Probabilidad y Estadistica JMHL 1

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Estadística aplicada
Profesor: Juan Manuel Hernández López
https://www.dropbox.com/sh/knmqra97i82gw7d/A
ADMQDMwRE9voTaKNXD3WPJBa?dl=0
Estadística descriptiva
La estadística descriptiva es la rama de las Matemáticas que recolecta,
presenta y caracteriza un conjunto de datos (por ejemplo, edad de una
población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los mesespoblación, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses
de verano, etc.) con el fin de describir apropiadamente las diversas
características de ese conjunto
El término estadística se deriva
de la palabra latina status (que
significa “estado”)significa “estado”)
John Graunt (1620-1674) 
Science 06 Jul 2007:
Vol. 317, Issue 5834, pp. 82
DOI: 10.1126/science.1139940 
25
30
 
0 10000 20000 30000 40000 50000
0
5
10
15
20
 
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
 
r
e
l
a
t
i
v
a
,
 
%
Numero de palabras por dia
 Hombres
 Mujeres
Definiciones
Estadística 
Es un conjunto de métodos para planear estudios y
experimentos, obtener datos y luego organizar,
resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a
conclusiones basadas en los datos
son las observaciones recolectadas (como mediciones,
géneros, respuestas de encuestas).Datos
Muestra
Población
es el conjunto completo de todos los elementos
(puntuaciones, personas, medidas, etcétera) que se
va estudiar. El conjunto es completo porque incluye a
todos los sujetos que se estudiarán.
es un subconjunto de miembros seleccionados de una
población.
Definiciones
Parámetro
Es una medición numérica que describe algunas
características de
una población.
Estadístico
es una medición numérica que describe 
algunas características de una muestra.
Datos 
cuantitativos
consisten en números que representan 
conteos o mediciones.
se dividen en diferentes categorías que se
distinguen por algunas características no
numéricas.
.
Datos 
cualitativos
Datos discretos
cuando el número de valores posibles es un
número finito o un número que “puede
contarse” (es decir, el número de valores
posibles es 0, 1, 2, etcétera).
Datos continuos
resultan de un infinito de posibles valores que
corresponden a alguna escala continua que
cubre un rango de valores sin huecos,
interrupciones o saltos.
1. Datos discretos:
El número de huevos que ponen las gallinas son datos discretos porque
representan conteos.
2. Datos continuos: 
Las cantidades de leche que producen las vacas son datos continuos porque son
mediciones que pueden tomar cualquier valor dentro de un continuo. Durante
un intervalo de tiempo dado, una vaca produce una cantidad de leche que puede
ser cualquier valor entre 0 y 5 galones. Es posible obtener 2.343115 galones,
porque la vaca no está restringida a cantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 o 5
galones.
EJERCICIOS 2.
1. En la ciudad de Nueva York hay 3250 botones para caminar, que los
peatones emplean en las intersecciones de tránsito. Se descubrió que el 77%
de dichos botones no funciona (según datos del artículo “For Exercise in New
York Futility, Push Button”, de Michael Luo, New York Times).
2. Con base en una muestra de 877 ejecutivos encuestados, se encontró
que el 45% de ellos no contrataría a alguien con un error ortográfico en
su solicitud de empleo
¿Cuál es un parámetro y cual es un estadístico? Justifique cada una 
de sus respuestas
su solicitud de empleo
3. Se selecciona una muestra de hogares y el número promedio (media) de
personas por familia es de 2.58 (según datos de la Oficina censal
estadounidense).
4. En la actualidad, el 42% de los gobernadores de las 50 entidades de Estados
Unidos son demócratas.
5. En un estudio de los 2223 pasajeros del Titanic, se encontró que 706
sobrevivieron cuando se hundió.
6. Se selecciona una muestra de estadounidenses y se descubre que la cantidad
de tiempo promedio (media) que ven la televisión es de 4.6 horas al día.
7. Los números en las camisetas de los corredores de maratones.
8. Las calificaciones que da la revista Consumer Reports de “la mejor compra,
recomendado, no recomendado”.
Determine cuál de los cuatro niveles de medición (nominal,
ordinal, de intervalo, de razón) es el más apropiado, justifique
su respuesta.
9. Los números de seguridad social.
10. El número de respuestas “sí” recibidas cuando se les preguntó a 500
estudiantes si alguna vez se habían embriagado en la universidad.
11. Los años de aparición de cigarras: 1936, 1953, 1970, 1987 y 2004.
12. Los salarios de mujeres que son directoras generales de corporaciones.
Edad Peso Altura
Calcula los parámetros estadísticos que conozca.
Cuando disponemos de un conjunto de datos, debemos 
identificar: 
1. La característica que representan dichos datos 
(variable).
2. La población de la que proceden los datos (conjunto 
Estadística Descriptiva
total de individuos de interés).
3. La naturaleza de los datos:
3.1. Variables cualitativas o atributos
3.2. Variables cuantitativas: Toma valores numéricos
a) Cuantitativas Discretas:
b) Cuantitativas Continuas
PRESENTACIÓN 
GRÁFICA DE DATOS
lista valores delos datos (ya sea de manera individual o por grupos de
intervalos), junto con sus frecuencias (o conteos) correspondientes
Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias):
– Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de– Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de
cada modalidad o clase.
– Frecuencias relativas (porcentajes): Es el cociente entre la
frecuencia absoluta y el número total de datos. Contabilizan el
porcentaje de individuos de cada modalidad.
– Frecuencias acumuladas: Contabilizan el número de individuos
que toman un valor menor o igual que el dado en una modalidad.
Sólo tienen sentido para variables cuantitativas (numéricas)
� GRÁFICOS DE 
SECTORES
� Este tipo de diagramas 
consideran una figura 
geométrica en que la 
distribución de 
frecuencias se reparte 
dentro de la figura como dentro de la figura como 
puede ser una dona, 
pastel, círculo o anillo, en 
el que cada porción 
dentro de la figura 
representa la 
información porcentual 
del total de datos.
