Teoria das filas - Prado

Prévia do material em texto

Página � PAGE �32�
CAPÍTULO 2
FILAS: CONCEITOS BÁSICOS (I)
1) Considere um sistema em que navios chegam a um porto para carregar algum produto. Abaixo estão anotados os valores de intervalos entre chegadas (em horas) para 20 navios:
	Cliente
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	Intervalo
	10
	02
	13
	07
	02
	08
	08
	08
	10
	09
	01
	14
	14
	01
	10
	09
	09
	09
	08
	14
As durações da carga (em horas) de cada navio são as seguintes:
	Cliente
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	Duração
	05
	05
	03
	03
	06
	07
	06
	08
	02
	05
	08
	08
	08
	03
	04
	03
	03
	04
	05
	05
Pede-se:
a) O intervalo médio entre chegadas
IC = 166 horas / 20 navios
IC = 8,3 horas
b) A duração média da carga
TA = 101 / 20
TA = 5,05 horas
c) Monte o desenho do funcionamento do sistema acima
(Vide anexo 1)
d) Calcule o tamanho médio da fila
NF = (3 + 1 + 4 + 7) / 171
NF = 0,09 navios
e) Calcule o tempo médio de espera na fila
TF = (3 + 1 + 4 + 7) / 20
TF = 0,75 horas
2) Escreva os valores acima, referentes aos intervalos entre chegadas, em pequenos pedaços de papel, dobrando-os em seguida como se os preparasse par um sorteio. Misture as bolinhas de papel e, a seguir, vá abrindo-os e anotando os valores. Você obteve assim uma nova seqüência de valores para os intervalos entre chagadas. Repita o processo para as durações do atendimento. Refaça então exercício 1.
Chegadas após o sorteio:
	Cliente
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	Intervalo
	14
	08
	09
	09
	10
	13
	02
	08
	02
	09
	08
	14
	01
	10
	10
	08
	07
	14
	01
	09
Atendimento após o sorteio:
	Cliente
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	Duração
	08
	05
	08
	07
	03
	05
	03
	06
	05
	03
	08
	05
	04
	03
	03
	08
	06
	05
	04
	02
a) O intervalo médio entre chegadas
IC = 166 horas / 20 navios
IC = 8,3 horas
b) A duração média da carga
TA = 101 / 20
TA = 5,05 horas
c) Monte o desenho do funcionamento do sistema acima
(Vide anexo 2)
d) Calcule o tamanho médio da fila
NF = (3 + 4 + 4 + 1 + 4) / 168
NF = 0,095 navios
e) Calcule o tempo médio de espera na fila
TF = (3 + 4 + 4 + 1 + 4) / 20
TF = 0,8 horas
3) Compare os resultados dos exercícios 1 e 2. Você deve ter encontrado os mesmos valores médios (itens a e b), mas valores diferentes para os itens de e. Explique por quê.
Os valores dos itens a e b, pois mesmo mudando a ordem o tempo total de atendimento e de chegada vão ser os mesmos, sendo o nº de clientes o mesmo a média vai ser igual.
Já os itens c e d estão diretamente ligados em relação a chegada e o tempo de atendimento e mudando-se a ordem de chegada e do tempo de atendimento o tempo na fila vai mudar podendo sua media aumentar ou diminuir.
CAPÍTULO 3
FILAS: CONCEITOS BÁSICOS (II)
1) Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, em média, 4 entregadores por minuto para pegar o produto a ser entregue. Sabe-se ainda, que o número médio de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual o tempo médio no sistema?
= 4
NS = 6
NS = . TS
6 = 4 . TS
TS = 1,5 min
2) No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo médio da entrega (TFS)?
tam. pop = 40
 = 4
TS = 1,5 min
Ciclo = tam. pop / 
Ciclo = 40 / 4 = 10 min
Ciclo = TS + TFS
10 = 1,5 + TFS
TFS = 8,5 min
3) Em um sistema de computação tem-se:
- Tempo médio de pensar e fornecer dados (TFS) = 15 segundos.
- Quantidade de terminais ativos = 40.
- Taxa de chegada de transações = 2 por segundo.
Pede-se o tempo de resposta do computador (TS).
tam. pop = 40
 = 2
TFS = 15 seg
Ciclo = tam. pop / 
Ciclo = 40 / 2 = 20 seg
Ciclo = TS + TFS
20 = TS + 15
TS = 5 seg
4) Em uma mineração temos 12 caminhões efetuando um ciclo no qual consomem 4 minutos entre fila e carregamento pela escavadeira (TS) e, a seguir, gastam 8 minutos para levar a carga até o britador e voltar (TFS). Calcular e NS.
tam. pop = 12
TS = 4 min
TFS = 8 min
Ciclo = TS + TFS
Ciclo = 4 + 8 = 12 min
Ciclo = tam. pop / 
12 = 12 / 
 = 1
NS = . TS
NS = 1 . 4
NS = 4 caminhões
5) Em um sistema de computação temos 21 terminais. O tempo médio de resposta do computador (TS) é de 2 segundos existem, em média, 6 transações (NS) dentro do sistema. 
Pede-se:
a) Qual a taxa de chegada de transações?
NS = 6
TS = 2 seg
NS = . TS
6 =  . 2
 = 3
b) Qual a duração de um ciclo?
tam. pop = 21
Ciclo = tam. pop / 
Ciclo = 21 / 3
Ciclo = 7 seg
c) Qual o tempo médio de pensar e fornecer os dados (TFS)?
Ciclo = TS + TFS
7 = 2 + TFS
TFS = 5 seg
6) No desenho seguinte, representativo do fluxo de peças em um setor de uma fábrica, calcule o fluxo de chegada em cada equipamento.
A = 10
 = 20
C = A
C = 10
DC + B = 10 + 20
D = 30
E = 0,3 . D = 0,3 . 30
E = 9
F = 0,7 . D = 0,7 . 30
F = 21
 
