________________ IV-3
- Segunda lei de Newton (Rotação)________________________________________________ IV-3
4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO______________________________ IV-3
- Elemento de Inércia (Massa)____________________________________________________ IV-3
- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-4
- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-4
4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO _________________________________ IV-6
- Elementos de inércia (Momento de Inércia) ________________________________________ IV-7
- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-7
- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-7
4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS _________________ IV-8
4.3.1- CIRCUITO RLC________________________________________________________ IV-8
4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS __________________________________________________ IV-9
4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS_______________ IV-9
a) Analogia Força-Tensão _______________________________________________________ IV-9
b) Analogia Força-Corrente_____________________________________________________ IV-10
4.5 - SISTEMAS ELETROMECÂNICOS _______________________________________ IV-11
4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA __________________________ IV-11
4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC ______________ IV-12
4.5.1.2- GERADOR CC ______________________________________________________ IV-16
4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS ________________________________ IV-17
4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES _________ IV-18
CAPÍTULO 5 - AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES
AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS
5.1- AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE _________________________________________ V-1
5.1.1- AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIÇÕES ___________________ V-1
5.1.2- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL__________________________________ V-2
5.1.3- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-2
5.1.4- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL______________________ V-3
5.1.5- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO ____________________ V-4
5.1.6- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO_________ V-4
5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1a
 
ORDEM _____ V-5
5.2.1- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL ________________ V-6
5.2.2- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO___ V-6
5.2.3- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL _____ V-7
5.3- EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO
DESEMPENHO DO SISTEMA _________________________________________________ V-8
5.3.1- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-8
5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A
PERTURBAÇÃO _____________________________________________________________ V-9
5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE “P-I” A PERTUBAÇÕES ____ V-9
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA, DO ERRO DE
REGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS
6.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ VI-1
6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM________________________________________ VI-1
a) Resposta ao degrau __________________________________________________________ VI-1
b) Resposta a Rampa Unitária ____________________________________________________ VI-2
6.3- SISTEMAS DE 2a ORDEM ________________________________________________ VI-3
a) Pólos Reais ________________________________________________________________ VI-3
b) Pólos Complexos____________________________________________________________ VI-3
1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO __________________________________________ VI-3
2o Caso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO _______________________________ VI-4
3o Caso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO ________________________________________ VI-5
6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA ___________________________ VI-6
- Tempo de Subida “tr” _________________________________________________________ VI-6
- Tempo de Pico “tp”___________________________________________________________ VI-6
- Tempo de Acomodação “ts” ____________________________________________________ VI-6
- Overshoot Máximo “Mp” ______________________________________________________ VI-6
6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA _____________ VI-8
6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2a ORDEM ASSOCIADA A
UM COMPENSADOR PROPORCIONAL _______________________________________ VI-9
6.6- CONTROLADOR “P-D” APLICADO A UM SISTEMA DE 2a ORDEM _________ VI-10
6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ_____________________ VI-11
6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE _____________________________________ VI-12
6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO _____________ VI-13
6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA_______________ VI-13
6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA _____________________ VI-14
QUADRO RESUMO _________________________________________________________ VI-15
 
