Números complexos

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Capítulo 1
Números Complexos
1.1 Unidade Imaginária
O fato da equação
x2 + 1 = 0. (1.1)
não ser satisfeita por nenhum número real levou à definição dos números complexos. Para
solucionar (1.1) definimos a unidade imaginária, denotada
1
por i, como sendo o número
tal que
i2 = −1.
Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.
1.2 Números complexos
Um número complexo z é um número da forma
z = x+ iy. (1.2)
Em (1.2) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x
é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = x. Por outro lado, y é a parte imaginária de z, e
escrevemos Im(z) = y.
Exemplo 1.1 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2
Ainda em (1.2), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado,
se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).
1.3 O Plano Complexo
Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano.
Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand
2
. No plano com-
plexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo
imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real). A Figura 1.1
ilustra tal representação.
1
Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j, uma vez que a
letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas.
2
Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em
1806.
1
-
6
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡µ
b
a
z = a+ bi
eixo real
eixo imaginário
a
Figura 1.1: O plano complexo.
Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente3 ao ponto
(a, b) do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número
complexo z = x+ iy é através de um par ordenado (x, y), onde fica implícito que a primeira
componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte
imaginária. Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R2.
Exemplo 1.2 O número complexo z = 3 + 2i pode ser escrito como z = (3, 2).
1.4 Conjugado de um Número Complexo
Dado z = x + iy, seu conjugado, denotado z, é dado por z = x − iy. Ou seja, conjuga-se
um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária. No plano
complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 1.2).
-
6
¡
¡
¡
¡
¡
@
@
@
@
@−b
b
a
a z = a+ bi
a z = a− bi
eixo real
eixo imaginário
Figura 1.2: O conjugado de um número complexo.
3
A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado
um único número complexo. Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma
vez que um dado ponto do plano possui infinitas coordenadas polares.
2
1.5 Operações com Números Complexos
Considerando os números complexos z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, temos:
• Igualdade4: dizemos que z1 = z2 se suas respectivas partes real e imaginária são
iguais, ou seja, se x1 = x2 e y1 = y2.
• Adição: a soma z1+ z2 é obtida pelas somas das respectivas partes real e imaginária,
ou seja
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
• Subtração: de modo análogo à adição, temos
z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2).
• Multiplicação: aplicamos a distributividade e agrupamos as partes real e imaginária
(lembrar que i2 = −1)
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y1
= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
• Divisão: a razão z1z2 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador
5
, isto é
z1
z2
=
z1z2
z2z2
=
(x1 + iy1)(x2 − iy2)
(x2 + iy2)(x2 − iy2)
=
(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 − x1y2)
x22 + y
2
2
=
x1x2 + y1y2
x22 + y
2
2
+ i
x2y1 − x1y2
x22 + y
2
2
(1.3)
Evidentemente não é necessário memorizar a fórmula em (1.3); a razão deve ser obtida
simplesmente multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do de-
nominador e simplificando-se ao máximo o resultado.
Exemplo 1.3 Dados z1 = 3 + 2i e z2 = 4− i, temos
(a) z1 + z2 = (3 + 2i) + (4− i) = 7 + i
(b) z1 − z2 = (3 + 2i)− (4− i) = −1 + 3i
(c) z1z2 = (3 + 2i)(4− i) = 12− 3i+ 8i− 2i2 = 14 + 5i
(d)
z1
z2
= 3+2i4−i =
(3+2i)(4+i)
(4−i)(4+i) =
12+3i+8i+2i2
16−i2 =
10
17 + i
11
17
4
Atenção: para números complexos não se define relações de ordem, ou seja, desigualdades do tipo z1 < z2
ou z1 ≥ z2 não possuem qualquer significado.
5
A prova deste resultado será deixada a cargo do leitor.
3
1.6 Propriedades
Dados z1, z2 e z3, temos
• comutatividade
z1 + z2 = z2 + z1 (1.4)
z1z2 = z2z1 (1.5)
• associatividade
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (1.6)
(z1z2)z3 = z1(z2z3) (1.7)
• distributividade
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (1.8)
Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações
algébricas definidas anteriormente para os números complexos.