TIPOS DE GRÁFICOS 
� GRÁFICOS DE SECTORES
�Características de los gráficos de 
sectores
� - No muestran frecuencias acumuladas.
� - Se prefiere para el tratamiento de datos 
cualitativos cualitativos 
� - La mayor área (o porción de la figura) 
representa la mayor frecuencia.
� - Suelen utilizarse para representar tablas 
tipo A.
TOTAL 
VOTOS
REPRESENTACION
CANDIDATO 1 200 15%
CANDIDATO 2 250 18%
CANDIDATO 3 300 22%
CANDIDATO 4 275 20%
CANDIDATO 5 345 25%
1370 100%
GRÁFICOS DE COLUMNAS
�Los gráficos de barras representan las 
frecuencias mediante columnas (o barras), 
a través de la altura de las mismas en un 
plano cartesiano.
�Características de los gráficos de 
columnas
� - No muestran frecuencias acumuladas.� - No muestran frecuencias acumuladas.
� - Se prefiere para el tratamiento de datos 
cualitativos 
� - La columna (o barra) con mayor altura 
representa la mayor frecuencia.
� - Suelen utilizarse para representar tablas 
tipo A.
TOTAL 
VOTOS
REPRESENTACION
CANDIDATO 1 200 15%
CANDIDATO 2 250 18%
CANDIDATO 3 300 22%
CANDIDATO 4 275 20%
CANDIDATO 5 345 25%
1370 100%
HISTOGRAMA
� Se puede considerar como un gráfico de columnas
especial. Se realiza sobre el primer cuadrante del
plano cartesiano.
� Las frecuencias absolutas se colocan en el eje
vertical y también puede emplearse las
frecuencias relativas. Otra diferencia importante
es que no existe espacio entre las barras.es que no existe espacio entrelas barras.
CARACTERÍSTICAS DE LOS HISTOGRAMAS
� - No muestran frecuencias acumuladas.
� - Se prefiere para el tratamiento de datos 
cuantitativos.
� - La columna (o barra) con mayor altura 
representa la mayor frecuencia.representa la mayor frecuencia.
� - Suelen utilizarse para representar tablas 
tipo B.
� - La sumatoria de las alturas de las 
columnas equivalen al 100% de los datos.
RANGO f F h H
20-22 12 12 7% 7%
23-25 34 46 20% 27%
26-28 43 89 26% 53%
29-31 67 156 40% 93%
32-34 12 168 7% 100%
168 100%
GRÁFICAS DE PARETO
� Es una gráfica de barras para datos cualitativos, 
donde las barras se ordenan de acuerdo con las 
frecuencias
POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
� Este gráfico se utiliza para el caso de variables 
cuantitativas, tanto discretas como continuas, 
partiendo del diagrama de columnas, barras o 
histograma, según el tipo de tabla de frecuencia 
manejada.
� Características de los polígonos de 
frecuenciasfrecuencias
� - No muestran frecuencias acumuladas.
� - Se prefiere para el tratamiento de datos 
cuantitativos.
� - El punto con mayor altura representa la mayor 
frecuencia.
� - El área bajo la curva representa el 100% de los 
datos. 
OJIVAS
� En este gráfico se emplea un polígono de 
frecuencia o curva suavizada con una 
característica muy particular: muestra las 
frecuencias absolutas o relativas acumuladas.
f F h H
20 22,00 12 12 7% 7%
23 25,00 34 46 20% 27%
26 28,00 43 89 26% 53%
29 31,00 67 156 40% 93%
32 34,00 12 168 7% 100%
168 100%
RANGO
LIMITE MENOR 20
FRECUENCIA LIMITE 0
SERIE DE TIEMPO
200
250
300
Resist a la tensión
0
50
100
150
200
5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0 6 5 7 0 7 5 8 0
Una gráfica de puntos es aquella donde se marca cada valor de un dato
como un punto a lo largo de una escala de valores. Los puntos que representan
valores iguales se apilan.
Gráficas de puntos
PRESENTACIÓN 
GRÁFICA DE DATOS
Principios para una representación gráfica:
• Para conjuntos pequeños de datos (<20), utilice una tabla
•Una gráfica de datos debería lograr que el observador se enfoque en la
verdadera naturaleza de los datos
• No distorsione los datos.
• Casi toda la tinta de una gráfica debe utilizarse para los datos y no• Casi toda la tinta de una gráfica debe utilizarse para los datos y no
para otros elementos de diseño.
• No utilice imágenes que contengan características como líneas
diagonales, puntos o tramas sombreadas, porque crean la ilusión de
movimiento.
• No emplee áreas de volúmenes para datos que en realidad tienen una
naturaleza unidimensional.
•Nunca publique gráficas circulares porque desperdician tinta en
componentes no relacionados con los datos y carecen de una escala
apropiada.
The Visual Display of Quantitative Information, 2a. edición, por Edward Tufte
DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE LOS DATOS
�Media
�Varianza
�Moda
�Mediana�Mediana
�Sesgo
�Rango
�Desviación estándar
�Varianza, etc.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
� LA MEDIA ARITMÉTICA 
Equivale al cálculo del promedio simple de un 
Medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos 
que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos.
� Equivale al cálculo del promedio simple de un 
conjunto de datos. Para diferenciar datos 
muestrales de datos poblacionales, la media 
aritmética se representa con un símbolo para 
cada uno de ellos: si trabajamos con la población, 
este indicador será µµ; en el caso de que estemos 
trabajando con una muestra, el símbolo será X.
LA MEDIA
∑
=
=
+++
=
n
i
i
n x
nn
xxx
x
1
21 1...
