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Matemática financeira   6ed. Mathias

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os valores serão todos iguais. 
Juros: os juros, como são calculados sobre o saldo devedor do período anterior 
(Sdk - 1), serão, no período "k": 
Assim, os juros do primeiro quadrimestre serão: 
Jl = 0,0627 (400.000) = $ 25.080,00 
31 4 Matemática Financei ra • Mathias e Gomes 
Amortização: A prestação do período "k" menos os juros do período "k" é igual à 
parcela amortizada neste período. 
Portanto, a amortização do primeiro quadrimestre é: 
Ak = Rk -Jk 
A, = 82.036,39 - 25.080,00 = $ 56.956,39 
Saldo Devedor: O saldo devedor do período "k" é igual ao saldo devedor do perío-
do "k - 1" (período anterior) menos a amortização do período "k" (Ak). 
O saldo devedor do primeiro quadrimestre será: 
Sd, = $ 400.000,00 - 56.956,39 = $ 343.043,61 
Esta sucessão de cálculo é feita iterativamente até o último período, onde teremos 
saldo devedor nulo. 
Quadrimestres Saque (k) 
o 400.000,00 
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
Total -
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Devedor Amortização 
(Sdk) (Ak) 
400 .000,00 -
343.043,61 56.956,39 
282.516,05 60.527,56 
218.193,42 64.322,63 
149.837,76 68.355,66 
77. 196,20 72.641 ,56 
- 77.196,20 
- 400.000,00 
Juros Prestação 
(Jk) (Ak + Jk) 
- -
25.080,00 82.036,39 
21.508,83 82.036,39 
17.713.76 82.036,39 
13.680,73 82.036,39 
9.394,83 82.036,39 
4 .840,19 82.036,39 
92 .218,34 492.218,34 
O valor referente a juros, período por período, conforme o solicitado no enuncia-
do do problema, encontra-se portanto devidamente calculado na planilha. 
Obs.: a determinação do saldo devedor em um período arbitrário pode ser feita por 
dois outros métodos além do apresentado: 
a) Análise Retrospectiva: Consideram-se as prestações pagas e o valor financiado 
ou principal. 
Empréstimos 315 
Se no fim de "k" períodos o mutuário não tivesse pago valor algum, o saldo de-
vedor seria igual ao montante (51) do valor financiado (P), considerando-se a taxa de 
juros contratada (i). Portanto: 
5, = P (1 + i)k 
Contudo, como o mutuário já pagou "k" prestações, o montante (52) destas pres-
tações imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação, considerando-se a 
taxa de juros contratada (i). será dad o por: 
52 = R. ~ ; 
Por conseguinte, o saldo devedor no fim do período k (5d) será: 
5dk = 5 1 -52 
Substituindo, teremos: 
Sdk = P (1 + ,)k - R · 41,; 
onde: 
Sdk = saldo devedor do período "k", ou seja, imediatamente após o pagamento da 
prestação "K" 
P = valor financiado ou principal 
= taxa de juros efetiva 
k = número de prestações pagas 
R = valor da prestação 
~; = fator de montante, para "k" termos, considerando-se a taxa de juros "i", confor-
me modelo básico de anuidades (ver Capítulo 5). 
Por exemplo, supondo-se que no problema apresentado queiramos saber o saldo 
devedor após o pagamento da 4ª prestação, ou seja, Sd4 , teríamos: 
5dk = P ( 1 + i)k - R · 41,; 
onde: p = 400.000 
= 6,27% a.q. 
R = 82.036,39 
K =4 
portanto, 5d4 = 400.000 (1,0627)4 - 82.036,39 ~ 6 •27 
5d = 400.000 (1 275389) - 82.036 39 [(1,0627)
4 
-
1J 
4 
' ' 0,0627 
5d4 = 510.155,60 - 82.036,39 (4,392172) 
5d4 = 510.155,60-360.317,90 
Sd4 = $ 149.837,70 
316 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
A diferença deve-se a arredondamentos nos cálculos. 
b) Análise Prospectiva: Consideram-se as prestações a serem pagas, sendo o sal-
do devedor o valor atual destas prestações, à taxa de juros efetiva. 
Quando calculamos o valor atual das prestações vincendas, eliminamos a parcela 
de juros nelas contida, sendo o valor atual igual à parcela do principal a amortizar, ou 
seja, o saldo devedor. Portanto, se 
Sdk saldo devedor do período "k", ou seja, imediatamente após o pa-
gamento da prestação "k" 
R valor da prestação 
taxa de juros efetiva 
n 
k 
m 
então 
número total de prestações 
número de prestações pagas 
n - k (número de prestações a pagar) 
fator atual, para "m" termos, considerando-se a taxa de juros "i", con-
forme modelo básico de anuidades (ver Capítulo 5). 
