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Matemática financeira   6ed. Mathias

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1 OO 
' 360 Dr= ~~~~~----=-~ 
1 + (O 27) 100 
' 360 
750 
D = -- = $ 697 67 
r 1,075 ' 
5. Um título de valor nominal $ 5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Saben-
do-se que o desconto racional foi de$ 300,00, quanto tempo antes do vencimen-
to efetuou-se o resgate? 
Resolução: N = 5.300 
i = 18% a.a. 
D =300 
r 
Sabemos que: 
donde: 
D = N-V 
r r 
V = N - D 
r r 
portanto: vr = 5.300 - 300 = $ 5.000,00 
Por outro lado, tem-se que: 
D= V in 
r r 
Então: 300 = 5.000 (O, 18) n 
300 1 
n=~- = -
900 3 
Como n se refere a período anual, vem: 
1 - - - - - - - - - - 1 2 meses 
1 
3 
1 
Portanto: 1 X= 12 · 3 
:. X = 4 meses 
X meses 
Obs.: Idêntica solução seria obtida pela fórmula: o = Nin 
' 1 + in 
Descontos 59 
6. Uma Nota Promissória de valor nominal $ 8 .856,00, com vencimento em 4 meses, 
foi comprada por $ 8.200,00. Qual é a taxa de desconto racional exigida pelo 
comprador? 
Resolução: N = 8.856 
V,= 8.200 
n = 4 meses 
O valor de compra é o valor atual do título 4 meses antes de seu vencimento. 
Portanto: 
D,=N-Vr 
D, = 8.856 - 8.200 = $ 656,00 
A taxa de desconto anual pode, então, ser encontrada por: 
D= V in 
r r 
656 = 8.200 i ~ 
12 
656 X 12 
/ =----
8.200 X 4 
7.872 Í = ---
32.800 
:. i = 0,24 ou i = 24% a.a. 
Outro modo de se calcular a taxa de desconto é através de: 
N = V,(1 + in) 
8 .856 = 8.200 ( 1 + i 1~) 
60 Matemática Financeira • Mathias e Gom es 
8.856 = 1 + i _i_ 
8.200 12 
. 1 1,08 = 1 + 1 -
3 
O 08 = !_ 
' 3 
i = (0,08) 3 
:. i = 0,24 ou i = 24% a.a. 
7. O desconto racional de um título, vencendo a 216 dias, é igual a$ 1.437,50. Qual 
seria seu valor nominal se a taxa de juros adotada fosse de 30% a.a.? 
Resolução: D, = 1.437,50 
= 30% a.a 
n = 216dias 
Nin 0 ,- - -
1 + in 
N(O 30) 216 
1.437,50 = 216 
1 + (0,30) -
360 
' 360 
1.437 50 = N (O, 18) 
' 1, 18 
N _ 1.437,50 (1, 18) _ $ 
- O, 18 - 9.423,61 
8. Determinar o desconto comercial em cada uma das hipóteses abaixo: 
Valor Nominal 
a) $ 15.000,00 
b) $ 3.000,00 
c) $ 5.000,00 
d) $ 6.000,00 
Resolução: 
a) N = 15.000 
= 25% a.a. 
n = 8 meses 
Taxa de Juros 
25% a.a. 
20% a.a. 
32% a.a. 
28% a.a. 
Prazo de Antecipação 
8 meses 
150 dias 
25 dias 
9 meses e 15 dias 
Descontos 61 
O desconto comercial (D) será: 
D = Nin 
e 
D = 15.000 (0,25) ~ 
e 12 
De= 15.000 (O, 166667) = $ 2.500,00 
b) N = 3.000 
= 20% a.a. 
n = 150 dias 
De = Nin 
De = 3.000 (O 20) 150 
' 360 
De = 3.000 (0,083333) = $ 250,00 
c) N = 5.000 
= 32% a.a. 
n = 25 dias 
De= Nin 
D = 5.000 (0,32) ~ 
e 360 
De= 5.000 (0,022222) = $ 111, 11 
d) N = 6.000 
= 28% a.a. 
n = 9 meses e 15 dias ou 285 dias 
D = Nin 
e 
D = 6.000 (O 28) 285 
e ' 360 
De = 6.000 (0,221667) = $ 1.330,00 
Nota: Comparar os resultados deste problema com os do problema nº 3. 
9. Uma Nota Promissória, no valor de $ 10.000,00 em seu vencimento, foi descon-
tada 2 meses antes de seu prazo de resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto 
comercial era de 28% a.a., qual foi o desconto? Qual foi o valor atual comercial? 
62 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Resolução: N = 10.000 
= 28% a.a. 
n = 2 meses 
De = Nin 
D = 10.000 (0,28) _3_ 
e 12 
De= 10.000 (0,046667) = $ 466,67 
Como já foi calculado o desconto comercial, o valor atual comercial (V) pode ser 
obtido por diferença: 
V = N - D 
e e 
vc = 10.000 - 466,67 = $ 9.533,33 
Caso nos interessasse apenas o valor atual comercial, poderíamos calculá-lo dire-
tamente por: 
Ve = N (1 - in) 
V = 10.000 [1 - {0,28) _3_] 
e 12 
vc = 10.000 (1 - 0,046667) 
vc = 10.000 (0,953333) = $ 9.533,33 
1 O. O desconto comercial de um título foi de$ 750,00, adotando-se uma taxa de ju-
ros de 30% a.a. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor 
nominal fosse de $ 20.000,00? 