1.7 Problemas Propostos
(1) Sejam z1 = 5 + 2i e z2 = 1 + 3i. Reduza cada expressão a seguir à forma a+ ib
(a) z1 + z2
(b) z1 − z2
(c) z1z2
(d) (2− 4i)z1
(e)
z2
z1
(f) z21
(g) (z1 + z2)2
(h)
z1
z2
(i) ( z1z2 )
2
(10) Reduza cada expressão a seguir a forma a+ ib
(a) (1 + i)2 (b) ( 1+i1−i )
2
(c) ( 1+i1−i )
2 − ( 1−i1+i )2
(4) Resolva as equações
(a) z2 + 9 = 0
(b) z2 − 2z + 2 = 0
(c) z2 + 2z + 5 = 0
(d) z2 + z + 9 = 0
(5) Prove que
(a) o conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é (z1 + z2) = z1 + z2.
(b) o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados, isto é (z1 − z2) = z1− z2.
(c) o conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é (z1z2) = z1z2.
(d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é
(z1
z2
) = z1z2 .
(6) Represente os números z1 = 2+ 4i, z2 = 2− 4i, z1 = −2 + 4i e z1 = −2− 4i no plano
complexo.
(7) Calcule
(a)
1
i
(b) i3
(c) i4
(d) i5
(e) i6
(f) i7
(g) i8
(h) i9
(i) i26
(j) i31
(k) i54
(l) i87
4
(13) Seja z = x+ iy. Determine
(a) Re( 1z )
(b) Im( 1z )
(c) Im(z3)
(d) Im( 1z2 )
(e) Re(z2 + z)
(f) Re(−iz2)
(g) Im(4iz2−6z+
8i)
(h) Re( 1z−i )
(9) Prove o resultado em (1.3). Sugestão: faça
z1
z2
= z, onde z = u+ iv e resolva a equação
resultante em termos de u e v.
1.8 Valor Absoluto ou Módulo
Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é
dado por
|z| = r =
√
x2 + y2 (1.9)
Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que
o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 1.3).
É interessante observar que:
• o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado:
|z| = |z|; (1.10)
• o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu
módulo:
zz = |z|2. (1.11)
As provas destes resultados são imediatas e ficam como exercício para o leitor.
1.9 Forma Polar
Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura 1.3), de modo que
x = rcos(θ) e y = rsen(θ),
o número z = x+ iy pode ser reescrito como
z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] (1.12)
chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Em (1.12) o valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z.
Denota-se arg(z) = θ. Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo
real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão
θ = arctg
(
y
x
)
, x 6= 0, y 6= 0. (1.13)
Evidentemente o argumento de um número complexo é definido a menos de múltiplos
inteiros de 2pi, no sentido que, se arg(z) = α, então arg(z) = α+ 2kpi, k ∈ Z.
Se a parte realx ou a parte imaginária y de um número complexo z = x+ iy for nula, a
determinação de sua fase torna-se um pouco mais sutil. Vejamos as possibilidades
(a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy, ou seja é um número
imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário. O valor de
sua fase depende do sinal da parte imaginária y:
5
-
6
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡µ
r
θ
y
x
z = x+ iy = r [cos(θ) + isen(θ)]
eixo real
eixo imaginário
a
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Figura 1.3: A forma polar.
(i) se y > 0, então arg(z) = θ = pi2 (veja o número z1 na Figura 1.4);
(ii) se y < 0, então arg(z) = θ = −pi2 (veja o número z2 na Figura 1.4).
(b) Se y = 0 nosso número complexo é da forma z = x+ i0 = x, ou seja é um número real
puro e o ponto que o representa está sobre o eixo real. O valor de sua fase depende do
sinal da parte real x:
(i) se x > 0, então arg(z) = θ = 0 (veja o número z3 na Figura 1.4);
(ii) se x < 0, então arg(z) = θ = −pi (veja o número z4 na Figura 1.4).
-
6
eixo real
eixo imaginário
bz1 = i, θ = pi2
bz2 = −2i, θ = −pi2
bz3 = 4, θ = 0bz4 = −7, θ = pi
Figura 1.4: Alguns números complexos e seus respectivos argumentos.
Agrupando estes resultados com a equação (1.13), a fase de um número complexo z =
x+ iy é dada por:
θ =

arctg
(
y
x
)
, se x 6= 0 e y 6= 0
pi
2 , se x = 0 e y > 0−pi2 , se x = 0 e y < 0
0 , se y = 0 e x > 0
pi , se y = 0 e x < 0
. (1.14)
Exemplo 1.4 Dado z = 1 + i, temos |z| = √2 e arg(z) = arctg 11 = pi4 + 2kpi, onde k ∈ Z.
