Cálculo Aplicado O Teorema Fundamental do Cálculo - ALUNO

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Suma´rio
1 O Teorema Fundamental do Ca´lculo 2
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 O Teorema do Valor Intermedia´rio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Primeira Parte do Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Segunda Parte do Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 O Teorema Fundamental do Ca´lculo e a Func¸a˜o Logaritmo . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Interpretac¸a˜o Geome´trica de `n x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Propriedades da Func¸a˜o Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 A Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Exercı´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
Capı´tulo 1
O Teorema Fundamental do Ca´lculo
1.1 Introduc¸a˜o
A unidade anterior apresentou a teoria das Somas de Riemann, que permite estabelecer, para
uma func¸a˜o contı´nua f : [a, b] −→ R, o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
f (ci)∆xi,
a integral definida de f no intervalo [a, b].
Se f e´ uma func¸a˜o positiva, este nu´mero e´ usado para definir a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo
0X, pelo gra´fico da func¸a˜o f e pelas retas verticais x = a e x = b. Observou-se tambe´m va´rias
propriedades deste limite.
O objetivo desta unidade e´ apresentar o Teorema Fundamental do Ca´lculo que, no seu aspecto
mais pra´tico, nos fornecera´ uma maneira simples de fazer isso.
Definic¸a˜o 1 Seja f : I ⊂ R −→ R uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto I. Dizemos que
F : I ⊂ R −→ R e´ uma primitiva de f se, para todo x ∈ I,
F′(x) = f (x)
1.2 O Teorema do Valor Intermedia´rio para Integrais
Iniciaremos com um teorema que e´ uma aplicac¸a˜o do Teorema do Valor Intermedia´rio, para
func¸o˜es contı´nuas, e sera´ u´til nas argumentac¸o˜es ao longo da unidade.
Teorema 1 Se f : [a, b] −→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua, enta˜o existe c ∈ [a, b] tal que
f (c) =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx.
Veja, na figura, a interpretac¸a˜o do resultado, em um caso no qual a func¸a˜o f e´ positiva.
2
CAPI´TULO 1. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO 3
O teorema afirma que
∫ b
a
f (x) dx (a a´rea sob o gra´fico de f ) e´ igual a f (c) (b − a) (a a´rea do
retaˆngulo de base [a, b] e altura f (c)). Isto e´, a a´rea que falta ao retaˆngulo de base base [a, c] e´
igual a` a´rea que excede ao retaˆngulo de base [c, b].
1.3 Primeira Parte do Teorema Fundamental do Ca´lculo
Aqui formularemos a parte pra´tica do Teorema Fundamental do Ca´lculo que tera´ muitas
aplicac¸o˜es nos ca´lculos das integrais definidas.
Teorema 2 Seja f : I −→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua definida no intervalo aberto I e seja F : I −→ R
uma primitiva de f. Enta˜o, se [a, b] ⊂ I,∫ b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
Estabelecemos a notac¸a˜o
F(x)
∣∣∣∣∣∣
a
b
= F(b) − F(a)
Exemplo 1 E´ imediato verificar que F(x) =
x3
3
e´ uma primitiva de f (x) = x2. Enta˜o, o teorema permite
calcular
x3
3
∣∣∣∣∣∣
3
0
=
33
3
− 0
3
3
= 9.
Note que o ca´lculo independe da escolha da primitiva. Se tomarmos, por exemplo, G(x) =
x3
3
+15, uma outra primitiva da func¸a˜o f , o resultado sera´ omesmo, pois ao fazermosG(3)−G(0),
a constante 15, somada a ambas as parcelas, sera´ cancelada.
Exemplo 2 Vamos calcular a a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico da func¸a˜o f (x) = senx e pelo eixo
0X, ao longo de um perı´odo completo, digamos x ∈ [0, 2pi].
CAPI´TULO 1. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO 4
A func¸a˜o F(x) = −cosx e´ uma primitiva de f (x) = senx. Observe que, se fizermos ∫ 2pi0 senx dx,
pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, obtemos∫ 2pi
0
senx dx = −cosx
∣∣∣∣∣∣
2pi
0
= −cos(2pi) + cos(0) = 0
Esse nu´mero certamente na˜o e´ a a´rea esperada, pois essa integral representa a soma orientada
das a´reas das duas regio˜es que, devido a` simetria, sa˜o iguais. Para calcular a a´rea esperada
devemos fazer
A =
∫ pi
0
sen x dx −
∫ 2pi
pi
sen x dx
A = [−cos(pi) + cos(0)] − [−cos(2pi) + cos(pi)]
A = [−(−1) + 1] − [−1 + (−1)]
A = [1 + 1] − [−1 − 1]
A = [2] − [−2]
A = 2 + 2
A = 4
Exemplo 3 Verifique se a func¸a˜o F = senx − x cosx e´ uma primitiva de f = x senx.
1.4 Segunda Parte do Teorema Fundamental do Ca´lculo
Vamos agora considerar a questa˜o da existeˆncia de primitivas. Ou seja, sob quais condic¸o˜es
uma func¸a˜o f : I −→ R, definida em um intervalo aberto I da reta, admite func¸o˜es primitivas?