 
CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES
7.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________ VII-1
7.2- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES ______________________________________ VII-1
7.2.1- PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES____________ VII-1
7.2.2- DEFINIÇÃO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES ___________________________ VII-3
7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES ___________________ VII-5
CAPÍTULO 8- ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
8.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________VIII-1
8.2- PRINCÍPIO BÁSICO ____________________________________________________VIII-1
8.3- DIAGRAMA DE BODE __________________________________________________VIII-4
8.3.1- GANHO CONSTANTE “K” _____________________________________________VIII-5
8.3.2 - PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM_________________________________________VIII-5
8.3.3- PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO_______________________VIII-6
8.3.4- PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS ________________________________________VIII-7
8.4- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST _____________________________VIII-9
Teorema de Cauchy: _________________________________________________________ VIII-10
8.4.1- VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ _______________________ VIII-11
8.4.2- APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST ____________________________VIII-11
8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE_____________________VIII-12
Margem de Ganho: __________________________________________________________ VIII-12
Margem de Fase: ____________________________________________________________ VIII-12
8.6- DIAGRAMAS DE NYQUIST - CASOS ESPECIAIS _________________________VIII-14
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
I-1
&$3Ì78/2 ,
“ GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE ”
1.1- INTRODUÇÃO
Embora muitas vezes não percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de
diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo com
a função de monitorá-lo, está participando do fechamento de uma malha. Como exemplos de
sistemas de controle, pode-se citar:
- Ato de guiar um automóvel (malha fechada);
- Ato de utilizar um liqüidificador (malha fechada);
- Ato de utilizar um máquina de lavar (malha aberta);
- Ato de utilizar um microondas (malha aberta).
Atualmente os sistemas de controle têm assumido um papel progressivamente importante no
desenvolvimento da civilização moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diária são
afetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficiência e precisão,
praticamente exige a presença de sistemas de controle em malha fechada sem a presença do operador
humano, isto é, CONTROLE AUTOMÁTICO.
O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notícia, é o
relógio de água inventado dois séculos antes de cristo.
O tempo era medido pelo volume de
água acumulada no reservatório inferior, o qual
recebia os pingos de água com uma vazão
constante de um reservatório para o outro. Isto
era conseguido, graças a válvula flutuante do
primeiro reservatório que possuía a função de
garantir sempre o mesmo nível de água no
primeiro reservatório. Esta válvula apresentava
as funções de sensor e atuador do sistema.
1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS
A seguir são introduzidas as definições básicas a respeito das denominações utilizadas na
teoria de controle.
- Planta:
A planta de um sistema de controle é definida como sendo a parte do sistema a ser
controlada. Ex: reator químico, caldeira, gerador, etc.
- Processo:
O processo é definido como sendo a operação a ser controlada na planta. Ex: processo
químico, físico, biológico, etc.
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
I-2
- Perturbações:
São sinais que tendem a afetar o valor da saída de um sistema. Se a perturbação é gerada
dentro do sistema, ela é denominada interna. Caso contrário, é considerada como um sinal de entrada
do sistema.
- Controle Realimentado:
É a operação que na presença de perturbações externas, tende a reduzir a diferença entre a
saída do sistema e a entrada de referência.
- Sistema de Controle Realimentado:
É um sistema que tende a manter uma relação preestabelecida entre o sinal de saída e a
entrada de referência, comparando-as e utilizando a diferença entre estes sinais como um meio de
controle do sinal de saída.
Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparação da temperatura da sala
(saída) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo de
igualar os sinais.
Outro exemplo é o controle de velocidade de um automóvel pelo motorista. Para que o
automóvel não ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente a
velocidade do veículo (saída) com a velocidadeestabelecida (entrada).
- Servo Mecanismo:
É um sistema de controle realimentado no qual a saída do sistema é uma posição mecânica,
velocidade ou aceleração.
- Sistema Regulador Automático:
É um sistema de controle cujas saída e entrada de referência são constantes, ou variam
lentamente, e o objetivo do sistema é manter a saída em um valor desejado mesmo na presença de
perturbações. Ex: controle de pressão e temperatura em um processo químico.
1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA
O controle em malha fechada é o mesmo que controle realimentado. A diferença entre o
sinal de entrada (referência) e o sinal de saída realimentado, chamado de sinal de erro, é introduzido
no controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a saída em um
valor desejado.
Conforme já foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada
(realimentado), definidos como controle manual e controle automático. No controle automático, o
operador é substituído por dispositivos que desempenham as suas funções de formas mais eficientes
e precisas.
Já nos sistemas de controle em malha aberta, a saída não tem efeito na ação de controle, isto
é, a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Para cada entrada de
referência haverá uma condição preestabelecida de operação. Qualquer sistema que opere em uma
base de tempo é um sistema em malha aberta.
A operação em malha aberta deve ser usada, quando se conhece a relação entre entrada-saída
e o sistema não apresentar nenhum tipo de perturbação.
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
I-3
Nem sempre, os sistemas em malha fechada são aconselháveis. Nos sistemas em que as
entradas são conhecidas e não estão sujeitas a perturbações, a operação em malha aberta deve ser
preferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbações e variações imprevisíveis deve-
se preferir a operação em malha fechada. Porém, estes sistemas devem ser analisados e projetados
com bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo,
instabilidade e oscilações.
1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
- Sistemas de Controle Linear e Não-Linear
Praticamente todos os sistemas físicos existentes na prática são não-lineares. Entretanto,
quando os módulos dos sinais dos sistemas de controle são limitados a uma certa faixa de valores, na
qual os componentes do sistema exibem características lineares, o sistema é dito linear. Quando os
módulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operação, o sistema deverá ser considerado
como não-linear.
No geral o sistema é dito linear, quando o princípio da superposição pode ser aplicado.
- Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempo
Um sistema de controle é dito invariante no tempo quando seus parâmetros são estacionários
com relação ao tempo, isto é, não variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instante
de tempo no qual a entrada é aplicada.
Por outro lado, um sistema de controle é dito variante no tempo, quando um ou mais
parâmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual a
entrada é aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo é o controle de um
míssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, já que combustível é consumido
durante o vôo.
- Sistemas de Controle Contínuos e Discretos
Um sistema é dito contínuo, quando todas as variáveis do sistema são conhecidas em todos
os instantes de tempo.
Um sistema é dito discreto, quando pelo menos uma variável do sistema só é conhecida em
alguns instantes de tempo.
- Sistemas de Controle “uma entrada - uma saída” e “várias entradas - várias saídas”
Um exemplo claro de um sistema “uma entrada - uma saída” é o sistema de controle de
velocidade de um motor elétrico, onde a entrada é a velocidade desejada e a saída é a velocidade
atual.
Como exemplo de sistemas “várias entradas - várias saídas” pode-se citar o controle de
pressão e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de saída (pressão e
temperatura).
- Sistemas de Controle Clássico e Sistemas de Controle Moderno
A teoria de controle clássico utiliza exaustivamente o conceito de função de transferência,
onde a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio de freqüência, isto é, no domínio “S”.
Esta teoria fornece resultados satisfatórios somente para sistemas do tipo “uma entrada - uma saída”.
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
I-4
A teoria de controle moderno é baseado na abordagem de espaço de estado, que utiliza
exaustivamente os conceitos de matriz de transferência e a análise e o projeto de um sistema são
feitos no domínio do tempo. 
1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA
- Requisitos de um Sistema de Controle
A exigência fundamental de um sistema de controle é ser estável, isto é, apresentar
estabilidade absoluta. Deve também, apresentar um boa estabilidade relativa, isto é, a velocidade
de resposta deve ser rápida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema de
controle deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolerável.
As exigências de uma ótima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes são
incompatíveis. Deve-se portanto buscar um ponto ótimo entre estas exigências.
- Modelagem Matemática
Os componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle são
geralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecânicos, hidráulicos,
pneumáticos, eletrônicos, etc. Para que haja uma uniformidade na análise estes componentes e/ou
dispositivos são substituídos pelos seus modelos matemáticos.
Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema de
controle, é na obtenção de modelos matemáticos precisos para os dispositivos físicos. Estes
modelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos.
A análise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemático deve ser
razoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo
matemático. É baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle é uma abordagem única e
interdisciplinar.
Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos em
que a relação entre entrada-saída não são lineares, normalmente são linearizados em torno do ponto
de operação através das técnicas disponíveis.
- Análise, Projeto e Síntese de um Sistema de Controle
A análise de um sistema de controle significa a investigação do desempenho do sistema, cujo
modelo matemático é conhecido sob certas condições especificadas. Esta, deve começar pela
descrição matemática de cada dispositivo que o compõe. Uma vez que o modelo matemático do
sistema é obtido, a análise do mesmo independe de sua natureza física (eletrônico, pneumático, etc.).
No geral, a análise de um sistema é feita sob dois aspectos: análise da resposta transitória e
análise de regime permanente.
Projetar um sistema, significa determiná-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se as
características da resposta transitória e do regime permanente não forem satisfatórias, deve-se
adicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado do
mesmo. Este componente adicional é conhecido como compensador. Em geral o projeto de um
compensador, na teoria de controle clássico, é baseado nos métodos da resposta em freqüência e/ou
do lugar das raízes.
Síntese de um sistema, é a sua determinação através de um procedimento direto que faça com
que funcione com uma característica específica. Geralmente, este procedimento é puramente
matemático.
Atualmente, os computadores têm tido um papel importante na análise, projeto e operação desistema de controle, tanto na parte de simulação do sistema e projeto orientado, como também
fazendo parte do sistema atuando como um controlador digital.
- Abordagem Básica para Projetos de Sistema de Controle
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
I-5
Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve métodos de tentativa e erro. Isto se
deve principalmente, as não-linearidades do sistema e também as imprevisões e simplificações
adotadas na determinação dos modelos característicos dos dispositivos do sistema.
Na prática, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para
que atenda as especificações solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Precisão em Regime
Permanente, Confiabilidade e Custo.
As especificações podem ser solicitadas explicitamente ou não. Caso sejam solicitadas, o
projetista deve, dentro do possível, obtê-las. Caso contrário, deve obter as especificações que julgar
conveniente. As especificações devem ser analisadas em termos matemáticos. Deve-se salientar, que
as especificações devem ser realísticas.
- Metodologia de projeto
 De posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser
utilizado. Após, deve-se obter os modelos matemáticos da planta , sensor e atuador. A seguir,
define-se o modelos matemático do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaça as
especificações do projeto.
Uma vez que o projetista tenha em mãos o modelo matemático completo do sistema, deve
simulá-lo para avaliar o seu desempenho em relação a variações do sinal de entrada e também na
presença perturbações. Nesta fase é que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a resposta
do mesmo atenda as especificações solicitadas.
Após, deve-se construir o protótipo físico do sistema, para que o mesmo seja testado e para
que sejam feitos os ajustes práticos.
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
II-1
&$3Ì78/2 ,,
“REVISÃO MATEMÁTICA”
2.1- INTRODUÇÃO
Este capítulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemáticos necessários para o
estudo da teoria de controle.
Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma variável complexa e uma função complexa. Após,
revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformação de Laplace.
O domínio da Transformação de Laplace é fundamental para o entendimento da teoria de
Controle Clássico.
2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA
- Variável Complexa
É um número complexo, cujas partes real e ou imaginária são variáveis. A variável complexa
“S” é expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir:
S j1 1 1= +τ ω Onde: τ = Re( )s
ω = Im( )s
- Função Complexa
Uma função complexa F(s), é uma função de “S” com parte real e imaginária; podendo ser
expressa como:
F(s) = Fx + jFy Onde: Fx 
 
e Fy são reais
Ex:
VARIÁVEL COMPLEXA FUNÇÃO COMPLEXA
Plano “S” Plano F(s)
 
 
F s F F
tg
Fy
F
X Y
X
( ) = 2 2
1
+
=
−θ
 
O conjugado da função Complexa F(s) é :
2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS
F s Fx jFy( )= −
Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila de Sistemas de Controle I
Prof. Hélio Leães Hey - 1997
II-2
Uma função é dita Analítica, quando ela e suas derivadas são definidas para um dado valor de
“S” ou um dado ponto no plano “S”.
Quando a função F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de “S”, diz-se
que a função não é analítica para aquele ponto.
Seja a seguinte função F(s): F s S( ) ( )= +
1
1
A derivada desta função em relação a “S”, é dada por:
d
dS F s S
( ) ( )=
−
+
1
1 2
Tanto a função F(s), como sua derivada, são definidas para todos os pontos do plano “S”,
exceto para o ponto S = −1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, a
função F(s) é Analítica em todo o Plano “S”, exceto no Ponto S = −1.
Os pontos no plano “S”, onde a função F(s) é analítica são chamados PONTOS ORDINÁRIOS,
enquanto que os pontos onde F(s) não é analítica, são chamados PONTOS SINGULARES. Os pontos
singulares são também chamados de PÓLOS DA FUNÇÃO
 
(S = −1 é um pólo da função F(s)).
Seja uma função F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S = −p e se a função
F s s p n( ).( )+ onde n = 1, 2, 3..., é um valor finito não nulo para o ponto S = −p, então: S = −p é
chamado de PÓLO DE ORDEM “n”.
- Se n = 1 ⇒ Pólo simples;
- Se n = 2 ⇒ Pólo de 2a ordem;
- Se n = 3 ⇒ Pólo de 3a ordem.
Os valores de “S” em que a função F(s) é igual a zero, são chamados de ZEROS DA FUNÇÃO.
Ex:
F(s) K(S )(S )
S(S )(S )(S )=
+ +
+ + +
2 10
1 5 15 2
Esta função tem zeros em S = −2 e S = −10 e pólos simples em: S = 0, S = −1 e S = −5 e um
pólo de 2a ordem em S = −15.
Caso S → ∞, G s K
sS
( )
→∞
= 3 e G s
S
( )
→∞
= 0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a
função passa a ter 5 zeros sendo um de 3a ordem, em S = ∞.
2.4- TEOREMA DE EULER
O teorema de Euler, é definido por:
e jjθ θ θ= +cos sen
Pelo uso deste teorema, podemos expressar funções em seno e co-seno, na forma de uma
função exponencial.
Se e-jθ = cosθ - j senθ então, e-jθ é o conjugado complexo de ejθ .
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II-3
Utilizando-se o teorema de Euler, pode-se definir as seguintes expressões para o senθ e para
o cos θ.
( )cosθ θ θ= + −12 e ej j ( )senθ θ θ= − −
1
2j e e
j j
2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE - T.L.
A transformada de laplace, é a ferramenta matemática utilizada para converter um sinal do
domínio de tempo em um função de variáveis complexas. Diversas funções, como por exemplo fun-
ções senoidais, exponenciais, etc.., podem ser convertidas para funções algébricas da variável com-
plexa “S”.
O uso do método de transformada de laplace, simplifica os cálculos para a obtenção da res-
posta do sistema.
Operações complicadas no domínio de tempo, como por exemplo integração e diferenciação,
são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma
vez resolvida a expressão algébrica no domínio “S”, a resposta da equação diferencial no domínio de
tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão
em frações parciais.
A transformada de laplace, caracteriza completamente a resposta exponencial de uma função
linear invariante no tempo.
Esta transformação é gerada através do processo de multiplicação de um sinal linear f(t) pelo
sinal “e-St ” e integrando-se este produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +∞).
Sejam as seguintes definições:
f(t) ⇒
 