Assim
z = 1 + i =
√
2
[
cos
(
pi
4
± 2kpi
)
+ isen
(
pi
4
+ 2kpi
)]
, k ∈ Z,
ou simplesmente
z = 1 + i =
√
2
[
cos
(
pi
4
)
+ isen
(
pi
4
)]
.
6
Multiplicação e divisão
A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos.
Consideremos os números
z1 = x1 + iy1 = r1
[
cos(θ1) + isen(θ1)
]
e z2 = x2 + iy2 = r2
[
cos(θ2) + isen(θ2)
]
.
• O produto z1z2 fica
z1z2 = r1
�
cos(θ1) + isen(θ1)
�
r2
�
cos(θ2) + isen(θ2)
�
= r1r2
�
cos(θ1) + isen(θ1)
� �
cos(θ2) + isen(θ2)
�
= r1r2
�
cos(θ1)cos(θ2) + icos(θ1)sen(θ2) + isen(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2)
�
= r1r2
�
�
cos(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2)
�
+ i
�
cos(θ1)sen(θ2) + sen(θ1)cos(θ2)
�
�
,
e finalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ1 + θ2) = cos(θ1)cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2)
sen(θ1 + θ2) = cos(θ1)sen(θ2) + sen(θ1)cos(θ2),
obtemos
z1z2 = r1r2
[
cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)
]
(1.15)
A partir de (1.15), observamos que o módulo do produto é o produto dos módulos, ou
seja,
|z1z2| = r1r2 = |z1||z2|,
e que o argumento do produto é a soma dos argumentos, ou seja,
arg(z1z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2).
• A razão z1z2 fica
z1z2
z2z2
=
r1r2
r22
�
cos(θ1) + isen(θ1)
� �
cos(θ2)− isen(θ2)
�
=
r1
r2
�
cos(θ1)cos(θ2)− icos(θ1)sen(θ2) + isen(θ1)cos(θ2) + sen(θ1)sen(θ2)
�
= r1r2
�
�
cos(θ1)cos(θ2) + sen(θ1)sen(θ2)
�
+ i
�
sen(θ1)cos(θ2)− cos(θ1)sen(θ2)
�
�
,
e finalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ1 − θ2) = cos(θ1)cos(θ2) + sen(θ1)sen(θ2)
sen(θ1 − θ2) = sen(θ1)cos(θ2)− cos(θ1)sen(θ2),
obtemos
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + isen(θ1 − θ2) (1.16)
A partir de (1.16), observamos que o módulo da razão é a razão dos módulos, ou seja,
|z1
z2
| = |z1||z2| ,
e que o argumento da razão é a diferença dos argumentos, ou seja,
arg(
z1
z2
) = arg(z1)− arg(z2).
7
Potências
Utilizando (1.15) e indução matemática, observamos que
zn = rn[cos(nθ) + isen(nθ)], (1.17)
expressão válida para todo n ∈ Z. A partir de (1.17) podemos escrever{
r[cos(θ) + isen(θ)]
}n = rn[cos(nθ) + isen(nθ)]
da qual, fazendo r = 1, obtemos a fórmula de de Moivre6
[cos(θ) + isen(θ)]n = cos(nθ) + isen(nθ) (1.18)
1.10 Problemas Propostos
(1) Prove as equações 1.10 e 1.11.
(2) Escreva os seguintes números complexos na forma polar
(a) 2− 2i (b) i (c) 3 + 4i (d) 5 + 5i (e) −5+5i (f) −5−5i
(7) Dados os números z1 = 1 + i, z2 = 1 − i e z3 = −2i, efetue as operações a seguir e
represente os resultados no plano complexo.
(a)
z1
z2z3 (b)
z81
z42
(c)
z3
z1+z3
(4) Mostre que arg(z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2pi).
(5) Mostre que arg(1/z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2pi).
(6) Encontre o valor absoluto dos seguintes números
(a) 1 +
√
3i
(b) −9i
(c) 2 + i
√
5
(d) 2− i√5
(e) 2 + 3i
(f) (4 + i)3
(7) Encontre o valor absoluto e o argumento dos seguintes números
(a) (−1 + i)(1−√3i)
(b)
1+i
2+
√
3i
(c)
(3+3i)(−2i)
2−√3i
(d)
(4−3i)( 12+i)4
(1− 3i4 )2(−3+4i)
.
(e) ( 1+i1−i )
8
.
(f) (3 + 4i)3(−1− i)6.
(8) Represente no plano complexo a região representada pelas seguintes equações e ine-
quações
(a) |z| = 1.
(b) |z − 1| = 1.
(c) Re(z2) = −1.
(d) Im(2z) = −1.
(e)
pi
4 ≤ arg(z) ≤ pi4 .
(9) Utilize a fórmula de de Moivre para estabelecer as seguintes identidades
(a) cos(3θ) = cos3(θ)− 3cos(θ)sen2(θ).
(b) sen(3θ) = 3cos2(θ)sen(θ)− sen3(θ).
(10) Encontre identidades similares às do problema anterior para cos(2θ) e cos(4θ).
6
Abraham de Moivre (1667-1754) - Matemático francês. Introduziu quantidades imaginárias na
trigonometria.
8
Capítulo 2
Funções complexas
2.1 Problemas Propostos
(1) Dada f(z) = z2 − 3z determine
(a) f(2− i) (b) f(−i) (c) f(−4 + 2i)
(2) Dada f(z) = z−1z+i determine
(a) f(2− i) (b) f(−i) (c) f(−4 + 2i)
(3) Dada f(z) = z
2−1
z2+1 determine
(a) f(2− i) (b) f(−i) (c) f(−4 + 2i)
(4) Determine as partes real e imaginária das funções a seguir
(a) f(z) = z2 − 3z + 4− i
(b) f(z) = 3z2 − 2z
(c) f(z) = z3 − z2
(d) f(z) = 1z−1
(e) f(z) = zz+1
(f) f(z) = z−1z+1
(5) Suponha que z varie em uma região R do plano complexo. Determine a região S cor-
respondente às imagens de w = f(z). Esboce as duas regiões sobre o plano complexo.
(a) f(z) = iz, onde R =
{
z ∈ C | Re[z] ≥ 0}
(b) f(z) = 3z − 1, onde R = {z ∈ C | − 1 < Re[z] < 1}
(c) f(z) = z2, onde R =
{
z ∈ C | 0 ≤ arg[z] ≤ pi/4, |z| ≤ 1}
(d) f(z) = z2, onde R =
{
z ∈ C | 0 ≤ arg[z] ≤ pi/2, 1 ≤ |z| ≤ 2}
(6) Determine todos os valores das raízes a seguir e represente-as no plano complexo.
(a)
√
i
(b)
3
√−1
(c)
√−i
(d)
√−25
(e)
3
√
i
(f)
4
√
1
(g)
3
√−i
(h)
8
√
1
(i)
7
√−128
(j)
√
1 + i
(k)
3
√
1 + i
(l)
√
1−√3 i
(7) Determine todos as soluções das equações a seguir e represente-as no plano complexo.
9
(a) z4 + 81 = 0
(b) z3 − 64 = 0
(c) z2 − 6z + 13 = 0
(d) z4 + 5z2 − 36 = 0
(e) z6 − 7z3 − 8 = 0
(f) z4−(1−4i)z2+4i = 0
2.2 A derivada de uma função complexa
Dizemos que f é diferenciável (derivável) em z se existir o limite
f ′(z) = lim
∆z→0
f(z +∆z)− f(z)
∆z
. (2.1)
Exemplo 2.1 Usando a definição (2.1) a derivada da função complexa f(z) = z2 fica
f ′(z) = lim
∆z→0
(z +∆z)2 − z2
∆z
= lim
∆z→0
z2 + 2z∆z + (∆z)2 − z2
∆z
= lim
∆z→0
2z∆z + (∆z)2
∆z
= 2z
= lim
∆z→0
∆Z(2z +∆z)
∆z
= 2z.
É importante observar que∆z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura 2.1); logo
a existência da derivada em (2.1) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente
do caminho tomado.
-
6
rr
x x+∆x
y
y +∆y
z = x+ iy
z +∆z = (x+∆x) + i(y +∆y)
Re
Im
.
......
.....
......
..
...................
.
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Figura 2.1: ∆z → 0 por vários caminhos diferentes.
Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada
da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da
cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas.
Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis. O
Exemplo 2.2 ilustra uma função não derivável
Exemplo 2.2 Usando a definição (2.1) a derivada da função complexa f(z) = z = x − iy
fica
f ′(z) = lim
∆x,∆y→0
(x+∆x)− i(y +∆y)− (x− iy)
∆x+ i∆y
= lim
∆x,∆y→0
∆x− i∆y
∆x+ i∆y
(2.2)
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada da equação (2.2) fica
f ′(z) = lim
∆x→0
∆x
∆x
= 1.