Resolução: N = 20.000 
i = 30% a.a. 
De = 750 
D = Nin 
e 
750 = 20.000 {0,30) n 
750 = 6.000 n 
750 
n = -- = O 125 anos 6.000 ' 
Em termos de dias, teremos: 
360 dias 
0,125 ------------- Xdias 
Então: 1 X= {O, 125) 360 
.-. X= 45 dias 
Descontos 63 
11. Um título a vencer no dia 15/10/X5 foi descontado no dia 20/08/X5. Se o desconto 
comercial fosse de $ 1.470,00 e a taxa de juros fosse de 27% a.a., qual seria o 
valor nominal deste título? 
Resolução: O número exato de dias entre as duas datas é: 
15/1 O= 288 
20/08 = 232 
56 (ver Apêndice de Tabelas) 
Dc = 1.470 
= 27% a.a. 
n = 56 dias 
D =Nin 
e 
1.470 = N (0,27) ~ 
360 
1.470 = N (0,042) 
1.470 
N = -0 O = $ 35.000,00 , 42 
12. Se o valor descontado comercial for de $ 14.195,00 e o prazo de antecipação for 
de 270 dias, qual será o valor do título no vencimento, considerando-se uma taxa 
de 22% a.a.? 
Resolução: Vc = 14.195 
= 22% a.a. 
n = 270 dias 
Empregando-se a fórmula de cálculo direto do valor atual comercial, temos: 
Vc= N(1-in) 
14.195 = N [1 -(0,22) 27º] 
360 
14.195 = N (1 -0,165) 
14.195 
N = O 8 = $ 17 .000,00 , 35 
64 Matemática Financei ra • Math ias e Gomes 
13. João propõe a Pedro a venda de um título no valor nominal de$ 23.000,00, com 
vencimento para 3 meses. Considerando que Pedro quer ganhar 39,5% a.a., que 
taxa de desconto comercial oferecerá a João e quanto pagará pelo título? 
Resolução: N = 23.000 
n = 3 meses 
Se Pedro quiser ganhar 39,5% a.a., então pagará pelo título certa quantia (V,) 
que lhe renderá, quando resgatar o título após 3 meses, a taxa proporcional de 
39,5% a.a. 
Portanto: 23.000 = V [ 1 + (0,395) ~] 
r 12 
23.000 = V, (1 + 0,09875) 
23.000 
V, = 1,09875 = $ 20.932,88 
Como vemos, se Pedro comprar o título por $ 20.932,28, estará ganhando 
39,5% a.a. ao resgatá-lo por$ 23.000,00, 3 meses depois. 
A taxa de desconto comercial que lhe interessa é, por conseguinte, a taxa que 
conduz a um valor atual comercial de $ 20.932,88. 
Então: N = 23.000 
vc = 20.932,88 
n = 3 meses 
V,= N (1 - in) 
20.932,88 = 23.000 (1-i /2 ) 
20.932,88 = 1- i ~ 
23.000 12 
0,910125 = 1 - .!_ 
4 
- O 089875 = - .!_ 
' 4 
i = (0,089875) 4 
:. i = 0,3595 ou i = 35,95% a.a. 
14. Uma empresa retira do Banco Alfa um empréstimo por 3 meses no valor de 
$ 500.000,00. Se a taxa de juros for de 26% a.a. e, além disso, o banco cobrar 1 % 
a título de despesas administrativas, qual será o desconto bancário? 
Resolução: N = 500.000 
= 26% a. a. 
n = 3 meses 
h = 1 % (taxa administrativa) 
O desconto bancário (Db) será: 
Db = N (h + in) 
Db = 500.000 [ 0,01 + (0,26) 
1
3
2
] 
Db = 500.000 (0,01 + 0,065) 
Db= 500.000 (0,075) = $ 37.500,00 
Descontos 65 
15. Um banco cobra, em seus financiamentos, a taxa administrativa de 2% e sua taxa 
de juros corrente é de 29% a.a. Que financiamento por 3 meses deverá um cliente 
pedir a este banco se esta pessoa necessitar de $ 10.000,00? 
Resolução: Se o cliente precisar de $ 10.000,00, então este é o valor líqu ido que 
quer receber, sendo portanto, no caso do desconto bancário, o valor 
descontado bancário (Vb). O valor do financiamento que o cliente irá 
pedir é o valor nominal. 
vb = 10.000 
= 29% a.a. 
n = 3 meses 
h = 2% 
vb = N [1 - (h + in )] 
10.000 = N { 1- [ 0,02 + (0,29) 
1
3
2
]} 
10.000 = N [1 - (0,02 + 0,0725)] 
10.000 = N (1 - 0,0925) 
N = 1 O.OOO = $ 11.019 28 
0,9075 ' 
16. No financiamento de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu ova-
lor líquido de $ 12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% a.a., existirá taxa 
de serviço cobrada no desconto bancário? 
Resolução: N = 15.000 
= 27% a.a. 
n = 6 meses 
66 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
vb = 12.525 
vb = N [1 - (h + in)]