É uma função no domínio de tempo Linear e Invariante no tempo, tal que
 f(t) = 0 para t < 0.
S ⇒ Variável Complexa.
/ ⇒ Operador transformada de laplace. Indica que a função temporal f(t) associa-
da, será transformada pela integral de Laplace: e dtST−
+∞∫
0
.
F(s) ⇒ Transformada de laplace da função f(t).
{ } { }
/ f t F s e dt f t f t e dtST ST( ) = = =− −∞∞ ∫∫( ) ( ) ( )
00
Obs:
 Não esquecer que S j= +τ ω.
Se as funções f(t), f1(t) e f2(t) apresentam T.L., então:
 
{ } { }* . ( ) ( ) */ /A f t A f t=
{ } { } { }* / / /f t f t f t f t1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) *+ = +
2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES
a) Função Exponencial
 para t < 0
 para t ≥ 0 A,α → são constantes.
f t
f t A e T
( )
( ) .
=
=
 −
0
α
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{ } { } ( )
/ /f t A e e dt A e A e dtt st t S t( ) = = =- - - +. . . . .− ∞ ∞∫ ∫α α α
0 0
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )/ A e
AS
e
A
S
e et S t S S. . .- - + - + - +=
- + - +
-=
α α α α
α α
∞
∞ ∞
0
b) Função Degrau
 para t < 0
 para t ≥ 0
{ } ( )/ A.µ µ µ( ) . ( ). . ( ) . . .t A t e dt A t
S
e
A
S
e eSt St S S= =
−
=
−
−
− −
∞
∞
− ∞ −∫
00
0
{ }
/ A t AS. ( )µ =
c) Função Rampa
 para t < 0
 
 para t ≥ 0
{ }
/ A.t = −
∞∫A t e dtSt. .
0
Utilizando a definição de Integração por partes tem-se: 
 µ ϑ µϑ ϑ µ
0 0 0
t t t
d d∫ ∫= −. .
Seja: µ µ= → =t d dt e d e dtStϑ = − ⇒ ϑ = e
S
St−
−
A t e dt A t
e
S
e
S dt
St
St St
. . . . . .
−
−
∞
−
∞∞
=
−
−
−

∫∫ 0 00
{ }
/ A t
A
S
e
S
A
S S
St
. . .=
−

 =
− ∞
0
1 { }
/ A t
A
S
. = 2
d) Função Senoidal
 para t < 0
 para t ≥ 0
Utilizando o teorema de Euler, tem-se:
( ) ( )sen . senθ ωθ θ ω ω= − ∴ = −− −1
2
1
2j e e t j e e
j j j t j t
 
{ }/ A e A
S
t
.
-
=
+
α
α
f t
f t A t
( )
( ) . ( )
=
=

0
µ
f t
f t A t
( )
( ) .
=
=

0
f t
f t A t
( )
( ) .sen
=
=

0
ω
10
0
10
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{ }
/ f t A t e dtSt( ) .sen .= ∞ −∫
0
ω
{ } ( )/ f t Aj e e e dtj t j t St( ) . .= −
∞
− −∫ 20 ω ω
{ } ( ) ( )/ f t Aj e dt
A
j e dt
S j t S j t( ) . . . .= −∞ − − ∞ − +∫ ∫2 20 0ω ω
{ }
( )
( )
( )
( ){ }/ f t Aj eS j eS jS j t S j t( ) .= − − − − +− − ∞ − + ∞2 0 0ω ωω ω
{ }/ f t Aj S j S j
A
j
j
S
( ) . .=
−
−
+



 = +2
1 1
2
2
2 2ω ω
ω
ω
{ }/ A sen t A
S
.
.
ω
ω
ω
=
+2 2
e) Função Co-senoidal
 para t < 0
 para t ≥ 0
{ } ( )/ f t A e e e dtj t j t St( ) . .= + −∞ −∫ 20 ω ω
{ } ( ) ( )/ f t A e dt Ae dtS j t S j t( ) . .= +− −∞ ∞ − +∫ ∫2 20 0ω ω
{ }
( )
( )
( )
( )/ f t
A e
S j
e
S j
S j t S j t
( ) =
− −
+
− +


− − ∞ − + ∞
2 0 0
ω ω
ω ω
{ }/ f t A
S j S j
A S
S
( ) =
−
+
+

 = +



2
1 1
2
2
2 2ω ω ω
 { }/ A t A S
S
.cos
.
ω
ω
=
+2 2
Embora o procedimento para a obtenção da transformada de laplace de funções temporais
seja simples, existem tabelas prontas para as funções que freqüentemente aparecem na análise de
sistemas de controle.
Ex:
Dada a função f(t) abaixo, obtenha a T.L. da mesma.
f t
f t A t
( )
( ) .cos
=
=

0
ω ( )cosω ω ωt e ej t j t= + −12
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( ) ( )f t t e t= + −5 3 2. . .µ
( ){ } ( ){ } { }/ / /f t t e t= + −5 3 2. . .µ
 
 ( ){ }a t S) . . / 5
5µ = { }b e St) . / 3 3 22− = +
( ){ }/ f t S S= + + ∴
5 3
2
 ( ){ } ( )/ f t
S
S S
=
+
+
8 10
2
2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
a) Função Transladada
Sejam as funções f(t) e f(t - α), mostradas a seguir:
Sabendo-se que “µ(t)” é a função Degrau unitário, podemos escrever as funções f(t) e f(t-α)
como:
f(t) = f(t). µ(t) e f(t-α)
 
= f(t-α).µ.(t-α)
A transformada da função f(t-α).µ.(t-α) é dada por:
( ) ( ){ } ( ) ( )/ f t t f t t e dtst− − = − −∞ −∫α µ α α µ α. . . .0
Chamando t − =α τ , tem-se: dτ = dt, já que α é uma constante.
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )/ f f e dsτ τ τ τ τµ µ
α
τ α
. . .=
−
∞
− +∫
Como a função só é válida para t > α, então quando substituí-se t − →α τ , deve-se trocar o
limite inferior da integral 0 → − α. Porém, quando t = +α, τ = 0.
Portanto:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )/ f f e dsτ τ τ τ τµ µ τ α. . . .= ∞ − +∫0
( ) ( ){ } ( )/ f f e e ds sτ τ τ τµ τ α. . . .= ∞ − −∫0
1
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( ) ( ){ } ( )/ f e f e d e F ss s sτ τ τ τµ α τ α. . . . ( )= =− ∞ − −∫0
 ( ) ( ){ }/ f t t e F ss− − = −α µ α α. . ( )
Caso particular:
 α = 0 ⇒ { }/ f t t F s( ) ( ) ( ).µ =
Comparando-se as expressões acima, concluí-se que transladar no tempo uma função f(t)
qualquer, significa multiplicar a transformada de laplace de f(t), F(s), por e-Sα onde α, significa a
translação sofrida por f(t).
b) Função Pulso
f(t) = A 0 < t < t0
f(t) = 0 t < 0 e t > t0
f(t) = A.µ(t) - A. µ(t - t0)
µ(t) = 1(t) e µ(t - t0) = 1(t - t0)
 
{ } ( ) ( )( )/ / /f t A t A t t( ) . .( ) . .= − −1 1 0
 ( )/ A t A
S
. ( )1 = e ( )( )/ A t t AS e S t. . . .1 0 0− = − ’
 { } ( )/ f t AS e S t( ) .= − −1 0
c) Função Impulso
A Função Impulso é um caso especial da função pulso, onde o período de duração do impul-
so tende a zero(t0), e a amplitude tende a infinito At0



. Se f(t) é a função impulso, a sua transformada
será:
 { } ( )/ OLPf t A
t S
e
t
S t( )
.
.
= −