La media muestral
=inn 1
La media de la población
∑
=
=
N
i
ixN 1
1µ
LA MEDIA GEOMÉTRICA
n
n
n
n
i xxxxMg ...21== ∏ n
i
i 21
1
∏
=
LA MODA
� El valor de mayor frecuencia
� Si hay dos, la distribución es bi-modal
MEDIANA
• Representa el valor de la variable de posición central en 
un conjunto de datos ordenados.
MEDIANA
LA MEDIANA
�Mediana (Me): Valor que divide una serie de 
datos en dos partes iguales. La cantidad de datos 
que queda por debajo y por arriba de la mediana 
son iguales.
� La definición de geométrica se refiere al punto 
que divide en dos partes a un segmento. Por 
ejemplo, la mediana del segmento AB es el punto ejemplo, la mediana del segmento AB es el punto 
C.
� Existen entonces dos segmentos iguales:
� AC = CB
LA MEDIANA
� Ejemplo: mediana para datos no agrupados 
(cantidad de datos impar)
� Encontrar la mediana para los siguientes datos:
� 4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
LA MEDIANA
Visualización geométrica de la moda, la mediana 
y la media de una función arbitraria de densidad 
de probabilidad
VARIANZA
DESVIACIÓN STANDART
El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor máximo y el 
valor mínimo.
Rango : (valor máximo) - (valor mínimo)
MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Varianza
Rango
Desviación estándar
Es la medida de variación de los valores con 
respecto a la media. Es un tipo de desviación 
promedio de los valores con respecto a la media
Varianza Desviación estándar
∑
=
−=
n
i
in xx
n
s
1
22 )(1
Es el valor que queda en medio de los valores 
mínimo y máximo. Esto es:
CENTRO DE AMPLITUD
Es el número de desviaciones estándar que un valor x se encuentra por
arriba o por debajo de la media. Se calcula utilizando las siguientes
expresiones:
MEDIDAS DE POSICIÓN RELATIVA
Puntuaciones z
Comparación de estaturas
Con una estatura de 190.5 cm, Lyndon Johnson fue el presidente de Estados
Unidos más alto del siglo pasado.
Con una estatura de 215.9 cm, Shaquille O’Neal fue el jugador más alto del
equipo de básquetbol Miami Heat.
¿Quién es relativamente más alto: Lyndon Johnson entre los presidentes del
siglo pasado o Shaquille O’Neal entre los jugadores de su equipo Miami Heat?
La estatura media de los presidentes del siglo pasado era de 181.61 cm, con
una desviación estándar de 5.33 cm. Los jugadores de básquetbol del equipouna desviación estándar de 5.33 cm. Los jugadores de básquetbol del equipo
Miami Heat tienen una estatura media de 203.20 cm, con una desviación
estándar de 8.38.
CUARTILES Y PERCENTILES
Cuartil
Q1 Separa el 25% inferior de los valores ordenados del 75% superior.
Q2 Igual a la mediana; separa el 50% inferior de los valores ordenados del 50% superior.
Q3 Separa el 75% inferior de los valores ordenados del 25% superior.
UNA GRÁFICA DE CUADRO (O DIAGRAMA
DE CUADRO Y BIGOTES)
Es una gráfica de un conjunto de datos que consiste en
una línea, que se extiende desde el valor mínimo hasta el
valor máximo, y una caja con líneas trazadas en el primer
cuartil, Q1, la mediana y el tercer cuartil, Q3.
MEDIDAS DE POSICIÓN RELATIVA
Puntuaciones z
Para obtener un estimado de la desviación estándar, utilice:
donde el rango = (valor máximo) - (valor mínimo).
Para interpretar un valor conocido de la desviación estándar: Si se conoce la
desviación estándar “s”, utilícela para calcular estimados de los valores
Regla práctica del intervalo
4
rango
s =
desviación estándar “s”, utilícela para calcular estimados de los valores
muéstrales mínimos y máximos “comunes” por medio de
valor mínimo “común” = (media) - 2 (desviación estándar)
valor máximo “común” = (media) + 2 (desviación estándar)
EJERCICIOS
� 1. ¿Por qué usar gráficas? ¿Cuál es el principal
objetivo de los datos gráficos?
� 2. Dada la distribución siguiente, constrúyase una tabla
estadística en la que aparezcan las frecuencias
absolutas, las frecuencias relativas y las frecuencias
acumuladas relativas crecientes:acumuladas relativas crecientes:
3. A continuación se muestran lasedades de motociclistas en el momento en
que resultaron mortalmente heridos en accidentes de tránsito (según datos del
U. S. Department of Transportation). Si su objetivo es resaltar el peligro que
representan las motocicletas para la gente joven, ¿cuál sería más efectivo?:
Construya un histograma, una gráfica de Pareto, una gráfica circular, una
gráfica de puntos, un grafico de tallo y hoja y determine ¿Cuál gráfico cumple
mejor el objetivo de resaltar los peligros de conducir motocicletas?.
4. Las temperaturas medias registradas durante el mes de mayo en ciudad de
México, en grados centígrados, están dadas por la siguiente tabla:
Construya la representación gráfica que considere correspondiente.
5. Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. De 
ochenta personas:
¿Calcule el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg.?
¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?
Haga una representación gráfica de los datos
1. Se ha preguntado a un conjunto de “n” personas: ¿qué opinión tienen acerca
de la instalación de playas en la Ciudad de México en que el Gobierno del
Distrito Federal ha hecho a partir de 2007?.
Las “n” respuestas se encuentran en una escala que va de 1 a 9, donde 1
representa un total desacuerdo con la medida mientras que 9 quiere significar
un acuerdo total.
Si se plantean las siguientes preguntas: 
¿Cuántas personas fueron encuestadas? 
¿Cuál fue la respuesta más frecuente? 
¿Cuántas personas tienen, como máximo, una actitud de cuatro puntos en la
escala?
