Aula_03_PO

Prévia do material em texto

Pesquisa Operacional 
Email:universo.po.2.2014@gmail.com 
Contatos 21-987641703 
 21-23323101 
Programa 
Introdução a programação linear 
As Origens da Pesquisa Operacional 
A Natureza da Pesquisa Operacional 
O Impacto da Pesquisa Operacional 
 
Visão Geral da Abordagem de Modelagem da Pesquisa Operacional 
Definição do Problema e Coleta de Dados 
Formulando um Modelo Matemático 
Derivando Soluções a Partir do Modelo 
Testando o Modelo 
Preparando-se para Aplicar o Modelo 
Implementação 
 
Introdução à Programação Linear 
Exemplo de Protótipo 
O Modelo de Programação Linear 
Hipóteses da Programação Linear 
Exemplos Adicionais 
Alguns Estudos de Caso Clássicos 
Formulando e Solucionando Modelos de Programação Linear em uma Planilha 
Formulando Modelos de Programação Linear de Grandes Dimensões 
 
 
 
 
Pesquisa Operacional 
Introdução à Programação Linear 
 
 
 
Introdução a Programação Linear 
O desenvolvimento da programação linear tem sido classificado entre 
os mais importantes avanços científicos dos meados do século XX. 
 
Seu impacto desde 1950 tem sido extraordinário. Hoje em dia é uma 
ferramenta-padrão que poupou muitos milhares ou milhões de 
dólares para muitas empresas ou até mesmo negócios de tamanho 
moderado em diversos países industrializados ao redor do mundo; 
 
Qual é a natureza dessa admirável ferramenta e a que tipos de 
problemas ela se destina? 
 
Introdução a Programação Linear 
 Envolve o problema genérico de alocar da melhor forma possível (isto 
é, ótima) recursos limitados para atividades que competem entre si. 
Mais precisamente, esse problema envolve selecionar o nível de 
certas atividades que competem por recursos escassos que são 
necessários para realizar essas atividades. 
 
A escolha do nível de atividades determina, então, quanto de cada 
recurso será consumido por atividade. 
Introdução a Programação Linear 
A programação linear usa um modelo matemático para descrever o 
problema em questão. O adjetivo linear significa que todas as funções 
matemáticas nesse modelo são necessariamente funções lineares. A 
palavra programação, nesse caso, não se refere à programação de 
computador; ela é, essencialmente, um sinônimo para planejamento. 
 
Portanto, a programação linear envolve o planejamento de atividades 
para obter um resultado ótimo, isto é, um resultado que atinja o 
melhor objetivo especificado (de acordo com o modelo matemático) 
entre todas as alternativas viáveis. 
 
Introdução a Programação Linear 
Exemplo 
A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, 
entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três 
fábricas industriais. As esquadrias de alumínio e ferragens são feitas 
na Fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na Fábrica 2 e, 
finalmente, a Fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos. 
 
Em consequência da queda nos ganhos, a direção decidiu modernizar 
a linha de produtos da empresa. 
 
Produtos não rentáveis estão sendo descontinuados, liberando 
capacidade produtiva para o lançamento de dois novos produtos com 
grande potencial de vendas 
 
Introdução a Programação Linear 
Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínio 
Produto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de 
madeira de 1,20 X 1,80 m 
 
• O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 
3, mas nenhuma da Fábrica 2. 
• O produto 2 precisa apenas das Fábricas 2 e 3. 
 
A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto 
quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas. 
 
Entretanto, pelo fato de ambos os produtos poderem estar 
competindo pela mesma capacidade produtiva na Fábrica 3, não está 
claro qual mix dos dois produtos seria o mais lucrativo. Portanto, foi 
constituída uma equipe de PO para estudar essa questão. 
 
Introdução a Programação Linear 
A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção 
para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo. Essas 
discussões levaram à seguinte definição do problema: 
 
Determinar quais devem ser as taxas de produção para ambos os 
produtos de modo a maximizar o lucro total, sujeito às restrições 
impostas pelas capacidades produtivas limitadas disponíveis nas três 
fábricas. (cada produto será fabricado em lotes de 20, de forma que a 
taxa de produção é definida como o número de lotes produzidos por 
semana.) 
 