→
−
0 0 0
1 0
{ } ( )( )/ OLPf t
d
d t
A e
d
d t
t S
A S
S
A
t
S t
( ) . .
.
.
.
.
=
−
= =
→
−
0 0
0
0
1 0
0
 Esta função é chamada de FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO ou FUNÇÃO DELTA DE DIRAC, se A =
1.
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d) Multiplicação de f(t) por e- ααt
{ } ( )/ e f t e f t e dt f t e dtt t st S t− −∞ − − +∞= =∫ ∫α α α. ( ) . ( ). . ( ). .0 0
{ } ( ) ( )/ e f t t e dt F St S t− ∞ − += = +∫α α α. ( ) ( ). . f0
Ex:
Seja:
f(t) = sen ωt ( )F s S( ) = +
ω
ω2 2
Portanto:
f1(t) = e tt−α ω.sen ( ) ( )F S S+ = + +α
ω
α ω
2 2
e) Mudança de escala de tempo
Se o tempo t é modificado para t
α
, a função f(t) é alterada para ( )f tα . Seja a seguinte trans-
formação de Laplace.
( ){ } ( )/ f e dtt t Stα α= ∞ −∫ f0 . .
Seja t tα = 1 e αS S= 1, onde α é uma constante. Desta forma:
( ){ }/ f t e d tt S tα α= ∞ −∫ f0 1 11 1( ). . ( . ).
( ){ } ( )/ f t e dt F St S tα α α= =∞ −∫ f0 1 1 11 1. . . ( ).
 ( ){ } ( )/ f F Stα α α= .
Ex:
Seja f(t) = e-t e ( )f et t5 0 2= − ,
{ } ( ){ }/ /f t S f St( ) ; .= +1 1 55 15 = +
f) Demonstração do teorema da diferenciação
Seja a T.L. da derivada primeira da função f(t):
δ(t) δ(t-t0)ou
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/
d
dt
f t S F s f. ( ) . ( ) ( )
 = − 0 
Seja também, a função f(t).
{ }/ f t f t e dt F sSt( ) ( ). . ( )= =∞ −∫0
Integrando-se por partes a expressão acima, temos:
µ ϑ µϑ ϑ µd d
t t t
0 0 0
∫ ∫= − 
F s f t e
S
e
S
d f t dt
dt
St St
( ) ( ). . . ( ).=
−
−
−




− ∞ −
∞∫
0 0
F s f t e
S
d
dt
f t e
S
dt
St St
( ) ( ). . ( ) . .=
−
−




−
− ∞ −
∞∫0 0
F s f
S S
d
dt
f t( ) ( ) . . ( )= + 

 ∴
0 1
/
 
/
d
dt
f t S F s f. ( ) . ( ) ( )

 = − 0
Para a derivada segunda, temos:
/
d
dt
f t S F s Sf f
2
2
2 0 0. ( ) ( ) ( ) ,( )

= − −
( )Seja: g t d
dt
f t= . ( )
Portanto:
/ /
d
dt
f t d
dt
g t
2
2 . ( ) . ( )


=


 { }/ / /d
dt
g t S G s g G s g t d
dt
f t. ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )
 = − → = =

0 ;
 g
d
dt
f f( ) ( ) ,( )0 0 0= =
/ /
d
dt
f t S d
dt
f t f
2
2 0. ( ) . . ( )
,( )
 =

 −
{ }/ d
dt
f t S S F s f f
2
2 0 0. ( ) . . ( ) ( )
,( )
 = − −
f t d df t
d e dt e S
St
St
( ) ( )= → =
= → =
−
−
−µ µ
ϑ ϑ 
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/
d
dt
f t S F s S f f
2
2
2 0 0. ( ) . ( ) . ( ) ,( )
 = − −
g) Teorema do Valor Final
Este teorema, permite que se conheça o valor da função f(t) no tempo t = ∞, através da fun-
ção F(s), isto é, o comportamento de f(t) em regime permanente é igual ao comportamento de S.F(s)
na vizinhança de S = 0.
Entretanto, este teorema só é aplicável se e somente se: “
OLP
t
f t
→∞
( ) ” existir.
O 
OLP
t
f t
→∞
( ) existe, se todos os pólos de S.F(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano S.
Se “S.F(s)” tiver pólos no eixo imaginário ou no semi-plano direto, a função f(t) será oscila-
tória ou crescerá exponencialmente. Portanto o 
OLP
t
f t
→∞
( ) não existirá.
 Um exemplo, bastante elucidativo deste fato, são as funções sen ωt e cos ωt, onde S.F(s)
apresenta pólos em S = ± jω.
O Teorema do Valor Final, diz que: se f(t) e ddt f t( ) são transformáveis segundo Laplace, se
o “
OLP
t
f t
→∞
( ) ” existe e F(s) é a T.L. de f(t), então:
OLP OLP
t S
f t S F s
→∞ →
=( ) . ( )
0
PROVA:
Seja a seguinte T.L. da função g t ddt f t( ) ( )=
:
/
d
dt
f t g t e dt d
dt
f t e dtSt St. ( ) ( ) . ( ) . ..
 = =



−
∞
−
∞∫ ∫0 0
Se “S” tender a zero, resulta:
OLP OLP
S
St
S
Std
dt
f t e dt e
→
−
→
−
∞ 


 → =∫0 0 10 . ( ) : . onde 
Portanto:
OLP
S
Std
dt
f t e dt d
dt
f t dt f t
→
−
∞ ∞ ∞


 = =∫ ∫0 0 0 01. ( ) . . ( ). ( )
OLP
S
Std
dt
f t e dt f f
→
−
∞ 


 = ∞ −∫0 0 0. ( ) . ( ) ( ) “1”
Por outro lado:
 { }OLP OLP
S
St
S
d
dt
f t e dt S F s f
→
−
∞
→



 = −∫0 00 0. ( ) . . ( ) ( )
OLP OLP
S
St
S
d
dt
f t e dt S F s f
→
−
∞
→



 = −∫0 00 0. ( ) . . ( ) ( ) “2”
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“1” = “2” ∴ f f t S F s
t S
( ) ( ) . . ( )∞ = =
→ →
OLP OLP
0 0
 “3”
Ex:
Seja a seguinte T.L.: F(s) = 1
1S S( )+
Qual é o valor de 
OLP
t
f t
→∞
( ) ?
A função S.F(s), apresenta um pólo no semi-plano esquerdo do plano “S” e portanto,
OLP
t
f t
→∞
( )
 existe. Então, utilizando a expressão “3” , acima resulta:
OLP OLP OLP
t S S→∞ → →
= =
+
=. ( ) . . ( )f t S F s
S0 0
1
1
1
Este resultado, pode ser verificado aplicando-se transformação inversa de Laplace, onde:
h) Teorema do Valor Inicial
Ao contrário do teorema do valor final, este não apresenta limitações quanto a posição dos
pólos de S.F(s). Através deste teorema, é possível que se conheça o valor de uma função f(t) no ins-
tante t = 0+, diretamente da T.L. de f(t).
Se a função f(t) e df t
dt
( )
 são transformáveis por Laplace e se 
OLP
s
S F s
→∞
. ( ) existe, então:
f S F s
s
( ) . ( )0+
→∞
=OLP
PROVA:
Seja a função g(t) = d
dt
f t. ( ) e:
{ }/ + ∞ −






∞
−
= =
+ +∫ ∫g t g t e dt ddt f t e dtSt St( ) ( ) . ( ). .0 0
{ } { }OLP/ OLP OLP
S S
St
S
g t d
dt
f t e dt S F s f
→∞
+
→∞






∞
−
→∞
+
= = − =
+∫( ) . ( ) . ( ) ( ). .0 0 0
{ }OLP
S
S F s f
→∞
+
− =. ( ) ( )0 0 ∴ f S F s
S
( ) . ( )0+
→∞
=OLP
2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ⇒{ }/ −1
É o processo inverso da transformação de Laplace, isto é, a partir de uma expressão no do-
mínio “S” encontra-se a expressão no domínio de tempo correspondente.
{ }/ −
− ∞
+
= = ∫1 12F s f t j F s e dSc jc j St( ) ( ) ( ).pi ω
 f(t) = 1 - e-t e OLP
t
f t
→∞
( )= 1
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Embora o procedimento matemático que permite encontrar a transformada inversa de Lapla-
ce seja um pouco complicado, esta pode ser encontrada através do uso das tabelas de transforma-
das de Laplace. Porém, isto requer que a função F(s) esteja na tabela. Muitas vezes isto não aconte-
ce, fazendo com que seja necessário expandir F(s) em frações parciais, tornando a função F(s) for-
mada por termos simples e conhecidos.
2.6.1- MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Geralmente na análise de sistemas de controle, a função F(s) aparece na seguinte forma:
 
F s
B s
A s
( ) ( )( )= Onde: A(s), B(s) → - São polinômios em “S”;
 
