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Matemática financeira   6ed. Mathias

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o montante. \ 
8 Juro exato e juro comercial 
Nas aplicações correntes, muito embora as taxas sejam expressas em termos anua is, 
os prazos são fixados em dias. Como a curto prazo o regime geralmente adotado é o 
de juros simples, torna-se necessário calcular a taxa proporcional referente a 1 dia. 
Neste caso, podemos ter d'o'is enfoques, dependendo do número de dias adotado 
para oano: 
a) ano civil: 365 dias; 
b) ano comercial: 360 dias. 
Nas aplicações práticas, onde é adotada a convenção de ano comercial, o mês 
comerâal tem 30 dias .. Por outro lado, como a contagem de dias deve ser exata, é 
necessário levar em' conta também a existência de anos bissextos. 
Exemplo: 
Resolução: 
Dada a taxa de 36% ao ano, quer-se saber qual é a taxa proporcional a 
1 dia para as convenções do ano civil e do ano comercial. 
. . . . 36% . Pelo ano civil: /365 = 365 = 0,0986% ao dia 
36% . 
Pelo ano comercial: i360 = 360 = O, 1 % ao dia 
Observe que a taxa diária obtida com base na convenção de ano comercial é 
ligeiramente maior que a obtida pela convenção de ano civil, pois o divisor utilizado 
é menor. 
8. 1 Juro exato 
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em 
dias e quando é adotada a convenção de ano civil: 
16 Matemática Financei ra • Mathias e Gomes 
Exemplo: 
~ 
~ 
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 
dias e à taxa de 36% a.a.? 
Resolução: Je 
Cin 
365 
j = 10.000,00 X 0,36 X 40 = $ 394 52 
e 365 ' 
8.2 Juro comercial 
Denomina-se juro comercial (ou ordinário) o juro que é calculado quando se adota 
como base o ano comercial: 
~ 
~ 
Analogamente, neste caso o período (n) deverá ser expresso em número de dias. 
Exemplo: 
Resolução: 
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item anterior. 
J = Cin 
e 360 
j = 10.000,00 X 0,36 X 40 _ $ 
e 
360 
- 400,00 
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comercial é maior que 
o juro exato. 
9 Valor nominal e valor atual 
9. 1 Diagramas de capital no tempo 
Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de 
dinheiro no tempo. Este fluxo é mais conhecido na prática como fluxo de caixa e pode 
ser representado do seguinte modo: 
Juro e Montante 17 
500 
t 400 400 Entradas o 4 t t (+) 
l 1 i . - - - - -- - -- -- - - - -2 3 5 6 Saídas 300 H 
1.000 
Esta representação é muito útil para situações em que é necessário visualizar-se o 
que está ocorrendo quando temos entrada·s a saídas de capital no tempo. 
As convenções empregadas são as seguintes: 
- A reta horizontal é uma escala de tempo, com a progressão de tempo dando-
se da esquerda para a direita. Os períodos de tempo aparecem representados 
em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os períodos 
acumulados. Podemos também utilizar a reta sem a escala, mas indicando o 
número de períodos envolvidos. 
- As flechas significam entradas ou saídas de dinheiro. Assim, uma flecha para 
baixo significa uma saída ou aplicação de dinheiro (ou um valor negativo) 
e uma flecha para cima significa uma entrada ou recebimento de dinheiro 
(ou um valor positivo). Para que a convenção ficasse completa, o tamanho 
da flecha deveria representar proporcionalmente o valor do capital que está 
entrando ou saindo. Como esta representação tem um caráter auxiliar, optou-
se por escrever o valor do dinheiro que está entrando ou saindo sem maiores 
preocupações de escala na própria flecha. 
O diagrama anterior pode ser representado também do seguinte modo: 
1.000 500 
1 I 400 400 300 ~ t j 
o 2 3 4 5 6 (Períodos) 
Ou então, lembrando que às saídas associamos valores negativos, a às entradas 
associamos valores positivos, tem-se: 
(1 .000) 500 (300) 400 400 
o 2 3 4 5 6 (Períodos) 
onde os valores negativos foram representados pelo número entre parênteses. Caso 
não interesse identificar o que é entrada ou saída de dinheiro, pode-se utilizar a repre-
sentação gráfica acima com todos os valores positivos. 