É permitida qualquer combinação de taxas de produção que satisfaça 
essas restrições, inclusive não produzir nada de um produto e o 
máximo possível do outro. 
 
Introdução a Programação Linear 
A equipe de PO também identificou os dados que precisavam ser 
coletados: 
 
1. - Número de horas de tempo de produção disponível por semana em cada fábrica 
para esses novos produtos. (A maior parte do tempo nessas fábricas já está 
comprometida com os produtos atuais, de modo que a capacidade disponível para 
os novos produtos é bastante limitada.) 
 
2. - Número de horas de tempo de produção usado em cada fábrica para cada lote 
produzido de cada novo produto. 
 
3. Lucro por lote produzido de cada novo produto. Foi escolhido o lucro por lote 
produzido como uma medida apropriada após a equipe de PO ter concluído que o 
incremento de lucro de cada lote adicional produzido ser aproximadamente 
constante independentemente do número total de lotes produzidos. Pelo fato de 
nenhum custo adicional incorrer para o início da produção e a comercialização de 
tais produtos, o lucro total de cada um deles é aproximadamente esse lucro por lote 
vezes o número de lotes produzidos. 
 
Introdução a Programação Linear 
A equipe de PO reconheceu imediatamente que se tratava de um 
problema de programação linear do clássico tipo mix de produtos e 
então a equipe empreendeu a formulação do modelo matemático 
correspondente. 
Introdução a Programação Linear 
Formulação como Problema de Programação Linear 
 
Para formular o modelo matemático (programação linear) para esse 
problema, temos: 
 
x 1 =número de lotes do produto 1 produzido semanalmente 
x2 = número de lotes do produto 2 produzido semanalmente 
 
Z = lucro total por semana (em milhares de dólares) obtido pela produção 
desses dois produtos 
 
Portanto, x1 e x2 são as variáveis de decisão para o modelo. Usando-se a 
linha inferior da Tabela acima, se obtém: Z = 3x1 + 5x2  Função Objetivo 
 
O objetivo é escolher os valores de x1 e x2 de forma a maximizar Z = 3x1 + 
5x2, sujeito às restrições impostas em seus valores por limitações de 
capacidade de produção disponível nas três fábricas. 
 
Introdução a Programação Linear 
A Tabela 1 indica que cada lote de produto 1 fabricado por semana 
usa uma hora de tempo de produção por semana na Fábrica 1, ao 
passo que estão disponíveis somente quatro horas semanais. Essa 
restrição é expressa matematicamente pela desigualdade x1 ≤ 4. 
 
Similarmente, a Fábrica 2 impõe a restrição 2x2 ≤ 2. O número de 
horas de produção usado semanalmente na Fábrica 3 escolhendo-se 
x1 e x2 como as taxas de produção dos novos produtos seria 3x1 + 2x2. 
Portanto, a declaração matemática da restrição da Fábrica 3 é 3x1 + 
2x2 ≤ 18. Finalmente, já que as taxas de produção não podem ser 
negativas, é necessário restringir as variáveis de decisão para serem 
não negativas, por tanto temos: x1 ≥ O e x2 ≥ O. 
 
Introdução a Programação Linear 
Em suma, na linguagem matemática da programação linear, o 
problema é escolher os valores de x1 e x2 de forma a: 
 
Maximizar 
 
Z = 3x1 + 5x2 
 
Sujeito às restrições 
 
x1 ≤ 4 
2x2 ≤ 12 
3x1 + 2x2 ≤ 18 
 
Introdução a Programação Linear 
Esse pequeno problema possui apenas duas variáveisde decisão e, 
portanto, somente duas dimensões, de forma que um procedimento 
gráfico pode ser usado para resolvê-lo. Este procedimento envolve 
construir um gráfico bidimensional tendo x1 e x2 como eixos. O 
Primeiro passo é identificar os valores de (x1. x2) que são permitidos 
pelas restrições. Isso é feito desenhando-se cada reta que limita o 
intervalo de valores permissíveis para uma restrição. 
 