 
 - O grau de B(s) é sempre menor que A(s)
;
Se F(s) é expandido em partes, então:
( ) ( ) ( ) ( )
F s F s F s F s
F s F s F s F s
f t f t f t f t
n
n
n
( ) ( ) ( ) ......... ( )
( ) ( ) ( ) ......... ( )
( ) ( ) ( ) .......... ( )
= + + +
= + + +
= + + +
− − − −
1 2
1 1
1
1
2
1
1 2
 
 
 / / / /
Porém para que possamos aplicar este método numa função do tipo F s B sA s( )
( )
( )= , é necessário
que o grau do polinômio B(s) seja menor que o grau do polinômio A(s). Se isto não ocorrer, é ne-
cessário que se divida os polinômios com o objetivo de diminuir o grau do numerador.
“Qualquer função racional B s
A s
( )
( )
, onde “B(s)” e “A(s)” são Polinômios, com o grau de B(s)
menor que o grau de A(s), pode ser escrito como a soma de funções racionais (frações parciais),
tendo as seguintes formas: ”
( ) ( )
A
aS b
AS B
aS bS cR R+
+
+ +
 ou 
2
Onde: R = 1, 2, 3,....
Encontrando-se a transformada inversa de laplace para cada fração, temos a 
/
−



1
B s
A s
( )
( ) .
DETERMINAÇÃO DOS RESÍDUOS ASSOCIADOS AOS PÓLOS
a) Pólos Reais e Distintos
Seja a função ( )( ) ( )( )( ) ( )F s
B s
A s
K S Z S Z S Z
S P S P S P
m
n
( ) ( )( )
......
.......
= =
+ + +
+ + +
1 2
1 2 
Onde: “m < n”
Se os pólos de F(s) são distintos, então F(s)
 
pode ser expandido em :
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II-13
( ) ( ) ( )F s
a
S P
a
S P
a
S P
n
n
( ) .........=
+
+
+
+
+
1
1
2
2
O coeficiente ai é chamado de resíduo do pólo S Pi= − .
( )a S Pi B s
A s S Pi
i = +


= −
.
( )
( )
Ex1:
( )( )F s
S
S S( ) =
+
+ +
3
1 2
F s
a
S
a
S
( ) =
+
+
+
1 2
1 2
( ) ( )( )( )a S
S
S S
S
S
S S
1
1
1
1
1
3
1 2
3
2
2= +
+
+ +


∴ =
+
+

 =
=−
=−
. a
( ) ( )( )( )a S
S
S S
S
S
S S
2
2
2
2
2
3
1 2
3
1
1
1 1= +
+
+ +

 ∴ =
+
+

 =
+
−
= −
=− =−
. a
Portanto:
F s
S S
( ) =
+
−
+
2
1
1
2
/
�1 2
1
2
S
e t
+

 =
−
. /
�1 21
2
1
S
e t
+

 =
−
.
f t e et t( ) .= −− −2 2
 t ≥ 0
Ex2:
 F s
S S S
S S( ) ( )( )=
+ + +
+ +
3 25 9 7
1 2
 
 
 
 
 
 
 
 S
S S S S S
S S S S
S S
S S
3 2 2
3 2
2
2
5 9 7 3 2
3 2 2
2 7 7
2 6 4
3
+ + + + +
−
− − +
+ +
− − −
+
Com isto a função F(s), é escrita da seguinte forma:
Como o numerador apresenta um grau superior
ao denominador, deve-se dividir os Polinômios.
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II-14
F s S
S
S S( ) ( ) ( )( )= + +
+
+ +
2
3
1 2
Portanto:
{ } { } { }/ / / /− − − −= + + +
+ +


1 1 1 12 3
1 2
F s S S
S S
( ) ( )( )
{ } { }
/ /
− −⇒1 1 1S S. ∴ { }/
−
=
1 1S
d t
dt
.( )δ
 { } { } { }/ / /− − −⇒ = =1 1 121 21 22 . . . ( )δ t
/
−
+
+ +

 =
1 3
1 2
( )
( )( )
S
S S
 Esta parcela é igual ao exemplo anterior.
b) Pólos Reais Múltiplos
Seja a seguinte função F s B s
A s
B s
S P S P( )
( )
( )
( )
( ) ( )= = + +1 3 2
Então F(s), será expandido na seguinte forma:
F s
a
S P
a
S P
a
S P
a
S P( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + +
13
1
3
12
1
2
11
1
2
2
Onde:
a S P B s
A s S P
13 1
3
1
=

 =−( ) .
( )
( )+ ( )a
d
dS
S P B s
A s S P
12 1
31
1
1
= +

 =−! .
( )
( )
( )a d
dS
S P
B s
A s S P
11
2
2 1
31
2
1
= +


=−
!
.
( )
( )
( )a S P B s
A s S P
2 2
2
= +

 =−.
( )
( )
Ex:
F s
S S
S
a
S
a
S
a
S( )
.
( ) ( ) ( ) ( )=
+ +
+
=
+
+
+
+
+
2
3
13
3
12
2
112 3
1 1 1 1
( )a S S SS
S
13
3
2
3
1
13
2
131
2 3
1
1 2 1 3 2=
+ +
+



 ∴ = − − + ∴ =
=−
+ a a( ) ( ) .
f t t
d
dt
t e et t( ) ( ) ( )= + + −− −2 2 2δ δ
 t ≥
0
diferenciação
impulso unitário
impulso unitário
CTE
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( ) ( )a ddS S
S S
S S
S
S12
3
2
3
1
12 1 12
1
1
1
2 3
1
2 2 0= +
+ +
+



 ∴ = + ⇒ =
=−
=−! ( ) a a
( ) ( )a ddS S
S S
S
S
S11
2
2
3
2
3
1
11 1
1
2
1
2 3
1
1
2
2 1= +
+ +
+



 ∴ = ⇒ =
=−
=−! ( ) a a 
F s
S S S
( ) = 2
1
0
1
1
13 2( ) ( ) ( )+ + + + +
{ }L L LF s S S
− − −
=
+



 + +


1 1
3
12
1
1
1
( ) ( ) ( )
f t t e t( ) ( )= + −1 2
f(t) = t2e et t− −+
 t ≥ 0
c) Pólos Complexos Conjugados
Seja a seguinte função:
F s K
S a jb
K
S a j b( ) .= + − + + +
1 2
A definição dos termos K1 e K2, é dada por:
{ }K S a jb F s M MeS a jb j1 = + − = ==− +( ). ( ) θ θ
{ }K S a jb F s M MeS a jb j2 = + + = − ==− − −( ). ( ) θ θ
Desta forma:
F s
Me
S a jb
Me
S a jb
j j
( ) ( ) ( )= + − + + +
−θ θ
{ }/ − − − − − += +1 F s M e e M e ej a jb t j a jb t( ) . . . .( ) ( )θ θ
{ } { }/ − − + − += +1 22F s M e e eat j bt j bt( ) . . .( ) ( )θ θ
{ }/ − −
+ − +
=
+

1 2
2
F s M e e eat
j bt j bt
( ) . .
( ) ( )θ θ
0
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{ }/ − −= +1 2F s M e btat( ) . cos( )θ
2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES
NO TEMPO ATRAVÉS DE T.L.
Nos métodos clássicos para obtenção de solução de equações diferenciais há a necessidade
da determinação das constantes de integração através do uso das condições iniciais. O uso da T.L.
na solução das equações diferenciais elimina esta dificuldade, uma vez que as condições iniciais são
automaticamente incluídas.
Para a obtenção da T.L. de um equação diferencial cujas condições iniciais são nulas, sim-
plesmente substitui-se “ ddt ” por “S”, “
d
dt
2
2 ” por “S
2 
” e assim sucessivamente.
Dada uma equação diferencial linear e invariante no tempo, acha-se inicialmente a T.L. de
cada termo que a compõe, transformando-se uma equação diferencial em uma equação algébrica.
Após, deve-se manipular a expressão algébrica resultante isolando-se a variável dependente. Uma
vez solucionada esta expressão, através da aplicação da T.I.L obtém-se a solução da equação dife-
rencial dada.
Ex:
1) Ache a solução para x(t) da equação diferencial, mostrada abaixo:
�� �χ χ χ(t) + 3 (t) + 2 (t) 0= Onde: χ( )0 = a
 
� ( )χ 0 = b
X s
aS b a
S S
s
aS b a
S S( ) ( ) ( )( )=
+ +
+ +
∴ =
+ +
+ +
3
3 2
3
1 22
 X
X s
A
S
B
S
( ) =
+
+
+1 2
A
aS b a
S
a b a
S
=
+ +
+

 ∴ =
− + +


 ∴
=−
3
2
3
11
 A A b a= + 2
B
aS b a
S
a b a
S
=
+ +
+

 ∴ =
− + +
−



 ∴
=−
3
1
2 3
12
 B B = −b −a
X s
a b
S
a b
S( ) ( )
( )
=
+
+
−
+
+
2
1 2
 
χ( ) ( ). ( ).t a b e a b et t= + − +− −2 2
2) Ache a solução para x(t) da equação diferencial:
 
