A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
Matemática financeira   6ed. Mathias

Pré-visualização | Página 46 de 50

A conferência é feita somando-se o total de depósitos com o total de juros e veri -
ficando-se se é igual a $ 100.000,00 obtidos no final do 4º ano. 
Empréstimos 301 
Nota: O leitor deve observar que quando se calculou o depósito (Rk) estava-se encon-
trando um valor que, capitalizado, será igual ao principal. Daí a necessidade 
do cálculo de juros sobre o saldo credor. 
($) 
Anos Saldo Credor Depósito Juros 
(k) (Sck) (Ak) (Jk) 
o - - -
1 21.547,08 21 .547,08 -
2 45 .248,87 21.547,08 2.154,71 
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89 
4 100.000,00 21.547,08 7.132,68 
Total - 86.188,32 13.811,68 
2.4 Sistema de amortizações variáveis 
Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. 
Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de 
amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada. 
Nestas cond ições os juros serão calculados também sobre o saldo devedor. 
Exemplo: Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00, que serão amortizados 
anualmente do seguinte modo: 
- 1 º ano: 10.000,00 - 3º ano: 30.000,00 
- 2º ano: 20.000.00 - 4º ano: 40.000,00 
Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência para o início das amortiza-
ções, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que os juros devidos serão pagos anualmente, 
construi r a planilha. 
Resolução: A planilha é construída colocando-se inicialmente as amortizações. A 
seguir, são calculados os juros sobre o saldo devedor do período ante-
rior e calculada a prestação: 
302 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
($) 
Anos Saldo Credor Amortização Juros Prestação 
(k) (Sdk) (A) (Jk) (Rk) 
o 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
3 90.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00 
4 70.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00 
5 40.000,00 30.000,00 7.000,00 37.000,00 
6 - 40.000,00 4 .000,00 44._000,00 
Total - 100.000,00 50.000,00 150.000,00 
Nota: Deixamos de analisar o chamado sistema alemão (ou de juros antecipados) 
por ter utilidade prática reduzida. O leitor pode encontrar tal método na bi-
bliografia citada. 
3 Custo efetivo de um empréstimo 
É comum, nos empréstimos feitos na prática, que as instituições financeiras co-
brem o imposto sobre operações financeiras (IOF), aval, comissões etc. Além disto, 
operações de repasse de empréstimos externos podem envolver um custo adicional de 
imposto de renda para a remessa de juros para o exterior. 
Estes encargos adicionais aumentam a taxa de juros real para o mutuário, tor-
nando-se indispensável seu cálculo de modo que sejam possíveis as comparações das 
diversas alternativas . O cálculo da taxa de juros real é feito utilizando-se o conceito de 
taxa de retorno (v. item 2 do do apêndice ao Capítulo 4). 
Exemplo: Uma empresa obtém um empréstimo de $ 100.000,00, nas seguintes 
condições: 
_ - taxa de juros: 10% ao ano ou 5% ao semestre; 
- prazo de utilização unitário; 
- prazo de carência: 2 semestres; 
- IOF: 1 % sobre o total de amortizações e encargos, cobrado no ato; 
- aval: 2% sobre o saldo devedor ao fim de cada ano; 
- sistema de amortização constante, em parcelas semestrais. 
Pede-se para construir a planilha e calcular a taxa de juros real do empréstimo. 
Empréstimos 303 
Resolução: Nas condições enunciadas a prestação deve levar em conta a despesa de 
IOF mais a de aval. 
($) 
Semestres Saldo IOF Aval Amortizações Juros Prestações 
(k) Devedor (1) (2) (3) (Ak) (4) (Jk) (1) + (2) + 
(Sdk) (3) + (4) 
o 100.000,00 1.195,00 - - - 1.195,00 
1 100.000,00 - - - 5.000,00 5.000,00 
2 75.000,00 - 1.500,00 25.000,00 5.000,00 31 .500,00 
3 50.000,00 - i - 25.000,00 3.750,00 28.750,00 
4 25.000,00 - 500,00 25.000,00 
·, 
2 .500,00 28.000,00 
1 
5 - - - 25.000,00 1.250,00 26.250,00 
Total - 1.195,00 2.000,00 100.000,00 17.500,00 120.695,00 
O valor do IOF foi obtido calculando-se 1 % sobre o total de aval, amortização e 
JUíOS. 
