Matemática Ensino Médio

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Matemática Básica 
 Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Ensino Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: Joelson de Araújo Delfino 
Palmas - 2011
 1 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste material você encontrará informações importantes no desempenho para sua 
profissão e porque não dizer também no seu cotidiano, já que as ferramentas utilizadas 
pela Matemática estão presentes em nosso dia a dia, nas mais diferentes áreas do 
conhecimento. 
O módulo servirá de base conceitual para a apresentação dos conteúdos que 
envolvem conceitos matemáticos, os quais servirão e nos guiarão no decorrer do curso. 
È bom relatar, que esse material foi confeccionado sem fins lucrativos, utilizando 
materiais disponíveis na web, por vários autores em sites como 
www.somatematica.com.br entre outros, com objetivo de colaborar com o bom 
desempenho dos acadêmicos da Faculdade Católica do Tocantins, nas disciplinas de 
Cálculo, Estatística, Matemática Financeira entre outras. 
 
Bons estudos ! 
 
Professor 
Joelson de Araújo Delfino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
 2 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função de 1º grau .............................................................................................. 3 
Função Quadrática ............................................................................................. 9 
Equações Exponenciais ..................................................................................... 14 
Função Exponencial .......................................................................................... 16 
Inequações Exponenciais .................................................................................. 17 
Logarítimo ....................................................................................................... 18 
Função logarítmica ........................................................................................... 20 
Inequação logarítmica....................................................................................... 21 
Progressão Aritmética ....................................................................................... 22 
Progressão Geométrica ..................................................................................... 26 
Fatorial ........................................................................................................... 30 
Arranjo simples ................................................................................................ 32 
Permutações .................................................................................................... 32 
Combinações simples ........................................................................................ 33 
Teorias das probabilidades ................................................................................ 34 
Elementos ....................................................................................................... 34 
Probabilidade ................................................................................................... 36 
Soma de Probabilidades .................................................................................... 37 
Probabilidade condicional .................................................................................. 39 
Matrizes .......................................................................................................... 41 
Determinantes ................................................................................................. 50 
Retas .............................................................................................................. 56 
Equações de uma reta ...................................................................................... 58 
Geometria Analítica: Circunferência .................................................................... 62 
Ângulos .......................................................................................................... 65 
Quadriláteros notáveis ...................................................................................... 75 
Triângulos ....................................................................................................... 77 
Polígonos ........................................................................................................ 79 
Polígono regular ............................................................................................... 80 
Área das figuras circulares ................................................................................ 82 
Números Complexos ......................................................................................... 85 
 
 
 
 
 
Sumário 
 3 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
Função de 1º grau 
 
Definição 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de 
IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e 
a≠0. 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é 
chamado termo constante. 
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta 
oblíqua aos eixos Ox e Oy. 
 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o 
auxílio de uma régua: 
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, 
3
1
x
e outro ponto é 






0,
3
1
. 
Marcamos os pontos (0, -1) e 






0,
3
1
no plano cartesiano e ligamos os dois com 
uma reta. 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. 
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos 
adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
 O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = 
a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo 
Oy. 
 
 
 4 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
Zero e Equação do 1º Grau 
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a≠0, o 
número real x tal que f(x) = 0. 
 Temos: 
 f(x) = 0 ax + b = 0 
a
b
x 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: 
 f(x) = 0 2x - 5 = 0 
2
5
x
 
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 
 g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 
 Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das 
abscissas: 
 O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: 
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
Crescimento e decrescimento 
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez 
maiores a x e observar o que ocorre com y: 
 
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
 
 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes 
 valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
 funçãoy = 3x - 1 é crescente. 
 Observamos novamente seu gráfico: 
 
 
 
Regra geral: 
 5 
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Médio 
 
 
 
 
 a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é 
positivo (a > 0); 
 a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x 
é negativo (a < 0); 
 
 
Justificativa 
 para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem 
f(x1) < f(x2). 
 para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem 
f(x1) > f(x2). 
Sinal 
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais 
y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é 
negativo. 
 Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu 
sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz
a
b
x


. Há dois casos possíveis: 
 1º) a > 0 (a função é crescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x > 
a
b

 
 y > 0 ax + b < 0 x < 
a
b

 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para 
valores de x menores que a raiz 
 
2º) a < 0 (a função é decrescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x < 
a
b

 
 y > 0 ax + b < 0 x < 
a
b

 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para 
valores de x maiores que a raiz. 
 
 
 
 6 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
 
 
1) Represente graficamente a função definida 
por: 
a) f(x) = 2x-1 
b) f(x) = -1/2x+3 
c) f(x) = 4x 
d) f(x) = 1/3x+2 
e) f(x) = -3x+6 
 
2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: 
a) f(x) = 2x+5 
b) f(x) = -x+2 
c) f(x) = 1/3x+3 
d) f(x) = 1-5x 
e) f(x) = 4x 
 
Exercício resolvido: 
Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo: 
 
Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com 
Pelo gráfico, concluímos: 
 Quando x = 0, y = 2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2 
 Quando y = 0, x = -4 (raiz ou zero da função) 
 
Substituindo os valores em y = ax+b: 
0 = -4a + 2 
a = 1/2 
Logo, a expressão é y = 1/2x+2. 
 
3) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R em R, determine as 
expressões que as definem. 
a) 
 7 
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b) 
 
 
 
1 - (UFU-MG) No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por 
y=3-x e y= kx+t, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente: 
 
 
 
2 - Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico 
 
 
3 - Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): 
 
4 - O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta: 
 8 
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Médio 
 
a = 0 ; b = 0 
a > 0 ; b > 0 
a < 0 ; b > 0 
a > 0 ; b = 0 
a > 0 ; b < 0 
 
5 - ( UFMA ) A representação da função y = -3 é uma reta : 
a) paralela aos eixo das ordenadas 
b) perpendicular ao eixo das ordenadas 
c) perpendicular ao eixo das abcissas 
d) que intercepta os dois eixos 
 
6 - ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando : 
 
a) a < 2 
b) a < 0 
c) a = 0 
d) a > 0 
e) a = 2 
 
7 - ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo representa a função? 
 
 
8 - (FGV - SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (4, 2) e (-1, 6). 
Assim o valor de m + n é : 
 
9 - (PUC - MG) Uma função do 1
o
 grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a: 
 
11 - (UFRN) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para 
x = -1 é: 
 
12 - (MACK - SP) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 
 
 9 
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Médio 
 
 
a) O valor de f(3) é : 
 
13 - (UFPE) Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a 
alternativa que indica a representação desta função: 
 
 
 
 
 
Função Quadrática 
 
Definição 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f 
de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax
2
 + bx + c, onde a, b e c são números 
reais e a ≠0. 
 