2. Parte de un estudio de control de calidad tuvo como objetivo mejorar una
línea de producción, se midieron los pesos (en onzas) de 50 barras de jabón.
Los resultados son los siguientes, ordenados del más pequeño al más
grande.
a) Construya un diagrama de tallos y hojas para estos datos.
b) Construya un histograma para estos datos.
c) Construya un diagrama de puntos para estos datos.
d) Construya un diagrama de caja para estos datos. ¿El diagrama
de caja indica datos atípicos?
3. En un estudio sobre la relación entre las alturas y los diámetros del tronco de
árboles, estudiantes de botánica reunieron datos muéstrales. A continuación se
presentan las circunferencias de los árboles (en pies). 1pie = 30.48 cm
Utilice las circunferencias y calcule a) la media, b) la mediana, c) la moda, d) la
mitad del rango, e) el rango, f) la desviación estándar, g) la varianza, h)
Q1, i) Q3.
•Convierta la circunferencia de 13.7 pies a una puntuación z.
•En el contexto de estos datos muéstrales, ¿la circunferencia de 13.7 pies es•En el contexto de estos datos muéstrales, ¿la circunferencia de 13.7 pies es
“infrecuente”? ¿Por qué?
•Utilice la regla práctica del intervalo e identifique cualquier otra
circunferencia que sea infrecuente.
•Utilice las mismas circunferencias de los árboles para construir una
distribución de frecuencias. Utilice siete clases, donde la primera clase tenga un
límite inferior de 1.0, con una anchura de clase de 2.0.
•Utilice la distribución de frecuencias y construya un histograma e identifique
la naturaleza general de la distribución (como uniforme, normal o sesgada).
•Construya una gráfica de caja e identifique los valores que conforman el
resumen de los 5 números.
TAREA
� Teoría de conjuntos- Diagramas de Venn y un ejemplo
� ¿Qué son los Factoriales?
� ¿Qué son las Permutaciones?
� ¿Qué son las Combinaciones?
PROBABILIDAD
1. f. Verosimilitud o fundada apariencia de verdad.
2. f. Cualidad de probable (ǁ que puede suceder).
3. f. Mat. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y 
el número de casos posibles.
Constituye un proceso con un resultado que no se puede predecir certeramente 
con anterioridad.
Un experimento
PROBABILIDAD
Se dice, al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Es
Espacio muestral { }
(S)
Se dice, al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Es
decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no
pueden desglosarse más.
Se denomina a un subconjunto de un espacio muestral
Evento ó Suceso
Dado 1 Nacimientos
Experimento 
ó 
procedimiento
3 Nacimientos
Evento
{f ,m}{1, 2, 3, 4, 5, 6}
1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6 f ó m 2 niñas y 1 niño
Espacio 
muestral
{fff , ffm, fmf, 
fmm, mff, mfm, 
mmf, mmm}
� La relación entre eventos y el correspondiente 
espacio muestral se puede ilustrar de forma 
gráfica mediante estos diagramas.
� Espacio muestral � rectángulo
� Eventos � círculos
LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
� Primer axioma
La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que 0. 
P (A) ≥ 0 
� Segundo axioma
La probabilidad del total, , es igual a 1.La probabilidad del total, , es igual a 1.
P (S) = 1
� Tercer axioma
Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o 
independientes, entonces:
P (A o B) = P (A) + P (B) 
Si ø denota el espacio vacío, entonces
P(ø) = 0
El complemento de un suceso A, denotado por A
consiste en todos los resultados en los cuales el suceso A no ocurre.
P(Ac) = 1 - P(A)
La probabilidad de un suceso imposible es 0.
La probabilidad de un suceso que ocurrirá con certeza es 1.
Para cualquier suceso A, la probabilidad de A se encuentra entre 0 y 
1, inclusive. Es decir, 0 < P(A) < 1.
Valores 
posibles
para 
probabilidades
ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD
1. Aproximación de la probabilidad por frecuencias 
relativas.
Realice (u observe) un procedimiento un gran número de
veces y cuente las veces que el suceso A ocurre en realidad.veces y cuente las veces que el suceso A ocurre en realidad.
Con base en estos resultados reales, P(A) se estima de la
siguiente forma:
P (A) = número de veces que ocurrió A
número de veces que se repitió el ensayo
ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD
� 2. Método clásico de la probabilidad
(requiere resultados igualmente probables)
Suponga que un procedimiento dado tiene n sucesos
simples distintos y que cada uno de esos sucesos simplessimples distintos y que cada uno de esos sucesos simples
tiene la misma posibilidad de ocurrir. Si el suceso A puede
ocurrir en s de estas n formas, entonces:
P (A) = número de formas en que puede ocurrir A 
número de sucesos simples diferentes
S
n
=
ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD
� 3. Probabilidades subjetivas
P(A), la probabilidad del suceso A, se estima con base en el 
conocimiento de las circunstancias relevantes.
Si usted apuesta $5 al número 13 de la ruleta, su probabilidad de ganar es
1>38 y las posibilidades de pago están dadas por el casino como 35:1.
a. Calcule las posibilidades reales en contra del resultado de 13.
b. ¿Cuánta ganancia neta podría obtener si gana apostando al 13?
c. Si el casino estuviera funcionando solamente por diversión y las
posibilidades de pago se modificaran para igualar las posibilidades reales en
contra del 13, ¿cuánto ganaría usted si el resultado fuera 13?
Posibilidades
Esta posibilidad están indicada por el cociente P(Ā) >P(A), casi siempre
expresado en la forma a:b, donde a y b son enteros que no tienen factores
comunes.
Las posibilidades reales en contra de que ocurra un suceso A 
Las posibilidades reales a favor del suceso A
Son el recíproco de las posibilidades reales en contra de ese suceso. Si las
posibilidades en contra de A son a:b, entonces las posibilidades a favor de A
son b:a.