Para calcular a taxa de retorno, consideremos o fluxo de caixa sobre o ponto de 
vista do banco que fez o empréstimo: 
(S} 
Semestres Aplicaç.ão 1 
Recebimentos 
1 
Fluxo de Caixa 
(1) (2) (2) - (1) 
o 100.000,00 1 · _·gs,oo 1 (98.805,00) 
1 - 1 5.000,00 5.000,00 
2 - 1 31.500,00 31.500,00 
3 - 1 28.750,00 28.750,00 
4 - 1 28.000,00 28.000,00 
5 - 1 26.250,00 26.250,00 
Obs.: Os parênteses, no fluxo de caixa, indica m valo res negativos ou desembolsos. 
Para calcular a taxa de retorno devemos determinar a taxa i*, tal que: 
V( "*) (98.805) 5.000 31.500 28.750 I = + + +---(1 + i*)º (1 + í*)1 (1 + í*)2 (1 + i*)3 
28.000 26.250 O 
+ + = (1 + i*)4 (1 + í*)5 
onde V (i*) é o valor atual do fluxo à taxai*. 
304 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Vamos determinar i* por tentativa e erro: 
a) 1 ª iteração: começamos com a taxa de 5% ao semestre, pois é a taxa de juros 
cobrada: 
i, = 5% a.s. => V (i,) ~ 2.966,90 
Como o valor ainda é positivo, usamos uma taxa de juros um pouco maior (7% a.s.): 
i2 = 7% a.s. => V (i2) = - 3.073,27 
Sendo V (i2) < O, podemos fazer a interpolação linear: 
:~~:~~ 
- 3.073,27 
Ou seja: i'- 5 O - 2.966,90 
7 -5 - 3.073,27 - 2.966,90 
i' = 5 + 2 X 0,4912 
i' ~ 5,98% a.s. 
Calculando-se o valor atual do fluxo com esta taxa, obtemos: 
í' = 5,98% a.s. => V (í') = - 59,52 
Graficamente, a situação é a seguinte: 
V(1) 
2.966,90 
O .__ ____ ~ __ ,,,_......,_+-------- i (% a.s.) 
5 7 
- 59,52 
- 3.073,27 ---------- --------- ---------------------
Ou seja, o valor atual ainda não é nulo. 
Empréstimos 305 
b) 2ª iteração: partindo do resultado anterior, fazemos a segunda iteração: 
V(i) 
2.966,90 
5 
i(%a.s.) 
- 59,52 --- - - ------- -- ----------------------------
Ou seja: 
e 5 r-------------;- -------------
5,98 - - - - ---------
:.966,90~ 
-5:=J 
i" - 5 O - 2.966,90 
5,98 - 5 - 59,52 - 2.966,90 
i" = 5 + 0,98 X 0,9803 
i" ~ 5,961 
Como verificação, calculamos o valor atua l a esta taxa: 
i" = 5,961 => V{i') =-2,1 ~ O 
Portanto, concluímos que o custo do empréstimo é de 5,96% a.s. 
Graficamente, o processo de iteração segu ido foi: 
o--~~~~'-ó-~_,,__....___,,.~~~~--.-~~~~• 
1 
= o + - -- ----- ------------- 1 
V (i') +------------------------ --
V Ui) ------------ ------------------------ - -- -
306 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
4 Exercícios resolvidos 
1. Uma imobiliária, planejando a construção de um núcleo residencial, toma empres-
tado $ 2.000.000,00 de um banco à taxa de 15% a.a. Tendo feito a previsão de 
receitas para a determinação da capacidade de pagamento, o gerente financeiro 
propõe ao banco o seguinte esquema de amortização anual: 
12 ano: $ 200.000,00 
2º ano: $ 300.000,00 
3º ano: $ 400.000,00 
4º ano: $ 500.000,00 
5º ano: $ 600.000,00 
Nas condições acima expostas, qual é o desembolso que a imobiliária deverá fazer 
anualmente? 
Resolução: O meio mais simples de visualização e análise de um financiamento é 
obtido por sua planilha. 
Neste caso, tem-se: 
Principal: $ 2.000.000,00 
Juros: 15% a.a. 
Amortizações: variáveis 
Como dados básicos contidos na planilha, teremos: 
Sdk = saldo devedor no fim do período k. 
Ak = amortização do período k. 
Jk = juros do período k . 
Para a determinação das variáveis acima, considere-se que: 
ou seja, o Saldo Devedor no fim do período k é igual ao Saldo Devedor no fim do 
período anterior (k - 1) menos a Amortização efetuada no período k. 
ou seja, os Juros do período k são iguais à taxa de juros por período (na forma 
unitária) multiplicada pelo Saldo Devedor no fim do período anterior. 
Ak - depende do contrato de financiamento. 
Ano Saque (k) 
o 2.000.000 
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
Total -
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Devedor Amortização