Para começar, observe que as restrições de não negatividade x1 ≥ 0 e 
x2 ≥ 0: requerem que (x1. x2) estejam no lado positivo dos eixos 
(inclusive, na realidade, sobre ambos os eixos), isto é, no primeiro 
quadrante. A seguir, observe que a restrição x1≤ 4 significa que (x1. x2) 
não pode estar à direita da reta x1 = 4. Esses resultados são mostrados 
na Figura 1 em que a área sombreada contém os únicos valores de (x1. 
x2) que ainda são permitidos. 
 
Introdução a Programação Linear 
Figura 1 
Introdução a Programação Linear 
De modo semelhante, a restrição 2x2 ≤ 12(ou, equivalentemente, x2 
≤ 6 implica que a reta 2x2 ≤ 12 deve ser adicionada ao contorno da 
região de soluções viáveis. A restrição final, 3x1 + 2x2 ≤18, requer 
traçar os pontos (x1. x2) de maneira que 3x1 + 2x2 = 18 (outra reta) 
complete o contorno. (Observe que pontos como 3x1 +2x2 ≤18 são 
aqueles que estão abaixo ou sobre a reta 3x1 + 2x2 = 18, de forma que 
essa é a reta limitante acima da qual os pontos não satisfazem a 
desigualdade.) 
 
Introdução a Programação Linear 
A região resultante de valores viáveis de (x1.x2 ), chamada região de soluções 
viáveis, é mostrada na Figura 2 seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O passo final é escolher o ponto nessa região de soluções viáveis que 
maximiza o valor de Z = 3x1 + 5x2 
 
Introdução a Programação Linear 
O passo final é escolher o ponto nessa região de soluções viáveis que 
maximiza o valor de Z = 3x1 + 5x2 
 
Para descobrir como realizar esse passo de forma eficiente, comece 
por tentativa e erro. Tente, por exemplo, Z = 10 = 3x1 + 5x2 para ver se 
há na região de soluções viáveis quaisquer valores de (x1, x2) que 
levem uma função Z a um valor 10. 
 
Desenhando-se a reta 3x1 + 5x2 = 10 (ver a Figura 3), podemos 
observar que há muitos pontos sobre essa reta que se encontram 
dentro da região. Tendo ganhado alguma visão tentando esse valor 
escolhido arbitrariamente de Z = 10, você deve tentar seguir um valor 
arbitrário de Z maior, digamos, Z = 20 = 3x1 + 5x2 . Novamente, a 
Figura 3 revela que um segmento da reta 3x1 + 5x2 = 20 se encontra 
dentro da região, de forma que o valor máximo permissível de Z tem 
de ser pelo menos 20. 
 
Introdução a Programação Linear 
O passo final é escolher o ponto nessa região de soluções viáveis que maximiza 
o valor de Z = 3x1 + 5x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, observe na Figura 3 que as duas retas que acabaram de ser construídas 
são paralelas. Não se trata de uma coincidência, visto que qualquer reta 
construída desse modo tem a forma Z = 3x1 + 5x2 para o valor escolhido de Z, 
implicando 5x2 = - 3x1 + Z ou, equivalentemente, a: X2=-
3
5
x1 + 
1
5
Z 
 
 
Figura 3 
Introdução a Programação Linear 
Esta última equação, chamada forma de interseção da inclinação da 
função objetivo, demonstra que a inclinação da reta é −
3
5
 uma vez 
que a cada incremento unitário em x1 corresponde a um incremento 
de −
3
5
 em x2, ao passo que a interseção da reta com o eixo x2 é 
1
5
 Z, O 
fato de a inclinação ser fixada em −
3
5
 significa que todas as retas 
construídas dessa maneira serão paralelas. 
 
