Matemática financeira 6ed. Mathias

c) $ 1.615,00; $ 4.615,00 
4. a) 21% a.a. 
b) 27% a.a. 
c) 43,2% a.a. 
5. a) $ 1 .000,00 
b) $ 1.200,00 
c) $ 1.500,00 
6. a) 21 meses 
b) 28 meses 
7. 4, 7% ao bimestre 
8. a) e c) 
9. a) $ 40,00; $ 39,45 
b) $ 111,37; $109,85 
c) $ 518,00; $ 510,90 
1 O. a) $ 1 .065,00 vencendo em 13/05 
b) $ 1.710,00 vencendo em 17/ 10 
c) $ 2.880,00 vencendo em 03/09 
d) $ 3.651,66 vencendo em 03/08 
11 . a) $ 9.615,38 
b) $ 11.718.75 
c) $ 13.719.52 
12. 8anos 
13. 25% a.a. 
14. 30% a.a. 
15. $ 28.444,44 
16. $ 1.500,00; 18 meses 
2 
Descontos 
Quando se faz uma aplicação de capital com vencimento predeterminado, obtém-se um comprovante de aplicação que pode ser, por exemplo, uma nota promissó-
ria ou uma letra de câmbio. 
Caso o aplicador precise do dinheiro antes de vencer o prazo de aplicação, deve 
voltar à instituição captadora, transferir a posse do título e levantar o principal e os 
juros já ganhos. 
Uma outra situação diz respeito a uma empresa que faça uma venda a prazo, 
recebendo uma duplicata com vencimento determinado. Se a empresa precisar do 
dinheiro para suas operações, pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata, 
recebendo dinheiro em troca. 
As operações citadas são chamadas de " desconto" e o ato de efetuá-las é chama-
do de "descontar um título". 
1 Desconto racional ou desconto "por dentro" 
Definição: é o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor 
atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. 
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal. 
Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto. 
Sendo: N : valor nominal (ou montante) 
V,: valor atual (ou valor descontado racional) 
n : número de períodos antes do vencimento 
44 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Temos: 
i : taxa de desconto 
D, : valor do desconto 
V = ___!!___ 
' 1 + in 
Tem-se: D = N - V 
r r 
N D = N - --
' 1 + in 
D = N (1 + in) - N 
' 1 + in 
D = Nin 
' 1 + in 
Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para 
um dado valor nominal (N), a uma taxa de juros {i) e para um dado prazo de anteci-
pação (n). 
O valor descontado, de acordo com a definição, é dado por: 
V = N - 0 
r r 
Nin 
V = N- - -
' 1 + in 
V = N (1 + in) - Nin 
' 1 + in 
Observe-se que, em juros simples, o valor descontado é o próprio valor atual. 
Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5,500,00, 3 meses antes de 
seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., 
qual o desconto e quanto vai obter? 
Descontos 45 
Resolução: 
N 
V, 
, .. 
3 Meses 
.., 
Temos: N = 5.500,00 
n = 3 meses 
Calculando a taxa proporcional a 1 mês: 
. 0,40 
I = --
12 12 
Podemos calcular: 
" 
a) O desconto: 
D = Nin 
' 1 + in 
5.500,00 X 0,40 X 3 
D, = ----~12~_ 
1 0,40 3 + -- X 
12 
D = 5.500,00 x O, 1 O 
' 1 + O, 1 O 
D = 550,00 = $ 500,00 
r 1, 1 O 
b) O valor descontado: 
V, = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00 
$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3 me-
ses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render: 
J = Cin 
} = 5.000,00 X 0,40 X 3 = $ 500,00 
12 
46 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Observe-se que $ 500,00 é o valor dos juros que a pessoa deixa de receber (ou de 
pagar) por saldar o compromisso antes do vencimento. Em forma literal: 
D =1 
r 
D,= Cin I 
Esta é outra forma de expressar o desconto racional. Note-se que podemos chegar 
à fórmula utilizando a definição inicial: 
D =N-V 
r r 
Substituindo N e V,: 
D, = C (1 + in) - C 
D,= C + Cin - C 
D, = Cin 
Conclusão: No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor no-
minal é igual ao juro devido sobre o capital (valor descontado) desde 
que ambos sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a taxa de juros da 
operação é também a taxa de desconto. 