En contra del suceso A, representan la proporción de la ganancia neta (si
usted gana) con respecto a la cantidad de la apuesta.
Posibilidades de pago en contra del suceso A = (ganancia neta) : (cantidad 
apostada)
Las posibilidades de pago
P(A U B) P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
donde P(A ∩ B) denota la probabilidad de que A y 
B ocurran al mismo tiempo,como resultado en un 
ensayo de un procedimiento.
Regla formal de la suma
Los sucesos A∩B son disjuntos (o mutuamente 
excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al 
mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no
se traslapan).
Regla de los sucesos complementarios
Regla básica de la multiplicación.
P(A ∩ B) = P(el suceso A ocurre en un primer ensayo y el 
suceso B ocurre en un segundo ensayo)
Supongamos que el primer reactivo de un examen es del tipo falso/verdadero 
y que el segundo es de opción múltiple con cinco respuestas posibles (a, b, c, d 
y e). ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean correctas?
P(A y B) = P(A) *P(B)
y e). ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean correctas?
P(V) =1/2 y P(c) =1/5;
P(V ∩ c) =1/10,
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Pr ( A|B) = Pr (A ∩ B)
P(B│A) representa la probabilidad de que un suceso B ocurra después de
suponer que el suceso A ya ocurrió. (Podemos leer B │ A como “B dado A” o
como “el suceso B ocurre después de que el suceso A ya ocurrió”).
Pr ( A|B) = Pr (A ∩ B)
Pr (A) 
Cuando dos sucesos A y B son independientes se cumple 
que Pr (A|B)= P (A) 
UN EJEMPLO
fármaco Placebo Total
Mejora 500 300 800
No cambia 300 250 550
Empeora 60 180 240
Total 860 730 1590
Pr (mejora) = 800 / 1590 = 0,503
Pr (Mejora | fármaco) = 500 / 860 = 0,581
3. Examen de drogas.
Si se elige al azar a dos de los sujetos incluidos en la tabla, sin
reemplazo, calcule la probabilidad de que la primera persona
seleccionada tenga un resultado de prueba positivo y que la segunda
tenga un resultado de prueba negativo.
Primera selección:
P(resultado de prueba positivo) = 143/300
Segunda selección:
P(resultado de prueba negativo) = 157/299
P(el primer sujeto tiene un resultado de prueba positivo y el segundo sujeto 
tiene un resultado de prueba negativo)
= (143/300)*(157/299) =.0.25
Si usted apuesta $5 al número 13 de la ruleta, su probabilidad de ganar es 1/38
y las posibilidades de pago están dadas por el casino como 35:1.
a. Calcule las posibilidades reales en contra del resultado de 13.
b. ¿Cuánta ganancia neta podría obtener si gana apostando al 13?
c. Si el casino estuviera funcionando solamente por diversión y las
posibilidades de pago se modificaran para igualar las posibilidades reales en
contra del 13, ¿cuánto ganaría usted si el resultado fuera 13?
a. Con P(13)=1/38 y P(no 13)=37/38, tenemos 
Solución
a. Con P(13)=1/38 y P(no 13)=37/38, tenemos 
posibilidades reales en contra del 13 son 35:1, tenemos
Posibilidades reales en contra del 13= P(no 13)/P(13)=(37/38)/(1/38)= 37/1 o 37:1
b. Puesto que las posibilidades de pago en contra del 13 son 35:1, tenemos 35:1
(ganancia neta):(monto apostado) entonces, hay una ganancia de $35 por cada
$1 apostado. Para una apuesta de $5, la ganancia neta es de $175. El apostador
que gane podría recoger $175 más la apuesta original de $5. La cantidad total
obtenida debería ser $180, con una ganancia neta de $175.
c. Si las posibilidades de pago cambiaran de 35:1 a 37:1, usted obtendría una 
ganancia neta de $37 por cada $1 apostado. Si usted apuesta $5, su ganancia neta 
sería de $185.
1. Cuando el fármaco Viagra se probó clínicamente, 117 pacientes reportaron
dolor de cabeza y 617 no (de acuerdo con datos de Pfizer, Inc.).
Utilice esta muestra para estimar la probabilidad de que un usuario de Viagra
sufra dolor de cabeza. ¿Es infrecuente que un usuario de Viagra sufra dolor de
cabeza? ¿Es la probabilidad lo bastante alta como para preocupar a los
usuarios de Viagra?
2. Construcción del espacio muestral.2. Construcción del espacio muestral.
Ambos progenitores tienen los genes de color de ojos café>azul, y cada uno
contribuye con un gen para su hijo. Suponga que si el hijo tiene al menos un
gen café, ese color dominará y los ojos serán cafés. (La determinación real del
color de los ojos es un tanto más complicada).
a. Haga una lista de los posibles resultados diferentes. Suponga que estos
resultados son igualmente probables.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un hijo de estos padres tenga el par de genes
azul>azul?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga ojos cafés?
Para cualquier entero positivo n, n!= n(n -1)(n- 2) . . . (3)(2)(1).
También se define a 0! =1.
Constituye un ordenamiento de un conjunto de elementos.
Permutación 
El número de permutaciones de k objetos elegidos de un grupo de n elementos es 
n!/(n − k)!
Combinaciones
El número de permutaciones de k elementos elegidos de un grupo de n elementos es 
(n/k)= n!/k!(n − k)!
4. Calcule lo siguiente:
a. Si se elige al azar a uno de los 300 sujetos de prueba, calcule la
probabilidad de que la persona resulte positiva, dado que en realidad
consumió marihuana.
b. Si se elige al azar a uno de los 300 sujetos de prueba, calcule la
probabilidad de que la persona realmente haya consumido marihuana, dado
que tuvo un resultado de prueba positivo.