Repetindo, comparando-se as retas 10 = 3x1 + 5x2 e 20 = 3x1 + 5x2 da 
Figura 3, notamos que a reta que dá um valor maior de Z (Z = 20) se 
encontra bem acima e distante da origem quando comparada com a 
outra reta (Z = 10). Esse fato também está implícito pela forma de 
interseção da inclinação da função objetivo que indica que a 
interseção com o eixo x1 (
1
5
𝑍) aumenta quando o valor escolhido para 
Z se eleva. 
 
Introdução a Programação Linear 
Essas observações fazem que nosso procedimento de tentativa e erro 
para construção de retas na Figura 3 envolva mais do que desenhar 
uma família de retas paralelas contendo pelo menos um ponto na 
região de soluções viáveis e selecionar a reta que corresponde ao 
maior valor de Z. A Figura 3 mostra que essa reta passa pelo ponto (2, 
6) indicando que a solução ótima é x1 = 2 e x2 = 6. A equação dessa 
reta é 3x1 + 5x2 = 3(2) + 5(6) = 36 = Z, indicando que o valor ótimo de 
Zé Z = 36. O ponto (2, 6) se encontra na interseção das retas 2x2 = 12 e 
3x1 + 2x2 = 18, conforme mostrado na Figura 3, de forma que esse 
ponto pode ser calculado algebricamente como a solução simultânea 
dessas duas equações. 
 
Introdução a Programação Linear 
Após termos visto o procedimento de tentativa e erro para descobrir 
o ponto ótimo (2,6), podemos agora aperfeiçoar esse método para 
outros problemas. Em vez de desenhar várias retas paralelas, é 
suficiente formar uma única reta com uma régua para estabelecer a 
inclinação. Depois, desloque a régua com inclinação fixa através da 
região de soluções viáveis na direção em que Z cresce. (Quando o 
objetivo for o de minimizar Z movimente a régua na direção em que Z 
decresce.) Pare de deslocar a 
Introdução a Programação Linear 
Após termos visto o procedimento de tentativa e erro para descobrir o 
ponto ótimo (2,6), podemos agora aperfeiçoar esse método para outros 
problemas. Em vez de desenhar várias retas paralelas, é suficiente 
formar uma única reta com uma régua para estabelecer a inclinação. 
Depois, desloque a régua com inclinação fixa através da região de 
soluções viáveis na direção em que Z cresce. (Quando o objetivo for o de 
minimizar Z movimente a régua na direção em que Z decresce.) Pare de 
deslocar a régua até o último instante em que ela ainda passa por um 
ponto dentro dessa região. Esse ponto é a desejada solução ótima. 
 
Este procedimento é normalmente conhecido como método gráfico para 
programação linear. Pode ser usado para solucionar qualquer problema 
de programação linear com duas variáveis de decisão. Com considerável 
dificuldade, é possível estender o método para três variáveis de decisão, 
mas não mais que três. (O próximo capítulo se concentrará no método 
simplex para solucionar problemas maiores) 
 
Modelos de Programação Linear 
A programação linear é bastante versátil para ser completamente 
caracterizada em um único exemplo. Serão discutidas as características 
gerais dos problemas de programação linear, inclusive as diversas formas 
legítimas do modelo matemático para programação linear. 
 
Certos símbolos são comumente usados para representar os diversos 
componentes de um modelo de programação linear. Esses símbolos são 
apresentados, a seguir, juntamente com suas interpretações para o 
problema geral de alocar recursos a atividades. 
 
Z = valor da medida de desempenho global 
 
xj = nível de atividade j (para j = 1, 2, ... , n) 
cj = incremento em Z que resultaria de cada incremento unitário no nível de 
atividade j 
bi = quantidade do recurso i que se encontra disponível para alocação em 
atividades (para i= 1, 2, ... , m) 
aiJ = quantidade do recurso i consumido por unidade de atividade j 
 
 
Introdução a Programação Linear 
O modelo formula o problema em termos de tomar decisões em 
relação aos níveis de atividade, de forma que x1. X2. ... , Xn são 
denominadas variáveis de decisão. Conforme sintetizado na Tabela A, 
os valores de cj, bi e aiJ (parai= 1, 2, ... , m e j = 1, 2, ... , n) são as 
constantes de entrada para o modelo. cj, bi e aiJ também são 
conhecidos como parâmetros do modelo. 
 