CAPÍTULO 4
OS PROCESSOS DE CHEGADA E DE ATENDIMENTO
1) Um profissional do ramo de Pesquisa Operacional foi solicitado para efetuar um estudo em uma firma distribuidora de gasolina. Esta firma possui um pátio com uma bomba, onde os caminhões são carregados com gasolina. Com o aumento das vendas, tem acontecido frequentemente que o pátio fica lotado de caminhões, além de atrapalhar também o transito na estrada ao lado. Assim, sua missão é redimensionar o pátio no que se refere ao número ótimo de postos de atendimento. Inicialmente, ele estudou o ritmo de chegada, fazendo uma coleta e dados, conforme mostrado a seguir, que relaciona a quantidade de veículos que chegou ao pátio em cada um dos 80 intervalos de 1 hora:
Pede-se: Verificar graficamente se o ritmo de chegadas se aproxima da Distribuição de Poisson.
	Ritmo de Chegada
(x)
	Freqüência
Absoluta
	Freqüência
Relativa
	Poisson
(f(x) = x e- / x!)
	0
	1
	0,013
	0,007
	1
	1
	0,013
	0,034
	2
	9
	0,113
	0,084
	3
	11
	0,137
	0,140
	4
	16
	0,200
	0,175
	5
	13
	0,162
	0,175
	6
	10
	0,125
	0,146
	7
	7
	0,087
	0,104
	8
	5
	0,062
	0,065
	9
	3
	0,037
	0,036
	10
	2
	0,025
	0,018
	11
	1
	0,013
	0,008
	12
	1
	0,013
	0,003
 = 401 / 80 = 5
Segundo o gráfico, os dados seguem a Distribuição de Poisson.
2) O mesmo profissional do exercício 1 estudou a seguir o processo de atendimento no pátio. Os dados da tabela abaixo mostram a duração de cada atendimento em minutos:
Pede-se: Verificar graficamente se o ritmo de chegadas se aproxima da Distribuição Exponencial Negativa.
	Tempo de atendimento
(x)
	Freqüência
Absoluta
	Freqüência
Relativa
	Exponencial
(F(x) = 1 - e-x
	3 – 6
	16
	0,16
	0,451
	6,5 – 9
	34
	0,34
	0,593
	9,5 – 12
	20
	0,20
	0,699
	12,5 – 15
	16
	0,16
	0,777
	15,5 – 18
	7
	0,07
	0,835
	18,5 – 21
	3
	0,03
	0,878
	21,5 – 24
	2
	0,02
	0,909
	24,5 – 27
	1
	0,01
	0,933
	27,5 - 30
	1
	0,01
	0,950
TA = 1001 / 100 = 10 min = 0,166 h
TA = 1 / 
 = 6
Segundo o gráfico, os dados não seguem a Distribuição Exponencial.
3) Em uma fábrica as máquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a Distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de conserto ao departamento responsável pela manutenção. Qual a probabilidade de, em uma dada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
a) Zero
Segundo a 2ª tabelado apêndice B (com  = 4 e x = 0):
f(0) = 0,018
b) 1 falha
Segundo a 2ª tabela do apêndice B (com  = 4 e x = 1):
f(1) = 0,073
c) Até 4 falhas
Segundo a 2ª tabela do apêndice B (com  = 4, x = 1, x = 2, x = 3 e x = 4):
f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,628
d) Mais que 4 falhas
Segundo a 2ª tabela do apêndice B (com  = 4, x = 1, x = 2, x = 3 e x = 4):
1 – [ f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] = 1 – 0,628 = 0,372
e) 12 falhas
Segundo a 2ª tabela do apêndice B (com  = 4 e x = 12):
f(12) = 0,001
4) Em um dado sistema o intervalo médio entre duas chegadas é IC = 10 minutos (ou = 6 chegadas por hora, Distribuição Exp. Negativa). Pede-se a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja:
6
a) Até 6 minutos
6 min = 0,1 h
Segundo a 1ª tabela do apêndice D (com  = 6 e x = 0,1):
F(0,1) = 0,451
b) Maior que 6 minutos
Segundo a 1ª tabela do apêndice D (com  = 6 e x = 0,1):
1 – F(0,1) = 0,549
c) Entre 6 e 30 minutos
30 min = 0,5 h
Segundo a 1ª tabela do apêndice D (com  = 6, x = 0,1 e x = 0,5):
F(0,5) – F(0,1) = 0,950 – 0,451 = 0,499
d) Maior que 30 minutos
Segundo a 1ª tabela do apêndice D (com  = 6, x = 0,1 e x = 0,5):
1 – F(0,5) = 1 – 0,950 = 0,05
5) A duração média de carga de um caminhão em uma empresa de atacado é de 20 minutos (ou seja,  = 3 atendimentos por hora). Considere que o processo segue a Distribuição Exponencial Negativa e calcule a probabilidade de que o tempo de carga seja de:
10 min = 0,166 h
20 min = 0,333 h
30 min = 0,500 h
40 min = 0,666 h
50 min = 0,833 h
60 min = 1,000 h
a) Até 10 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(0,166) = 0,393
b) Entre 10 e 20 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(0,333) – F(0,166) = 0,239
c) Entre 20 e 30 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(0,5) – F(0,333) = 0,144
d) Entre 30 e 40 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(0,666) – F(0,5) = 0,088
e) Entre 40 e 50 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(0,833) – F(0,666) – 0,053
f) Entre 50 e 60 minutos
F(x) = 1 - e-x
F(1) – F(0,833) = 0,033
CAPÍTULO 6
O MODELO M/M/1
1) Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora, em média, 16 minutos. Qual o tempo médio de espera na recepção? E no sistema?
 = 3
TA = 16 min = 0,266 h
TA = 1 / 
0,266 = 1 / 
 = 3,75
TF =  /  . ( – )
TF = 3 / 3,75 . (3,75 – 3)
TF = 1,07 h
TS = 1 / ( – )
TS = 1 / (3,75 – 3)
TS = 1,33 h
2) Pessoas chegam numa bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espera e a fração de tempo em que a bilheteria não trabalha.
 = 25
TA = 2 min = 0,033 h
TA = 1 / 
0,033= 1 / 