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
f(x) = 3x
2
 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
f(x) = x
2
 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
f(x) = 2x
2
 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
f(x) = - x
2
 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 
f(x) = -4x
2
, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax
2
 + bx + c, com a 0, é 
uma curva chamada parábola. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = x
2
 + x: 
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente 
de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
 
x y 
-3 6 
-2 2 
-1 0 
 
0 0 
1 2 
2 6 
 
 
 10 
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Médio 
 
 
 
Observação: 
Ao const ruir o gráfico de uma função quadrática y = ax
2
 + bx + c, notaremos 
sempre que: 
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
Zero e Equação do 2º Grau 
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax
2
 + bx + c , a 
0, os números reais x tais que f(x) = 0. 
Então as raízes da função f(x) = ax
2
 + bx + c são as soluções da equação do 2º 
grau ax
2
 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: 
 
 Temos: 
 
Observação 
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido 
para o radicando , chamado discriminante, a saber: 
 quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 quando é zero, há só uma raiz real; 
 quando é negativo, não há raiz real. 
Coordenadas do vértice da parábola 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de 
mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de 
máximo V. 
 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: 
 
 
 
Imagem 
O conjunto-imagem Im da função y = ax
2
 + bx + c, a 0, é o conjunto dos 
valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 
1ª - quando a > 0, 
 11 
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Médio 
 
 
 
a > 0 
 
 
 
 
 
2ª quando a < 0, 
 
 
a < 0 
 
 
Construção da Parábola 
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de 
pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 
O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x; 
O vértice 





 

aa
b
V
4
;
 indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se 
a< 0); 
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da 
parábola; 
Para x = 0 , temos y = a · 0
2
 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a 
parábola corta o eixo dos y. 
 
Sinal 
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax
2
 + bx + c e determinemos os 
valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. 
Conforme o sinal do discriminante = b
2
 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 
1º - > 0 
 Nesse caso a função quadrática admitedois zeros reais distintos (x1 x2). a 
parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos 
gráficos abaixo: 
 12 
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Médio 
 
 
 
 
 
 
 
quando a > 0 
y > 0 (x < x1 ou x > x2) 
y < 0 x1 < x < x2 
 
quando a < 0 
y > 0 x1 < x < x2 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
 2º - = 0 
 
quando a > 0 
 
 
 
quando a < 0 
 
2º - < 0
 
 quando a > 0 
 
 
 
quando a < 0 
 
 13 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
1 - Identifique os coeficientes de cada função e diga se ela é crescente ou decrescente: 
a) f(x) = 5x
2
 - 3x - 2 
b) f(x) = 3x
2
 + 55 
c) f(x) = x
2
 - 6x 
d) f(x) = x
2
 - 10x + 25 
 
2 - Determine as raízes das funções abaixo, e esboce seu gráfico: 
a)f(x) = x
2
 - x - 20 
b) f(x) = x
2
 - 3x -4 
c) f(x) = x
2
 - 8x + 7 
d) f(x) = 2x – 4 – x2 
e) f(x) = x
2
 - 4x + 4 
 
 
3 - Dentre os números – 2, 0, 1, e 4, quais deles são raízes da função x2 – 2x - 8 
 
4 - O número -3 é raiz da função y = x
2
 – 7x – 2c. Nessas condições, determine o valor de 
c: 
 
5 - Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você 
vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 
6 - Esboce o gráfico das funções abaixo, determinando: 
 as raízes; 
 intersecção da curva com o eixo y; 
 as coordenadas do vértice; 
 a classificação de yv (valor mínimo ou máximo da função) 
 
y = x
2
 - 2x – 8 
y = 2x
2
 + 6x – 8 
y = 4x
2
 – 16 
y = - x
2
 + 4x – 4 
f(x) = 3x
2
 – 9x 
f(x) = 3x
2
 + 3x +2 
 
7 - Faça o estudo dos sinais das seguintes funções: 
f(x) = x
2
 + 5x + 6 
f(x) = x
2
 – 7x 
f(x) = x
2
 – 2x + 1 
f(x) = -2x
2
 + 8x - 8 
f(x) = - x
2
 – x - 1 
f(x) = - x
2
 + 2x + 3 
f(x) = x
2
 – 2x + 1 
 14 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Equações Exponenciais 
 
 Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece 
em expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
3
x 
=81 (a solução é x=4) 
2
x-5
=16 (a solução é x=9)v 
16
x
-4
2x-1
-10=2
2x-1
 (a solução é x=1) 
3
2x-1
-3
x
-3
x-1+1=0 (as soluções são x‟=0 e x‟‟=1) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
1) 3
x
=81 
Resolução: Como 81=3
4
, podemos escrever 3
x
 = 3
4
 
E daí, x = 4. 
 
2) 9
x
 = 1 
Resolução: 9
x
 = 1  9x = 90 ; logo x=0. 
 
2
3x-1
 = 32
2x
 
Resolução: 2
3x-1
 = 32
2x
  23x-1 = (25)2x  23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10, 
de onde x=-1/7. 
 
Resolva a equação 3
2x–6.3x–27=0. 
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 
3
2x–6.3x–27=0  (3x)2-6.3x–27=0 
Fazendo 3
x
=y, obtemos: 
y
2
-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos  y‟=-3 e y‟‟=9 
)0 e 1(  aanmaa nm
 
4
3
 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 
4
3
4
3
 
4
3
4
3
 
256
81
4
3
 :Resolução
256
81
4
3
 )3
4
3
4 34
4
4
4
4
































x
x
xxx
x
xxx
x
 15 
Matemática Básica 
Médio 
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3
x
=y: 
y‟=-3  3x‟ = -3  não existe x‟, pois potência de base positiva é positiva 
y‟‟=9  3x‟‟ = 9  3x‟‟ = 32  x‟‟=2 
 
Portanto a solução é x=2 
 
1 - Resolva as equações exponenciais. 
a) 2
x
 = 64 
b) 25
x
 = 625 
c) 9
x
 = 1/3 
d) 0,01
(3x – 1)
 = 0,01
0
 
e) 25
x
 = 
5
 
f)3
x
 - 3 . 3
-x
 = 2 
g) (2/3)
x
 + (3/2)
x
 = 13/6 
h) 2
2x
 - 9 . 2
x
 + 8 = 0 
i) 3
2x
 - 10 . 3
x
 + 9 = 0 
j) 4
x
 - 6 . 2
x
 - 16 = 0 
l) 3
x + 2
 - 3
x
 = 2
x + 2
 + 23 . 2
x
 
m) Encontre x real tal que 
 
2 - Resolva as equações: 
 a) (0,1)
2x – 1
 = (0,01)
4x + 3
 b) 7
x / (1 – x)
 = 49 
 c) 
3x – 2
.
 
2x + 1
 = 
x – 3
 
 
3 - Encontre a soma das soluções da equação exponencial 2
x
 + 4.2
–x
 = 5. 
 
4 - Se x é um número real tal que 4
x
 – 4x – 1 = 24, calcule (2x)x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
Função Exponencial 
 
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável 
aparecendo em expoente. 
 A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a  IR+ e a1, é chamada função 
exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio 
é IR
+
 (reais positivos, maiores que zero). 
 
Gráfico cartesiano da função exponencial 
 Temos 2 casos a considerar: 
 quando a>1; 
 quando 0<a<1. 
 
