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Matemática financeira   6ed. Mathias

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gratificante, que 
é pela leitura. 
Os Autores 
Parte I 
Juros Simples 
1 
Juro e Montante 
1 Introdução 
O problema econômico decorre da escassez, ou seja, do fato de que as necessida-
des das pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. Ao longo do 
processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer às necessidades 
foi solucionado através da especialização e através do processo de troca de um bem 
por outro. Mais tarde surgiu um bem intermediário para este processo de trocas que é 
a moeda. Assim, o preço passou a ser o denominador comum de medida para o valor 
dos bens e a moeda um meio para acumular valor e constituir riqueza ou capital. 
Constatou-se que os bens poderiam ser consumidos ou guardados para consumo 
futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse acumulação, o 
estoque de bens poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo 
produtivo. 
A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir 
seus bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência 
temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência. Este 
prêmio para que não haja consumo é o juro. 
O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a remune-
ração do capital aplicado. Isto é, o juro é o pagamento pelo uso de poder aquisitivo 
por um determinado período de tempo. Associa-se então o juro à preferência tem-
poral das pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Nestas 
condições, a taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se 
refere a taxa. 
4 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Esta taxa é fixada no mercado de capitais pela interação entre as forças que regem 
a oferta de fundos e a procura de créditos. Em um mercado ideal ou perfeito, basica-
mente influirão os seguintes fatores: 
- Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas preferências temporais 
e o valor da taxa de juros. 
- Procura de fundos: a rentabilidade das aplicações existentes na economia e 
a preferência temporal das pessoas. 
No gráfico abaixo tem-se a oferta e a procura de fundos e a taxa pura de juros 
(í0), que corresponde à situação de equilíbrio em que o montante de capital procu-
rado é M 0 : 
i(%) 
io 
Mo M ($) 
Diz-se que i0 é uma taxa de juros pura porque exclui o fator risco que está asso-
ciado às operações normais de mercado. O risco nas operações financeiras pode ser 
devido a causas diversas: o fato de que o devedor pode não pagar o débito, o maior 
ou menor tempo de empréstimo (as operações de curto prazo são menos arriscadas), 
o volume de capital emprestado etc. 
Normalmente, o risco que acompanha as operações de empréstimo já é levado em 
conta na própria taxa : 
i(%) 
!::::} 
Remuneração 
pelo risco 
_ __ ____ ___ _____ _ __ ___ __ _ __ J 
i} Ta~ P"" d, j,ro, 
~~~~~~~~~~~~~--
Risco 
Pode-se associar ao acréscimo na taxa pelo maior risco, como sendo um seguro 
que o ofertante de fundos cobra para assumi-lo. Por outro lado, dada a inexistência de 
informações perfeitas entre tomadores e emprestadores de fundos, no mercado real 
de capitais, temos um intervalo de variação para a taxa de juros ao invés de um valor 
Juro e Montante 5 
único de equilíbrio. Além disto, as operações financeiras têm um custo de efetivação 
referente aos contratos e à intermediação dos agentes envolvidos. Tais custos são, ge-
ralmente, as comissões, impostos sobre operações financeiras (IOF), avais etc. 
O custo real de um empréstimo, portanto, é obtido somando-se à taxa de juros 
pura, o custo pelo risco e o custo de impostos e dos serviços de intermediação. Além 
disto, o problema da inflação (ou seja, o fato de que o valor da moeda pode alterar-se 
ao longo do tempo) pode produzir variações no custo real dos empréstimos. 
Admitiremos a hipótese de mercado perfeito, consubstanciada no seguinte: 
- Qualquer valor pode ser obtido ou aplicado à taxa de juros de equilíbrio. 
- As taxas consideradas são únicas e estáveis ao longo do tempo. 
- Nas aplicações serão introduzidas as correções e ressalvas necessárias. 
2 Definições 
2. 1 Taxa de juros 
O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de 
tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado 
por um prazo igual àquele da taxa. 
Assim, por exemplo, falamos em 12% ao ano. Neste caso, a taxa de juros de 12% 
ao ano significa que, se empregarmos um certo capital àquela taxa, por um ano, ob-
teremos 12% do capital. 
As taxas de juros geralmente são apresentadas de dois modos: 
2.1.1 Forma porcentual 
Neste caso a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém 
após dividir-se o capital por 100. 
Exemplo: 
Resolução: 
Qual o juro que rende um capital de $ 1.000,00 aplicado por 1 ano à 
taxa de juros de 10% ao ano? 
JUro = X X . (1.000,00) 10 1 
100 
juro= 10,00 x 1 O x 1 = $ 100,00 
Então, é de $ 100,00 o total de juros que a aplicação rende em 1 ano. 
6 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
2.1.2 Forma unitária 
Agora a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, estamos calculando o que ren-
de a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo referido pela taxa . 
Se tivermos uma taxa de O, 12 ao ano, então a aplicação de $ 1,00 por um ano 
gera um juro de $ O, 12. 
Exemplo: O exercício anterior, com a taxa na forma unitária (O, 1 O a.a. ). 
Resolução: juro = 1.000,00 x O, 1 O x 1 
juro = $ 100,00 
Para transformar a forma porcentual em unitária basta dividir-se a taxa expressa 
na forma porcentual por 100. 
Exemplo: 
Forma Porcentual Transformação Forma Unitária 
12% a.a. 12 0, 12 a.a . 
-
100 
6 
6% a.s. - 0,06 a.s. 100 
1 
1% a .m. - 0,01 a .m. 100 
De modo análogo, para transformar a taxa de juros da forma unitária para a for-
ma porcentual, basta que se multiplique a taxa de juros unitária por 100. 
O leitor deve observar que é mais fácil trabalhar-se com a forma unitária, pois isto 
simplifica a notação e os cálculos. 
3 Cálculo do juro 
Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado 
(também chamado de principal) é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo 
de aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros. 
Exemplo: Suponhamos que se tome emprestada a quantia de$ 1.000,00 pelo prazo 
de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro? 
Resolução: Capital inicial (C) = 1.000,00 
Taxa de juros (/) = 10% a.a. 
Número de períodos (n) = 2 anos 
Juro e Montante 7 
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, temos o juro do primeiro ano 
como sendo: 
J1 = 1 .000, 00 x O, 1 O x 1 = $ 100,00 
No segundo ano, teremos: 
}
2
= 1.000,00 x 0,10 x 1 = $100,00 
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J) mais o juro devido no 
segundo ano (J/ 
J=J1+ J2 
J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00 
Ou então, podemos resolver o problema diretamente: 
}= 1.000,00 x 0,10 x 1+ 1.000,00 x 0,10 x 1 
J = 1.000,00 x O, 1 O x 2 
J = $ 200,00 
Fazendo a passagem para uma notação literal: 
e = 1.000,00 
i = O, 1 O a.a. 
n = 2 anos 
Temos: J = 1.000,00 x O, 1 O x 2 
ou: J = Cin 
Onde: 
J = JUro 
C = capital inicial 
i = taxa de juros 
n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) 
8 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Esta é a fórmula básica para o cálculo de juros em um regime simples de ca-
pitalização. Observe-se que, dados 3 valores da fórmula, poderemos obter o quarto, 
por simples transformação algébrica: 
J = Cin 
C = _j_ 
in 
. J 
l =-
Cn 
Pela fórmula podemos ca lcu lar o valor do juro para qualquer prazo (n). Entretan-
to, admite-se

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