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Aula 02_2015.1

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FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ 
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA - UNIFOR 
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT 
Cursos: Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, Engenharia Ambiental e Sanitária 
Profa: Glacianne Maia 
 
01.02 
Medições de Distâncias e Ângulos; 
Tipos de Erros 
Grandezas Geométricas ÂNGULOS e DISTÂNCIAS. Assim, é de fundamental 
importância o estudo minucioso de métodos e instrumentos utilizados na 
obtenção destes. 
GRANDEZAS A SEREM MEDIDAS 
Profa. Glacianne Maia 
GONIOLOGIA: 
É a parte da topografia em que se estuda, de modo geral, os ângulos por esta 
utilizados. 
 
 
 
Os ângulos são medidos 
plano horizontal 
 
 
plano vertical 
 
Os instrumentos que medem ângulos dão imediatamente sem cálculos, não o 
ângulo no espaço, mas sua projeção sobre o plano horizontal do lugar. 
Os ângulos que os alinhamentos fazem em si 
MEDIDAS ANGULARES 
Profa. Glacianne Maia 
Profa. Glacianne Maia 
Os ângulos que os alinhamentos fazem com a direção constante, 
linha norte /sul magnético ou verdadeiro 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS 
NO PLANO HORIZONTAL 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
Ângulo formado por dois planos verticais que contém as direções 
formadas pelo ponto ocupado e os pontos visados. 
 
É medido sempre na 
horizontal, razão pela qual 
o aparelho deve estar 
devidamente nivelado. 
Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
 Geométricos: - Internos e Externos 
 - Deflexão 
 - Irradiados 
 Geográficos: - Azimute 
 - Rumo 
 
Para proceder ao levantamento planimétrico de uma estrada ou de uma 
poligonal topográfica de contorno, devemos medir : 
 
A orientação 
 
Comprimento de uma série de alinhamentos 
 
 Dois são os processos, geralmente utilizados, para medir os ângulos 
que os alinhamentos fazem entre si em projeção horizontal: 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
Ângulos Horizontais Internos 
 
Ângulos Horizontais Externos 
 
São os ângulos voltados para dentro da poligonal fechada. 
 
Esses ângulos variam de zero à 360° e seu somatório em uma poligonal 
fechada deve ser igual a 180° ( n - 2 ), sendo n o número de vértices 
dessa poligonal. 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
Ângulo Horizontal Interno 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
Ângulo Horizontal Interno 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
 VÉRTICES ANGULOS INTERNOS 
Ângulo Horizontal Interno 
São ângulos medidos do lado externo a uma poligonal fechada. 
 
Variam de 0° a 360° e podem ser lidos no sentido horário. Seu 
somatório em uma poligonal fechada deve ser igual a 180° ( n + 2 ), 
sendo n o número de vértices dessa poligonal. 
 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Externo 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Externo 
A deflexão é o ângulo horizontal obtido a partir do prolongamento do 
alinhamento até o alinhamento seguinte, portanto podendo estar a 
direita ou esquerda. 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Deflexão 
Este ângulo varia de 0° a 180°. Pode ser positivo, ou à direita, se o sentido 
de giro for horário; negativo, ou à esquerda, se o sentido de giro for anti-
horário. 
 
 
  Dd -  De = 360 
 
 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Deflexão 
Rumo de uma linha é o menor ângulo, 
medido a partir do NORTE ou do SUL, no 
sentido horário (à direita) ou sentido 
anti-horário (à esquerda) e variando de 
0° a 90°. 
Além do valor numérico do ângulo, 
acrescenta uma sigla (NE, SE, SW, NW). 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Rumo 
Adaptado de Veiga, pg. 78 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Rumo 
Azimute é o ângulo horizontal 
formado entre a direção Norte/Sul e 
o alinhamento em questão. 
 
É medido a partir do Norte, no 
sentido horário (à direita), podendo 
variar de 0° a 360°. 
 
 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Azimute 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Ângulo Horizontal Azimute 
Transformação de Azimutes em Rumos e de Rumos em Azimutes 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Azimute = Rumo 
CONVERSÃO DE RUMOS EM AZIMUTES 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
REVISÃO 
EXERCICIO 
(Entrega próxima aula) 
Transformar os Azimutes em Rumos e representar graficamente 
utilizando transferidor 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Cálculo dos azimutes a partir dos ângulos interno e/ou externo 
Na execução de um levantamento planimétrico, para facilitar o 
trabalho de campo, podemos medir somente um azimute e calcular 
posteriormente os demais através das seguintes fórmulas: 
 Azb = Aza + Ai + 180° (se Aza + Ai < 180°) 
 
 Azb = Aza + Ai - 180° (se Aza + Ai > 180°) 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Exemplo de cálculo: 
 
Calcule os azimutes (B e C) de cada alinhamento, sabendo que o 
azimute anterior é de 313°12’50” e o ângulo interno entre estes 
medem: 
 
Ângulo de B = 88°35´10” 
Ângulo de C = 90°45’20” 
 
Cálculo dos azimutes a partir do ângulo interno 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Exercício: Determine os ângulos horizontais abaixo 
1 
5 
4 
3 
2 
6 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS 
NO PLANO VERTICAL 
É o ângulo formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a 
linha de visada, medido no plano vertical que contém os pontos. Varia 
de 0° a +90° (acima do horizonte) e 0° a -90° (abaixo do horizonte). 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS VERTICAIS 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS VERTICAIS 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS VERTICAIS 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS VERTICAIS 
Exercício para entrega: 
Aplicando os fundamentos básicos da trigonometria é possível 
resolver numerosas situações da vida real. Um exemplo disso é o 
procedimento para determinar a altura de um ponto inacessível 
através de um ângulo vertical. Com base nesses conceitos analise a 
situação esquematizada na figura e calculo a altura (H) da edificação a 
partir dos dados fornecidos. 
 