P(positivo│consumo de marihuana) = 119/122 = 0.975
P (positivo │ consumo de marihuana)= P(consumo de marihuana y positivo)
P(consumo de marihuana)
a)
P(consumo de marihuana)
P (positivo │ consumo de marihuana)= (119/300)/(122/300) = 0.975
P (consumo de marihuana │positivo) = 119/143 = 0.832
P (consumo de marihuana │positivo) = P(positivo y consumo de marihuana)
P(positivo)
b)
5. Un genetista desarrolla un procedimiento para aumentar la probabilidad de
engendrar una niña. En una prueba inicial, 20 parejas utilizan el método, lo
que da como resultado 20 niñas en 20 nacimientos. Suponiendo que el
procedimiento de selección del género no tiene efecto, calcule la probabilidad
de que nazcan 20 niñas en 20 nacimientos, debido al azar. Con base en los
resultados, ¿existe una fuerte evidencia que apoye la afirmación del genetista
de que el procedimiento es eficaz para incrementar la probabilidad de
engendrar una niña?
P(los 20 bebés son niñas)
= P(el primero es niña, y el segundo es niña, y el tercero es niña . . .
y el vigésimo es niña)
6. La dueña de una nueva computadora crea una contraseña de dos
caracteres. Seleccionó al azar la letra del alfabeto para el primer carácter y un
dígito (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para el segundo carácter. ¿Cuál es la
probabilidad de que su contraseña sea “K9”? ¿Servirá esta contraseña para
evitar que otra persona tenga acceso a su computadora?
y el vigésimo es niña)
= P(niña) * P(niña) *…*P(niña)
=0.5*0.5 *…*0.5
=0.520 = 0.000000954
Combinación de métodos descriptivos y 
probabilidades para formar un modelo teórico de 
comportamiento
Una es una distribución que indica la probabilidad de cada valor de la
variable aleatoria.
Distribución de probabilidad 
Es aquella que tiene un número finito de valores o un número de valores 
variable aleatoria discreta 
Es aquella que tiene un solo valor numérico determinado por el azar, para cada 
resultado de un procedimiento. (x)
variable aleatoria 
Es aquella que tiene un número finito de valores o un número de valores 
contable.
Es aquella que tiene un número infinito de valores, y esos valores pueden 
asociarse con mediciones en una escala continua, de manera que no existan 
huecos o interrupciones.
variable aleatoria continua 
Distribución de probabilidad 
media de una distribución de probabilidad
varianza de una distribución de probabilidad
desviación estándar de una distribución de 
probabilidad
Construyan la tabla de probabilidades, determinando 
la media, la varianza y la desviación estándar
·1. Se desconoce la probabilidad asociada a la distribución de probabilidad.
·2. Se conoce, por registros de procesos, que la probabilidad asociada a la
distribución es aproximadamente igual en todos los ensayos.
Estos dos aspectos nos obligan a asumir que la probabilidad p1 p2 p3 pk ; ; ;K;
Distribuciónde probabilidad
variable aleatoria discreta 
Estos dos aspectos nos obligan a asumir que la probabilidad p1 p2 p3 pk ; ; ;K;
asignada a cada valor de la variable, es la misma; para facilitar una primera
aproximación. Es decir, asumimos una distribución uniforme.
Distribución de probabilidad Uniforme
Si una variable aleatoria X puede tomar n valores distintos con iguales
probabilidades, la distribución es uniforme y viene dada por
P(x) =1/n donde x = x1, x2, x3,⋯, xn
Ejemplo . El número X de casas que una compañía de bomberos puede atender 
depende de la distancia x que un camión de bomberos puede cubrir en un 
periodo específico. Supóngase que para P( X < 20) = P( X >27) = 0 ; se desea 
establecer una distribución de probabilidad para x ={21, 22, 23, 24, 25, 26}. 
x 21 22 23 24 25
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Es un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos:
1. El procedimiento tiene un número fijo de ensayos.
2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo 
Distribución de probabilidad Binomial
2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo 
individual no afecta las probabilidades de los demás ensayos).
3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos 
categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso).
4. La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.
Usos – aplicaciones:
Control de calidad, tratamientos de encuestas …
Uso de la fórmula de probabilidad binomial
para x 0, 1, 2, . . . , n
donde “n” número de ensayos
x = número de éxitos en n ensayos
p = probabilidad de éxito en cualquier ensayo
q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q =1 - p)q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q =1 - p)
Ejemplo
Calcular la probabilidad de seleccionar exactamente a 7 méxico-
estadounidenses cuando se eligen al azar 12 miembros del jurado de una
población en la que el 80% de los habitantes son méxico-estadounidenses.
Es decir, calcule P(7) dado que n =12, x =7, p = 0.8 y q =0.2.
P(7) = 0.05315
La probabilidad de x éxitos en n 
ensayos, para cualquier orden
El número de resultados con exactamente
x éxitos en n ensayos
media de una distribución de probabilidad
varianza de una distribución de probabilidad
desviación estándar de una distribución de desviación estándar de una distribución de 
probabilidad
La distribución de Poisson es un modelo de probabilidad que se utiliza para
medir la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno aleatorio en un intervalo
de tiempo o en una región.
Distribución de probabilidad de Poisson
• La variable aleatoria x es el número de veces que ocurre un suceso durante un
intervalo.
• Las ocurrencias deben ser aleatorias.
• Las ocurrencias deben ser independientes entre sí.
• Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo
empleado.
La probabilidad de que el suceso ocurra x veces durante un intervalo está dada por:
Representa la media de resultados que ocurren en un intervalo de 
tiempo o espacio.tiempo o espacio.
La media es µ.
La desviación estándar es σ=√ µ
Al analizar los impactos de las bombas V-1 en la Segunda Guerra Mundial, el
sur de Londres se subdividió en 576 regiones, cada una con área de 0.25 km2.