18 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
O diagrama de capital no tempo depende do ponto de vista. Por exemplo, admi-
tamos que uma pessoa empreste $ 1.000,00 à taxa de juro simples de 12% a.a., pelo 
prazo de 1 ano. Para a pessoa que empresta o dinheiro o diagrama é o seguinte: 
1.120 
o (Anos) 
1.000 
Já para a pessoa que toma o dinheiro emprestado, tem-se o diagrama: 
1.000 
o 
(Anos) 
1.120 
9.2 Valor nominal 
É quanto va le um compromisso na data do seu vencimento. Se após o vencimento 
o compromisso não for saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo seu valor 
nominal, acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. 
Exemplo: 
o 
Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por 
$ 20.000,00 daqui a 12 meses. 
A situação pode ser representada do seguinte modo: 
20.000 (Valor Nominal) 
12 (Meses) 
O valor nominal da aplicação é, portanto, igual a $ 20.000,00 no mês 12. 
Juro e Montante 19 
9.3 Valor atual 
É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu ven-
cimento. 
Para calcular o valor atual, é necessário especificar o valor nominal, a data de cál-
culo e a taxa de juros a ser utilizada na operação. Note então que o cálculo do valor 
atual pressupõe que já tenhamos um compromisso que vence numa data futura. 
Exemplo: 
e 
o 
Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que 
recebeu, pela apl icação, um título que irá valer$ 24.000,00 no mês 12. 
A situação pode ser representada do seguinte modo: 
24.000 (Valor Nominal) 
12 (Meses) 
Repare que não especificamos o valor aplicado (C) e nem a taxa de juros utilizada 
na aplicação. O leitor deve ter em mente que, uma vez tomada a decisão de aplicar, 
estes fatores deixam de ter influência nas decisões futuras que o aplicador irá tomar. 
Examinemos agora algumas situações possíveis com esta aplicação: 
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15,000,00. Então, 
podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplicação, do seguinte 
modo: 
Onde: 
N = C (1 + in) 
N = 24.000,00 
e = 15.000,00 
i = ? 
n = 12 meses 
Nestas condições: 
24.000 = 15.000 (1 + i . 12) 
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera: 
24.000 j.5:000 (1 + i . 12) 
15.000 j.5:000 
20 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Logo: 
Logo: 
1,6 = 1 + i. 12 
Somando-se - 1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 
1,6-1=1-1 +i. 12 
0,6 = i. 12 
E, dividindo de novo os dois lados da igualdade por 12, temos: 
0,6 . 
-= I 
12 
i = 0,05 
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o "mês", a taxa tam-
bém fica referida ao mesmo intervalo de tempo. 
Ou seja: 
i = 0,05 ao mês 
Ou, o que dá no mesmo: 
i = 5% ao mês. 
b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhe-
cemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular 
o valor atual hoje (na data O), que corresponde ao próprio valor aplicado: 
Onde: 
Então: 
Logo: 
N = C (1 + i · n) 
N = 24.000,00 
C =? 
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser 
colocada na forma unitária) 
n = 12 meses. 
24.000 = C (1 + 0,06 X 12) 
24.ooo = e c1 + o,72) 
24.ooo = e . 1. 72 
24.ooo e . J.,l1 
1,72 J.,72 
Ou seja: e= 13.953,49 
que é o valor atual na data O, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje. 
Juro e Montante 21 
c) Vamos supor agora que, passados 6 meses da data da aplicação, a pessoa 
precisou de dinheiro. Então ela vai ao mercado para "descontar" seu título, 
isto é, para trocar seu título por dinheiro. Note que, se ela trocar seu título 
por dinheiro com um amigo, isto corresponde do mesmo modo a uma ope-
ração de desconto.

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