Teorema 3 Se f : I −→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua, definida no intervalo aberto I, enta˜o existe F : I −→ R,
uma primitiva de f.
Isto e´, existe uma func¸a˜o deriva´vel F : I −→ R tal que, se x ∈ I,
F′(x) = f (x)
1.5 O Teorema Fundamental do Ca´lculo e a Func¸a˜o Logaritmo
Em muitos casos sabemos da existeˆncia de primitivas, mas na˜o conhecemos uma fo´rmula
explı´cita para as mesmas. Em alguns casos noto´rios, abreviamos a fo´rmula dada pelo Teorema
Fundamental do Ca´lculo usando alguma nomenclatura adequada e lidamos com a func¸a˜o
primitiva atrave´s das informac¸o˜es que obtemos de suas caracterı´sticas. A func¸a˜o logaritmo
natural e´ um desses casos muito especiais, como veremos a seguir.
Definic¸a˜o 2 Seja `n : (0,+∞) −→ R a primitiva da func¸a˜o f : (0,+∞) −→ R, definida por f (x) = 1
x
,
tal que `n1 = 0.
Em outras palavras,
`n x =
∫ x
1
1
t
dt
e
(`n x)′ = 1
x
CAPI´TULO 1. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO 5
1.5.1 Interpretac¸a˜o Geome´trica de `n x
Como a func¸a˜o f (x) =
1
x
e´ estritamente positiva no intervalo (0,+∞), `n x e´ positiva, se x > 1 e
`n x e´ negativa, se 0 < x < 1. Veja as figuras.
Se x > 1, `n x =
∫ x
1
1
t
dt e´ igual a a´rea da regia˜o hachurada na figura da esquerda.
Se 0 < x < 1, `n x =
∫ x
1
1
t
dt e´ igual ao negativo da a´rea da regia˜o hachurada na figura da direita.
1.5.2 Propriedades da Func¸a˜o Logaritmo
Propriedade 1:
Se a e b sa˜o nu´meros reais positivos, enta˜o
`n ab = `n a + `n b
Corola´rio 1 Se a e b sa˜o nu´meros positivos, enta˜o
`n
a
b
= `n a − `n b
Propriedade 2:
Sejam a > 0 e r ∈ Q. Enta˜o,
`n ar = r . `n a
1.6 A Func¸a˜o Exponencial
Vamos agora considerar a func¸a˜o inversa de f (x) = `n x, definida por Exp : R −→ R, tal que
Exp(x) = y se, e somente se, elln y = x. Em particular, Exp(0) = 1, pois `n 1 = 0.
Propriedades da Exponencial
Aprincipal propriedadeda func¸a˜o logaritmo se traduz na seguinte propriedadeda exponencial:
Propriedade 1: Sejam a e b nu´meros reais. Enta˜o,
Exp(a + b) = Exp(a) . Exp(b)
CAPI´TULO 1. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO 6
Propriedade 2: A derivada da func¸a˜o exponencial
Como a func¸a˜o exponencial e´ a func¸a˜o inversa do logaritmo, podemos usar o Teorema da
Func¸a˜o Inversa para calcular a sua derivada.
Exp′(x) = 1
`n′ (Exp(x)) =
1
1
Exp(x)
= Exp(x)
Ou seja, a derivada da exponencial e´ a pro´pria exponencial. Ale´m disso, para todo x ∈ R,
Exp(x) > 0. Portanto, a func¸a˜o exponencial e´ estritamente crescente e seu gra´fico e´ sempre
coˆncavo para cima.
Propriedade 3: O Nu´mero e e Expoentes Irracionais
Voceˆ deve ter notado que temos usado a notac¸a˜o Exp(x) para o que normalmente e´ denotado
ex. Na verdade, o nu´mero e e´ o u´nico nu´mero real tal que
`n e = 1
Isto e´, e e´ o u´nico nu´mero tal que a a´rea da regia˜o sob o gra´fico de y =
1
x
e entre as retas verticais
x = 1 e x = e e´ 1. Na figura, a a´rea da regia˜o hachurada e´ igual a 1.
Definic¸a˜o 3 Sejam a > 0 um nu´mero real e x ∈ R\Q um nu´mero irracional. Enta˜o, definimos
ax = Exp(x`n a)
CAPI´TULO 1. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CA´LCULO 7
Exemplo 4
pi3 = Exp(
√
3 `n pi)
1.7 Exercı´cio
1) Calcule a derivada das func¸o˜es a seguir:
(a) f (x) = x `n x;(b) g(x) = x2 `n x;
(c) h(x) = x `n x2;
(d) k(x) = `n (cos x).
2) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pela curva y =
1
x
, pelo eixo 0X, reta y = x e x = 4.
3) Verifique que as a´reas das regio˜es delimitadas pela curva y =
1
x
, eixo 0X, sobre os inter-
valos
[1
2
, 1
]
e [1, 2], sa˜o iguais.
4) Calcule a derivada das func¸o˜es a seguir:
(a) f (x) = x ex;
(b) ex
2
cos x;
(c) ecos 2x + esen 2x.
5) Use a definic¸a˜o ax = Exp(x `n a) para derivar as func¸o˜es f (x) = 3x e g(x) = (
√
2)2x.