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INTEGRAIS DUPLAS Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais. Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D é geralmente representada por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguida pela função e pelas variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é freqüentemente abreviado por uma variável no sinal de integração mais à direita: Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas. CONCEITO DE VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) (IR2| a < x < b, c < y < d } e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) (IR3| (x,y) ( R, 0 < z < f(x,y)} Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento (x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento (y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área (A = (x(y. Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: Vij = f(xij , yij)(A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S: V ( Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados. Nossa intuição diz que a aproximação V ( melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que: V = . Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que correspondem à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral dupla de f sobre o retângulo R é �� EMBED Equation.3 se esse limite existir. Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é . A soma é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla. Exemplo: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij. Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos: = f(1,1)(A + f(1,2) (A + f(2,1) (A + f(2,2) (A = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo: Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. INTEGRAIS ITERADAS Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R. Exemplo : Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2] Solução: = = = = = = ou = = = = = = O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado) INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre uma região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas Regiões planas inscritas em faixas verticais: Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) } onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Regiões planas inscritas em faixas horizontais: Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo: A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. Exemplo: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. Solução: A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas: Exemplo: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é: Propriedades das Integrais Duplas: 1) 2) , onde c é uma constante 3) , Exemplo: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: 1) Inscrita na faixa vertical (/6 ( x ( 4 e, nesse caso dividi-la em D1 = { (x,y) | (/6 ( x ( 1, 1 ( y ( 3 } e D2 = { (x,y) | 1 ( x ( 4, } Inscrita na faixa horizontal 1 ( y ( 3 e, nesse caso, dividi-la em D1 = { (x,y) | 1 ( y ( 2, (/6 ( x ( y2 } e D2 = { (x,y) | 2 ( y ( 3, (/6 ( x ( 10 – 3y } Na forma 1), as integrais iteradas são: Na forma 2), as integrais iteradas são: y b a x d c R � S z y R x y Rij R ( d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (xij , yij) yj ( ( ( ( ( ( ( ( ( (y ( ( ( ( ( ( ( ( ( yj-1 ( y2 ( ( ( ( ( ( y1 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c ( xi-1 x2 x1 x a b xi (x � z S Vij f (xij , yij ) y R ( (xij , yij ) x 2 2 1 1 0 x y (1,1) (2,2) (2,1) (1,2) R11 R22 R21 R12 2 R 1 y 0 3 x � y y R x D D 0 x 0 y = g2(x) y = g2(x) y = g2(x) D x y 0 D x y 0 D x y 0 b a a b y = g1(x) y = g1(x) y = g1(x) a b x = h2(y) x = h2(y) 0 y x D 0 y x D y 0 x d x = h2(y) d d D x = h1(y) c c x = h1(y) c x = h1(y) x y –1 1 y = 2x2 y = 1 + x2 y z y x x = 2y x + 2y + z = 2 (0, 0, 2) (0, 1, 0) (1, ½, 0) T x + 2y = 2 1 D ½ 1 x x = 2y se D = D1 ( D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras. y =3 x =(/6 3 3y + x = 10 � EMBED Word.Picture.8 ��� D x = y2 y =1 (/6 _1097561200.unknown _1097565578.unknown _1097674092.unknown _1097937954.unknown _1098082227.unknown _1098084441.unknown _1098186948.unknown _1098186972.unknown _1098186872.unknown _1098082513.unknown _1097938669.unknown _1098015703.unknown _1097941388.doc _1097938613.unknown _1097912199.unknown _1097912265.unknown _1097912301.unknown _1097674184.unknown _1097652784.unknown _1097655555.unknown _1097651912.unknown _1097561550.unknown _1097561684.unknown _1097565566.unknown _1097561601.unknown _1097561327.unknown _1097561499.unknown _1097561247.unknown _1097555761.unknown _1097560976.unknown _1097561046.unknown _1097561131.unknown _1097557697.unknown _1097560882.unknown _1097560961.unknown _1097555966.unknown _1097512832.unknown
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