NF = 2 /  . ( – )
NF = 252 / 30 (30 – 25)
NF = 4,17
TF =  /  . ( – )
TF = 25 / 30 (30 – 25)
TF = 0,166 h = 10 min
Pn = [1 – ((n
P0 = 1 – (25 / 30)
P0 = 0,17 = 17%
3) Em um sistema no qual = 4 clientes por hora e = 6 clientes por hora, qual a probabilidade de existir no sistema:
Sendo = 4/6 = 0,67
a) zero clientes
Pn = [1 – ((n
P0 = 1- 0,67
P0 = 0,33
b) 1 cliente
Pn = [1 – ((n
P1 = (1-0,67) . (0,67)
P1 = 0,22
c) 3 ou 4 clientes
Pn = [1 – ((n
P3 = (1-0,67) . (0,67)3 = 0,10
P4 = (1-0,67) . (0,67)4 = 0,07
P3 + P4 = 0,10 + 0,07 = 0,17
d) 5 ou mais clientes
Pn = [1 – ((n
P2 = (1-0,67) . (0,67)2 = 0,15
1 – (P0 + P1 + P2 + P3 + P4) = 1 – 0,87 = 0,13
4) No mesmo sistema anterior, admitindo-se o custo do cliente parado de $10 por hora, pede-se o custo horário de clientes no sistema.
NS =  / ( – )
NS = 4 / (6 – 4)
NS = 2
Custo = 2 . $10 = $20
5) Uma empresa deseja comprar um equipamento par efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 12 falhas por semana. Possui duas opções: o equipamento marca A custa $ 20.000,00 e é capaz de efetuar 15 consertos por semana; o equipamento B custa $ 80.000,00 e é capaz de efetuar 50 consertos por semana. Sabe-se que o custo semanal de uma máquina parada é de $ 500,00 e que o tempo de vida útil de ambos os equipamentos é de 5 anos. Pergunta-se: Qual equipamento deve ser adquirido de modo que o custo total anual (52 semanas) seja mínimo?
- Para calcular o custo anual do equipamento efetue a operação: (Custo Anual) = (Custo do Equipamento) x (fator de recuperação do capital).
- Considere uma taxa de juros de 15% ao ano. Assim temos que o fator de recuperação de capital é 0,2984.
= 12
Custo de A:
A= 15
NS =  / ( – )
NSA = 12 (15-12) = 4
Custo da máquina parada para A (semanal) = 4 . $500 = $2.000
Custo da máquina parada para A (anual) = 52 . $2.000 = $104.000
Custo anual do equipamento A = $20.000 x 0, 2984 = $5.968
Custo total anual de A = $104.000 + $5.968 = $109.968
Custo de B:
B= 15
NS =  / ( – )
NSB = 12 (50-12) = 0,32
Custo da máquina parada para B (semanal) = 0,32 . $500 = $160
Custo da máquina parada para B (anual) = 52 . $160 = $8.320
Custo anual do equipamento B = $80.000 x 0, 2984 = $23.872
Custo total anual de B = $8.320 + $23.872 = $32.192
Para que o custo anual seja mínimo o equipamento B deve ser adquirido.
6) Em um sistema de filas seqüenciais (veja figura), no qual as peças fluem pela linha de produção, temos: 1 = 10, 2 = 5,1 = 15,2 = 30 e 3 = 20.
Calcule:
a) NF, TF, NS e TS para cada servidor.
Para estação 1:
1 = 10
1 = 15
NF = 2 /  . ( – )
NF1 = 102 / 15 . (15 – 10)
NF1 = 1,33
TF =  /  . ( – )
TF1 = 10 / 15 . (15 – 10)
TF1 = 0,13
NS =  / ( – )
NS1 = 10 / (15 – 10)
NS1 = 2
TS = 1 / ( – )
TS1 = 1 / (15 – 10)
TS1 = 0,2
Para estação 2:
2 = 5
2 = 30
NF = 2 /  . ( – )
NF2 = 52 / 30 . (30 – 5)
NF2 = 0,03
TF =  /  . ( – )
TF2 = 5 / 30 . (30 – 5)
TF2 = 0,007
NS =  / ( – )
NS2 = 5 / (30 – 5)
NS2 = 0,2
TS = 1 / ( – )
TS2 = 1 / (30 – 5)
TS2 = 0,04
Para estação 3:
3 = 1 + 2 = 10 + 5 = 15
3 = 20
NF = 2 /  . ( – )
NF3 = 152 / 20 . (20 – 15)
NF3 = 2,25
TF =  /  . ( – )
TF3 = 15 / 20 . (20 – 15)
TF3 = 0,15
NS =  / ( – )
NS3 = 15 / (20 – 15)
NS3 = 3
TS = 1 / ( – )
TS3 = 1 / (20 – 15)
TS3 = 0,2
b) NS e TS para o sistema como um todo.
NSTOTAL = NS1 + NS2 + NS3 = 2 + 0,2 + 3
NSTOTAL = 5,2
TS para quem chega pela estação 1 (TSA):
TSA = TS1 + TS3 = 0,2 + 0,2
TSA = 0,4
TS para quem chega pela estação 2 (TSB):
TSB = TS2 + TS3 = 0,04 + 0,2
TSB = 0,24
7) Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e os que são rejeitados (20%) vão pra uma área de reparo existente no próprio setor. Atualmente os dados são os seguintes (distribuição exponencial):
- A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor.
- O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes.
- O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado
- O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários
- Os tempos de deslocamento do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto.
Pede-se:
a) NF, NS, TF e TS.
(1) Para o instalador:
IC1 = 40 min = 0,666 h
IC1 = 1 / 
 = 1,5
TA1 = 25 min = 0,416 h
TA1 = 1 / 
1 = 2,4
NF = 2 /  . ( – )
NF1 = 1,52 / 2,4 . (2,4 – 1,5)NF1 = 1,04
TF =  /  . ( – )
TF1 = 1,5 / 2,4 . (2,4 – 1,5)
TF1 = 0,69 h
NS =  / ( – )
NS1 = 1,5 / (2,4 – 1,5)
NS1 = 1,67
TS = 1 / ( – )
TS1 = 1 / (2,4 – 1,5)
TS1 = 1,1 h = 66 min
(2) Para o inspetor:

 = 1,5
TA2 = 5 min = 0,083 h
TA2 = 1 / 
2 = 12
NF = 2 /  . ( – )
NF2 = 1,52 / 12 . (12 – 1,5)
NF2 = 0,02
TF =  /  . ( – )
TF2 = 1,5 / 12 . (12 – 1,5)
TF2 = 0,01 h
NS =  / ( – )
NS2 = 1,5 / (12 – 1,5)
NS2 = 0,14
TS = 1 / ( – )
TS2 = 1 / (12 – 1,5)
TS2 = 0,1 h = 6 min
(3) Para o reparador:

 = 0,3
TA3 = 10 min = 0,166 h
TA3 = 1 / 
3 = 6
NF = 2 /  . ( – )
NF3 = 0,32 / 6 . (6 – 0,3)
NF3 = 0,003
TF =  /  . ( – )
TF3 = 0,3 / 6 . (6 – 0,3)
TF3 = 0,009 h
NS =  / ( – )
NS3 = 0,3 / (6 – 0,3)
NS3 = 0,05
TS = 1 / ( – )
TS3 = 1 / (6 – 0,3)
TS3 = 0,18 h = 10,8 min
b) NS e TS para o sistema como um todo.
NSTOTAL = NS1 + NS2 + NS3 = 1,67 + 0,14 + 0,05
NSTOTAL = 1,86
Sendo TD, tempo de deslocamento entre processos, e TD = 1 min
TS para os produtos não reparados (TSA):
TSA = TS1 + TD + TS2 = 66 + 1 + 6
TSA = 73 min
TS para os produtos reparados (TSB):
TSB = TS1 + TD + TS2 + TD + TS3 = 66 + 1 + 6 + 1 + 10,8
TSB = 84,8 min
Calculando a média (TSM):
TSM = (0,8 . TSA) + (0,2 . TSB) = (0,8 . 73) + (0,2 . 84,8)
TSM = 75,36 min
CAPÍTULO 7
O MODELO M/M/c
1) Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor de atendimento ao público. O primeiro trabalha apenas com depósitos e o segundo com retiradas. Sabe-se que o tempo de serviço de ambos segue a distribuição exponencial, com uma média de 3 minutos por cliente. As chegadas obedecem a distribuição de Poisson, com média de 16 chegadas por hora para os depositantes e 14 chegadas por hora para os que vão fazer retirada. Qual seria o efeito no tempo médio do Sistema (TS) se ambos os funcionários trabalhassem tanto com retiradas como com depósitos?
1 = 16
2 = 14
 = 1 + 2 = 16 + 14 = 30
TA = 3 min = 0,05 h
TA = 1 / 
 = 20
c = 2
 =  / c = 30 / 2 . 20
 = 0,75
De acordo com o gráfico da figura 7.3:
NS = 3,5
TS = NS /  = 3,5 / 30
TS = 0,117 h
2) Uma usina siderúrgica possui 3 veículos para atender deslocamentos de seus funcionários dentro da empresa. O ritmo médio de solicitação de veículos é de 10 pedidos por hora e o tempo médio de uma viagem é de 20 minutos. Calcule o número médio de clientes na fila e o tempo médio na fila. Qual deve ser o número adequado de veículos de modo que o tempo médio de espera na fila seja inferior a 5 minutos?
 = 10
TA = 20 min = 0,333 h
TA = 1 / 
 = 3
Para 3 veículos (c = 3):
 =  / c = 10 / 3 . 3
 = 1,11
Não é possível calcular para  > 1, pois o sistema é instável.
Para 4 veículos (c = 4):
 =  / c = 10 / 4 . 3
 = 0,84
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 3
TF = NF /  = 3 / 10
TF = 0,3 h = 18 min
Para 5 veículos (c = 5):
 =  / c = 10 / 5 . 3
 = 0,67
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 0,8
TF = NF /  = 0,8 / 10
TF = 0,08 h = 4,8 min
Para que o tempo médio na fila seja inferior a 5 minutos, o número adequado é de 5 veículos.
3) Veículos chegam a um posto de pedágio a razão de 10 por minuto. Um único atendente pode atender 6 veículos por minuto. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o tempo médio na fila (única) seja menor que 0,2 minutos. Certamente a proposição de fila única não seria conveniente par um posto de pedágio, imagine então que os veículos se distribuam por diversos servidores. Calcule agora a quantidade ótima de servidores tal que, para cada um deles, TF seja inferior a 0,2 minutos. Compare as duas situações.
 = 10
 = 6
Para 2 atendentes e fila única (c = 2)
 =  / c = 10 / 2 . 6
 = 0,83
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 3
TF = NF /  = 3 / 10
TF = 0,3 min
Para 3 atendentes e fila única (c = 3)
 =  / c = 10 / 3 . 6
 = 0,56
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 0,35
TF = NF /  = 0,35 / 10
TF = 0,035 min < 0,2 min
Para que o tempo médio na fila seja inferior a 0,2 minutos com fila única, o número adequado é de 3 atendentes.
Para 2 atendentes e 2 filas
 = 10 / 2 = 5
TF =  /  . ( – )
TF = 5 / 6 (6 – 5)
TF = 0,83 min 
Para 3 atendentes e 3 filas
 = 10 / 3= 3,33
TF =  /  . ( – )
TF = 3,33 / 6 (6 – 3,33)
TF = 0,21 min 
Para 4 atendentes e 4 filas
 = 10 / 4= 2,5
TF =  /  . ( – )
TF = 5 / 2,5 (6 – 2,5)
TF = 0,12 min < 0,20 min
Para que o tempo médio na fila seja inferior a 0,2 minutos com várias filas, o número adequado é de 4 atendentes.
4) Em uma empresa o ritmo médio de chegada de caminhões para carregamento é de 5 caminhões e gasta-se em média 1 hora para carregar cada caminhão. Pede-se:
a) O número médio de caminhões parados dentro da empresa (NS) e na fila (NF).
TA = 1 h
TA = 1 / 
 = 1
Para um r < 1, consideramos 6 servidores (c = 6):
 =  / c = 5 / 6 . 1
 = 0,83
De acordo com o gráfico da figura 7.3:
NS = 7
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 3
b) Se tivermos um aumento no ritmo de chegada, para que valor de  teremos em média 10 caminhões dentro da empresa?
Mantendo-se o número de servidores c = 6, de acordo com o gráfico da figura 7.3, para NS = 10,  deve ser igual a 0,85, sendo assim:
 =  / c = 5 / 6 . 1
0,85 =  / 6 .1
 = 5,1
c) No caso anterior, qual o tamanho médio da fila?
De acordo com o gráfico da figura 7.2, para  = 0,85:
NF = 4
5) Uma empresa decidiu centralizar seu serviço de datilografia em um único setor. Na situação atual, cada departamento possui usa própria datilógrafa, com uma capacidade de atendimento  = 10 serviços por dia. AS taxas de chegada de serviço por dia são as seguintes:
	Departamento
	1
	2
	3
	4
	5
	Taxa de Chegada de Serviço
	6
	3
	4
	7
	5
Pede-se:
a) Calcule o tempo médio para um serviço ser concluído (TS) em cada departamento.
 = 10
Para o departamento 1:
 = 6
TS = 1 / ( – )
TS1 = 1 / (10 – 6)
TS1 = 0,25
Para o departamento 2:
 = 3
TS = 1 / ( – )
TS2 = 1 / (10 – 3)
TS2 = 0,14
Para o departamento 3:
 = 4
TS = 1 / ( – )
TS3 = 1 / (10 – 4)
TS3 = 0,17
Para o departamento 4:
 = 7
TS = 1 / ( – )
TS4 = 1 / (10 – 7)
TS4 = 0,33
Para o departamento 5:
 = 5
TS = 1 / ( – )
TS5 = 1 / (10 – 5)
TS5 = 0,2
b) Considere então, um novo modelo proposto (M/M/c), mantendo as 5 datilógrafas trabalhando em uma “central de datilografia” e calcule TS.
 = 10
 +  +  +  + = 6 + 3 + 4 + 7 + 5