��χ χ χ+ + =2 5 3 χ( )0 0= , � ( )χ 0 0=
 Solução: x(t) = 3
5
3
10
2 3
5
2− −− −. . . .cose sen t e tt t .
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III-1
&$3Ì78/2 ,,,
“CONCEITOS FUNDAMENTAIS”
3.1- INTRODUÇÃO
Inicialmente neste capítulo, estuda-se o conceito de função de transferência, o qual é a base
da teoria de controle clássico. Após, estuda-se a representação de sistemas através de diagrama de
blocos, bem como a álgebra de blocos e suas simplificações. É também apresentado o gráfico de
fluxo de sinais e a obtenção da função de transferência de um sistema utilizando a fórmula do ganho
de Mason. Finalizando este capítulo, é apresentada uma introdução a abordagem de modelo de
variáveis de estado para representação de sistemas.
3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a
relação entre a transformada de laplace da saída (função resposta) e a transformada de laplace da
entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais.
Seja a seguinte expressão:
a
d y t
dt
a
d y t
dt
dy t
dt
a y t b
d t
dt
b
d t
dt
b
d t
dt
b t
n
n
n
n n n
m
m
m
m m m0 1
1
1 1 0 1
1
1 1
( ) ( )
...
( )
. ( ) ( ) ( ) ... ( ) . ( )+ + + = + + +
−
− −
−
− −
 a
χ χ χ χ
Onde: n m≥
χ( )t ⇒ entrada e y t( ) ⇒ saída
Aplicando-se a transformação de laplace na expressão acima, temos:
( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn n n n m m m m0 1 1 1 0 1 1 1.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +− − − −
Utilizando o conceito de função de transferência, resulta:
G s Y s
X s
b b b b
a a a a
m m
m m
n n
n n
( ) ( )( )
.S .S .... .S
.S .S .... .S
= =
+ + + +
+ + + +
−
−
−
−
0 1
1
1
0 1
1
1
 ⇒
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• A função de transferência de um sistema é uma propriedade do sistema, independendo da
natureza e da magnitude da entrada;
 
• Utilizando-se o conceito de função de transferência, é possível representar um sistema
dinâmico em termos de expressões algébricas da variável complexa “S”;
 
• Embora a função de transferência de um sistema inclua as informações necessárias para
relacionar a entrada com a saída, ela não fornece informações a respeito da estrutura física do
sistema. Isto significa que a função de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem
ser idênticas;
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
(de um sistema de ordem n)
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III-2
• Se a função de transferência de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser
analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a
natureza e o comportamento do sistema;
 
• Se a função de transferência de um sistema não é conhecida, ela pode se obtida
experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as
respostas obtidas. Uma vez obtida, a função de transferência fornece uma descrição completa
das características dinâmicas do sistema.
3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS
O diagrama de blocos de um sistema, é a representação gráfica das funções desempenhadas
pelos componentes que compõe o sistema,juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema. O
diagrama de blocos, ao contrário da representação matemática do sistema, fornece uma visão gráfica
global do sistema indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema, e como
ocorre o fluxo de sinais entre os blocos. A seguir são apresentados os componentes que compõe um
diagrama de blocos e uma descrição sobre os mesmos.
- Blocos e Fluxo de Sinais
É uma representação simbólica para a operação matemática, na qual o sinal de saída do bloco
é produzido pelo sinal de entrada deste mesmo bloco, multiplicado pelo ganho do bloco (função de
transferência do bloco).
Os fluxos de sinais são flechas que indicam o sentido em que os sinais de entrada e saída dos
blocos são interligados.
A representação de um sistema através de diagramas de blocos, permite que se saiba qual a
contribuição de cada bloco (componente) no desempenho global do sistema.
- Ponto de Soma
Os pontos de soma em um diagrama de blocos indicam como os sinais devem ser somados ou
subtraídos. Deve-se observar que os sinais a serem somados ou subtraídos, devem ter as mesmas
dimensões e unidades.
- Pontos de Ramificações
São pontos nos quais, um mesmo sinal flui em direções diferentes.
Y s X s G s( ) ( ) . ( )=
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III-3
3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA
Quando em um diagrama de blocos de um sistema em malha fechada, a saída é realimentada
para um ponto de soma para comparação com o sinal de entrada, é necessário converter o sinal de
saída para a unidade do sinal de entrada (ex: tensão, força, posição, etc.). Esta conversão é feita por
um elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s). Na maioria das vezes, este
elemento de realimentação , é um sensor que mede a grandeza de saída Y(s), fornecendo como saída
um sinal proporcional B(s), porém de mesma natureza que o sinal de entrada X(s). O sinal E(s) é o
sinal de erro atuante do sistema.
Para o diagrama de bloco mostrado acima, as funções de transferências associados são:
Função de transferência de malha-aberta: F.T.M.A ⇒ B s
E s
G s H s( )( ) ( ). ( )=
Função de transferência direta: F.T.D ⇒ 
Y s
E s
G s
( )
( ) ( )=
Função de transferência de malha-fechada: F.T.M.F ⇒ Y s
X s
G s
G s H s
( )
( )
( )
( ). ( )= +1
A função de transferência de malha-fechada pode ser obtida como segue:
 
Y s G s E s
E s X s B s
B s H s Y s
( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( )
=
= −
=
{ } ( )Y s G s X s H s Y s G( ) ( ). ( ) ( ). ( )= − ∴ = Y(s) 1 + G(s).H(s) (s).X(s)
Y s
X s
G s
G s H s
( )
( )
( )
+ ( ). ( )= 1 ⇒ = +
Y s
X s
F T D
F T M A
( )
( )
. .
. . .1
Ex:
Seja o circuito abaixo representado; onde ei(t) é o sinal de entrada e e0(t) é o sinal de saída.
Obtenha o diagrama de blocos correspondente. Após obtenha a função de transferência de malha
fechada do circuito, utilizando o conceito visto.
Obs:
Para a obtenção do diagrama de blocos de um determinado sistema, deve-se inicialmente
obter as equações que descrevem cada componente. Aplica-se T.L., admitindo-se condições iniciais
nulas. Represente cada equação pelos blocos correspondentes. Então junte os blocos e tenha o
diagrama de blocos completo.
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III-4
I s E s E s
R
( ) ( ) ( )= −1 0 I s CS E s s I s
CS
( ) . ( ) ( ) ( )= ∴ =0 0 E
 
 
 
 G s
RCS
( ) = 1 e H s( ) = 1
Sabendo-se que: E s
E s
G s
G s H s
0
1 1
( )
( )
( )
( ) ( )= + , resulta:
E s
E s RCS
0
1
1
1
( )
( ) = + ⇒
E s
E s
RC
S RC
0
1
1
1
( )
( ) = +
3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES
No sistema acima representado, temos dois sinais de entrada, isto é, a própria entrada do
sistema X(s) e uma perturbação N(s).
Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente as
respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-las
resultando na resposta completa.
Para o sistema mostrado, considere que:
Y(s) = YN(s) + YX(s)
Onde:
i t
e t e t
R
i t C
d e t
dt
i( ) ( ) ( )
( ) . . ( )
=
−
=
0
0
⇒
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III-5
Y(s) = resposta completa do sistema;
YN(s) = resposta do sistema devido a entrada N(s) (perturbação);
YX(s) = resposta do sistema devido a entrada X(s) (ent. principal);
Y s
N s
G s
G s G s H s
N( )
( )
( )
( ) ( ). ( ).= +
2
2 11
Y s
X s
G s G s
G s G s H s
X( )
( )
( ). ( )
( ) ( ). ( ).= +
1 2
1 21
Y s
G s N s
G s G s H s
G s G s X s
G s G s H s( )
( ). ( )
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ).
.
.
=
+
+
+
2
1 2
1 2
1 21 1
{ }Y s G sG s G s H s N s G s X s( )
( )
( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ).= + + +
2
1 2
11
Se G s G s H s1 2 1( ) ( ) ( ). . >>> e G s H s1 1( ). ( ) >>> então:
 
Y s
X s
H s
( ) = ( )( )
Com isto, concluí-se que:
• Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na
resposta do sistema, são desprezados.
 
• Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganho
da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a igualar a saída
com a entrada.
3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS
Geralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laços de realimentação,
vários blocos em série, pode ser simplificado através da manipulação de blocos no diagrama,
utilizando-se as regras da álgebra de blocos mostrados a seguir:
Y sN( ) ≈ 0
Y s
H s
X sX( ) ( ) . ( )≈
1
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III-6
Observações:
- Em toda simplificação a ser feita, o produto das funções de transferência diretas deve
permanecer inalterado. Isto também vale para funções de transferência em um laço.
- Para a correta simplificação de um diagrama de blocos deve-se inicialmente deslocar-se
pontos de soma e junção, permutar pontos de soma e, então, reduzir-se os laços de realimentação
internos.
3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINAL
Da mesma forma que o diagrama de blocos, o gráfico de fluxo de sinais é usado para a
representação gráfica de uma função de transferência.
No gráfico de fluxo de sinais, os blocos são substituídos por setas e os pontos de soma por
nós. Porém, os nós também representam as variáveis do sistema. Cada seta indica a direção do fluxo
de sinal e também o fator de multiplicação que deve ser aplicado a variável de partida da seta (ganho
do bloco).
Ex:
≈
C s G s E s( ) ( ). ( )=
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III-7
DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
Nó: Representa uma variável.
Ganho de Ramo: É o ganho entre dois nós.
Ramo: É uma reta interligando dois nós.
Nó de Entrada: São os nós que possuem apenas ramos que saem do nó. Corresponde a uma
variável de controle independente.
Nó de Saída: São os nós que possuem apenas ramos que chegam ao nó. Corresponde a uma
variável dependente.
Nó Misto: São os nós que apresentam ramos saindo e chegando ao nó.
Caminho: É uma trajetória de ramos ligados no sentido das flechas.
Caminho Aberto: É aquele em que nenhum nó é cruzado mais de uma vez.
Caminho Fechado: É aquele em que termina no mesmo nó em que começou.
Caminho Direto: É o caminho desde um nó deentrada até um nó de saída, cruzando cada
nó uma única vez.
Laço: É um caminho fechado.
Ganho do Laço: É o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do laço.
Laços que não se tocam: São laços que não apresentam nós comuns.
ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
≈
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III-8
3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON
A fórmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malha
fechada diretamente do diagrama de blocos ou do gráfico de fluxo de sinais, sem a necessidade de
redução dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicação desta técnica deve ser
usada com extremo cuidado para que os termos que compõe a fórmula do ganho não sejam
trocados.
Ex: Seja o seguinte sistema:
A definição dos caminhos diretos e dos ganhos dos laços envolvidos é mostrado abaixo.
CAMINHOS DIRETOS: G1 ,G2 ,G3 ,G4 ,G5
 
 
G6 ,G4 ,G5
LAÇOS: G2 H1
 
G4 H2
Seja “T”, o ganho do gráfico acima, isto é, a sua função de transferência. A fórmula do ganho
de Mason é dada por:
( )T M M M MK K
K
P
p p= = + + +
=
∑1 1
1
1 2 2∆
∆
∆
∆ ∆ ∆. . . ...... .
Onde:
∆ ⇒ Determinante do gráfico
∆ ⇒ 1 − (Σ dos ganhos dos laços individuais) + (Σ dos produtos de ganhos de todas
as possíveis combinações de dois laços que não se tocam) − (Σ dos produtos de ganhos de todas as
possíveis combinações de três laços que não se tocam) + (Σ dos produtos de ganhos de todas as
possíveis combinações de quatros laços que não se tocam) − (........
∆
 
⇒ −1 L L L L L L
aa bb c c d e fd e f
∑ ∑ ∑+ − +
, , ,
. . . .....
MK = ganho do K-ésimo caminho direto;
∆K = É o determinante associado ao K-ésimo caminho direto. É obtido de ∆, remo-
 
 vendo-se os laços que tocam este K-ésimo caminho direto.
Para o exemplo mostrado, resulta:
M1 = G1, G2, G3, G4, G5
M2 = G6, G4, G5
L1 = - G2H1
Ganho dos caminhos Diretos;
Ganhos dos laços individuais;
L2 = - G4H2
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III-9
L1. L2 = G2H1.G4H2 Ganho de 2 laços que não se tocam;
∆ = 1 - (- G2H1 - G4H2) + (G2H1.G4H2)
∆1 = 1
∆2 = 1 + G2H1
T
M M
=
+1 1 2 2∆ ∆
∆
( ) ( ) ( )
T
G G G G G G G G G H
G H G H G H G H=
+ +
+ + +
1 2 3 4 5 6 4 5 2 1
2 1 4 2 2 1 4 2
1 1
1
. .
.
3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADO
A tendência dos sistemas modernos é de que cada vez mais aumente sua complexidade. Isto
se deve principalmente a necessidade de uma boa precisão, aliada a própria complexidade das tarefas
a serem executadas pelo sistema. Nestes sistemas tem-se várias-entradas e várias-saídas que
geralmente podem ser variantes no tempo.
Esta complexidade fez com que os sistemas de controle fossem analisados segundo uma nova
abordagem, que é o modelo de variáveis de estado.
Esta abordagem é uma ferramenta fundamental na teoria de sistemas de controle moderno,
sendo aplicável a sistemas com múltiplas entradas e saídas, lineares ou não, variantes ou invariantes
no tempo. Esta abordagem é feita no domínio de tempo.
Vale lembrar que a abordagem de controle clássico, baseada no conceito de função de
transferência, é válida para sistemas lineares, invariantes no tempo e uma entrada-uma saída e feita
no domínio freqüência.
A seguir são feitas algumas definições necessárias para a abordagem de ESPAÇO DE ESTADO.
- Estado:
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (de estado), tal que o
conhecimento destas variáveis em t = t0, juntamente com a entrada para t ≥ t0, determina
completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0.
- Variáveis de Estado
É o menor conjunto de variáveis que determina o estado de um sistema dinâmico. Se pelo
menos “n” variáveis ( )χ χ χ1 2( ), ( ),.... ( )t t tn são necessárias para descrever completamente o
comportamento de um sistema dinâmico, então estas “n” variáveis são um conjunto de variáveis de
estado.
Embora não seja necessário, é interessante que as variáveis de estado sejam grandezas
facilmente mensuráveis devido a aplicação das de de controle que necessitam da realimentação
destas variáveis.
- Vetor de Estado
Se “n” variáveis de estado são necessárias para descrever o comportamento de um sistema,
então estas “n” variáveis podem ser consideradas como “n” componentes de um vetor X t1 ( ) ,
chamado VETOR DE ESTADO.
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III-10
- Modelo de Variáveis de Estado
É um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem, escritas na forma matricial que permite,
além de representar as relações entre as entradas e as saídas do sistema, permite representar também
algumas características internas do sistema.
Como característica desta abordagem, pode-se citar:
- Como o sistema pode ter mais de uma entrada, é possível enviar para dentro do modelo
mais informações a cerca da planta;
 
- Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Visto
que depende da escolha das variáveis de estado;
 
- As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem;
 
- Para simulação de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variáveis de estado.
Ex:
Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equação diferencial de segunda ordem que
o define, a sua função de transferência e duas representações por modelo de variáveis de estado.
“1”, “2”, “4” → “3”
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
i t
R
c t
R
t
R
C
d
dt t
L
R
d
dt t
( ) ( ) ( )
. ( ) . . ( )
1 1
0
2
0
2
0= + + +

 “6”
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑi t
R
t
R
L
R R
d t
dt
t
R
C
d t
dt
LC
R
d t
dt
( ) ( )
.
( ) ( )
.
( )
.
( )
1
0
1 1 2
0 0
2
0
2
2
0
2= + + + + “7”
LCR
R t
L CR R
R t
R R
R t i t
1
2
0
1 2
2
0
1 2
2
0.�� ( ) . � ( ) . ( ) ( )ϑ ϑ ϑ ϑ+ +



 +
+


 = “8”
A expressão acima representa o sistema mostrado, através da equação diferencial de 2a
ordem que o define.
- Função de Transferência
Para a obtenção da função de transferência deste sistema, deve-se obter a razão entre as
transformações de laplace dos sinais de entrada e saída.
i t
i t c t
R1 1
( ) ( ) ( )= −ϑ ϑ “1”
ϑ ϑc t t L di tdt( ) ( ) .
( )
− =0
2
 “2”
i t i t C d c t
dt1 2
( ) ( ) . ( )− = ϑ “3”
ϑ0 2 2( ) . ( )t R i t= “4”“2” → ϑ ϑc t t L
di t
dt
( ) ( ) . ( )= +0 2 “5”
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III-11
Entrada: ϑi t Vi s( ) ( )− Saída: ϑ0 0( ) ( )t V s−
LCR
R
S V s
L CR R
R
SV s
R R
R
V s Vi s1
2
2
0
1 2
2
0
1 2
2
0. ( ) . ( ) ( ) ( )+ +