10
Pelo caminho II da Figura 2.2 inicialmente ∆x→ 0 e a derivada da equação (2.2) fica
f ′(z) = lim
∆y→0
−i∆y
i∆y
= −1.
Logo, como o limite por caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não
existe.
-
6
r
rff
? ?ff
x x+∆x
y
y +∆y
z = x+ iy
z +∆z = (x+∆x)+ i(y +∆y)II
I
Re
Im
Figura 2.2: ∆z → 0 por dois caminhos poligonais.
2.3 Equações de Cauchy-Riemann
Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade.
Definição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D
se ela é definida e diferenciável em cada ponto deste domínio.
Estabeleceremos agora um critério simples para verificar se uma dada função complexa
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica, isto é, se possui derivada. Inicialmente supomos que
nossa função f é analítica em um certo domínio D, logo sua derivada
f ′(z) = lim
∆z→0
f(z +∆z)− f(z)
∆z
existe para todos os pontos em D. Reescrevendo esta derivada usando as partes real e
imaginária de f obtemos
f ′(z) = lim
∆x,∆y→0
u(x+∆x, y +∆y) + iv(x+∆x, y +∆y)− u(x, y)− iv(x, v)
∆x+ i∆y
. (2.3)
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada dada pela equação (2.3) fica
f ′(z) = lim
∆x→0
u(x+∆x, y) + iv(x+∆x, y)− u(x, y)− iv(x, v)
∆x
= lim
∆x→0
u(x+∆x, y)− u(x, y)
∆x
+ i
v(x+∆x, y)− v(x, v)
∆x
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
. (2.4a)
11
Pelo caminho II da Figura 2.2 inicialmente ∆x → 0 e a derivada dada pela equação (2.3)
fica
f ′(z) = lim
∆y→0
u(x, y +∆y) + iv(x, y +∆y)− u(x, y)− iv(x, v)
i∆y
= lim
∆y→0
u(x, y +∆y)− u(x, y)
i∆y
+ i
v(x, y +∆y)− v(x, v)
i∆y
=
∂v
∂y
− i∂u
∂y
. (2.4b)
Pela hipótese de f ser analítica f ′ existe e é única, independente do caminho tomado, logo
os resultados dados pelas equações (2.4a) e (2.4b) são iguais. Igualando as partes real e
imaginária de (2.4a) e (2.4b) obtemos
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂v
∂x
= −∂u
∂y
ou, usando uma notação mais econômica,
ux = vy e vx = −uy (2.5)
chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann. Observe que o raciocínio que
acabamos de desenvolver nos mostra que as partes real e imaginária de uma função complexa
f(z) = u(x, y)+iv(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos onde
f é analítica.
A grande importância das equações de Cauchy-Riemann é no sentido recíproco: elas nos
fornecem um critério simples sobre as partes real e imaginária de uma função complexa para
verificar sua analiticidade. Este fato é formalizado no Teorema 2.
Teorema 2 Para todos os pontos onde as funções reais u = u(x, y) e v = v(x, y) possuem
derivadas parciais de primeira ordem contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
a função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica.
Exemplo 2.3 Verificar a analiticidade da função complexa f(z) = z2.
Decompondo f em suas partes real e imaginária obtemos f(z) = z2 = x2 − y2 + 2ixy,
logo u(x, y) = x2 − y2 e v(x, y) = 2xy. Assim temos:
ux = 2x e vy = 2x,
vx = 2y e uy = −2y.
Uma vez que as derivadas parcias ux, vy, vx e uy são contínuas para todo ponto (x, y) ∈ R2
e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ux = vy e vx = −uy, a função
f(z) = z2 é analítica para todo z ∈ C.
Exemplo 2.4 Verificar a analiticidade da função complexa f(z) = z = x− iy.
Como u(x, y) = x e v(x, y) = −y, temos:
ux = 1 e vy = −1.
Uma vez que ux 6= vy todo ponto (x, y) ∈ R2 a função f(z) = z não é analítica para todo
z ∈ C.