 Acompanhe os exemplos seguintes: 
 
y=2
x
 (nesse caso, a=2, logo a>1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, 
obtemos a tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 1/4 1/2 1 2 4 
 
y = (1/2)
x
 (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, 
obtemos a tabela e o gráfico abaixo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
 o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
 o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
 os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é 
positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR
+
. 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo 
sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR+ 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos 
diferentes) 
 
Inequações Exponenciais 
 
 Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita 
aparece em expoente. 
 
Exemplos de inequações exponenciais: 
 
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 
2º) aplicação da propriedade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)
-3) xpara satisfeita é (que 
5
4
5
4
 3)
real) x todopara satisfeita é (que 22 2)
)4 é solução (a 813 1)
x
3
12-2x 2

















x
x
x
x
x
x
 18 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
a>1 0<a<1 
a
m
 > a
n
  m>n 
(as desigualdades têm mesmo sentido) 
a
m
 > a
n
  m<n 
(as desigualdades têm sentidos diferentes) 
 
 
 
2) Determine o conjunto verdade das inequações, sendo U = IR. 
a) 3
x
 < 27 b) (1/3)
x
 > 1/9 c) (1/4)
x + 3
 < 16 d) 49
x + 1

343 
e) a
4x - 1
 

 a 
2x + 1
, sendo a > 1: 
 
Logarítimo 
 
Definição de logaritmo 
 
 sendo b>0 ,a>0 e a1 
 
a= base do logaritmo 
b= logaritmando ou antilogaritmo 
x= logaritmo 
 
bxbaa
x log 
 
:obtemos log igualdade Na bx a
15 pois 01log 3)
164 pois 216log 2)
322 pois 532log 1)
:Exemplos
0
5
2
4
5
2



negativos) (reais IRS Portanto
0 44
:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como
.44 14 Porém,
14 daí, e 114.11 114).1641(
:sejaou , 114.164.44
: temos4por lados os ambos ndoMultiplica
.
4
11
4.44
4
4
 escritaser pode inequaçãoA 
:Resolução
4
11
444 )1
-
0
0
11








 
x
-
x
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
 19 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
 
 
Consequências da definição 
Sendo b>0 ,a>0 e a1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas 
consequências da definição de logaritmo: 
 
 
 
 
 
Propriedades operatórias dos logaritmos 
1 - Logaritmo do produto: (a>0, a1, x>0 e y>0) 
 
 
2 - Logaritmo do quociente: (a>0, a1, x>0 e y>0) 
 
 
 
3 - Logaritmo da potência: (a>0, a1, x>0 e m ) 
 
 
 
Caso particular: como , temos: 
 
 
 
 
Cologaritmo 
 Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a (a>0, a1) e 
indicamos cologa b o logaritmo inverso desse número b na base a 
 
 
 (a>0, a1 e b>0) 
 
 
 
 
 
01log a
1log aa mama log ba
ba log
cbcb aa  loglog
yxyx aaa loglog).(log 
yx
y
x
aaa logloglog 





xmx a
m
a log.log 
n
m
n m xx 
x
n
m
xx a
n
m
a
n m
a log.loglog 
b
b aa
1
logcolog 
:escrever tambémpodemos ,loglog0log1log
1
log Como bbb
b
aaaaa 
bb aa logcolog 
 20 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Mudança de base 
 Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases 
diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma 
base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma 
única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a 
mudança de uma base a para uma outra base b usa-se: 
 
 
 
 
 
1 - Calcule os seguintes logarítimos: 
a)
32log 2
 b) 
81log3
 c) 
125log 25
 d) 
1000log 01,0
 
e) 
27log
9
1
 f) 
169
144
log
12
13
 
2 - Aplique as propriedades operatórias de logarítimos nas seguintes expressões: 
a) 
ba .log 3
 b) 
2
3.
log
c
ba
 c) 
c
b
a
3 2
3 .log
 
3 - Determine o valor de y na equação 
y2log 3log 2
 + 
6log 2
 - 3
4log 2
: 
4 - Se 
yxlog
= 2, então o valor de 
)(log xyx
 é: 
5 - Determine o conjunto verdade das seguintes equações: 
a) 
3)4(log 2 x
 b) 
0)1(log 27 x
 c) 
3log)4(log 44  xx
 
d) 
2)4(log)2(log 22  xx
 
 
Função logarítmica 
 
Toda função f : R -> R definida por f (x) = logax, com a  R, 0 < a  1 e x  R, 
é denominada função exponencial de base a. 
 
Gráfico 
Quando a > 1 crescente 
Quando 0 < a < 1 decrescente 
 Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos: 
 x > 0 , a > 0 e a 

1 
a
x
x
b
b
a
log
log
log 
 21 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
f(x) = log2 x 
 
f(x) = log2 x 
 
 
Inequação logarítmica 
 
Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as 
seguintes propriedades: 
Quando a > 1 -> x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva o sentido da 
desigualdade) 
Quando 0 < a < 1 -> x2 > x1 « log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da 
desigualdade) 
 
Exemplos: 
1 - Resolver a inequação log3(5x – 1) > log3 4 
Resolução: Devemos inicialmente resolver a condição de existência: 
5x – 1 > 0 -> x > 1/5 (I) 
Como a base é maior que 1, a função é crescente (conserva o sinal) 
5x – 1>4 
x > 1 (II) 
Tomando a intersecção entre os intercalos (I) e (II): x>1 
Resposta: {x Î R| x > 1} 
 22 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
1 - Determine o domínio e conjunto imagem das funções: 
a) 
)5(log3  xy
 b) 
2
2 )1(log  xy
 c) 
)(log 2
2
1 xxy 
 d) 
xy x )2(log 
 
d) 
)2(log  xy x
 
 
2 - Determine o valor de x, para que as desigualdades sejam verdadeiras. 
a) 
63 loglog x
 b) 
8loglog 55 x
 c) 
)13(log)52(log 1,01,0  xx
 
c) 
)42(log)1(log
5
1
5
1  xx
 
 
3 - Resolva em IR as seguintes equações: 
a) 
25log5 x
 b) 
8loglog 55 x
 
 
Progressão Aritmética 
 
Definição 
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). 
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e 
seu antecessor é sempre a mesma: 
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A 
diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. 
Na PA dada temos r = 2. 
Podemos, então, dizer que: 
 
Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, 
todos são obtidos somando uma constante chamada razão. 
 
São exemplos de PA: 
 
 (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 
 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 
 (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 
 
Notação 
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) 
Onde: 
 a1= primeiro termo 
 an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo 
 n = número de termos( se for uma PA finita ) 
 r = razão 
 
 Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) 
a1 = 5 
an = a6 = 25 
n = 6 
r = 4 
 23 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Classificação 
 
Quanto a razão: 
 (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. 
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente. 
 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 
Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. 
 (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária. 
 
Quanto ao número de termos: 
 (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. 
Toda PA de n° de termos finito é limitada. 
 (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2 
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada. 
 
