Lista Binomial - Solução

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Disciplina: IC 280
Professor: Luis Alberto Toscano Medrano
Soluc¸a˜o - Lista de Binomial
Exerc´ıcio 1: Decida se o experimento e´ binomial ou na˜o, Caso ele seja, especifique
os valores de n, p, e q, e liste todos os valores da varia´vel aleato´ria x. Caso ele na˜o seja
explique o porqueˆ.
(a) Um dado procedimento ciru´rgico tem 85% de chance de sucesso. Um me´dico realiza
o procedimento em oito pacientes. A varia´vel aleato´ria representa o nu´mero de
cirurgia com sucesso.
Resposta: Experimento Binomial
Sucesso: cirurgia com sucesso.
n = 8, p = 0, 85, q = 0, 15, X = 0, 1, 2, 3, . . . , 8
(b) Uma jarra conte´m cinco bolinhas de gude vermelhas, nove azuis e seis verdes. Voceˆ
escolhe treˆs bolinhas aleatoriamente, sem reposic¸a˜o. A varia´vel aleato´ria representa
o nu´mero de bolinhas de gude vermelhas.
Resposta: Na˜o e´ um experimento binomial
Sucesso: obter bola vermelha.
Como a escolha e´ sem reposic¸a˜o a probabilidade de obter bola vermelha e´ diferente
em cada extrac¸a˜o.
(c) Voceˆ faz um teste de mu´ltipla escolha que tem 10 questo˜es. Cada questa˜o tem 4
respostas poss´ıveis, mas somente uma e´ correta. Para completar o teste, voceˆ esco-
lhe uma resposta aleatoriamente para cada uma das questo˜es. A varia´vel aleato´ria
representa o nu´mero de respostas corretas.
Resposta: Experimento Binomial
Sucesso: resposta correta.
n = 10, p = 0, 25, q = 0, 75, X = 0, 1, 2, 3, . . . , 10
(d) Cianose e´ a condic¸a˜o de ter a pele azulada por conta de um insuficieˆncia na oxi-
genac¸a˜o no sangue. Cerca de 80% dos bebes que nascem com a doenc¸a consegue se
recuperar totalmente. Um hospital esta cuidando de cinco bebes que tem a doenc¸a.
A varia´vel aleato´ria representa o numero de bebes que se recuperam totalmente.
Resposta: Experimento Binomial
Sucesso: o bebeˆ se recupera.
n = 5, p = 0, 8, q = 0, 2, X = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Exerc´ıcio 2: Nove por cento dos estudantes universita´rios portam carto˜es de credito
com limites maiores que US$ 7 mil (Reader’s Digest, junho de 2002). Suponha que dez
estudantes universita´rios sejam escolhidos aleatoriamente para serem entrevistados acerca
do uso do carta˜o de credito.
(a) Qual e´ a probabilidade de dois dos estudantes terem um limite de credito maior que
US$ 7 mil?
Resposta:
1
Seja X= Numero de universita´rios que portam carta˜o de credito com limites mai-
ores que US$ 7 mil. Logo, a variavel aleatoria X tem distribuic¸a˜o Binomial com
parametros n=10 e p=0,09.
Temos que calcular P (X = 2) =
(
10
2
)
0, 092(1− 0, 09)10−2 = 0, 1714
(b) Qual e´ a probabilidade de nenhum ter limite de credito maior que US$ 7 mil?
Resposta:
Temos que calcular P (X = 0) =
(
10
0
)
0, 090(1− 0, 09)10−0 = 0, 3894
(c) Qual e´ a probabilidade de pelo menos treˆs terem limites de credito maiores que US$
7 mil? Resposta:
Temos que calcular
P (X ≥ 3) = 1− P (X ≤ 2) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]
Pela letra (a) e (b) temos que P (X = 0) = 0, 3894 e P(X=2)=0,1714. Logo, falta
calcular
P (X = 1) =
(
10
1
)
0, 091(1− 0, 09)10−1 = 0, 3851
Enta˜o, P (X ≥ 3) = 1− [0, 3894 + 0, 3851 + 0, 1714] = 0, 0541
(d) Qual e´ a probabilidade de no ma´ximo oito terem limites de credito maiores que US$
7 mil?
Resposta
Temos que calcular
P (X ≤ 8) = 1− P (X ≥ 9) = 1− [P (X = 9) + P (X = 10)] = 1
P (X = 9) =
(
10
9
)
0, 099(1− 0, 09)10−9 = 0
P (X = 10) =
(
10
10
)
0, 0910(1− 0, 09)10−10 = 0
2
Exerc´ıcio 3: Uma universidade descobriu que 20% dos seus estudantes saem sem
concluir o curso introduto´rio de estat´ıstica. Considere que 20 estudantes tenham se ma-
triculado para curso.
(a) Calcule a probabilidade de dois ou menos desistirem
Resposta:
Seja X= Numero de estudantes saem sem concluir o curso introduto´rio de estat´ıstica.
Logo, a variavel aleatoria X tem distribuic¸a˜o Binomial com parametros n = 20 e
p = 0, 20.
Temos que calcular P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) onde
P (X = 0) =
(
20
0
)
0, 200(1− 0, 20)10−0 = 0, 0115
P (X = 1) = 0, 0576
P (X = 2) = 0, 1369
Logo, P (X ≤ 2) = 0, 0115 + 0, 0576 + 0, 1369
(b) Calcule a probabilidade de exatamente quatro desistirem.
Resposta:
Temos que calcular P (X = 4) =
(
20
4
)
0, 204(1− 0, 20)10−4 = 0, 2182
(c) Calcule a probabilidade de mais de treˆs desistirem
Resposta:
Temos que calcular
P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]
Pela letra (a) temos que P (X = 0) = 0, 0, 0115, P (X = 1) = 0, 0576 e P (X = 2) =
0, 1369. Logo, falta calcular
P (X = 3) =
(
20
3
)
0, 203(1− 0, 20)10−3 = 0, 2054
Assim, P (X > 3) = 1− [0, 0115 + 0, 0576 + 0, 1369 + 0, 2054] = 0, 5886
(d) Calcule o nu´mero esperado de desisteˆncias.
Resposta:
O numero esperado de desistencia e´
µ = E(X) = np = 20× 0, 20 = 4