2.3.1 Equações de Cauchy-Riemann - Forma Polar
Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica, onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ). Usando a regra da
cadeia obtemos
∂u
∂θ
=
∂u
∂x
∂x
∂θ
+
∂u
∂y
∂y
∂θ
= −∂u
∂x
r sen(θ) +
∂u
∂y
r cos(θ) (2.6a)
12
∂v
∂θ
=
∂v
∂x
∂x
∂θ
+
∂v
∂y
∂y
∂θ
= −∂v
∂x
r sen(θ) +
∂v
∂y
r cos(θ) (2.6b)
∂u
∂r
=
∂u
∂x
∂x
∂r
+
∂u
∂y
∂y
∂r
=
∂u
∂x
cos(θ) +
∂u
∂y
sen(θ) (2.6c)
∂v
∂r
=
∂v
∂x
∂x
∂r
+
∂v
∂y
∂y
∂r
=
∂v
∂x
cos(θ) +
∂v
∂y
sen(θ) (2.6d)
Fazendo (2.6a) + r(2.6d) obtemos
∂u
∂θ
+ r
∂v
∂r
= −∂u
∂x
r sen(θ) +
∂u
∂y
r cos(θ) +
∂v
∂x
r cos(θ) +
∂v
∂y
r sen(θ)
= r sen(θ)
[
− ∂u
∂x
+
∂v
∂y
]
+ r cos(θ)
[
∂u
∂y
+
∂v
∂x
]
= 0,
pois ux = vy e vx = −uy. Logo
∂v
∂r
= −1
r
∂u
∂θ
∴ vr = −1
r
uθ. (2.6e)
Fazendo (2.6b) - r(2.6c) obtemos
∂v
∂θ
− r ∂u
∂r
= −∂v
∂x
r sen(θ) +
∂v
∂y
r cos(θ)− ∂u
∂x
r cos(θ)− ∂u
∂y
r sen(θ)
= r sen(θ)
[
− ∂v
∂x
− ∂u
∂y
]
+ r cos(θ)
[
∂v
∂y
− ∂u
∂x
]
= 0,
pois ux = vy e vx = −uy. Logo
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
∴ ur =
1
r
vθ. (2.6f)
As equações (2.6e) e (2.6f) são as Equações de Cauchy-Riemann na forma polar.
Exemplo 2.5 Verificar a analiticidade da função complexa f(z) = z6.
Reescrevendo f na forma polar obtemos f(z) = r6
[
cos(6θ) + isen(6θ)
]
, onde r = |z| e
θ = Arg(z). Temos u(r, θ) = r6 cos(6θ) e v(r, θ) = r6 sen(6θ), donde:
ur = 6r5 cos(6θ) e vθ = 6r6cos(6θ),
uθ = −6r6 sen(6θ) e vr = 6r5 sen(6θ).
Uma vez que as derivadas parcias ur, vθ, uθ e vr são contínuas para todo ponto (r, θ) ∈ R2
e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ur = 1r vθ e vr = − 1r uθ, a função
f(z) = z6 é analítica para todo z ∈ C.
2.4 Funções harmônicas
Definição 3 (Laplaciano) Seja u = u(x, y) uma função real com derivadas parciais de
segunda ordem contínuas. Define-se seu laplaciano, denotado ∇2u, como
∇2u = ∂
2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= uxx + uyy . (2.7)
Teorema 4 As partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
analítica em um domínio D têm laplaciano nulo em D, isto é, se f é analítica, então
∇2u = uxx + uyy = 0 e ∇2v = vxx + vyy = 0 .
13
Prova: pelas equações de Cauchy-Riemann temos
ux = vy ∴ uxx = vyx ,
uy = −vx ∴ uyy = −vxy ,
logo
∇2u = uxx + uyy = vyx − vxy = 0
pela igualdade das derivadas parciais mistas. A prova para v é análoga.
Definição 5 Uma função u = u(x, y) é dita harmônica se ∇2u = 0.
Observe que pelo Teorema 4 as partes real e imaginária de uma função complexa f(z) =
u(x, y) + iv(x, y) analítica são funções harmônicas. Neste caso dizemos que v = v(x, y) é a
função harmônica conjugada
1
de u = u(x, y).
Dada uma função harmônica podemos encontrar sua conjugada utilizando as equações
de Cauchy-Riemann. o Exemplo 2.6 ilustra este processo.
Exemplo 2.6 Consideremos a função u(x, y) = x2 − y2 + 1.
(a) Verifique se u é harmônica.
ux = 2x ∴ uxx = 2 ; uy = −2y ∴ uyy = −2
logo
∇2u = uxx + uyy = 2− 2 = 0.