Propriedades 
 
P1:Três termos consecutivos 
Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu 
antecessor e do seu sucessor. 
 
Exemplo: 
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos 
consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. 
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois 
termos: 
24
2
2820
,...,12
2
168
,8
2
124






 
 
P2: Termo Médio 
Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio(médio) é a 
média aritmética do primeiro termo e do último termo. 
 
Exemplo: 
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. 
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do 
último. 
 122
213


 
P3: Termos Eqüidistantes 
A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à 
soma dos extremos. 
 
Exemplo: 
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). 
 24 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
7 e 3 
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31 
15 e 19 
 
 
 
Termo Geral 
Uma PA de razão r pode ser escrita assim:PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an) 
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma: 
 
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) 
 
 
PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r ) 
 
Portanto, o termo geral será: 
 
 
 
Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). 
Resolução: 
1 - Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3. 
Resolução: 
 
2 - Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18. 
 
 
Soma dos Termos de uma PA finita 
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). 
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos 
termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20). 
+ r 
 
+ r 
 
+ r 
 
+ r 
 
+ r 
 
an = a1 + (n - 1)r, para n *N 
 
 25 
Matemática Básica 
Médio 
 
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 
1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais 
prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) 
observe: 
 
a1+a10 = 2 + 20 = 22 
a2+a9 = 4 + 18 = 22 
a3+a8 = 6 + 16 = 22 
a4+a7 =8 + 14 = 22 
a5+a6 = 10 + 12 = 22 
 
Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu 
exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois 
a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 
110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ). 
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como 
faríamos? 
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai 
se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050. 
 
Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o 
último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever: 
 
 
 
 
 
1 - Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 
6, 10,...). 
 
2 - Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 
km na segunda hora, e assim por diante, em 
progressão aritmética. Quantos quilômetros 
percorrerá em 5 horas? 
 
3 - Sabe-se que a PA( x, x + 20°, x + 40°) corresponde aos ângulos internos de um 
triângulo. Sendo assim determine o valor de x: 
 
4 - Observando a PA( 10, 18, 26,....), calcule o elemento a18 desta PA. 
 
5 - Determine a soma dos 15 primeiros termos da PA onde o termo geral é obtido através 
da fórmula an = 5n – 3. 
 
6 - Em uma empresa foram vendidas 12 unidades no primeiro dia e as vendas seguiram 
em PA de razão 8, formando assim uma PA(12; 20; 28; 36;...). Sabendo que foi 
registrados 2700 transações no portal, isto é, a soma de vendas durante n dias foi de 2700, 
logo devemos determinar em quantos dias foram registradas estas 2700 transações. 
 
2
1
n
aaS nn  
 
 26 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
7 - Usando a definição de PA podemos escrever a PA de três termos como ( x – r, x, x + 
r), a soma dos três termos é 12 e o produto é 18. Determine o valor do termo do meio (x). 
 
8 - No leilão os lances foram revezados entre o Sr. Moura e o Sr. Lopes variando sempre 
em R$ 120,00. O 10° lance foi a último ( an ) e foi de R$ 1600,00. Devemos descobrir 
quem deu o primeiro lance e o seu valor, insto é, precisamos descobrir o a1. 
 
 
Progressão Geométrica 
 
Definição 
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de 
números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, 
multiplicado por uma constante denominada razão. 
 
Exemplos: 
 
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2 
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 
 
 
 
1 - Obter a razão de cada P.G.: 
a) (5, 15, 45, ...) b) (-12, -3, -0,75)
 c) (2
2
, 4
6
, 24
2
) 
 
2 - Classificar, justificando, as seguintes progressões geométricas: 
a) (7, 21, 63, ...) c) (5, 5, 5, ...) 
b) (-9, -90, -900, ...) 
 
 
3 - Determine a razão de cada P.G.: 
a) (1, 3, 9, ...) b) (16, 8, 4, ...) c) (9, 9, 9, ...) 
e) 2
5
, -10, +10
5
, ...) 
 
4 - Dados o termo a1 e a razão q, determine os cinco primeiros termos de cada P.G.: 
a) a1 = -7; q = 2 
b) a1 = 
5
2
; q = 
10
1
 
 
c) a1 = 3 ; q = 
3
1
 
d) a1 = 0,5; q = - 0,2 
 27 
Matemática Básica 
Médio 
 
5 - Classifique as seguintes progressões geométricas: 
a) (1, 9, 81, ...) b) ( -1, 1, -1, ...) c) (3
3
, 3
2
, 3, ...) 
d) (1, 
3
, 3, ...) e) (0,8; 8; 80; ...) f) (5, 
5
 , 1, ...) 
 
6 - (FESP/UPE) A razão da P.G. (a; a + 3; 5a – 3; 8a) é: 
 
Fórmula do termo geral 
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o 
n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição 
podemos escrever: 
 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q
2 
a4 = a3 . q = (a1 . q
2
) . q = a1 . q
3 
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q
n-1
 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. 
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . q
j-k
 
 
Exemplos: 
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. 
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela 
fórmula: 
 
a10 = a1 . q
9
 = 2 . 2
9
 = 2. 512 = 1024 
 
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 
320. Qual a razão desta PG? 
 
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q
8-4
 . Daí, vem: 320 = 20.q
4
 
Então q
4 
=16 e portanto q = 2. 
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. 
 
1 - Determinar o nono termo da P.G. (81, 27, 9, ...). 
 
2 - Determinar o primeiro termo de uma P.G., em que a6 
= 96 e q = 2. 
 
3 - qual é a razão de uma P.G., em que a1 = 5 e a4 = 135? 
 
4 - Obter o valor de x, de modo que a seqüência 8, x, 3 
forme, nessa ordem, um P.G. 
 28 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
5 - (PUC-SP) Qual o valor de x, se seqüência 4x, 2x + 1, x – 1 é uma P.G.? 
 
 
Propriedades principais 
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e 
posterior. 
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: B
2
 = A . C ; C
2
 = B . D ; D
2
 = C . E ; E
2
 = D . F etc. 
 
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. 
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) 
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D
2
 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , 
vamos considerar o que segue: 
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: 
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . 
Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: 
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q 
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: 
Sn . q = Sn - a1 + an . q 
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 
 
Se substituirmos a n = a1 . q
n-1
 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da 
soma, ou seja: 
 
Exemplo: 
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: 
 
Observe que neste caso a1 = 1. 
1 - Calcular a soma dosnove primeiros termos da 
P.G. 3, 6, 12, ...). 
 
2 - Calcular a soma dos cinco primeiros termos de 
uma P.G., sabendo que o quinto termo é 162 e que a 
razão é igual a 3. 
 
3 -Determinar o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 3, q = 2 e Sn = 3.069. 
 
 29 
Matemática Básica 
Médio 
 
4 - Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, ...). 
 
5 - Calcule a soma: 
1 + 2
2
 + 2
4
 + 2
6
 + 2
8
 + 2
10
. 
 
 
Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada 
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas 
condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula 
anterior, encontraremos: 
 
Exemplo: 
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na 
fórmula, vem: 
 
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 
 
1 - Calcule a soma os termos da P.G. 
,...
12
1
,
6
1
,
3
1
 
2 - Calcular o valor de x na equação: 
16
1684
 
xxx
 
 
3 - Determine a fração geratriz da dízima 2,777... . 
 
4 - Determine a soma de cada P.G. infinita: 
 
a) 






,...
18
1
,
6
1
,
2
1
 
 
b) 






...;
3
1
;1;3
 
 
c) 






;...
100
1
;
10
1
;1
 
 
 30 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
Fatorial 
 
O fatorial de um número natural n, representado pelo símbolo n! (lê-se fatorial 
ou fatorial de n), é um número definido por: 
*,)!1(.!
1!0
INnnnn 
 
 
Observe que é uma definição por recorrência, ou seja: cada fatorial calculado 
com a utilização do fatorial anterior. 
 
Assim: 
...)!2).(1.(!
24!3.4!4
6!2.3!3
2!1.2!2
1!0.1!1
1!0






nnnn
 
 
De um modo geral, temos:
)...2).(1.(!  nnnn
 
 
 
Número binomial 
 
Definição 
Sendo n e k dois números naturais, o número binomial de ordem e classe k, ou 
simplesmente o binomial n sobre k, representado pelo símbolo






k
n , é um novo número 
natural definido por; 
)!(!
!
knk
n
k
n






 , se 
kn 
 
Triângulo de Pascal 
É uma tabela formada por números binomiais, do tipo 






k
n , dispostos de tal 
forma que os binomiais de mesmo n, situam-se na mesma linha e os de mesmo k na 
mesma coluna. 
 
 31 
Matemática Básica 
Médio 
 
1 - Determine o fatorial das expressões abaixo: 
!8
!10!9
)
)!1).(1(
)!1(
)
!2
!5!6
!4)
!5!3!6)






d
nn
n
c
b
a
 
 
2 - Determine os números binomiais abaixo: 


































































6
8
9
10
5
8
3
7
2
3
)
4
9
5
7
2
2
4
)
9
10
)
3
7
)
2
4
)
e
d
c
b
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
 
Arranjo simples 
 
Definição 
Seja A um conjunto com n elementos e k um número natural menor ou igual a n. 
Chamam-se arranjos simples k a k, dos n elementos de A, aos agrupamentos, de 
k elementos distintos cada, que diferem entre si ou seja pela natureza ou pela ordem de 
seus elementos. 
Utilizando o princípio Fundamental da contagem, podemos calcular um arranjo 
simples por: 
Arranjos simples = 
)!(
!
,
kn
n
A kn

 
 
 
Permutações 
 
Definição 
Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n, sos n 
elementos de A, são chamados permutações simples de n elementos. 
Observe que, de acordo com a definição, todas as permutações têm os mesmos 
elementos: são os elementos de A. Assim sendo: duas permutações diferem entre si 
apenas pela ordem de seus elementos. 
Representando com o símbolo Pn o número total de permutações simples de 
elementos e fazendo k = n temos: 
Permutações simples
!nPn 
 
 
Permutações com elementos repetidos 
Sejam 

 elementos iguais a a, 

 elementos iguais a b, 

elementos iguais a c, 
..., 

 elementos iguais a m, num total de 
n  ...
 elementos. 
Representando com o símbolo  ,...,,
np
o número de permutações distintas 
que podemos formar com os n elementos, temos: 
 
 
!....!.!.!.
!,...,,

 n
pn 
 
 
 
 
 
 
 33 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
Combinações simples 
 
Definição 
Seja A um conjunto com n elementos e k um número natural menor ou igual a n. 
Chamam-se Combinações simples k a k, dos n elementos de A, aos 
agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si apenas pela natureza 
de seus elementos 
 
Cálculo do número de combinações simples 
 
Representando com o símbolo 
knC ,
 o número de combinações simples dos 
elementos de A. tomamos k a k, temos: 









k
n
knk
n
P
A
C
k
kn
kn
)!(!
!.
,
 
 
1 - Uma família co 5 pessoas possui automóvel de 5 
lugares. De quantos modos poderão se acomodar para 
uma viagem quando só uma pessoa sabe dirigir? 
 
2 - Quantas centenas pares (sem repetição), podemos 
formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7? 
 
3 - Quantos números de 4 algarismos (sem repetição), podemos formar com os 
algarismos 0, 1, 2. 3, 4, 5, e 6? 
 
4 - Quantos são os anagramas da palavra BONITA? 
 
5 - Quantos são os anagramas da palavra REPITO que possuem a letra R em terceiro 
lugar? 
 
6 - Quantos anagramas da palavra BONITA começam com vogal e terminam co 
consoante? 
 
7 - De quantos modos é possível dispor, numa estante, 3 livros de Matemática, 1 de Física 
e 1 de História, de modo que os de Matemática fiquem sempre juntos? 
 
8 - Num plano são dados dez pontos, três a três não colineares. Pergunta-se: 
a) qual o número total de retas determinadas por esses pontos? 
b) Qual o número total de triângulos com vértices nestes pontos? 
 
9 - Com 5 pessoas, quantas comissões constituídas de 2 pessoas podem ser formadas? 
 
10 - Com 5 espécies de frutas, quantos tipos de saladas podem ser feitas, 3 espécies 
diferentes em cada prato? 
 
 
 34 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
 
Teorias das probabilidades 
 
Vamos considerar os seguintes experimentos: 
 Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por 
uma força qualquer, em um espaço definido. 
 A queda de um corpo de uma altura definida. 
Se conhecermos certas condições, podemos facilmente determinar o trabalho 
realizado pela força, sobre o corpo ou ainda determinar a velocidade com que o corpo em 
queda livre atinge o solo. 
Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser 
determinados antes de sua realização, são denominados experimentos determinísticos. 
Vamos considerar também alguns outros experimentos: 
 Lançamento de um dado e a leitura da face voltada para cima. 
 Lançamento de uma moeda e a leitura da face voltada para cima. 
 Nascimento de uma criança. 
Caso esses experimentos fossem realizados várias vezes, nas mesmas condições, 
não poderíamos prever seu resultado. 
Experimentos que são realizados várias vezes, sem uma previsão lógica de seus 
resultados são denominados experimentos aleatórios.Os experimentos aleatórios estão sujeitos à “lei do acaso”. Como não podemos 
prever os resultados, vamos descobrir as chances de ocorrência de cada experimento 
aleatório. 
A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as chances de 
ocorrência de cada experimento aleatório. 
 
 
Elementos 
 
Na realidade de um experimento aleatório, a fim de observar a ocorrência de um 
determinado tipo de resultado, dois conjuntos descrevem a situação: 
Espaço amostral 
É o conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório 
equiprovável.. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(U) 
 
Exemplos: 
1 - Joga-se uma moeda para cima e lê-se a figura da face voltada para cima. 
. U = {cara, coroa} e n(U) = 2 
 
 
 
 
 
 
2 - Joga-se um dado comum e lê-se a face voltada para cima. 
 U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e n(U) = 6 
 
3 - No sorteio de umadas dezenas da loto, U = {00; 01; 02; . . .; 99} e n(U) = 100. 
CARA COROA 
 35 
Matemática Básica 
Médio 
 
4 - No sorteio de dois dados diferentes. U = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), 
(2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2). (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4:1), (4;2), (4;3), 
(4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), 
(6;6)} e n(U) = 36. 
Evento: 
É qualquer subconjunto do espaço amostral U. 
Assim, no lançamento de um dado, por exemplo, o evento obter um número 
maior ou igual a 4 é dado por A = {4; 5; 6}, subconjunto deU = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 
Quando A = U, o evento é certo. 
Exemplo 1: 
No lançamento de uma moeda, A = {cara, coroa} é um evento certo: n(A) = n(U) 
Quando A = , o evento é impossível. 
 
Exemplo 2: 
Obter 7 no lançamento de um dado é impossível 
Quando A  A == U e A  A = , os eventos A e A são complementares. 
 
Exemplo 3: 
No lançamento de um dado, sendo A = {2;4;6} o evento obter um número par e A = 
{1;3;5} o evento obter um número ímpar, temos: 
A  A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = U e A  A =  
Assim, A e A são eventos complementares. 
 
 
1 - Determinar o espaço amostral do experimento 
aleatório lançamento simultâneo de duas moedas. 
 
2 - Considerando o experimento aleatório nascimento 
de 3 filhos de um casal, determinar o espaço amostral 
e o subconjunto que representa o evento nascimento de 
exatamente 2 meninos em 3 filhos do casal. 
 
3 - No lançamento simultâneo de 2 dados diferentes, determinar os seguintes eventos: 
a) números iguais nos dois dados: 
b) números cuja soma seja 2: 
c) números cuja soma seja 3: 
d) números cuja soma seja 7: 
e) números cuja soma seja 13: 
 
4 - Determinar o espaço amostral do experimento aleatório lançamento de um dado e uma 
moeda e o evento cara e um número ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 36 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Probabilidade 
 
Se, em um experimento aleatório equiprovável, o número de elementos do espaço 
amostral U e n(U) e o número de elementos do evento A é n(A). Então a probabilidade de 
que ocorra o evento A é dada pelo número real P(A), tal que: 
)(
)(
)(
Un
An
AP 
 
 
Portanto, a probabilidade de um vento é dada pelo quociente da divisão do 
número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. 
Exemplo 
 
Considerando: 
 
a) o lançamento de um dado e o evento obter um número primo, temos: 
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(U) = 6, A = {2; 3; 5} e n(A) = 3 
Assim: 
2
1
6
3
)(
)(
)( 
Un
An
AP
 
b) o lançamento de uma moeda e o evento obter cara, temos: 
U = {cara; coroa}, n(U) = 2, A = {cara} e n(A) = 1, ou seja. Um caso favorável para 2 
casos possíveis. 
Assim: 
2
1
)(
)(
)( 
Un
An
AP
 
 
c) o lançamento de 2 moedas e o evento ocorrer cara pelo menos uma vez, e 
representando cara por C e coroa por D, temos: 
U = {(C:C), {C;D), (D;C), (D;D)}, n(U) = 4, A = {(C;C), (C;D), (D;C)} e n(A) = 3,ou 
seja 3 casos favoráveis para 4 casos possíveis. 
Assim: 
4
3
)(
)(
)( 
Un
An
AP
 
Propriedades: 
1 - Se A = , então n(A) = 0 e , portanto. P(A) = 0 (probabilidade de evento impossível). 
2 - Se A = U, então n(A) = n(U) e P(A) =1 (probabilidade do evento certo). 
3 - Se A  U, então 0 ≤ n(A) ≤ n(U). 
 Dividindo a desigualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
1)(0
)(
)(
)(
)(
)(
0
 AP
Un
Un
Un
An
Un
 
 37 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade do 
evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 
4 – Se A e A são eventos complementares, então n(A) + n( A ) = n(U). 
 Dividindo a igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
1)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(



APAP
Un
Un
Un
An
Un
An 
Exemplo: 
Sendo A o evento ocorrer um número par no lançamento de um dado e A o 
evento ocorrer um ímpar, temos: 
A = {2; 4; 6} e A = {1; 3; 5} 
A e A são complementares, pois n(A) + n( A ) = n(U) = 6 e P(A) = P( _A )
2
1
6
3

, 
Assim: 
1
2
1
2
1
)()( 

APAP
 
Exercícios: 
1 - Na escolha de um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que seja sorteado um 
múltiplo de 5? 
 
2 - Qual a probabilidade de, no simultâneo de dois diferentes, obtemos a soma 7? 
 
3 - (FGV-SP) No jogo da Sena seis números distintos são sorteados dentre os números 1, 
2, 3, ..., 50. A probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam 
ímpares vale, aproximadamente: 
 
3 - Ao jogarmos 2 dados distintos, qual a probabilidade de obtermos pontos diferentes nos 
2 dados? 
 
4 - Uma urna tem 3 bolas brancas e 4 azuis. Retirando ao acaso 2 bolas, qual a 
probabilidade de ambas serem brancas? 
 
 
Soma de Probabilidades 
 
Se A e B são 2 eventos de um espaço amostral U, sabemos que n(A  B) = 
n(A) + n(B) – n(A  B). 
 
 
 38 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
Dividindo essa igualdade por n(U) ≠ 0, temos: 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Un
BAn
Un
Bn
Un
An
Un
BAn 


 
ou 
)()()()( BAPBPAPBAP 
 
Obs: 
 Se A  B = , os eventos são mutuamente exclusivos, isto é, P(A  B) = 
P() = 0. 
Daí: 
)()()( BPAPBAP 
 
 
Exemplo: 
 Qual é a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número 
ímpar. 
 O espaço amostral é U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  n(U) = 6 
 
 Ocorrência do número 3  A = {3} n(A) = 1 
Os eventos são: 
 Ocorrência de um número ímpar  B = {1; 3; 5}  n(B) = 3 
 
 
2
1
6
3
6
1
6
3
6
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
1)(}3{





BAP
Un
BAn
Un
Bn
Un
An
BAP
BAPBPAPBAP
BAnBA
 
ou P(A  B) = 50% 
 
 
 
 1 
 B 
 5 
3 
 A 
U 
 
2 
 
 
 
 
4 6 
 39 
Matemática Básica 
Médio 
 
Outro método 
O evento ocorrência de número 3 ou número ímparé: 
A = {1; 3; 5}n(A) = 3 
Logo: 
%50
2
1
6
3
)(
)(
)( 
Un
An
AP
 
Se A  B =  e A  B = U então A e B são chamados eventos exaustivos. 
Neste caso além de P(A  B) = 0 temos também P(A  B) = P(U) = 1. 
Logo: 
1)()()(  BPAPBAP
 
 
Exercícios: 
1 - Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo 
de 3? 
 
2 - Qual a probabilidade de , um jogo de dominó(28 “pedras”), ser jogada uma “pedra” 
que tenha o número 2 ou o número 3? 
 
3 - (Unesp-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade 
de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou a 9 é: 
 
4 - Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composição: 
 Loiras Morenas Total 
Olhos azuis 10 20 30 
Olhos castanhos 30 40 70 
Total 40 60 100 
 
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo o seu nome ao acaso, qual 
a probabilidade de sair: 
a) Loira. 
b) Loira de olhos castanhos e morenas de olhos azuis. 
 
5 - Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face “6” saiu com o 
dobro da freqüência da face “1” e que as outras faces saiam com a freqüência esperada 
em um dado não viciado. Qual a freqüência da face “1”? 
 
 
 
Probabilidade condicional 
 
 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral U, com P(B) ≠0. 
 Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de 
ocorrência do evento A, sabendo-se que vai ocorrer ou já ocorreu o evento B. 
A probabilidade condicional é definida por: 
 40 
Matemática Básica 
Médio 
)(
)(
)/(
Bn
BAn
BAP


 (1) 
Sendo, 
)(
)(
)(
Un
BAn
BAP


 e 
)(
)(
)(
Un
Bn
BP 
; substituindo em (1), temos: 
 
)(
)(
)/(
)().(
)().(
)/(
BP
BAP
BAP
BPUn
BAPUn
BAP




 
Se P(A/B) = P(A), o evento A é dito independente de B e, nesse caso, tem-se: 
)().()(
)(
)(
)( BPAPBAP
BP
BAP
AP 


 
 
 
1 - Retirando uma carta de um baralho comum, de 52 cartas, e 
sabendo que saiu uma carta de ouros, qual a probabilidade de 
ser uma dama? 
2 - Jogando um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6. 
Qual a probabilidade de se obter: 
a) O número 1 sabendo que saiu um número ímpar? 
b) Um número par sabendo que saiu um número maior que 3 
 
3 - Numa urna existem 6 bolas laranjas e 4 verdes que diferem pela cor ou pela 
numeração. As laranjas estão numeradas de 1 a 6, e as verdes de 1 a 4. Retirando uma 
bola ao acaso, os eventos bolas laranjas e números pares, são dependentes ou 
independentes. 
 
 
4 - Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 
estudam matemática e física. Determine a probabilidade de um aluno que estuda 
matemática também estudar física. 
 
 41 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
Matrizes 
 
Introdução 
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja 
cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre 
outras. Vejamos um exemplo. 
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: 
 Química Inglês Literatura Espanhol 
A 8 7 9 8 
B 6 6 7 6 
C 4 8 5 9 
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que 
fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. 
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, 
como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes: 
 
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são 
enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: 
 
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são 
denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. 
Veja mais alguns exemplos: 
é uma matriz do tipo 2 x 3 
 42 
Matemática Básica 
Médio 
 
é uma matriz do tipo 2 x 2 
 
Notação geral 
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por 
letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha 
e a coluna que o elemento ocupa. 
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: 
 
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a 
coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª 
linha e da 3ª coluna. 
Na matriz , temos: 
 
 
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. 
 
Denominações especiais 
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. 
Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A 
=[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. 
 
 43 
Matemática Básica 
Médio 
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.Por exemplo, do 
tipo 3 x 1 
 
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e 
colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do 
tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. 
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A 
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. 
 Veja: 
 
Observe a matriz a seguir: 
 
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) 
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. 
Por exemplo, . 
 
 
 
 44 
Matemática Básica 
Médio 
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos. Por exemplo: 
 
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são 
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por 
exemplo: 
 
 
Assim, para uma matriz identidade . 
 
Matriz transposta: matriz A
t
 obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as 
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: 
 
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A
t
 é do tipo n x m. 
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A
t
 e a 2ª linha de A 
corresponde à 2ª coluna de A
t
. 
Matrizes 
Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A
t
 . Por exemplo, 
 
 45 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. 
 
Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos 
de A. Por exemplo, . 
 
Igualdade de matrizes 
 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os 
elementos que ocupam a mesma posição são iguais: 
 
. 
 
Operações envolvendo matrizes 
 
Adição 
Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas 
matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo : 
A + B = C 
Exemplos: 
 
 
 
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. 
Propriedades 
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes 
propriedades para a adição: 
a) comutativa: A + B = B + A 
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) 
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n 
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 
 
 46 
Matemática Básica 
Médio 
 
Subtração 
Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre 
essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: 
A - B = A + ( - B ) 
Observe: 
 
 
 
 
1 - Sendo as matrizes









nmyx
nmyx
A
32
 e 








101
68
B
, achar os valores de x, y, m e n para que se 
tenha A=B. 
2 - Determine x e y, sabendo que as matrizes 








yx
yx 52 = 






1
9 são iguais: 
3 - Se 







bayx
bayx =





 
31
15 , determine x, y, a e b. 
4 - Sendo as matrizes








112
52
A
 e 









152y
yxyx
B
, calcule x e y de modo 
que tBA  . 
 
5 - Sejam as matrizes 


















16
40
323
24
tz
yx
z
yx
A e 


















136
140
323
245
B . Se 
tt BA 
, determine x, y, z e t. 
 
6 - Dadas as matrizes 





 

108
62
A
, 








01
23
B
 e 







42
63
C
, calcular: 
 a) 
CBA 
 b) 
CBA 
 
 
 47 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
7 - Determinar x, y e z sabendo que: 








31
42
y
x +








13
321 z = 






42
3 z . 
 
8 - Dadas as matrizes A = 
001
120
321

, B = 
142
020
201


e C = 
210
231

 
calcule: 
a) 2B – 3A b) A.C 
 
9 - Dadas as matrizes A =
635
000 , B = 
2241
0412
3311



e C = 
500
361
054


 calcule: 
a) A.B 
b) 3B + 2C 
 
10 - Determine a matriz A = (aij), de ordem 3, definida por: 
a) aij= 3i – 2j. 
b) aij= 2i + j. 
 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz 
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é 
uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou 
seja, bij = xaij: 
B = x.A 
Observe o seguinte exemplo: 
 
 
Propriedades 
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, 
valem as guintes propriedades: 
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A 
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB 
 48 
Matemática Básica 
Médio 
 
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA 
+ yA 
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A 
 
Multiplicação de matrizes 
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos 
sus respectivos elementos. 
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x 
n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos 
correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. 
Vamos multiplicar a matriz para entender como se 
obtém cada Cij: 
1ª linha e 1ª coluna 
 
1ª linha e 2ª coluna 
 
2ª linha e 1ª coluna 
 
2ª linha e 2ª coluna 
 
 Assim, . 
 
 49 
Matemática Básica 
Médio 
 
 Observe que: 
 
Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a 
propriedade comutativa. 
Vejamos outro exemplo com as matrizes : 
 
 
 
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas 
de A for igual ao número de linhas de B: 
 
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de 
B(n): 
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto 
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1 
 
 
 
 50 
Matemática Básica 
Médio 
 
1 - Dadas as matrizes A = 
001
120
321

, B = 
142
020
201


e C = 
210
231

 
calcule: 
a) 2B – C.A b) A.C c) A – 3C.B 
 
2 - Dadas as matrizes A =
635
000 , B = 
2241
0412
3311



e C = 
500
361
054


 calcule: 
a) A.B 
b) B.C + 2C 
 
 
Determinantes 
 
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de 
colunas (ou seja, é do tipo nxn). 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de 
determinante. 
 Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; cálculo da área de um 
triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus 
vértices; 
 
Determinante de 1ª ordem 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número 
real a11: 
det M =Ia11I = a11 
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras 
verticais, que não têm o significado de módulo. 
Por exemplo: 
M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 
 
Determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante 
associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por: 
 51 
Matemática Básica 
Médio 
 
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. Veja o exemplo a seguir. 
 
 
Menor complementar 
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz 
M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz 
obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . 
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: 
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar 
relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
 
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: 
 
b) Sendo , de ordem 3, temos: 
 52 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
Regra de Sarrus 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo 
prático, denominado regra de Sarrus. 
Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os 
dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a 
soma deve ser precedida do sinal positivo): 
 
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os 
dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a 
soma deve ser precedida do sinal negativo): 
 53 
Matemática Básica 
Médio 
 
Assim: 
 
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de 
Laplace, encontraremos o mesmo número real. 
 
 
Propriedades dos determinantes 
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes 
propriedades: 
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante 
dessa matriz é nulo. 
Exemplo: 
 
 
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. 
Exemplo: 
 54 
Matemática Básica 
Médio 
 
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é 
nulo. 
Exemplo: 
 
P3) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. 
Exemplo: 
 
P4) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o 
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. 
Exemplos: 
 
 
 55 
Matemática Básica 
Médio 
P5) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz 
muda de sinal. 
Exemplo: 
 
 
 
 
1 - Dadas as matrizes A = 
001
120
321

, B = 
142
020
201


e C = 
210
231

 
calcule: 
a) detB – 3detAb) det(A.C) 
 
2 – Calcule os determinantes das matrizes abaixo: 
a) 





 
42
13 b)








01
12 c)








10
12 
d) 
15105
1293
622



 e) 
021
635
000

 f) 
333
312
021



 
 
g)
333
312
978



 h) 
02010
084
622



 
 
3 - Determine o valor de x nas matrizes abaixo: 
a) 
6
5






xx
x 
 
b) 
14
332
54



 x
xx
x
x 
 56 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Retas 
 
Geometria analítica: retas 
Introdução 
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência 
biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. 
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e 
determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, 
temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um 
segmento de reta de comprimento u: 
 
 Medida algébrica de um segmento 
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , 
temos: 
 
 
 A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à 
diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento. 
 
Plano cartesiano 
 A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René 
Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele 
faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. 
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). 
Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e 
da Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações 
algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. 
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: 
 57 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Exemplos: 
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) 
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0) 
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em 
nenhum quadrante. 
 
Distância entre dois pontos 
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos: 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: 
 
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5): 
 
 
 58 
Matemática Básica 
Médio 
 
Ponto médio 
Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos: 
 
 
Assim: 
 
 
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por: 
 
 
 
1) Represente os pontos A (3;2) B (1;-2) C (-3;4) D 
(2;2) E (0;0), no plano cartesiano: 
2) Determine a distância entre os pares de pontos 
abaixo: 
a) A(1;3) e B(-3;2) b) A(-2;-1) e B (4;1) c) A(1;-1) e 
B(-2;2) d) A(1;2) e B(4;0) 
3) Dados os pares de pontos a seguir, determine o ponto médio entre eles: 
a) A(8;7) e B(-2;-3) b) A(4;-1) e B(0;-3) c) A(0;0) e B(4;0) d) A( -1;0) e B(0;-1) 
 
 
Equações de uma reta 
 
Equação geral 
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de 
alinhamento de três pontos. 
Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e 
P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: 
 59 
Matemática Básica 
Médio 
 
 
 
Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são 
simultaneamente nulos , temos: 
ax + by + c = 0 
 
Equação Reduzida 
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy: 
 
Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos: 
 
 Fazendo , vem: 
 y = mx + q 
 
Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta 
em relação ao eixo Ox. 
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida. 
 
1) Determinar a equação geral e equação reduzida reta que passa pelos pontos a seguir: 
a) A (3;2) e B (1;-2) b)C (-3;4) e D (2;2) 
c) E (0;0) e F(1;2) d) A(1;3) e B(-3;2) 
e) A(-2;-1) e B (4;1) f) A(1;-1) e B(-2;2) 
g) A(1;2) e B(4;0) h) A(8;7) e B(-2;-3) 
i) A(4;-1) e B(0;-3) j) A(0;0) e B(4;0) 
 
 60 
Matemática Básica 
Médio 
Coeficiente angular 
Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que: 
)90(  tgm
 
O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo 
positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre . 
Assim: 
para ( a tangente é positiva no 1º quadrante) 
para ( a tangente é negativa no 2º quadrante) 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 61 
Matemática Básica 
Médio 
 
Determinação do coeficiente angular 
Pela coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e 
B(xB, yB) 
 
AB
AB
XX
YY
AC
CB
tg


1
 
Como ( ângulos correspondentes) temos que . 
Mas, m = tg Então: 
AB
AB
XX
YY
m



 
Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 
5) é: 
 
Distância entre ponto e reta 
Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é 
dada por: 
 
 
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0. 
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim: 
 
 
 
 
 62 
Matemática Básica 
Médio 
 
1 - calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: 
 a) A (3;2) e B(-3;2) b) A(1;-1) e D (2;2) 
c) A(-2;-1) e F(1;2) d) A(1;3) e B (1;-2) 
e) E (0;0) e B (4;1) f) C (-3;4) e B(-2;2) 
g) A(1;2) e B(4;0) h) A(4;-1) e B(-2;-3) 
i) A(8;7) e B(0;-3) j) A(0;0) e B(4;0) 
 
2 - determine a distância entre as retas e pontos a seguir: 
a) (r) = 2x + 2y -1 e A(0;0) 
b) (r) = -3x – 4y + 2 e A(1;-1) 
c) (r) = x – 2y +1 e A(2;2) 
d) (r) = 8x + 6y -3 e A(1;0) 
 
Geometria Analítica: Circunferência 
 
Equações da circunferência 
Equação reduzida 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um 
ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: 
 
 Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a 
distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
 
 63 
Matemática Básica 
Médio 
Portanto, (x - a)
2
 + (y - b)
2
 =r
2
 é a equação reduzida da circunferência e permite 
determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas 
do centro e o raio. 
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação 
da circunferência será x
2
 + y
2
 = r
2
 . 
 
Equação geral 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro 
C(2, -3) e raio r = 4. 
A equação reduzida da circunferência é: 
( x - 2 )
2
 +( y + 3 )
2
 = 16 
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: 
 
 
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a 
equação geral 
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração 
de trinômio quadrado perfeito para transformá-la