Cálculo Aplicado -O conceito de integral e suas propriedades básicas

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Suma´rio
1 O conceito de integral e suas propriedades ba´sicas 2
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integral definida de f: [a, b] −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Norma da partic¸a˜o P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Propriedades das integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
Capı´tulo 1
O conceito de integral e suas
propriedades ba´sicas
1.1 Introduc¸a˜o
Para ilustrar a teoria de integral definida que apresentaremos, vamos comec¸ar comumexemplo.
Exemplo 1 Vamos calcular a a´rea da regia˜o compreendida pelo eixo 0X, pela reta definida pela equac¸a˜o
x = 1 e pelo trecho da para´bola determinada pela equac¸a˜o y = x2.
Aqui esta´ a estrate´gia: vamos subdividir o intervalo [0, 1] em subintervalos, para nossa con-
venieˆncia, todos de comprimentos iguais, e considerar os retaˆngulos com bases nesses inter-
valos. Cada um desses retaˆngulos tera´ altura igual ao ma´ximo valor da func¸a˜o restrita ao
subintervalo base. Veja a figura para o caso desta subdivisa˜o ser de cinco subintervalos, com os
correspondentes retaˆngulos.
2
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 3
A unia˜o desses retaˆngulos e´ uma regia˜o a` qual podemos atribuir a´rea: a soma das a´reas dos
retaˆngulos. Agora, tomando diviso˜es commais emais subintervalos, obteremos uma sequeˆncia
de nu´meros reais. Se essa sequeˆncia convergir, teremos um excelente candidato a` a´rea da regia˜o
original. Note que isso e´ muito razoa´vel, uma vez que a cada nova subdivisa˜o do intervalo [0,
1], a diferenc¸a entre a regia˜o original e a unia˜o de retaˆngulos e´ menor.
Vamos aos nu´meros. A divisa˜o do intervalo [0, 1] sera´ em n subintervalos, delimitados pelos
pontos
0 <
1
n
<
2
n
< ... <
i
n
< ... <
n − 1
n
< 1
Assim, o subintervalo
[ i − 1
n
,
i
n
]
sera´ a base do i-e´simo retaˆngulo. A a´rea deste retaˆngulo e´
A(i) =
i
n
×
( i
n
)2
,
o produto do comprimento do intervalo pela sua altura, o valor da func¸a˜o f (x) = x2 calculada
no extremo superior do intervalo, o ponto
i
n
.
Portanto, a a´rea da unia˜o dos n retaˆngulos e´
S(n) =
n∑
i=1
A(i) =
n∑
i=1
i2
n3
=
1
n3
n∑
i=1
i2 =
n(n + 1)(2x + 1)
6n3
Tomando o limite, temos lim S(n) =
1
3
, um excelente candidato a` a´rea da regia˜o original.
Vamos agora ao caso geral.
1.2 Integral definida de f: [a, b] −→ R
Partic¸o˜es do intervalo [a, b]
Seja [a, b] um intervalo fechado e limitado da reta. Chamamos uma partic¸a˜o P de [a, b] um
conjunto finito de pontos {x0, x1, ..., xn−1, xn}, ordenado da seguinte forma:
a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b
Note que uma tal partic¸a˜o divide o intervalo [a; b] em n subintervalos [xi−1, xi]. Cada um destes
subintervalos tem comprimento ∆xi = xi − xi−1 e a soma destes comprimentos e´ igual a b − a, o
comprimento do intervalo original:
n∑
i=1
∆xi = (x1 − x0) + (x2 − x1) + ... + (xn − xn−1) = xn − x0 = b − a
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 4
Vejamos um exemplo gra´fico para n = 5:
Note que as partic¸o˜es usadas no exemplo introduto´rio eram homogeˆneas. Isto e´, todos os
subintervalos de mesmo tamanho, um-ene´simo do comprimento do intervalo original.
1.2.1 Norma da partic¸a˜o P
Chamamos norma da partic¸a˜o P o comprimento do seu subintervalo mais longo:
‖ P ‖= {max ∆x1; i = 1, 2, 3, ..., n}.