Introdução a Programação Linear 
Uma Forma-padrão de Modelo 
Continuando no problema da WyndorGlass Co., agora temos 
condições de formular o modelo matemático para esse problema 
genérico de alocação de recursos para atividades. Em particular, esse 
modelo visa selecionar os valores para x1. x2, ... , xm de forma a: 
 
Maximizar Z = x1c1 +x2c2 ........xncn 
 
Sujeito as restrições 
 a11x1 +a12x2 +.......+a1nxn ≤b1 
 a21x1 +a22x2 +.......+a2nxn ≤b2 
am1x1 +am2x2 +.......+amnxn ≤bm 
 
E 
x1 ≥0 ; x2 ≥0....... xn ≥0 
 
Introdução a Programação Linear 
Chama-se a isto forma-padrão, 1 para o problema de programação linear. 
Qualquer situação cuja formulação matemática se encaixe nesse modelo é 
um problema de programação linear. 
 
Observe que o modelo para a Wyndor Glass Co. atende à nossa forma-
padrão com m = 3 e n = 2. . 
 
A terminologia comum para o modelo de programação linear pode agora ser 
sintetizada da seguinte forma. 
 
Introdução a Programação Linear 
A função que está sendo maximizada, c1x1 + c2x2 + ... + cmxm é chamada 
função objetivo. 
 
As limitações são normalmente denominadas restrições. 
 
As primeiras m restrições (aquelas com uma função de todas as variáveis 
a11x1 +a12x2 +.......+a1nxn do lado esquerdo) são algumas vezes ditas 
restrições funcionais (ou restrições estruturais). 
 
De forma similar x1 ≥0 ; x2 ≥0....... xn ≥0 , as restrições são conhecidas como 
restrições de não-negatividade (ou condições não-negativas). 
 
Introdução a Programação Linear 
Outras Formas 
 
Agora, temos de nos apressar para acrescentar que, na verdade, o modelo 
precedente não se encaixa na forma natural de alguns problemas de 
programação linear. As demais formas legítimas são as seguintes: 
 
Minimizar em vez de maximizar a função objetivo; 
 
Minimizar : Z = x1c1 +x2c2 ........xncn 
 
Algumas restrições funcionais com uma desigualdade do tipo maior do que 
ou igual a: 
para alguns valores de i. 
 
a11x1 +a12x2 +.......+a1nxn ≥b1 
a21x1 +a22x2 +.......+a2nxn =b2 
 
Eliminar as restrições não-negativas para algumas das variáveis de decisão: 
 
Introdução a Programação Linear 
Terminologia para Soluções de Modelos 
 
Você deve estar acostumado a ver o termo solução com o significado de 
resposta final para um problema, porém, a convenção em programação 
linear (e suas extensões) é bem diferente. Aqui, qualquer especificação de 
valores para as variáveis de decisão (x1, x2, ... , xn) é chamada solução, 
independentemente de ela ser desejável ou até mesmo ser uma opção 
admissível. Diferentes tipos de soluções são então identificados usando-se 
um adjetivo apropriado. 
 
Uma solução viável é aquela para a qual todas as restrições são satisfeitas. 
 
Uma solução inviável é aquela para a qual pelo menos uma das restrições é 
violada. 
 
No exemplo, os pontos (2, 3) e (4, 1) na Figura 4 são soluções viáveis ao 
passo que os pontos (-1, 3) e (4, 4) são soluções inviáveis. 
 
Introdução a Programação Linear 
 Figura 4 
A região de soluções viáveis é o conjunto de todas as soluções viáveis. 
 