En total, 535 bombas impactaron el área combinada de 576 regiones.
a. Si se selecciona al azar una región, calcule la probabilidad de que haya sido
impactada exactamente en dos ocasiones.
b. Con base en la probabilidad calculada en el inciso a), ¿cuántas de las 576
regiones se esperaría que fueran impactadas exactamente dos veces?
Solución
El número medio de impactos por región es
µ = número de impactos de bomba/número de regiones =535/576 = 0.929
a) P(2) = 0.170 
b) 576 * 0.170 = 97.9
calcular las probabilidades y los valores esperados para 0, 1, 2, 3, 4 y 5 
impactos
µ = np
Requisitos para utilizar la distribución de Poisson como una aproximación 
a la distribución binominal
1. n > 100
2. np < 10
µ = np
Entonces:
1.En una prueba del fármaco Lipitor, el 16.7% de los sujetos tratados con 10
mg de atorvastatin tuvieron dolor de cabeza. Suponga que se selecciona a 6
sujetos al azar, los cuales fueron tratados con el medicamento y calcule la
probabilidad de que los 6 sufran dolor de cabeza.
Ejercicios
2. El programa de televisión 60 minutos, de la CBS, ha sido exitoso por muchos
años. Recientemente tuvo un índice de audiencia de 20, lo que significa que de
todos los televisores encendidos, el 20% estaban sintonizados en 60 minutos
(según datos de Nielsen Media Research). Suponga que un anunciante desea
verificar ese valor del 20% realizando su propia encuesta, y que inicia unaverificar ese valor del 20% realizando su propia encuesta, y que inicia una
encuesta piloto con 10 hogares que tienen el televisor encendido en el momento
en que se transmite el programa 60 minutos.
a. Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares esté sintonizando 60
minutos.
b. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los hogares esté sintonizando
60 minutos.
c. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de los hogares esté sintonizando
60 minutos.
d. Si a lo sumo un hogar está sintonizando 60 minutos, ¿será incorrecto el valor
de un índice de audiencia del 20%? ¿Por qué?.
3. Los dientes de león se estudian para conocer sus efectos sobre los cultivos y
el crecimiento del césped. En una región se descubrió que el número medio de
dientes de león por metro cuadrado es de 7.0 (según datos de Manitoba
Agriculture and Food).
a. Calcule la probabilidad de que no haya dientes de león en una área de 1 m2.
b. Calcule la probabilidad de al menos un diente de león en una área de 1 m2.
c. Calcule la probabilidad de dos dientes de león, cuando mucho, en una área
de 1 m2
4. En el juego Pick 4 de Kentucky, usted paga $1 para seleccionar una
secuencia de cuatro dígitos, como 2283. Si participa en este juego una vez al
día, calcule la probabilidad de ganar exactamente una vez en 365 días.
Es bien sabido que los hombres tienden a pesar más y a ser más altos que 
las mujeres. El índice de masa corporal (IMC) es una medida que se basa 
en el peso y en la estatura. A continuación se muestran los valores de IMC 
de hombres y mujeres elegidos de manera aleatoria. ¿Parece existir una 
diferencia en la variación entre los dos conjuntos de datos?
Hombres: 23.8, 23.2, 24.6, 26.2, 23.5, 24.5, 21.5, 31.4, 26.4, 22.7, 27.8, 28.1.
Mujeres: 19.6, 23.8, 19.6, 29.1, 25.2, 21.4, 22.0, 27.5, 33.5, 20.6, 29.9, 17.7.
Una compañía aérea tiene un avión de 55 plazas. Como casi siempre hay 
pasajeros que fallan, la compañía decide vender más billetes que plazas hay pasajeros que fallan, la compañía decide vender más billetes que plazas hay 
en el avión. Se sabe que un viajero tiene un 90% de probabilidades de acudir 
al aeropuerto y coger el vuelo. Un día la compañía vende 60 billetes, ¿cuál es 
la probabilidad de que ese día se presenten 55 pasajeros y por lo tanto haya 
overbooking?
En el departamento de mantenimiento de máquinas se recibe un promedio de 6
solicitudes de servicio por día..
a. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 3 solicitudes por día?
b. Estimar la media, la varianza y la desviación estándar.
Si una variable aleatoria continua tiene una distribución con una gráfica
simétrica y en forma de campana, decimos que tiene una distribución
normal.
Variable aleatoria CONTINUA
1. Debe presenta forma de campana
2. Posee una media igual a 0
3. Tiene una desviación estándar igual a 1.
Características
Distribución de probabilidad Uniforme
Una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme si sus
valores se dispersan uniformemente a través del rango de posibilidades. Lagráfica de una distribución uniforme tiene forma rectangular.
curva de densidad
Es una gráfica de una distribución de probabilidad continua. Debe satisfacer 
las siguientes propiedades:
1. El área total bajo la curva debe ser igual a 1.
2. Cada punto de la curva debe tener una altura vertical igual o 
mayor que 0. (Es decir, la curva no puede estar por debajo del eje x).
Un profesor de estadística planea sus clases con tanto cuidado que sus
duraciones están distribuidas uniformemente entre 50.0 y 52.0 min. (Como
las clases de estadística son tan interesantes, generalmente dan la impresión
de ser más cortas). Esto es, cualquier tiempo entre 50.0 y 52.0 min es posible,
y todos los valores posibles tienen la misma probabilidad.
Si seleccionamos aleatoriamente una de las clases y permitimos que x sea la
variable aleatoria que representa la duración de esa clase, entonces x tiene
una distribución que puede graficarse, como se muestra abajo.
Cuando estudiamos las distribuciones de probabilidad discretas, identificamos
dos requisitos: ΣP(x)=1 y 0 < P(x) < 1 para todos los valores de x
Distribución normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución normal de 
probabilidad con µ= 0 y σ = 1, y el área total debajo de su curva de 
densidad es igual a 1.