Assim, como ∇2u = 0, temos que u é harmônica.
(b) Determine sua harmônica conjugada v = v(x, y).
Como ux = vy temos que vy = 2x, donde
v(x, y) =
∫
2x ∂y = 2xy +H(x).
Por outro lado vx = −uy, donde
2y +H ′(x) = −(−2y) ∴ H ′(x) = 0 ∴ H(x) = c.
Assim v(x, y) = 2xy + c.
2.5 Problemas Propostos - Derivadas de funções com-
plexas
(1) Calcule a derivada da função
(a) f(z) = z3+8z2−4z+2
(b) f(z) = z4 − z2 + 3− i
(c) f(z) = (z2 − 3z)3
(d) f(z) =
√
z2 − z + 3i
(e) f(z) = 11−z
(f) f(z) = z
2−1
z2+1
(2) Determine a derivada da função no ponto zo
1
O termo conjugada empregado aqui não tem nhenhuma relação com o conjugado de um número complexo
14
(a) f(z) = 3iz2 + 8z + 4i, zo = 1 + 2i
(b) f(z) = (z2 − i)2, zo = 3− 2i
(c) f(z) = 11−z , zo = 1
(d) f(z) = z−1z+1 , zo = 2− 4i
(3) Para cada função a seguir calcule a derivada usando (2.4a) e também usando (2.4b).
Verifique se os resultados coincidem.
(a) f(z) = 3z + 2i
(b) f(z) = z + 1z
(c) f(z) = z3 − 32 + z
(d) f(z) = 11−z
(e) f(z) = z+1z−1
(f) f(z) = (z2 + 3z)2
(4) Verifique quais funções são analíticas
(a) f(z) = z2 + 2Re[z]
(b) f(z) = 11−z , z 6= 1
(c) f(z) = z + z
(d) f(z) = |z|2
(e) f(z) = Im[z] + z2
(f) f(z) = ex
[
cos(y) + isen(y)
]
(5) Determine uma função analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) para a qual
(a) u(x, y) = x
(b) v(x, y) = y
(c) v(x, y) = xy
(d) u(x, y) = xy
(e) u(x, y) = 2x3 − 6xy2
(f) u(x, y) = excos(y)
(6) Mostre que cada função a seguiré harmônica e determine a função analítica f(z) =
u(x, y) + iv(x, y) correspondente
(a) v(x, y) = 2xy + 2y
(b) u(x, y) = ln(x2 + y2)
(c) v(x, y) = cos(x)senh(y)
(7) Mostre que as funções são analíticas (sugestão: use a forma polar das Equações de
Cauchy-Riemann)
(a) f(z) = z4 (b) f(z) = 1z4 , z 6= 0 (c) f(z) = ln(r) + iθ
(8) Para quais valores da constante k a função u(x, y) = sen(x)cos(ky) é harmônica? Para
cada um destes valores determine uma função complexa analítica tal que
f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
15
Capítulo 3
Função exponencial complexa
3.1 Problemas Propostos
(1) Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função exponencial complexa
f(z) = ez é analítica para todo z ∈ C.
(2) Calcule ez para
(a) z = ipi4
(b) z = −ipi4
(c) z = i 3pi4
(d) z = ipi3
(e) z = −ipi3
(f) z = 2+ipi4
(g) z = 1 + i
(h) z = 2 + i5pi
(3) Determine as partes real e imaginária da função
(a) f(z) = e3z (b) f(z) = ez
2
(c) f(z) = ez
3
(d) f(z) = ee
z
(4) Mostre que ez e ez são conjugadas.
(5) Escreva cada número complexo a seguir na forma exponencial
z = r
[
cos(θ) + isen(θ)
]
= reiθ.
(a) z = i
(b) z = −i
(c) z =
√
i
(d) z =
√−i
(e) z = 1 + i
(f) z = 1− i
(g) z = 2 + i
√
3
(h) z = −2 + i√2
(6) Mostre que f(z) = f(x+ iy) = ex
[
cos(ky)+ isen(ky)
]
é analítica se somente se k = 1.
(7) Verifique se a função é harmônica. Caso seja determine sua conjugada.
(a) u(x, y) = 2excos(y)
(b) u(x, y) = e
x2− y2
2 cos(xy)
(c) u(x, y) = exycos
(
x2− y2
2
)
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