Sdk = R . a-, 
m il 
No exemplo apresentado, o saldo devedor do período 4 será: 
R = 82.036,39 
= 6,27% a.q. 
m = 2 (pois n = 6 e k = 4, sendo m = n - k) 
Sdk = R · ª ;;;i; 
Sd4 = 82 .036,36 ~ 6.27 
Sd4 = 82.036,39 [ 1- (1.0527t
2
] 
0,0627 
Sd4 = 82.036,39 (1,826479) 
Sd4 = $ 149.837,74 
A diferença deve-se a arredondamento nos cálculos. 
6. O financiamento de um equipamento no valor de $ 10.000.000,00 é feito pelo 
Sistema Francês (Tabela Price) em 20 trimestres, com 5 trimestres de carência, ou 
seja, a primeira amortização ocorrerá no fim do 5º trimestre. A operação foi con-
tratada à taxa de 20% a.a., sendo os juros capitalizados durante a carência. Qual 
é o saldo devedor no 16º trimestre? 
Empréstimos 317 
Resolução: Taxa de Juros: Sendo os juros Tabela Price, isto implica que a taxa de 
juros efetiva por período, no caso trimestre, seja a taxa proporcional e 
não a e quiva lente. 
Portanto, 20% a.a. ~ 5% a.t. 
P - R -_ P4 restaçao: 
P
4 
montante do principal ao fim do 4º trimestre, pois os juros são capi-
talizados durante a ca rência. A capitalização é feita apenas até o 4º 
período, porque a primeira amortização ocorre no 5º período. Caso fi-
zéssemos a amortização até o 5º período (final da carência) deveríamos 
considerar prestações antecipadas, chegando-se portanto ao mesmo 
resu ltado para o va lor das prestações. 
então 
n = 16 prestações trimestra is 
= 5% a .t . 
p4 = po (1 + ,)4 
P0 = 10.000.000 
p4 = 10.000.000 (1,05'.! 
.·. p4 = $ 12.155.062,50 
R = 12.155.062,50 
ai61s 
R = 12.155.062,50 
10,837770 
R = $ 1.121.546,45 
Construindo a planilha, com refin anciamento dos juros na carência, teremos: 
318 Matemática Finance ira • Mathias e Gomes 
Trimestres Saque (k) 
o 10.000.000,00 
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
9 -
10 -
11 -
12 -
13 -
14 -
15 -
16 -
17 -
18 -
19 -
20 -
Total -
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Devedor Amortização 
(Sdk) (Ak) 
10.000.000,00 -
10.500.000,00 -
11 .025.000,00 -
11 .576.250,00 -
12.1 55.062 ,50 -
11 .641.269,17 513.793,33 
11.101 .786, 18 539.482,99 
10.535.329,04 566.457, 14 
9.940.549,04 594 .780,00 
9.316.030,04 624.519,00 
8.660.285,09 655.744,95 
7.971 .752,89 688.532,20 
7.248.794,08 722.958,81 
6.489.687 ,33 759.106,7 5 
5.692.625,25 797.062,08 
4.855. 710,06 836.915, 19 
3.976.949, 11 878.760,95 
3.054.250, 12 922.698,99 
2.085.416,18 968.833,94 
1.068.140,54 1.017.275,64 
- 1.068.1 40,54 
Juros 
(Jk) 
-
-
-
-
-
607.753,12 
582.063,46 
555.089,31 
526.766,45 
497.027,45 
465.801,50 
433.014,25 
398.587,64 
362.439,70 
324.484,37 
284.63 1,26 
242.785,50 
198.847,46 
152.712,51 
104.270,81 
53.405,91 
- 12.155.062,50 5. 789.680, 70 
Prestação 
(Ak + Jk) 
-
-
-
-
-
1.121 .546,45 
1.121 .546,45 
1.121 .546,45 
1.121 .546,45 
1.121 .546,45 
1.121.546,45 
1.121.546,45 
1.121.546,45 
1.121.546,45 
1.121 .546,45 
1.121.546,45 
1.121.546,45 
1.121 .546,45 
1 .121 .546,45 
1.121 .546,45 
1.121.546,45 
17.944.743,20 
Na planilha temos todos os valores referentes ao financiamento da contratação 
até sua liquidação. O saldo devedor do 162 trimestre é igual a$ 3.976.949, 11, confor-
me pode ser verificado na planilha. 
Empréstimos 319 
Caso desejássemos saber apenas o saldo devedor do 16Q trimestre, poderíamos 
empregar um dos métodos já expostos: 
Análise Prospectiva: 
Sdk = Ram1; 
R = 1.121.546,45 
= 5% a.t. 
m = 4 (pois m = n - k, onde n = 20 e k = 16) 
Sd, 6 = 1.121.546,45 a45 
Sd, 6 = 1.121.546,45 (3,545951) 
Sd16 = $ 3.976.948,67