A região de soluções viáveis no exemplo é toda a área preenchida na Figura 4. É possível que 
não haja nenhuma solução viável. Isso poderia ter acontecido no exemplo caso os novos 
produtos tivessem exigido um lucro líquido de pelo menos US$ 50.000 por semana para 
justificar a descontinuação de parte da linha de produtos atual. 
Introdução a Programação Linear 
A restrição correspondente, 3x1 + 5x2 ≥ 50, iria eliminar toda a região de 
soluções viáveis, de forma que nenhum mix de novos produtos seria 
superior ao status quo. Esse caso é ilustrado na Figura 5. 
 
 
 Figura 5 
Introdução a Programação Linear 
Dado que existem soluções viáveis, o objetivo da programação linear é 
encontrar a melhor solução viável conforme medida pelo valor da função 
objetivo no modelo. 
 
Uma solução ótima é uma solução viável que tem o valor mais favorável da 
função objetivo. 
Introdução a Programação Linear 
O valor mais favorável é o maior valor se a função objetivo tiver de ser 
maximizada, ao passo que será o menor valor caso ela deva ser minimizada. 
 
A maior parte dos problemas terá apenas uma solução ótima. Entretanto, é 
possível ter mais de uma. Isso ocorreria no exemplo caso o lucro por lote 
fabricado do produto 2 fosse alterado para US$ 2.000. Isso altera a função 
objetivo para Z = 3x1 + 2x2 de forma que todos os pontos no segmento de 
reta conectando os pontos (2, 6) e ( 4, 3) seriam ótimos. Esse caso é 
ilustrado na Figura 3.5. Como acontece nesse caso, qualquer problema 
tendo soluções ótimas múltiplas terá um número infinito delas, cada uma 
com o mesmo valor ótimo da função objetivo. 
 
Introdução a Programação Linear 
Introdução a Programação Linear 
Outra possibilidade é que um problema não tenha nenhuma solução 
ótima. 
Isso acontece apenas se (l) ela não tiver nenhuma solução viável ou 
(2) as restrições não impedirem que se aumente indefinidamente o 
valor da função objetivo (Z) na direção favorável (positiva ou 
negativa). 
 
O último caso é conhecido como tendo um Z ilimitado ou uma função 
objetivo ilimitada. 
 
Para fins ilustrativos, esse caso aconteceria se as duas últimas 
restrições funcionais fossem eliminadas por engano no exemplo, 
conforme ilustrado na Figura. Introduzimos, a seguir, um tipo 
especial de solução viável que desempenha papel fundamental 
quando o método simplex procura uma solução ótima. 
Introdução a Programação Linear 
Introdução a Programação Linear 
Uma solução FPE (viável em ponto extremo) é a aquela que 
está em um vértice da região de soluções viáveis. 
Hipóteses da Programação Linear 
Todas as hipóteses de programação linear estão, na realidade, 
implícitas na formulação do modelo já apresentada. Em particular, do 
ponto de vista matemático, as hipóteses simplesmente são que o 
modelo deve ter uma função objetivo linear sujeita a restrições 
lineares. 
 
Entretanto, do ponto de vista de modelagem, essas propriedades 
matemáticas de um modelo de programação linear implicam que 
certas hipóteses têm de ser satisfeitas em relação às atividades e 
aos dados do problema que está sendo modelado, incluindo 
hipóteses sobre o efeito de se variar os níveis de atividades. 
 
 É bom destacá-las para que você possa avaliar mais facilmente 
quão bem a programação linear se aplica a qualquer problema dado. 
Além disso, ainda precisamos ver por que a equipe de PO da 
Wyndor Glass Co. concluiu que uma formulação de programação 
linear forneceria uma representação satisfatória do problema. 
Hipóteses da Programação Linear 
Proporcionalidade 
A contribuição de cada atividade ao valor da função objetivo Zé 
proporcional ao nível de atividade xj, conforme representado 
pelo termo cjxj na função objetivo. 
 
