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Probabilidad y Estadistica JMHL 1

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de probabilidad
variable aleatoria discreta 
Estos dos aspectos nos obligan a asumir que la probabilidad p1 p2 p3 pk ; ; ;K;
asignada a cada valor de la variable, es la misma; para facilitar una primera
aproximación. Es decir, asumimos una distribución uniforme.
Distribución de probabilidad Uniforme
Si una variable aleatoria X puede tomar n valores distintos con iguales
probabilidades, la distribución es uniforme y viene dada por
P(x) =1/n donde x = x1, x2, x3,⋯, xn
Ejemplo . El número X de casas que una compañía de bomberos puede atender 
depende de la distancia x que un camión de bomberos puede cubrir en un 
periodo específico. Supóngase que para P( X < 20) = P( X >27) = 0 ; se desea 
establecer una distribución de probabilidad para x ={21, 22, 23, 24, 25, 26}. 
x 21 22 23 24 25
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Es un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos:
1. El procedimiento tiene un número fijo de ensayos.
2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo 
Distribución de probabilidad Binomial
2. Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo 
individual no afecta las probabilidades de los demás ensayos).
3. Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos 
categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso).
4. La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.
Usos – aplicaciones:
Control de calidad, tratamientos de encuestas …
Uso de la fórmula de probabilidad binomial
para x 0, 1, 2, . . . , n
donde “n” número de ensayos
x = número de éxitos en n ensayos
p = probabilidad de éxito en cualquier ensayo
q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q =1 - p)q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo (q =1 - p)
Ejemplo
Calcular la probabilidad de seleccionar exactamente a 7 méxico-
estadounidenses cuando se eligen al azar 12 miembros del jurado de una
población en la que el 80% de los habitantes son méxico-estadounidenses.
Es decir, calcule P(7) dado que n =12, x =7, p = 0.8 y q =0.2.
P(7) = 0.05315
La probabilidad de x éxitos en n 
ensayos, para cualquier orden
El número de resultados con exactamente
x éxitos en n ensayos
media de una distribución de probabilidad
varianza de una distribución de probabilidad
desviación estándar de una distribución de desviación estándar de una distribución de 
probabilidad
La distribución de Poisson es un modelo de probabilidad que se utiliza para
medir la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno aleatorio en un intervalo
de tiempo o en una región.
Distribución de probabilidad de Poisson
• La variable aleatoria x es el número de veces que ocurre un suceso durante un
intervalo.
• Las ocurrencias deben ser aleatorias.
• Las ocurrencias deben ser independientes entre sí.
• Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo
empleado.
La probabilidad de que el suceso ocurra x veces durante un intervalo está dada por:
Representa la media de resultados que ocurren en un intervalo de 
tiempo o espacio.tiempo o espacio.
La media es µ.
La desviación estándar es σ=√ µ
Al analizar los impactos de las bombas V-1 en la Segunda Guerra Mundial, el
sur de Londres se subdividió en 576 regiones, cada una con área de 0.25 km2.
En total, 535 bombas impactaron el área combinada de 576 regiones.
a. Si se selecciona al azar una región, calcule la probabilidad de que haya sido
impactada exactamente en dos ocasiones.
b. Con base en la probabilidad calculada en el inciso a), ¿cuántas de las 576
regiones se esperaría que fueran impactadas exactamente dos veces?
Solución
El número medio de impactos por región es
µ = número de impactos de bomba/número de regiones =535/576 = 0.929
a) P(2) = 0.170 
b) 576 * 0.170 = 97.9
calcular las probabilidades y los valores esperados para 0, 1, 2, 3, 4 y 5 
impactos
µ = np
Requisitos para utilizar la distribución de Poisson como una aproximación 
a la distribución binominal
1. n > 100
2. np < 10
µ = np
Entonces:
1.En una prueba del fármaco Lipitor, el 16.7% de los sujetos tratados con 10
mg de atorvastatin tuvieron dolor de cabeza. Suponga que se selecciona a 6
sujetos al azar, los cuales fueron tratados con el medicamento y calcule la
probabilidad de que los 6 sufran dolor de cabeza.
Ejercicios
2. El programa de televisión 60 minutos, de la CBS, ha sido exitoso por muchos
años. Recientemente tuvo un índice de audiencia de 20, lo que significa que de
todos los televisores encendidos, el 20% estaban sintonizados en 60 minutos
(según datos de Nielsen Media Research). Suponga que un anunciante desea
verificar ese valor del 20% realizando su propia encuesta, y que inicia unaverificar ese valor del 20% realizando su propia encuesta, y que inicia una
encuesta piloto con 10 hogares que tienen el televisor encendido en el momento
en que se transmite el programa 60 minutos.
a. Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares esté sintonizando 60
minutos.
b. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los hogares esté sintonizando
60 minutos.
c. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de los hogares esté sintonizando
60 minutos.
d. Si a lo sumo un hogar está sintonizando 60 minutos, ¿será incorrecto el valor
de un índice de audiencia del 20%? ¿Por qué?.
3. Los dientes de león se estudian para conocer sus efectos sobre los cultivos y
el crecimiento del césped. En una región se descubrió que el número medio de
dientes de león por metro cuadrado es de 7.0 (según datos de Manitoba
Agriculture and Food).
a. Calcule la probabilidad de que no haya dientes de león en una área de 1 m2.
b. Calcule la probabilidad de al menos un diente de león en una área de 1 m2.
c. Calcule la probabilidad de dos dientes de león, cuando mucho, en una área
de 1 m2
4. En el juego Pick 4 de Kentucky, usted paga $1 para seleccionar una
secuencia de cuatro dígitos, como 2283. Si participa en este juego una vez al
día, calcule la probabilidad de ganar exactamente una vez en 365 días.
Es bien sabido que los hombres tienden a pesar más y a ser más altos que 
las mujeres. El índice de masa corporal (IMC) es una medida que se basa 
en el peso y en la estatura. A continuación se muestran los valores de IMC 
de hombres y mujeres elegidos de manera aleatoria. ¿Parece existir una 
diferencia en la variación entre los dos conjuntos de datos?
Hombres: 23.8, 23.2, 24.6, 26.2, 23.5, 24.5, 21.5, 31.4, 26.4, 22.7, 27.8, 28.1.
Mujeres: 19.6, 23.8, 19.6, 29.1, 25.2, 21.4, 22.0, 27.5, 33.5, 20.6, 29.9, 17.7.
Una compañía aérea tiene un avión de 55 plazas. Como casi siempre hay 
pasajeros que fallan, la compañía decide vender más billetes que plazas hay pasajeros que fallan, la compañía decide vender más billetes que plazas hay 
en el avión. Se sabe que un viajero tiene un 90% de probabilidades de acudir 
al aeropuerto y coger el vuelo. Un día la compañía vende 60 billetes, ¿cuál es 
la probabilidad de que ese día se presenten 55 pasajeros y por lo tanto haya 
overbooking?
En el departamento de mantenimiento de máquinas se recibe un promedio de 6
solicitudes de servicio por día..
a. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 3 solicitudes por día?
b. Estimar la media, la varianza y la desviación estándar.
Si una variable aleatoria continua tiene una distribución con una gráfica
simétrica y en forma de campana, decimos que tiene una distribución
normal.
Variable aleatoria CONTINUA
1. Debe presenta forma de campana
2. Posee una media igual a 0
3. Tiene una desviación estándar igual a 1.
Características
Distribución de probabilidad Uniforme
Una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme si sus
valores se dispersan uniformemente a través del rango de posibilidades. La