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Trabalho de Teoria das Filas

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Capítulo - 2
Considere um sistema em que navios chegam a um porto para carregar algum produto. Abaixo estão anotados os valores de intervalos entre chegadas (em horas) para 20 navios:
Cliente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Intervalo 10 02 13 07 02 08 08 08 10 09 01 14 14 01 10 09 09 09 08 14
As durações da carga (em horas) de cada navio são as seguintes:
Cliente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Duração 05 05 03 03 06 07 06 08 02 05 08 08 08 03 04 03 03 04 05 05
Pede-se:
O intervalo médio entre chegada;
A duração media da carga;
Monte o desenho do funcionamento do sistema acima (veja figura 2.2);
Calcule o tamanho médio da fila;
Calcule o tempo médio de espera na fila.
Escreva os valores acima, referentes aos intervalos entre chegadas, em pequenos pedaços de papel, dobrando-os em seguida como se os preparasse para um sorteio. Misture as bolinhas de papel e, a seguir, vá abrindo-os e anotando os valores. Você obteve assim uma nova seqüência de valores para os intervalos entre chegadas. Repita o processo para as durações do atendimento. Refaça então o exercício 1.
Compare os resultados dos exercícios 1 e 2. Você deve ter encontrado os mesmos valores médios (itens a e b), mas para os itens d e e. Explique por quê. 
Capítulo – 3
Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam, e, media, 4 entregadores por minuto para o produto a ser entregue. Sabe-se, ainda, que o numero médio de entregadores dentro da pizzaria é de 6 (NS). Qual o tempo médio no sistema?
No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo médio da entrega (TFS)?
Em um sistema de computação tem-se:
Tempo médio de pensar e fornecedor dados (TFS) = 15 segundos
Quantidade de terminais ativos = 40
Taxa de chegada de transações = 2 por segundos
Pede-se o tempo de resposta do computador (TS).
Em uma mineração temos 12 caminhões efetuando um ciclo no qual consomem 4 minutos entre fila e carregamento pela escavadeira (TS) e, a seguir, gastam 8 minutos para levar a carga até o britador e voltar (TFS). Calcular λ e NS.
Em um sistema de computação temos 21 terminais. O tempo médio de resposta do computador (TS) é de 2 segundos e existem, em media, 6 transações (NS) dentro do sistema. Pede-se:
Qual a taxa de chegada de transações?
Qual a duração de um ciclo?
Qual o “tempo médio de pensar e fornecer dados” (TFS)?
6. No desenho seguinte, representativo do fluxo de peças em um setor de uma fábrica, calcule o fluxo de chegada em cada equipamento.
	λ = 10 A ⇨ C E ⇨
	 ⇨						 30%
						↘	 ↗
	λ = 20 B ⇨ D ⇨ F ⇨
							 70%
Capítula - 4
Um profissional do ramo da Pesquisa Operacional foi solicitado a efetuar um estudo em uma firma distribuidora de gasolina. Esta firma possui um pátio com uma bomba, onde os caminhões são carregados com gasolina. Com o aumento das vendas, tem acontecido freqüentemente que o pátio fica lotado de caminhões, além de atrapalhar também o trânsito na estrada ao lado. Assim, sua missão é redimensionar o pátio no que se refere ao número ótimo de postos de atendimento. Inicialmente, ele estudou o ritmo de chegada, fazendo uma coleta de dados, conforme mostrado a seguir, que relaciona a quantidade de veículos que chegou ao pátio em cada um dos 80 intervalos de 1 hora:
2 7 4 4 3 4 4 4 10 3 5 5 7 3 4 4 6 2 4 6 
4 3 6 8 5 3 5 8 12 6 2 4 5 3 2 5 2 6 1 5 
6 5 3 5 4 6 2 3 11 7 5 5 6 7 0 6 4 5 7 9 
7 8 5 4 8 8 6 7 10 3 4 4 9 3 9 2 2 2 4 3 
Pede-se: Verificar graficamente se o ritmo de chegadas se aproxima da Distribuição de Poisson.