1.3 Somas de Riemann
Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o definida no intervalo fechado e limitado [a, b] e seja P uma
partic¸a˜o de [a, b]. Para cada i = 1, 2, ..., n, escolhemos um ponto ci ∈ [xi−1, xi]. Definimos a Soma
de Riemann de f , relativa a` partic¸a˜o P e a` escolha dos pontos ci por
S( f ,P) =
n∑
i=1
f (ci)∆xi
Observe que na notac¸a˜o S( f ,P) indicamos a dependeˆncia deste nu´mero em relac¸a˜o a` partic¸a˜o
P, mas ele tambe´m depende da escolha dos pontos ci.
No exemplo introduto´rio, S(n) corresponde a` Soma de Riemann da func¸a˜o f (x) = x2, definida
no intervalo [0, 1], com a partic¸a˜o homogeˆnea de n subintervalos e as escolhas ci =
i
n
:
S(n) =
n∑
i=1
( i
n
)2 i
n
=
n(n + 1)(2n + 1)
6n3
Note que, se f e´ uma func¸a˜o positiva, S( f ,P) e´ a a´reada regia˜o formadapelaunia˜o dos retaˆngulos
de base [xi−1, xi] e de altura f (ci), como mostra a figura a seguir.
No entanto, em geral, as Somas de Riemann de uma func¸a˜o qualquer, que assume valores
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 5
positivos e negativos, corresponde auma somadenu´meros positivos ounegativos, dependendo
dos valores f(ci). Assim, os retaˆngulos que se encontrarem abaixo do eixo Ox, contribuira˜o com
parcelas negativas. Veja a figura a seguir.
Neste exemplo gra´fico, a Soma de Riemann e´
S( f ,P) =
n∑
i=1
f (ci)∆xi
S( f ,P) =
5∑
i=1
f (ci)∆xi
S( f ,P) =
5∑
i=1
f (ci)∆xi = A1 − A2 − A3 + A4 + A5
onde Ai representa a a´rea do retaˆngulo de base [xi−1, xi] e altura | f (ci)|.
1.4 A integral definida
Definic¸a˜o 1 Para a func¸a˜o f : [a, b] −→ R contı´nua e positiva, definimos∫ b
a
f (x) dx = I.
Definic¸a˜o 2 Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o contı´nua. E´ conveniente convencionar as seguintes
afirmac¸o˜es:
(a) Seja c um ponto de [a, b]. Enta˜o
∫ c
c
f (x) dx = 0
(b)
∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx
Exemplo 2 Calcule
∫ 1
0
x dx, a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo de base [0, 1] determinado pelo eixo 0X e
pelas retas y = x e x = 1 usando partic¸o˜es homogeˆneas.
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 6
Soluc¸a˜o:
(i) Considere a figura a seguir que ilustra a situac¸a˜o descrita:
(ii) Vamos particionar o intervalo [0, 1] em n subintervalos de mesma amplitude. Logo, cada intervalo
tera´ amplitude
1
n
;
(iii) Consideremos agora a altura de cada retaˆngulo como o valor ma´ximo da func¸a˜o no subintervalo;
(iv) Segue que a a´rea do retaˆngulo (Ai) de base
[ i − 1
n
,
i
n
]
e´
Ai =
1
n
.
1
n
=
1
n2
(v) A a´rea da unia˜o dos retaˆngulos e´:
S(n) =
n∑
i=1
i
n2
S(n) =
n∑
i=1
1
n2
. i
S(n) =
1
n2
.
n∑
i=1
i
S(n) =
1
n2
.
n(n + 1)
2
S(n) =
n + 1
2n
Isto e´, quanto mais retaˆngulos utilizarmos, mais pro´ximo S(n) estara´ da a´rea pedida.
(vi) A ideia de ”mais pro´ximo”esta´ relacionada com o limite de uma func¸a˜o, assim:
lim
n→∞S(n)
lim
n→∞
n + 1
2n
1
2
(vii) Portanto, a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo de base [0, 1] determinado pelo eixo 0X e pelas retas y = x
e x = 1 e´
1
2
.
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 7
1.5 Propriedades das integrais definidas
Iniciamos com algumas propriedades que completam a definic¸a˜o e enfatizam a interpretac¸a˜o
geome´trica da integral definida.
Proposic¸a˜o 1 Seja f : I −→ R uma func¸a˜o contı´nua definida em intervalo I. Se a, b e c ∈ I, enta˜o∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx
Proposic¸a˜o 2 Sejam f , g : [a, b] −→ R func¸o˜es contı´nuas, k ∈ R e uma constante. Enta˜o
(a)
∫ b
a
( f + g)(x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx
(b)
∫ b
a
k f (x) dx = k .
∫ b
a
f (x) dx
1.6 Exercı´cios
1) Calcule a a´rea da regia˜o compreendida pelo eixo 0X, pela reta definida pela equac¸a˜o
x = 1 e pelo trecho de para´bola determinada pela equac¸a˜o y = x2, como no exemplo
introduto´rio, usando os pontos extremos inferioresdo subintervalo.
Soluc¸a˜o:
(i) A a´rea de cada retaˆngulo, utilizando o ponto extremo inferior do intervalo
[ i − 1
n
,
i
n
]
,
sera´
Ai =
1
n
.
( i − 1
n
)2
Ai =
1
n
.
i2 − 2i + 1
n2
Ai =
i2 − 2i + 1
n3
(ii) A a´rea de todos os retaˆngulos reunidos sera´:
S(n) =
n∑
i=1
i2 − 2i + 1
n3
S(n) =
1
n3
 n∑
i=1
i2 − 2
n∑
i=1
i +
n∑
i=1
1

S(n) =
1
n3
(
n(n + 1)(2n + 1)
6
− 2 . n(n + 1)
2
+ n
)
S(n) =
1
n3
(
2n3 + 3n2 + n
6
− n2 − n + n
)
S(n) =
1
n3
(
2n3 + 3n2 + n
6
− n2
)
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 8
S(n) =
1
n3
(
2n3 + 3n2 + n − 6n2
6
)
S(n) =
1
n3
(
2n3 − 3n2 + n
6
)
S(n) =
1
n3
(
2n3
6
− 3n
2
6
+
n
6
)
S(n) =
2n3
6n3
− 3n
2
6n3
+
n
6n3
S(n) =
2
6
− 3
6n
+
1
6n2
S(n) =
1
3
− 1
2n
+
1
6n2
(iii) Tomando o limite, temos:
lim
n→∞S(n)
lim
n→∞
1
3
− 1
2n
+
1
6n2
lim
n→∞
1
3
− 1
2n
+
1
6n2
=
1
3
(iv) Portanto, a a´rea da regia˜o compreendida pelo eixo 0X, pela reta definida pela equac¸a˜o
x = 1 e pelo trecho de para´bola determinada pela equac¸a˜o y = x2 e´
1
3
.
2) Calcule
∫ b
a
x dx usando partic¸o˜es homogeˆneas.
Soluc¸a˜o:
(i) Se P e´ uma partic¸a˜o homogeˆnea de [a, b], enta˜o ||P|| = b − a
n
(lembre da definic¸a˜o de
partic¸a˜o homogeˆnea1);
(ii) Sendo Ai a a´rea do retaˆngulo com base em
[
a +
(b − a)(i − 1)
n
, a +
(b − a)i
n
]
e altura no
extremo superior do intervalo, temos:
Ai =
(
b − a
n
)
.
(
a + (b − a)i
n
)
;
(iii) Logo, a a´rea da da unia˜o dos n retaˆngulos e´
S(n) =
n∑
i=1
(
b − a
n
.
[
a +
(b − a)i
n
])
S(n) =
b − a
n
.
 n∑
i=1
a +
b − a
n
n∑
i=1
i

S(n) =
b − a
n
.
(
a . n +
b − a
n
.
n(n + 1)
2
)
S(n) = (b − a)a + b − a
n
.
(b − a)(n + 1)
2
1Subintervalos de mesmo tamanho, um-ene´simo do comprimento do intervalo original.
CAPI´TULO 1. O CONCEITO DE INTEGRAL E SUAS PROPRIEDADES BA´SICAS 9
(iv) Segue que: ∫ b
a
x dx = lim
n→∞
[
ba − a2 + (b − a)
2
2
.
(n + 1)
n
]
∫ b
a
x dx = ba − a2 + (b − a)
2
2
lim
n→∞
(n + 1)
n∫ b
a
x dx = ba − a2 + (b − a)
2
2
. 1∫ b
a
x dx = ba − a2 + (b − a)
2
2
(v) Por fim, temos que: ∫ b
a
x dx =
b2 − a2
2