Lista de Exercicios1

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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
Ca´lculo Nume´rico - Engenharia de Produc¸a˜o
Lista de Exerc´ıcios no 1.
ALUNO: TURMA:
1. Converta os nu´meros x1 = 27 , x2 = 0, 138 e x3 = 45, 128 que esta˜o na base 10 para a base 2.
2. Converta os nu´meros x1 = 111011 , x2 = 0, 01001 e x3 = 10, 0111 que esta˜o na base 2 para a
base 10.
3. Dados os nu´meros
x = 1234, 5678 , y = 1001, 1101 e z = 25, 6438
calcule o erro relativo das operac¸o˜es abaixo, usando aritme´tica de ponto flutuante com 4 casas
decimais.
(a) x+ y + z
(b) x− y + z
(c) x · (y + z)
(d) (x+ y) · z
(e)
x+ y
z
4. Localize, pelo menos, uma raiz real das equac¸o˜es abaixo:
(a) 4 cos x− e2x = 0
(b)
√
x+ 3− x2 = 0
(c)
x
2
− tg x = 0
(d) 1− x ln x = 0
(e) 2x − 3x = 0
(f) x3 + x− 1000 = 0
(g) cos x+ ln x+ x = 0
(h) x+ e−x
2
= 0
5. Calcule uma raiz real da func¸a˜o polinomial f(x) = x3 − 3x2 + 1 , com � = 10−4 .
6. Considere a func¸a˜o f(x) = x3−x− 1 . Encontre a menor raiz real pelo me´todo da posic¸a˜o falsa
com precisa˜o ε = 10−4.
7. Calcule todas as ra´ızes reais da func¸a˜o f(x) = ex − 3x2 , com � = 10−4 .
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1Ca´lculo Nume´rico - Lista 1 - 23 de agosto de 2010
8. Use o me´todo de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es a seguir, com
precisa˜o ε = 10−4.
(a)
x
2
− tg x = 0
(b) 2 cos x− e
x
2
= 0
(c) x5 − 6 = 0
9. Aplique o me´todo de Newton-Raphson a` equac¸a˜o:
x3 − 2x2 − 3x+ 10 = 0 com x0 = 1, 9.
Justifique o que acontece.
10. A func¸a˜o f(x) = ex − 4x2 possui uma raiz no intervalo [0,1]. Tomando x0 = 0, 5 e ε = 10−4,
calcule essa raiz, usando:
(a) o me´todo da bissec¸a˜o.
(b) o me´todo de Newton-Raphson.
Compare a rapidez da convergeˆncia.
11. O valor de pi pode ser obtido atrave´s da resoluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
(a) senx = 0
(b) cos x+ 1 = 0
Aplique o me´todo de Newton-Raphson com x0 = 3 e ε = 10−7 em cada caso e compare os
resultados obtidos.
12. Encontre a menor raiz positiva da equac¸a˜o 4 cos x− ex = 0 com ε = 10−4.
13. O polinoˆmio p(x) = x5− 10
9
x3+
5
21
x tem cinco zeros reais, todos situados no intervalo [−1; 1].
(a) Verifique que x1 ∈ [−1; −0, 75] , x2 ∈ [−0, 75; −0, 25] , x3 ∈ [−0, 25; 0, 25] ,
x4 ∈ [0, 3; 0, 8] e x5 ∈ [0, 8; 1].
(b) Encontre, pelo respectivo me´todo, usando ε = 10−5:
• x1 : Newton-Raphson com x0 =- 0,8.
• x2 : bissec¸a˜o , com [a, b] = [−0, 75; −0, 25]
• x3 : posic¸a˜o falsa, com [a, b] = [−0, 25; 0, 25]
• x4 : bissec¸a˜o , com [a, b] = [0, 3; 0, 8]
• x5 : Newton-Raphson com x0 = 0,8.
14. Encontre uma raiz da equac¸a˜o x4 − 6x3 + 10x2 − 6x + 9 = 0 aplicando o me´todo de Newton-
Raphson. Escolha a precisa˜o e a aproximac¸a˜o inicial.
15. Determine os zeros da func¸a˜o f(x) = x3 − 3, 5x2 + 4x − 1, 5 atrave´s do me´todo de Newton.
Escolha x0 adequadamente e considere ε = 10−6.
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