O mesmo profissional do exercício 1 estudou a seguir o processo de atendimento no pátio. Os dados da tabela seguinte mostram a duração de cada atendimento em minutos:
16.0 6,5 7,5 4,0 8,0 14,5 4,0 14,5 10,0 16,0
	 9,5 8,0 13,0 4,0 14,0 4,0 7,0 4,0 30,0 7,0 
10,0 6,0 14,5 7,0 13,0 10,0 12,0 6,5 13,0 14,0
 9,5 7,0 6,5 8,0 10,0 3,0 7,0 12,5 7,0 17,0 
10,0 12,5 16,0 8,0 7,0 10,0 7,0 8,0 18,0 16,0 
 4,0 8,0 3,0 7,0 7,0 3,0 25,0 3,0 6,0 4,0 
 9,5 7,5 6,5 8,0 13,0 7,0 6,5 23,5 14,0 6,5
10,0 14,0 13,0 6,5 8,0 14,0 10,0 7,0 18,5 7,0
 9,5 8,0 12,5 8,0 10,0 10,0 10,0 19,0 8,0 10,0 
10,0 5,0 15,5 5,0 10,0 18,5 10,0 5,0 23,0 6,5 
 
Pede-se: Verifique graficamente se a duração do atendimento segue a Distribuição
Exponencial Negativa.
Em uma fábrica as maquinas estragam a um ritmo de 4 falhas por semana, segundo a Distribuição de Poisson. Quando uma máquina falha, é enviada uma solicitação de concerto ao deparmento responsável pela manutenção. Calcule a probabilidade de, em cada semana, chegarem as seguintes quantidades de solicitação de conserto:
Zero;
 B) 1 falha;
Até 4 falhas;
Mais que 4 falhas;
12 falhas.
em um dado sistema o intervalo médio entre duas chegadas é IC = 10 minutos (ou λ = 6 chegadas por hora, Distribuição Exp. Negativa). Pede-se a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja:
Até 6 minutos
Maior que 6 minutos
Entre 6 e 30 minutos
A duração media de carga de um caminhão em uma empresa de atacado é de 20 minutos (ou seja, μ = 3 atendimentos por hora). Considere que o processo segue a Distribuição Exponencial Negativa e calcule a probabilidade de que o tempo de carga seja de:
Ate 10 minutos
Entre 10 e 20 minutos
Entre 20 e 30 minutos
Entre 30 e 40 minutos
Entre 40 e 50 minutos
Entre 50 e 60 minutos
Conforme vimos neste capítulo, é pouco provável que o processo de carregamento de um caminhão obedeça à Distribuição Exponencial Negativa. Teça comentários qualitativos sobre quais valores seriam mais prováveis para as respostas aos itens anteriores.
Capítulo - 6
Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o serviço demora, em média, 16 minutos. Qual o tempo de espera na recepção? E no sistema?
Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de atendimento da bilheteria é de 2 minutos. Calcule o tamanho da fila, o tempo médio de espera e a fração de tempo em que a bilheteria não trabalha.
Em um sistema no qual λ = 4 clientes / hora e μ = 6 clientes / hora, qual a probabilidade de haver no sistema:
zero cliente
1 cliente
3 ou 4 clientes
5 ou mais clientes
4 – No mesmo sistema anterior, admitindo-se que o custo de cliente parado seja de $10 por hora, pede-se o custo horário de clientes no sistema.
5 – Uma empresa deseja comprar um equipamento para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 12 falhas por semana. Possui duas opções: o equipamento marca A custa $20.000,00 e é capaz de efetuar 15 consertos por semana;o equipamento B custa $80.000,00 e é capaz de efetuar 50 consertos por semana. Sabe-se que o custo de uma maquina parada é de $500,00 e que o tempo útil de vida de ambos os equipamentos é de 5 anos.pergunta-se: Qual equipamento deve ser adquirido de modo que o custo total anual (52 semanas) seja mínimo?
Observações:
Para calcular o custo anual do valor do equipamento, efetue a operação: (Custo Anual) = (Custo do Equipamento) x (Fator de recuperação do capital).