c = 5
 =  / c = 25 / 5 . 10
 = 0,5
De acordo com o gráfico da figura 7.3:
NS = 2,9
TS = NS /  = 2,9 / 25
TS = 0,12
c) Compare o valor obtido nesta nova situação com os valores da situação atual (5 departamentos), particularmente o Depto. 2, que hoje possui a menor carga de trabalho (portanto possui o menor tempo médio para o serviço ser concluído) e que não deseja que seu TS aumente.
Com os departamentos trabalhando separados têm-se os seguintes tempos para cada departamento: TS1 = 0,25, TS2 = 0,14, TS3 = 0,17, TS4 = 0,33 e TS5 = 0,2. Já com uma central de datilografia o tempo para a realização de trabalho (TS = 0,12) é menor até mesmo que o tempo do Depto. 2, que tinha a menor carga de trabalho, havendo uma completa otimização do trabalho.
d) O Depto. 2 seria prejudicado caso diminuísse o número de datilógrafas de 5 para 4 ou 3?
 = 10
 +  +  +  + = 6 + 3 + 4 + 7 + 5

Para 4 datilógrafas (c = 4):
 =  / c = 25 / 4 . 10
 = 0,625De acordo com o gráfico da figura 7.3:
NS = 3
TS = NS /  = 3 / 25
TS = 0,12
Para 3 datilógrafas (c = 3):
 =  / c = 25 / 3 . 10
 = 0,83
De acordo com o gráfico da figura 7.3:
NS = 6
TS = NS /  = 6 / 25
TS = 0,24
Somente com 3 datilógrafas o Depto. 2 seria prejudicado, pois o tempo para a realização do serviço (TS = 0,24) seria maior que o da configuração atual (TS2 = 0,24).
6) Navios chegam a um porto para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas por semana. O porto possui 3 cais de atracação e o tempo médio de carga de cada navio é de 0,5 semana. Sabendo-se que um navio parado esperando para ser carregado, implica uma multa de $ 70.000 por semana para a administração do porto (esta multa é conhecida por demurrage no ambiente portuário), pede-se o custo semanal resultante das multas.

TA = 0,5
TA = 1 / 
 = 2
c = 3
Multa semanal = $70.000
 =  / c = 3 / 3 . 2
 = 0,5
De acordo com o gráfico da figura 7.2:
NF = 0,25
Custo semanal da multa = NF x Multa semanal = 0,25 x $70.000
Custo semanal da multa = $17.500
7) Em um sistema de filas seqüenciais (veja figura a seguir), no qual peças fluem pela linha de produção, temos: 1 = 10, 2 = 5,1 = 15,2 = 30 e 3 = 20.
Supondo que houve um crescimento nos ritmos de chegada, com 1 = 25, 2 =12, qual deve ser a quantidade de servidores em cada estação de trabalho tal que NF seja menor que 1?
Estação 1:
1 = 25
 = 15
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	25 / 1 . 15 = 1,67
	 > 1 (sistema instável)
	2
	25 / 2 . 15 = 0,83
	4
	3
	25 / 3 . 15 = 0,56
	0,3
Estação 2:
2 = 12
 = 30
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	12 / 1 . 30 = 0,4
	
Estação 3:
3 = 2 1 = 25 + 12
3 = 37
 = 20
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	37 / 1 . 20 = 1,85
	 > 1 (sistema instável)
	2
	37 / 2 . 20 = 0,925
	O gráfico da figura 7.2 não apresenta valores de NF para  > 0,9.
	3
	37 / 3 . 20 = 0,62
	0,7
Para que NF < 1, são necessários:
Estação 1: 3 servidores.
Estação 2: 1 servidor.
Estação 3: 3 servidores.
8) Redimensione a estação de trabalho número 3 de modo que seu custo horário seja mínimo. Os dados são:
Custo horário do atendente: $ 5.
Custo horário da peça parada: $ 8.
3 = 2 1 = 25 + 12
3 = 37
 = 20
	c
	
 / c
	NS
(De acordo com o gráfico da figura 7.3)
	Custo total dos atendentes
5 x c
($)
	Custo médio das peças paradas
8 x NS
($)
	Custo Total
($)
	1
	37 / 1 . 20 = 1,85
	 > 1 (sistema instável)
	5
	-
	-
	2
	37 / 2 . 20 = 0,925
	O gráfico da figura 7.3 não apresenta valores de NF para  > 0,9.
	10
	-
	-
	3
	37 / 3 . 20 = 0,62
	2,5
	15
	20
	35
	4
	37 / 4 . 20 = 0,46
	2
	20
	16
	36
	5
	37 / 5 . 20 = 0,37
	2
	25
	16
	41
O custo mínimo para estação é utilizando 3 servidores.
9) Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e os que são rejeitados (20%) vão pra uma área de reparo existente no próprio setor. Atualmente os dados são os seguintes (distribuição exponencial):
- A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor.
- O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes.
- O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado
- O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários
- Os tempos de deslocamento do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto.
Não há pergunta. Apenas dados.
10) No exercício anterior, é previsto um aumento das vendas e o novo intervalo entre chegadas será de 4 minutos. Redimensione a quantidade de funcionários desta seção de modo que a fila média em cada etapa seja menor / igual a 1.
(1) Para o instalador:
IC1 = 4 min = 0,066 h
IC1 = 1 / 
 = 15
TA1 = 25 min = 0,416 h
TA1 = 1 / 
1 = 2,4
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	15 / 1 . 2,4 = 6,25
	 > 1 (sistema instável)
	2
	15 / 2 . 2,4 = 3,13
	 > 1 (sistema instável)
	3
	15 / 3 . 2,4 = 2,08
	 > 1 (sistema instável)
	4
	15 / 4 . 2,4 = 1,56
	 > 1 (sistema instável)
	5
	15 / 5 . 2,4 = 1,25
	 > 1 (sistema instável)
	6
	15 / 6 . 2,4 = 1,04
	 > 1 (sistema instável)
	7
	15 / 7 . 2,4 = 0,89
	7
	8
	15 / 8 . 2,4 = 0,78
	1,8
	9
	15 / 9 . 2,4 = 0,69
	0,69
(2) Para o inspetor:

 = 15
TA2 = 5 min = 0,083 h
TA2 = 1 / 
2 = 12
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	15 / 1 . 12 = 1,25
	 > 1 (sistema instável)
	2
	15 / 2 . 12 = 0,63
	
(3) Para o reparador:

 = 3
TA3 = 10 min = 0,166 h
TA3 = 1 / 
3 = 6
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 7.2)
	1
	3 / 1 . 6 = 0,2
	0,05
Para que NF < 1, são necessários:
Instalação: 9 funcionários.
Inspeção: 2 funcionários.
Reparo: 1 funcionário.
CAPÍTULO 8
O MODELO ERLANG
1) Um sistema de filas de 1 atendente apresenta  = 6 e  = 10 (unidade: hora). Supondo que o ritmo de chegadas segue Poisson e o de atendimento segue Erlang (ou seja, um modelo M/Em/1), Calcule NS, TS, NF e TF para diversos valores de m (use as figuras 8.2 e 8.3). Compare com os correspondentes valores para as distribuições Exponencial e Constante.
 = 6
 = 10
TA = 1 /  = 0,1
 =  / c = 6 /10
 = 0,6
	
	Erlang-5
	Erlang-2
	Constante
	Exponencial
	Hiperexponencial
	NS
para  = 0,6
(De acordo com o gráfico da figura 8.2)
	1,2
	1,3
	1,1
	1,5
	-
	TS/TA
para  = 0,6
(De acordo com o gráfico da figura 8.3)
	2
	2,2
	1,8
	2,6
	3,4
	TS
(de acordo com TS/TA do gráfico para TA = 0,1)
	0,2
	0,22
	0,18
	0,26
	0,34
	TF
TS – TA
	0,1
	0,12
	0,08
	0,16
	0,24
	NF
TF . 
	0,6
	0,72
	0,48
	0,96
	1,44
2) Navios chegam a um porto para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas por semana. O porto possui 3 cais de atracação e o tempo médio de carga de cada navio é de 0,5 semana. Sabendo-se que um navio parado esperando para ser carregado, implica uma multa de $ 700 por semana para a administração do porto (esta multa é conhecida por demurrage no ambiente portuário), pede-se o custo semanal resultante das multas.