 +
+


 = “9”
Seja:
A
LCR
R
=
1
2
; B
L CR R
R
=
+ 1 2
2
; C
R R
R
=
+1 2
2
;
V s
Vi s AS BS C
0
2
1( )
( ) = + + “10”
- 1o Modelo de Variáveis de Estado
Para a obtenção do modelo de variáveis de estado, deve-se inicialmente definir quem são as
variáveis de estado; sinais de entrada e sinais de saída.
Entrada: ϑi t( ) Saída: ϑ0( )t
Variáveis de Estado: ϑ ϑ0 0( ), � ( )t t 
Desta forma, tem-se que:
χ ϑ
χ ϑ
1 0
2 0
( ) ( )
( ) � ( )
t t
t t
=
=
 Variáveis de estado y t t t( ) ( ) ( )= =ϑ χ0 1 → Sinal de saída
LCR
R
t
L CR R
R
t
R R
R
t i t1
2
1
1 2
2
1
1 2
2
1.
�� ( ) . � ( ) . ( ) ( )χ χ χ ϑ+ +

+
+


 = “11”
mas, � ( ) ( )χ χ1 2t t= . Destaforma, resulta que:
LCR
R
t
L CR R
R
t
R R
R
t i t1
2
2
1 2
2
2
1 2
2
1.
� ( ) . ( ) . ( ) ( )χ χ χ ϑ+ +

+
+


 = “12”
Seja:
D
R R
LCR=
+1 2
1
; E
L CR R
L CR=
+
+
1 2
1
; F
R
LCR=
2
1
;
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
χ
χ
χ
χ ϑ
1
2
1
2
0 1 0t
t D E
t
t F i t



 = − −







 +



 “13”
[ ]y t t
t
( ) . ( )( )=



1 0
1
2
χ
χ “14”
- 2o Modelo de Variáveis de Estado
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III-12
Sejam agora as variáveis de estado, a tensão do capacitor e a corrente do indutor.
Entrada: ϑi t( ) Saída: ϑ0( )t
Variáveis de Estado: χ ϑ1( ) ( )t c t=
 
 
 
χ2 2( ) ( )t i t=
� ( ) . ( ) . ( ) . ( )χ ϑ χ χ1
1 1
1 2
1 1 1
t
R C i t R C t C t= − − “15”
� ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ ϑ1
1
1 2
1
1 1 1
t
R C t C t R C i t= − − + “16”
� ( ) ( ) . ( )χ χ χ2 1 2 2
1
t
L
t
R
L
t= − “17”
y t R t( ) . ( )= 2 2χ
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
χ
χ
χ
χ ϑ
1
2
1
2
1
2
1
1 1
1
1
0
t
t
R C C
L
R
L
t
t
R C i t



 =
− −
−













 +








[ ]y t R t
t
( ) . ( )( )=



0 2
1
2
χ
χ
3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS
DE
 
 
 ESTADO DE UM SISTEMA
A forma padrão para representação do modelo de variáveis de estado para um sistema
qualquer é mostrado abaixo.
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
X t A X t B U t
Y t C X t D U t
= + ⇒
= + ⇒

 
 
Onde:
 X(t) → Vetor de Estado;
 A
 
 
 
 → Matrix de Estado;
 B
 
 
 
→ Matrix de Entrada;
 C 
 
→ Matrix de Saída;
 D → Matrix de Transmissão direta;
Equação de Estado
Equação de Saída
 Y(t) → Vetor de Saída.
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III-13
 U(t) → Vetor de Entrada;
Geralme
nte, a Matrix de
Transmissão
Direta é nula, visto que quase sempre existe uma dinâmica em todas as ligações entrada e saída dos
sistemas.
A obtenção do modelo de variáveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer
através de uma das formas apresentadas abaixo
- Equações Diferenciais do Sistema: Geralmente as variáveis de estado são variáveis físicas do
sistema.
- Função de Transferência: Geralmente não são variáveis físicas do sistema.
3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Seja o seguinte sistema de equações, onde y1(t) e y2(t) são as saídas do sistema e µ1(t) e µ2(t)
as entradas do sistema.
�� ( ) � ( ) ( ) ( ) ( )
� ( ) ( ) � ( ) ( )
y t K y t K y t t K t
y t K y t K y t K t
1 1 1 2 1 1 3 2
2 4 2 5 1 6 1
+ + = +
+ + =

µ µ
µ
- Variáveis de Estado
Desta forma, substituindo as variáveis de estado no sistema de equações, resulta:
� ( ) ( )χ χ1 2t t=
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ µ µ2 1 2 2 1 1 3 2t K t K t t K t= − − + +
� ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ µ3 5 2 4 3 6 1t K t K t K t= − − +
� ( )
� ( )
� ( )
.
( )
( )
( )
.
( )
( )
χ
χ
χ
χ
χ
χ
µ
µ
1
2
3
2 1
5 4
1
2
3
3
6
1
2
0 1 0
0
0
0 0
1
0
t
t
t
K K
K K
t
t
t
K
K
t
t






= − −
− −












+










χ
χ
χ
1 1
2 1
3 2
( ) ( )
( ) � ( )
( ) ( )
t y t
t y t
t y t
=
=
=



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y t
y t
t
t
t
1
2
1
2
3
1 0 0
0 0 1
( )
( ) .
( )
( )
( )



 =










χ
χ
χ
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Seja a seguinte Função de Transferência:
Y s
U s
G s b S b S b
S a S a S a
s
s
( )
( ) ( ) .
( )
( )= =
+ +
+ + +
 2
2
1 0
3
2
2
1 0
1
1
 
 
χ
χ
Y s b S s b S s b s
U s S s a S s a S s a s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + +
= + + +

2
2
1 1 1 0 1
3
1 2
2
1 1 1 0 1
χ χ χ
χ χ χ χ
Definindo-se:
S s sχ χ1 2( ) ( )= S s S s s2 1 2 3χ χ χ( ) ( ) ( )= =
Aplicando-se a transformação inversa de laplace no sistema de equações acima, resulta que :
Y t b t b t b t( ) ( ) ( ) ( )= + +2 3 1 2 0 1χ χ χ
e:
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� ( ) ( )
� ( ) ( )
χ χ χ χ µ
χ χ
χ χ
3 2 3 1 2 0 1
1 2
2 3
t a t a t a t t
t t
t t
= − − − +
=
=
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� ( )
� ( )
� ( )
.
( )
( )
( )
. ( )
χ
χ
χ
χ
χ
χ
µ
1
2
3 0 1 2
1
2
3
0 1 0
0 0 1
0
0
1
t
t
t a a a
t
t
t
t






=
− − −












+






[ ]y t b b b
t
t
t
( ) .
( )
( )
( )
=






0 1 2
1
2
3
χ
χ
χ
3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A
PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO
Seja a representação de estado, mostrada abaixo:
Aplicando a transformação de laplace nestas equações e considerando nulas as condições
iniciais, resulta:
SX s AX s BU s( ) ( ) ( )= +
Y s CX s DU s( ) ( ) ( )= +
( ). ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )SI A X s BU s X s SI A BU s− = → = − −1
Substituindo a expressão de X(s) na equação de Y(s), resulta:
{ }Y s C A B D U s( ) .(SI ) . . ( )= − +−1
Com isto, tem-se:
Y s
U s
G s C SI A B D( )( ) ( ) .( ) .= = − +
−1
X t A X t B t
Y t C X t D t
•
= +
= +



( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
µ
µ
matrix identidade
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3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE
ESTADO
Seja a seguinte representação de estado:
 
Definindo-se um outro Vetor de Estado V(t) = Q.X(t), onde “Q” é uma matrix qualquer,
resulta.
X t Q V t( ) . ( )= −1
Onde:
Q P− =1 ; P → Matrix de Transformação;
X t P V t( ) . ( )=
� ( ) . � ( )X t P V t=
Substituindo-se as expressões de X(t) e � ( )X t na representação mostrada, tem-se:
P V t A P V t B U t
Y t C P V t D U t
.
� ( ) . . ( ) . ( )
( ) . . ( ) . ( )
= +
= +

� ( ) . . . ( ) . . ( )
( ) . . ( ) . ( )
V t P A P V t P B U t
Y t C P V t D U t
= +
= +

− −1 1
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
V t Av V t Bv U t
Y t Cv V t D U t
= +
= +
 ⇒ NOVA REPRESENTAÇÃO DE ESPAÇO DE ESTADO
Ex:
Dado G s
S S
( ) =
+ +
1
3 22
 obtenha:
- Uma representação por Espaço de Estado;
- Uma representação por Espaço de Estado para a seguinte transformação:
 
ϑ χ χ
ϑ χ χ
1 1 2
2 1 22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) . ( )
t t t
t t t
= +
= +

Utilizando-se o procedimento mostrado no ítem 3.12, o modelo de estado para este sistema é
obtido como mostrado abaixo:
� ( )
� ( ) .
( )
( ) . ( )
X t
X t
X t
X t t
1
2
1
2
0 1
2 3
0
1



 = − −







 +



 µ
� ( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
X t A X t B U t
Y t C X t D U t
= +
= +

Projeto Reenge - Eng. Elétrica
Apostila

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