Considere uma taxa de juros de 15% ao ano. Assim, temos que o fator de recuperação de capital é 0,2984.
6 – Em um sistema de filas seqüenciais (veja figura), no qual as peças fluem pela linha de produção, temos:
	λ1= 10, λ2= 5 , μ1 = 15, μ2 = 30e μ3 = 20.
Calcule:
NF, TF TS para cada servidor.
NS e TS para o sistema como um todo
λ1
⇨	μ1 ⇨
				λ3	μ3	⇨ λ3
		λ2
		⇨	μ2 ⇨
						
7 – Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e o que são rejeitados (20%) vão para uma área de reparo existente no próprio setor. Atualmente os dados são os seguintes (distribuição exponencial):
A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor;
O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes;
O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado;
O reparador gasta 10 minutos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto.
Pede-se:
NF, NS, TF e TS para cada servidor
NS e TS para o sistema como um todo
Capítulo 7
1 – Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor de atendimento ao público. O primeiro trabalha apenas com depósitos e o segundo com retiradas. Sabe-se que o tempo de serviço de ambos segue a distribuição exponencial, com uma medi de 3 minutos por cliente. As chegadas obedecem à distribuição de Poisson, com média de 16 chegadas por hora para os depositantes e 14 chegadas por hora para os que vão fazer retirada. Qual seria o efeito n tempo médio no sistema (TS) se ambos os funcionários trabalhassem tanto com retiradas como com depósitos?
2 – Uma usina siderúrgica possui 3 veículos para atender a deslocamento de seus funcionários dentro da empresa. O ritmo médio de solicitação de veículos é de 10 pedidos por hora e o tempo médio de uma viagem é de 20 minutos. Calcule o número médio de clientes na fila e o tempo médio na fila. Qual deve ser o número adequado de veículos de modo que o tempo médio de espera na fila seja inferior a 5 minutos.
3 – Veículos chegam a um posto de pedágio à razão de 10 por minuto. Um único atendente pode atender 6 veículos por minuto. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o tempo médio na fila (única) seja menor que 0,2 minuto.Certamente a proposição de fila única não seria conveniente para um posto de pedágio; imagine, então, que os veículos se distribuam por diversos servidores.Calcule agora a quantidade ótima de servidores tal que, para cada um deles, TF seja inferior a 0,2 minuto. Compare as duas situações.
4 – Em uma empresa o ritmo médio de chegada de caminhões para carregamento é de 5 caminhões e gasta-se em média 1 hora para carregar cada caminhão.
a) O número médio de caminhões parados dentro da empresa (NS) e na fila (NF). 
b)Se tivermos um aumento no ritmo de chegada, para que o valor de λ teremos em média 10 caminhões dentro da empresa?
No caso anterior, qual o tamanho médio da fila?
5 – Uma empresa decidiu centralizar seu serviço de datilografia em um único setor. Na situação atual, cada departamento possui sua própria datilografia, com uma capacidade de atendimento μ = 10 serviços por dia. As taxas de chegada de serviços por dia são as seguintes:
 Departamento			1	2	3	4	5
 
Taxa de Chegada de Serviço		6	3	4	7	5 
Pede-se:
Calcule o tempo médio para um serviço ser concluído (TS) em cada departamento.
Considere, então, um novo modelo proposto (M/M/c), mantendo as 5 datilógrafas trabalhando em uma “central de datilografia” e calcule TS.
Compare o valor obtido nesta nova situação com os valores da situação atual (5 departamentos), particularmente com o Depto. 2, que hoje possui a menor carga de trabalho (portanto possui o menor tempo médio para o serviço ser concluído) e que não deseja que o seu TS aumente.
O depto. 2 seria prejudicado caso se diminuísse o número de datilógrafas de 5 para 4 ou 3?
6 – Navios chegam a um porto para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas por semana. O porto possui 3 cais de atração e o tempo médio de carga de cada navio é de 0,5 semana. Sabendo-se que um navio parado, esperando para ser carregado, implica uma multa de $70.000 por semana para a administração do porto (esta multa é conhecida por demurrage no ambiente portuário), pede-se o custo semanal resultante das multas.