2 Desconto comercial ou desconto "por fora" 
Definição: 
Nota: 
é aquele valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor 
nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes de seu ven-
cimento. 
Valem as observações do item anterior sobre o significado de desconto 
e de valor descontado. 
N: valor nominal (ou montante) 
n: número de períodos antes do vencimento 
i: taxa de desconto 
D : desconto comercial 
e 
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial) 
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição: 
Descontos 47 
E o valor descontado comercial: 
V =N-D 
e e 
V =N -Nin 
e 
Este resultado é também chamado valor atual comercial. 
Exemplo: Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de$ 5.500,00 
é descontado à taxa de 40% a .a. , 3 meses antes do vencimento. 
Resolução: procedendo de modo análogo, temos: 
De{ 
{------------------------------- -- ------vc N 
3 Meses ~, 
a.} O de5Canto rnmercial: 
D =Nin 
e 
D = 5.500,00 x 0,40 x 3 = $ 550,00 
e 12 
b) O valor descontado comercial: 
Vc = N (1 - in) 
VI =5.500,00 x ( 1 - 0, 4o x 3) 
e 12 
Vc = 5.500,00 X 0,9 
vc = $ 4 .950,00 
Então a pessoa vai receber$ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que 
os $ 5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional. 
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto 
utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante. Ob-
48 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
serve-se que, se o banco ganha $ 550,00 sobre um valor de$ 4.950,00, em 3 meses, 
a taxa de juros da operação é: 
. 550,00 . 
J' = = O, 1111 ao trimestre 
4.950,00 
ou i' = 0,44 ao ano. 
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de 
desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. 
2. 1 Desconto bancário 
Definição: 
Nota: 
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, 
cobrada sobre o valor nominal. 
Esta taxa de despesas bancárias é referida freqüentemente como sendo 
as despesas administrativas do banco ou instituição que faz a operação. 
O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do des-
conto comercial. 
Sendo: Vb: valor atual (ou valor descontado bancário) 
Db: desconto bancário 
D: desconto comercial 
e 
h: taxa de despesas administrativas 
N: valor nominal (ou montante) 
n: número de períodos antes do vencimento 
i: taxa de desconto 
Tem-se o valor do desconto bancário: 
Db = De+ Nh 
Db = Nin + Nh 
Db = N (in + h) 
E o valor descontado bancário: 
Vb = N - Db 
vb = N - N (in + h) 
vb = N [1 - (in + h)] 
Descontos 49 
Exemplo: Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% 
como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 
3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto 
comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o 
proprietário do título? 
Resolução: Lembrando que: 
h = 0,02 
e procedendo de modo análogo ao exemplo anterior: 
a) Desconto bancário: 
Db = N (in + h) 
Db = 5.500,00 (º;~º x 3 + 0,02 J 
Db = 5.500,00 (O, 1 O+ 0,02) 
Db = 5.500,00 x O, 12 
Db = $ 660,00 
b) Valor descontado bancário: 
vb = N [1 - (ín + h)] 
Vb = 5.500,00 [ 1- ( º;~º X 3 + 0,02 J] 
Vb = 5.500,00 [1 - (O, 1 O+ 0,02)] 
Vb = 5.500,00 X 0,88 
vb = $ 4.840,00 
Compare-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses 
antes com aquele obtido via desconto racional ($ 5.000,00) e via desconto comercial 
($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a taxa de desconto não corresponde à taxa 
implícita na operação: 
ou 
i" 660 --- ~0,1364a.t. 
4.840,00 
i" = 0,5456 ao ano. 
É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial