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Matemática financeira   6ed. Mathias

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(Sdk) (Ak) 
2.000.000 -
1.800.000 200.000 
1.500.000 1 300.000 
1.100.000 1 400.000 
600.000 1 500.000 1 
-
1 600.000 1 
- 2.000.000 1 
Empréstimos 307 
Juros Prestação 
(Jk) (Ak + Jk) 
-
-
300.000 500.000 
270.000 570.000 
225.000 625.000 
165.000 665.000 
90.000 690.000 
1.050.000 3.050.000 
O desembolso anual que a imobiliária terá de fazer é igual à prestação, ou seja, à 
soma de amortização mais juros. Portanto, na coluna "Prestação" encontramos o valor 
dos desembolsos anuais. 
Apenas para exemplificar como foi elaborada a planilha acima, verificar os cálcu-
los a seguir: 
então: J1 == 0,15 Sd0 
J, == O, 15 (2.000.000) == $ 300.000,00 
e 
portanto Sd, == Sd0_ A, 
Sd, == 2.000.000 - 200.000 == $ 1.800.000.00 
2. Para um projeto de expansão, a empresa "Pesqueiros Ltda." obtém um finan-
ciamento de $ 5.000.000.00, nas seguintes condições: 
a) Taxa de Juros Nominal: 8% a.a. - com pagamentos semestrais. 
b) Amortizações: SAC - Sistema de Amortizações Constantes, com pagamen-
tos semestrais. 
c) Prazo de Amortização: 5 anos. 
Construir a planilha de financiamento. 
308 Matemática Fina nceira • Mathias e Gomes 
Resolução: A diferença entre este problema e o anterior deve-se ao fato de que: 
1) a taxa de juros é referida em termos anuais e os juros são semestrais; 
e 2) o sistema de amortizações é o SAC. 
Taxa de Juros: Como a taxa anual é nominal, devemos calcular a taxa 
semestral proporcional 
i = 8% a.a. ~ i = 4% a.s. 
s 
Nota: É evidente que a taxa efetiva anual é maior que 8% a.a. (taxa efetiva 
8, 16% a.a.) 
Semestres 
(k) 
o 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Total 
Amortizações: Sendo adotado o Sistema de Amortizações Constantes 
(SAC), tem-se que todas as amortizações serão de mesmo valor. 
Prazo de Amortização: 5 anos ou 1 O semestres. 
A amortização semestral (Ak) será dada por: 
Ak = 5.000.000 = $ 500.000,00 
10 
Saque 
5.000.000 
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Devedor Amortização 
(Sdk) (Ak) 
5.000.000 -
4.500.000 500.000 
4.000 .000 500.000 
3.500.000 500.000 
3 .000.000 500.0 00 
2.500.000 500.000 
2.000.000 500.000 
1.500 .000 500.000 
1.000.000 500.000 
500.000 500.000 
- 500.000 
- 5.000.000 
Juros 
(jk) 
-
200.000 
180.000 
160.000 
140.000 
120.000 
100.000 
80 .000 
60 .000 
40 .000 
20.000 
1.100.000 
Prestação 
(Ak + Jk) 
-
700.000 
680.000 
660.000 
640.000 
620.000 
600.000 
580.000 
560.000 
540.000 
520.000 
6.100.000 
Empréstimos 309 
Obs.: A planilha apresentada nos oferece o quadro do financiamento em qualquer 
instante de tempo. Assim, se quisermos saber qual é o saldo devedor, os juros 
e a prestação referentes ao período 8, basta verificarmos o quadro: 
SdB = 1.000.000 
)8 = 60.000 
Prestação = 560.000 
3. Um empréstimo de $100.000,00 será saldado em 25 amortizações quadrimestrais 
pelo sistema SAC, tendo sido contratada a taxa de juros de 5% ao quadrimestre. 
Qual é o saldo devedor, os juros e a prestação, referentes ao 16º quadrimestre? 
Resolução: Como se trata do sistema SAC, para sabermos os valores do saldo deve-
dor, dos juros ou da prestação em determinado período não é necessá-
ria a construção da planilha. Podemos calcular estes valores através de 
fórmulas simplificadoras. 
Considerando as seguintes notações: 
Temos: 
Sd0 = valor a ser amortizado em n parcelas 
n = número de amortizações 
A = amortização constante 
= taxa de juros por período 
Jk = juros referentes ao período k 
Rk = prestação referente ao período k 
a) Amortização por período 
A= Sdo 
n 
b) Saldo devedor do período k (Sd) 
Sdk = Sd0 - kA 
Sd = Sd - k ( Sdº ) k o n 
31 O Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
e) Juros referentes ao período k (Jk) 
Considerando que: 
( k -1) Sdk _1 = Sd0 1- -n-
Então 
d) Prestação referente ao período k (Rk) 
Então R = - 0 + Sd i 1 - --Sd ( k -1) 
k n o n 
[ 1 . ( k -1 ) ] Rk = Sd0 -;; + 1 1 - -n-
Em nosso exemplo são pedidos o saldo devedor, os juros e a prestação referentes 
ao 162 quadrimestre. Portanto, considerando : 
Temos 
Sd0 = 100.000 
= 5% a.q . 
n = 25 quadrimestres 
k = 16 (visto ser o 16º quadrimestre) 
a) Saldo devedor do 16º quadrimestre (5d16): 
Sd = Sd (1-~) k o n 
Sd16 = 100.000 ( 1- ~: ) 
Sd, 6 = 100.000 (0,36) 
Sd,6 = $ 36.000,00 
b) Juros referentes ao 16º quadrimestre (116): 
J = Sd i (1 - k - 1) 
k o n 
J, 6 = 100.000 (0,05) ( 1- ;: ) 
J,6 = 100.000 (0,05) (0.40) 
J,6 = $ 2.000,00 
c) Prestação referente ao 16º quadrimestre (R,
6
) : 
[ 1 . ( k -1)] Rk = Sd0 7; + r 1 - - n-
R,6 = 100.000 [ 2~ + 0,05 ( 1- ;:) J 
R,6 = 100.000 (0.06) 
R,6 = $ 6.000,00 
Obs.: naturalmente tais fórmulas são válidas somente quando 
1 º) o sist ema de amortização é o SAC 
Emprést imos 311 
2º) Sd0 = saldo devedor inicial, representa o total do financiamento 
3º) inexiste ca rência 
4. Uma empresa obtém o financiamento de S 960.000,00, devendo este montante 
ser liberado em quatro parcelas trimestrais na seguinte ordem cronológica: 
1 ª parcela: $ 200.000,00 
2ª parcela: $ 500.000,00 
3ª parcela: $ 160.000,00 
4ª parcela: $ 100.000,00 
O banco f inanciador cobra 6% ao ano, com pagamento de juros trimestrais. 
O prazo total do financiamento é de 4 anos com 15 meses de carência. 
As amortizações serão trimestrais pelo sistema SAC. 
Construir a planilha do financiamento. 
312 Matemática Fi nanceira • Mathias e Gomes 
Resolução: 
Taxa de Juros: i = 6% a.a. => it = 0,015 a.t. 
Prazo de Amortização: 33 meses ou 12 amortizações 
A = 960.000 
k 12 
:. Ak = $ 80.000,00 
Carência: 15 meses ou 5 trimestres. 
($) 
Trimestres Saque Saldo Devedor Amortização Juros 
Prestação 
(k) (Sdk) (A) V) (Ak + Jk) 
o 200.000 200.000 - - -
1 500.000 700.000 - 3.000 3.000 
2 160.000 860.000 - 10.500 1 O.SOO 
3 100.000 960.000 - 12.900 12.900 
4 - 960.000 - 14.400 14.400 
5 - 880.000 80.000 14.400 94.400 
6 - 800.000 80.000 13.200 93.200 
7 - 720.000 80.000 12.000 92.000 
8 1 - 640.000 80.000 10.800 
90.800 
9 1 - 560.000 80.000 9.600 
89.600 
10 1 - 480.000 80.000 8.400 
88.400 
11 - 400.000 80.000 7.200 87 .200 1 
12 - 1 320.000 
80.000 6.000 86.000 1 
13 - 240.000 80.000 4.800 84.800 
14 - 160.000 80.000 3.600 83.600 
15 - 80.000 80.000 2.400 82.400 1 
16 - - 80.000 1.200 81.200 1 
Total - - 960 .000 134.400 1.094.400 1 
Empréstimos 313 
5. A taxa efetiva do Banco X é de 20% a.a. Neste banco, uma companhia retira um 
financiamento de $ 400.000,00, comprometendo-se com o Banco X a amortizá-lo 
em 6 prestações quadrimestrais, vencendo a primeira 4 meses após fechamento 
do contrato e concomitante recebimento do valor financiado. Como foi adotado 
o Sistema Francês de amortizações, a empresa quer saber qual é a parcela de juros 
contida em cada prestação para que possa ser feita sua apropriação nas despesas 
do período. Calcular os juros por período. 
Resolução: Taxa de Juros: Como as prestações são quadrimestrais e a taxa anual é a 
efetiva, deve-se, portanto, calcular a taxa equivalente quadrimestral U/ 
Prestação: 
1 + í = ~1,20 
q 
1 + íq = 1,062658 
:. íq = 0,062658 ou íq = 6,27% a.q. 
Uma vez que é o Sistema Francês, teremos por conseguinte prestações 
iguais, ou seja: 
P = R · a-. n , 
conforme o modelo básico de anuidades. 
P = 400.000 
= 6,27% a.q. 
n = 6 prestações quadrimestrais 
R =? 
400.000 = R . a-
6 6.27 
400.000 = R · 1 - (l,0627}-é 
0,0627 
400.000 = R · (4,875885} 
400.000 
R = 4 ,875885 = $ 82.036,39 
Elaborando-se a planilha, conforme modelos já apresentados, tem-se que na co-
luna "Prestação"