7 – Em um sistema de filas seqüenciais (veja figura a seguir), no qual peças fluem pela linha de produção, temos: λ1= 10, λ2= 5 , μ1 = 15, μ2 = 30e μ3 = 20 (todas distribuições exponenciais).
Supondo que houve um crescimento ns ritmos de chegada, com λ1 = 25 e λ = 12, qual deve ser a quantidade de servidores em cada estação de trabalho tal que NF seja menor que 1?
λ1
⇨	μ1 ⇨
				λ3	μ3	⇨ λ3
		λ2
		⇨	μ2 ⇨
						
8 – Redimensione a estação de trabalho número 3 de modo que seu custo horário seja mínimo. Os dados são:
Custo horário do atendente: $5
Custo horário da peça parada: $ 8
9 – Em um setor de uma fábrica, o produto que está sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operário. Após instalados os componentes, o produto é inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeção vão para outro setor da fábrica e os que são rejeitados (20%) sofrem reparo no próprio setor. Atualmente os dados são os seguintes (distribuição exponencial):
A cada 40 minutos chega um novo produto no setor
O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes;
O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessários;
Os tempos de deslocamentos do produto entre as estações de trabalho são iguais a 1 minuto (trata-se de um valor constante e não de uma média).
Forneça o tamanho da fila em cada estação de trabalho.
10 - No exercício anterior, é previsto um aumento das vendas e o novo intervalo entre chegadas será de 4 minutos. Redimensione a quantidade de funcionários desta seção de modo que a fila é dia em cada etapa seja menor / igual a 1.
Capítulo 8.
1 – Um sistema de filas de 1 atendente λ = 6 e μ = 10 (unidade: hora). Supondo que o ritmo de chegadas segue Poisson e o de atendimento segue Erlang (ou seja, um modelo M / Em / 1), calcule NS, TS, NF e TF para diversos valores de m (use as Figuras 8.2 e 8.3). Compare com os correspondentes valores para a distribuição Exponencial e Constante.
2- Navios chegam a um porto para ser carregados de minério a um ritmo de 3 chegadas por semana. O porto possui 3 cais de atração e o tempo médio de cada navio é de 0,5 semana. Sabendo-se que um navio parado, para a administração do porto (esta multa é conhecida por demurrage no ambiente portuário), pede-se o custo semanal devido às multas.
3 – Em um sistema de filas, conforme figura ao lado, em que peças fluem pela linha de produção, temos (distribuições do atendimento: Erlang-5):
	λ 1 = 10, λ 2 = 5, μ 1 = 15, μ 2 = 30 e μ 3 = 20
4 – No mesmo sistema, supondo-se que houve um crescimento nos ritmos de chegada tal que λ 1 = 25, λ2 = 12, qual deve ser a quantidade de servidores em cada estação de trabalho de forma que NF seja menor que 1?
5 – Redimensione a estação de trabalho numero 3 de modo seu custo horário seja mínimo. Os dados são: custo horário do atendente: R$5 e custo horário da peça parada: R$8.
Capítulo 10
1 – Continue o exemplo 3, utilizando os números aleatórios seqüenciais seguintes, disponíveis na tabela 10.1
2 – Em um porto a chegada de navios é de 3 por semanas e o porto gasta em media 1dia para descarregar um navio. Supondo que ambos os processos seguem Poisson, simule manualmente a chegada e atendimento de 20 navios. Calcule, então, NF e TF.
3 – Considere o exemplo 3 deste capitulo. Calcule o tempo médio no sistema (TS), e o numero médio do sistema (NS).
4 – Clientes chegam a uma padaria a um ritmo médio de 3000 por dia (processo de Poisson) e compram em media 10 pães ( distribuição normal). A produção diária da padaria é de 30000 (valor fixo). Calcule, por simulação, a perda media diária (Paes não vendidos) e a media de Paes que poderiam ser vendidos mas, não foram pela inexistência de estoque.
Sugestão: faça a simulação de 20 dias.

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