De modo semelhante, a contribuição de cada atividade do lado 
esquerdo de cada restrição funcional é proporcional ao nível de 
atividade xj, como representado pelo termo aijxj na restrição. 
 
Conseqüentemente, essa hipótese descarta qualquer expoente 
que não seja 1 para qualquer variável em qualquer termo de 
qualquer função (seja a função objetivo ou a função que se 
encontra do lado esquerdo na declaração de uma restrição 
funcional) em um modelo de programação linear 
Hipóteses da Programação Linear 
Proporcionalidade 
 
Hipóteses da Programação Linear 
Aditividade 
Toda função em um modelo de programação linear (seja a 
função objetivo, seja a função que se encontra do lado 
esquerdo da declaração de uma restrição funcional) é a soma 
das contribuições individuais das respectivas atividades. 
Hipóteses da Programação Linear 
Divisibilidade 
As variáveis de decisão em um modelo de programação linear 
podem assumir quaisquer valores, inclusivevalores não-
inteiros, que satisfaçam as restrições funcionais e de não-
negatividade. Logo, essas variáveis não são restritas apenas a 
valores inteiros. Já que cada variável de decisão representa o 
nível de alguma atividade, supõe-se que as atividades possam 
ser desenvolvidas em níveis fracionários. 
 
Certeza 
O valor atribuído a cada parâmetro de um modelo de 
programação linear é assumido como uma constante 
conhecida. 
Exercícios 
Resolva os modelos abaixo pelo método gráfico, encontre as coordenadas dos pontos 
correspondentes as soluções ótimas por médio dos sistemas de equações das 
restrições 
 
1.- Achar X1 e X2 de forma a 
 Maximizar Z = 3X1 + 6X2 
 
Restrições 
9X1 + 8X2 ≤72 
X2 ≤6 
-5X1 +4X2 ≤20 
X1 e X2 ≥0 
 
2.- Achar X1 e X2 de forma a 
 Maximizar Z = 4X1 + 8X2 
 
Restrições 
2X1 + 0,5X2 ≤ 10 
4X1 - 2X2 ≥ 0 
-X1 + 5X2 ≥ 0 
X1 + 2X2 ≤ 10 
X1 e X2 ≥0 
Trabalhos 
Trabalho 1 
 A Universo Pinturas produz tintas para interiores e exteriores com base em 2 matérias primas 
M1 e M2 , a tabela a continuação apresenta os dados básicos do problema 
Toneladas de Matéria prima por tonelada de : 
Tinta 
para exteriores 
Tinta 
para interiores 
Disponibilidade 
Máxima Diária (Ton) 
Matéria Prima M1 6 4 24 
Matéria Prima M2 1 2 6 
Lucro por Tonelada 5 4 
Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para interiores não pode 
ultrapassar a de tintas para exteriores por mais de 1 tonelada . Além disso, a demanda diária 
de tinta para interiores é de 2 t. 
 
A universo tintas quer determinar o mix ótimo de produtos de tintas para interiores e exteriores 
que maximize o lucro total diário. 
 
• Identifique as variáveis de decisão do modelo 
• Função objetivo 
• Restrições 
• Apresente a solução gráfica do problema , identificando soluções viáveis e solução ótima 
Trabalhos 
Trabalho 2 
A Universo rural usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia para alimentação de 
gado, esta ração especial é uma mistura de milho e soja com as composições apresentadas 
na tabela a seguir : 
Os requisitos nutricionais de ração especial são de no mínimo 30% de proteína e de no 
máximo 5% de fibra. A universo rural quer determinar a mistura que gera a ração de mínimo 
custo diário. 
 
 
• Identifique as variáveis de decisão do modelo 
• Função objetivo 
• Restrições 
• Apresente a solução gráfica do problema , identificando soluções viáveis e solução ótima 
Composição de ração da Universo Rural 
kilos por kilo de Ração 
Ração Proteína Fibra Custo por kilo 
Milho 0,09 0,02 0,3 
Soja 0,6 0,06 0,9