Em que: 
Ângulo vertical α = 19° 
Distancia Horizontal (DH)= 42,67 m 
Altura do instrumento (i) = 1,41 m 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS ANGULARES 
ÂNGULOS VERTICAIS 
MEDIDAS LINEARES 
Em topografia usa-se de forma preferencial as distâncias horizontais e 
verticais (alturas), por estas serem as que são representadas sobre as 
plantas topográficas. 
Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no 
plano horizontal. (GARCIA, 1984) 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS LINEARES 
Distancias e Alturas 
- Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância 
medida entre dois pontos, numplano vertical que é perpendicular ao 
plano horizontal. 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS LINEARES 
Distancias e Alturas 
- Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em 
planos que seguem a inclinação da superfície do terreno. 
Gradiente(G) ou declividade percentual: 
G = (DN / D) × 100 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS LINEARES 
Distancias e Alturas 
Profa. Glacianne Maia 
MEDIDAS LINEARES 
Distancias e Alturas 
UNIDADES DE MEDIDAS 
ANGULARES E LINEARES 
SEXAGESIMAL 
No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a 
circunferência está dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte 
de 1° (um grau, que constitui a unidade do sistema sexagesimal). 
 
Notação: grau ( o) 
 minutos ( ‘ ) 
 segundos ( “ ) 
As unidades de medidas angulares são: 
 
Grau decimal → 57,98° 
 
Grau sexagesimal → 57°58’48” 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
REVISÃO DE UNIDADES ANGULARES (Entrega próxima aula) 
Converter os valores abaixo 
GRAU DECIMAL GRAU SEXAGESIMAL 
37°40’12” 
236,27° 
12,50° 
199,4627° 
128°22’57” 
0,86° 
0°6’18” 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
A unidade padrão para medida linear é o metro (m) >>> 
corresponde a décima milionésima parte do quadrante do 
meridiano terrestre, conforme deliberação da Assembléia 
Nacional da Franca, que o adotou a partir de 26/03/1791. No 
Brasil, o DECRETO n° 4.257 de 16/06/1839 regulou o 
assunto). 
 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
Leia a seguinte medida: 12,56 m² Lê-se 12 metros quadrados e 56 
decímetros quadrados 
Medidas de Superfície 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
REVISÃO DE UNIDADES MÉTRICAS (Entrega próxima aula) 
Completar a tabela e escreva como se lê em metros 
DISTÂNCIA KM M CM 
1.745,6 hm 
147,370 dm 
345,64 mm 
5,881 dam 
1.600 dam 
120 hm 
48.500 dm 
Profa. Glacianne Maia 
UNIDADES DE MEDIDAS 
LINEARES E ANGULARES 
ERROS DE MEDIÇÃO 
Profa. Glacianne Maia 
FONTES DE ERRO: 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS: 
Condições Ambientais 
Instrumentais 
Pessoais 
Erros Grosseiros 
Erros Sistemáticos 
Erros Acidentais ou Aleatórios 
EXERCICIO 2 
Elaborar um resumo abordando os tipos de erros nas 
medições de distância e ângulos. 
 
Escrever no máximo uma folha (oficio ou almaço). 
 
Citar as fontes conforme a norma da ABNT. 
 
Entregar na próxima aula teórica 
 
Sugestões de leitura nas referências a seguir. 
BORGES, Alberto de Campos. Topografia aplicada à engenharia civil. 2. ed. rev. e ampl. 
São Paulo: Edgard Blucher, 1999. v.1. (CAP. 06) 
DOMINGUES, F. A. A., Topografia e astronomia de posição para 
engenheiros e arquitetos. São. Paulo, Ed. McGraw‐Hill do Brasil. 1979. 
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. 9A Ed. Rio de Janeiro: Globo. 1987, 655p. 
GARCIA, G.J.; PIEDADE, G.C.R. Topografia Aplicada às Ciências Agrárias. 5ª ed. São Paulo: 
Nobel, 1984. 
LOCH, Carlos. Topografia contemporânea: planimetria. Colaboração de Jucilei Cordini. 2. 
ed. rev. Florianópolis: Editora da UFSC, 2000. 
MEDINA, A. S. Classificação de teodolitos e estações totais na UFPR. Curitiba; 1998; 108 f. 
Dissertação (Mestrado em Ciências Geodésicas) - Universidade Federal do Paraná, 
Curitiba. 
NBR 13.133: Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT, 1994. 
VEIGA, L.A.K. et al. (2012). Fundamentos de Topografia. 
http://www.cartografica.ufpr.br/docs/topo2/apos_topo.pdf 
Profa. Glacianne Maia 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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