TA = 0,5
TA = 1 / 
 = 2
c = 3
Multa semanal = $70.000
 =  / c = 3 / 3 . 2
 = 0,5
De acordo com o gráfico da figura 8.4 (Erlang-5):
NF = 0,15
Custo semanal da multa = NF x Multa semanal = 0,15 x $70.000
Custo semanal da multa = $10.500
3) Em um sistema de filas seqüenciais (conforme figura ao lado, em que peças fluem pela linha de produção, temos distribuição do atendimento: Erlang-5): 1 = 10, 2 = 5,1 = 15,2 = 30 e 3 = 20.
Pede-se:
- Calcular NF, TF, NS e TS para cada estação.
- Calcular NS e TS para o sistema como um todo.
Estação 1:
1 = 10
1 = 15
Estação 2:
2 = 5
2 = 30
Estação 3:
3 = 1 + 2 = 10 + 5 = 15
3 = 20
	Estação
	

	NF
(De acordo com o gráfico da figura 8.4)
	TF
NF / 
	NS
(De acordo com o gráfico da figura 8.5)
	TS
NS / 
	1
	10 / 15 = 0,67
	0,9
	0,9 / 10 = 0,09
	1,6
	1,6 / 10 = 0,16
	2
	5 / 30 =
0,17
	0,02
	0,02 / 5 = 0,04
	0,2
	0,2 / 5 = 0,044
	3
	15 / 20 = 0,75
	1,50
	1,50 / 15 = 0,1
	2,1
	2,1 / 15 = 0,14
NSTOTAL = NS1 + NS2 + NS3 = 1,6 + 0,2 + 2,1
NSTOTAL = 3,9
TS para quem chega pela estação 1 (TSA):
TSA = TS1+ TS3 = 0,16 + 0,14
TSA = 0,3
TS para quem chega pela estação 2 (TSB):
TSB = TS2 + TS3 = 0,044 + 0,14
TSB = 0,184
4) No mesmo sistema, supondo-se que houve um crescimento nos ritmos de chegada, com 1 = 25, 2 =12, qual deve ser a quantidade de servidores em cada estação de trabalho de forma que NF seja menor que 1?
Estação 1:
 = 25
1 = 15
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 8.4)
	1
	25 / 1 . 15 = 1,67
	 > 1 (sistema instável)
	2
	25 / 2 . 15 = 0,83
	2,5
	3
	25 / 3 . 15 = 0,56
	0,56
Estação 2:
 = 12
2 = 30
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 8.4)
	1
	12 / 1 . 30 = 0,4
	0,16
Estação 3:
 25 + 12
 = 37
3 = 20
	c
	
 / c
	NF
(De acordo com o gráfico da figura 8.4)
	1
	37 / 1 . 20 = 1,85
	 > 1 (sistema instável)
	2
	37 / 2 . 20 = 0,93
	6
	3
	37 / 3 . 20 = 0,62
	0,4
Para que NF < 1, são necessários:
Estação 1: 3 servidores.
Estação 2: 1 servidor.
Estação 3: 3 servidores.
5) Redimensione a estação de trabalho número 3 de modo que seu custo horário seja mínimo. Os dados são: custo horário do atendente: $ 5 e custo horário da peça parada: $ 8.
3 = 2 1 = 25 + 12
3 = 37
 = 20
	c
	
 / c
	NS
(De acordo com o gráfico da figura 8.5)
	Custo total dos atendentes
5 x c
($)
	Custo médio das peças paradas
8 x NS
($)
	Custo Total
($)
	1
	37 / 1 . 20 = 1,85
	 > 1 (sistema instável)
	5
	-
	-
	2
	37 / 2 . 20 = 0,93
	8
	10
	64,00
	74,00
	3
	37 / 3 . 20 = 0,62
	2,4
	15
	19,20
	34,20
	4
	37 / 4 . 20 = 0,46
	2
	20
	16,00
	36,00
	5
	37 / 5 . 20 = 0,37
	1,9
	25
	15,20
	40,20
O custo mínimo para estação é utilizando 3 servidores.
1
1
3
2
3
2
1
Instalador
20%
20%
80%
3
2
Inspetor
Reparador
Reparador
20%
20%
Inspetor
2
3
1
80%
Instalador
1
2
3
2
3
1