La Precision Scientific Instrument Company fabrica termómetros que se
supone deben dar lecturas de 0°C al punto de congelación del agua. Las
pruebas de una muestra grande de estos instrumentos revelaron que en el
punto de congelación del agua, algunos termómetros daban lecturas por
debajo de 0° (denotadas con números negativos), y otros daban lecturas por
encima de 0° (denotadas con números positivos). Suponga que la lectura
media es 0°C y que la desviación estándar de las lecturas es 1.00°C. También
suponga que las lecturas se distribuyen de manera normal. Si se elige al azar
un termómetro, calcule la probabilidad de que, al punto de congelación del
agua, la lectura sea menor que 1.58°.
Utilice los termómetros del ejemplo anterior y calcule la probabilidad de
seleccionar al azar un termómetro con una lectura (en el punto de
congelación del agua) por arriba de 1.23°.
Una vez más, haga una selección aleatoria de la misma muestra de
termómetros y calcule la probabilidad de que el termómetro elegido
tenga lecturas (en el punto de congelación del agua) entre -2.00° y 1.50°.
Procedimiento para el cálculo de una puntuación z a partir de una 
área conocida
1. Dibuje una curva en forma de campana e identifique la región bajo la 
curva que corresponde a la probabilidad dada. Si no se trata de una región 
acumulativa a partir de la izquierda, trabaje con una región acumulativa 
conocida de la izquierda.
2. Usando el área acumulativa de la izquierda, localice la probabilidad más
cercana en el cuerpo e identifique la puntuación z correspondiente.
Use los mismos termómetros anteriores, con lecturas de temperatura al
punto de congelación del agua distribuidas normalmente, con una media
de 0°C y una desviación estándar de 1°C. Calcule la temperatura
correspondiente a P95, el percentil 95. Es decir, calcule la temperatura
que separa el 95% inferior del 5% superior.
Suponga que puntuaciones z se distribuyen normalmente, con una media de 
0 y una desviación estándar de 1.
a. Si P(0 < z <a) = 0.3907, calcule a.
b. Si P(-b < z < b) = 0.8664, calcule b.b. Si P(-b < z < b) = 0.8664, calcule b.
c. Si P(z > c) = 0.0643, calcule c.
d. Si P(z > d) = 0.9922, calcule d.
e. Si P(z < e) = 0.4500, calcule e.
Suponga que puntuaciones z se distribuyen normalmente, con una media de 
0 y una desviación estándar de 1.
a. Si P(0 < z <a) = 0.3907, calcule a.
b. Si P(-b < z < b) = 0.8664, calcule b.
c. Si P(z > c) = 0.0643, calcule c.
d. Si P(z > d) = 0.9922, calcule d.
a. 1.23
b. 1.50
c. 1.52d. Si P(z > d) = 0.9922, calcule d.
e. Si P(z < e) = 0.4500, calcule e.
c. 1.52
d. –2.42
e. –0.13
En un estudio de tres semanas sobre la productividad de los trabajadores, se
recolectó la siguiente información sobre el número de piezas aceptables que
produjeron un grupo de empleados.
56 34 58 45 55 56 60 34 23 90 78
56 34 89 78 23 67 90 89 78 56 56
56 78 23 98 89 78 34 45 26 70 79
45 89 78 98 89 78 54 45 34 56 5745 89 78 98 89 78 54 45 34 56 57
67 56 78 67 56 78 20 67 45 23 24
45 76 98 45 28 44 45 56 87
Halle:
a La mediana.
b La varianza y la desviación estándar,
c. Represente los datos en un diagrama de caja.
d. Represente los datos en un gráfico de Pareto
Un fabricante de neveras afirma que solamente el 10% de las neveras requiere
reparación dentro del período de garantía.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 6 de 20 neveras fallen antes de
finalizar la garantía?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que fallen entre 3 y 6 (inclusive el 3 y el 6) de
20
neveras, antes de finalizar la garantía?
c.- ¿Cuál es la probabilidad de que más de 6 neveras fallen antes de finalizar
la
garantía?garantía?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 neveras fallen antes de finalizar la garantía?
Los estudiantes de Ingeniería Química compraron una máquina
tragamonedas configurada de tal forma que existe una probabilidad de
1/2000 de ganarse el premio mayor en cualquier ensayo individual. Aun
cuando nadie consideraría seriamente hacer trampa a los estudiantes,
suponga que un Estudiante de FIME afirma haber jugado con la máquina
cinco veces y haber ganado en dos ocasiones.
a. Calcule la probabilidad de exactamente dos premios en cinco
ensayos.
b. Calcule la probabilidad de al menos dos premios en cinco
ensayos.
Los ingenieros deben tomar en cuenta la anchura de las cabezas de los
hombres cuando diseñan cascos para motocicletas. La anchura de las
cabezas de los hombres se distribuye normalmente, con una media de 6.0
in y una desviación estándar de 1.0 in (según datos de una encuesta
antropométrica de Gordon, Churchill, et al.). Debido a limitaciones
económicas, los cascos serán diseñados para que se ajusten a todos los
hombres, excepto al 2.5% con anchuras más pequeñas y al 2.5% con
anchuras más grandes. Calcule las anchuras de cabeza mínima y máxima
que se ajustarán a los cascos.
En la actualidad, las monedas de 25 centavos tienen pesos que se distribuyen
normalmente con una media de 5.670 g y una desviación estándar de 0.062 g.
Una máquina expendedora se configura para aceptar únicamente las
monedas que pesen entre 5.550 y 5.790 g.
a. Si se insertan 280 monedas diferentes de 25 centavos en la máquina
expendedora, ¿cuál es el número esperado de monedas rechazadas?
b. Si se insertan 280 monedas diferentes de 25 centavos en la máquina
expendedora, ¿cuál es la probabilidad de que la media se ubique entre los
límites de 5.550 y 5.790 g?