Calculo_de_areas

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Disciplina: Topografia Aplicada à Engenharia Civil
Assunto: Cálculo de áreas de poligonais
Profª Drª Eliane Viviani
Curso de Engenharia Civil 
Processos Analíticos
Processos em que a área é obtida utilizando fórmulas 
matemáticas, a partir das coordenadas dos pontos que 
definem a poligonal.
MÉTODO DAS COORDENADAS (ou de GAUSS)
A área da poligonal é obtida a partir do cálculo da área de 
trapézios formados pelos vértices da poligonal, utilizando 
as coordenadas totais do polígono de interesse.
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
124_3_2_1 AAA −=
X
X X
Y
Y Y
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
'4_4_1_'1'1_1_2_'21 AAA +=
'4_4_3_'3'3_3_2_'22 AAA +=
Y
X
Y
X
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
)()
2
( 1212'1_1_2_'2 YY
XXA −∗+=
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X
Y
X
Y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
)()
2
( 1212'1_1_2_'2 YY
XXA −∗+=
X
Y
)()
2
( 4141'4_4_1_'1 YY
XXA −∗+=
)()
2
( 4343'4_4_3_'3 YY
XXA −∗+=
)()
2
( 3232'3_3_2_'2 YY
XXA −∗+=
X
Y
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
−⎥⎦
⎤−∗++⎢⎣
⎡ −∗+= )()
2
()()
2
( 434332324_3_2_1 YY
XXYYXXA
⎥⎦
⎤−∗++⎢⎣
⎡ −∗+− )()
2
()()
2
( 41411212 YY
XXYYXX
[ ]−−+−+−+−= )()(2 4434433333233222 YXYXYXYXYXYXYXYXA
[ ])()( 4414411111211222 YXYXYXYXYXYXYXYX −+−+−+−−
)()
2
( 1212'1_1_2_'2 YY
XXA −∗+=
)()
2
( 4141'4_4_1_'1 YY
XXA −∗+=)()2( 43
43
'4_4_3_'3 YY
XXA −∗+=
)()
2
( 3232'3_3_2_'2 YY
XXA −∗+=
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
X
Y
X
Y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
)( 41123423 YXYXYXYXpositivostermos +++=
)( 14214332 YXYXYXYXnegativostermos −−−−=
[ ]−−+−+−+−= )()(2 4434433333233222 YXYXYXYXYXYXYXYXA
[ ])()( 4414411111211222 YXYXYXYXYXYXYXYX −+−+−+−−
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
[ ]−−+−+−+−= )()(2 4434433333233222 YXYXYXYXYXYXYXYXA
[ ])()( 4414411111211222 YXYXYXYXYXYXYXYX −+−+−+−−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método de GAUSS
++++= )(2 41123423 YXYXYXYXA )( 14214332 YXYXYXYX −−−−
)(
2
1 negativosprodutospositivosprodutosApoligonal ∑ +=
)( 41123423 YXYXYXYXpositivostermos +++=
)( 14214332 YXYXYXYXnegativostermos −−−−=
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 U
FS
Ca
r -
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EC
iv 
 
Regra prática
++++= )(2 41123423 YXYXYXYXA )( 14214332 YXYXYXYX −−−−
(produto positivo)(produto negativo) Y1X1
Y4X4
YX
Y3
Y2
Y1
X3
X2
X1
Coord. Totais
)(
2
1 negativosprodutospositivosprodutosApoligonal ∑ +=
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Regra prática
(produto positivo)(produto negativo)
Y1X1
Y4X4
YX
Y3
Y2
Y1
X3
X2
X1
Coord. Totais
)]()([
2
1 ∑∑ −++=poligonalA
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Para a poligonal fornecida, calcular a área utilizando o 
método de Gauss.
-34,68
Y(m)X(m)
+34,07
0
-20,67
+37,17
0
Coord. Totais
+53,49
+23,87
PV
2
1
3
4
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método da Dupla Distância Meridiana (DDM)
Utilizam-se as coordenadas totais e parciais para o 
cálculo da área da poligonal.
Definições necessárias
DM – Distância Meridiana
Distância entre o centro do alinhamento até o eixo das 
ordenadas (eixo Y).
• DDM – Dupla Distância Meridiana
DDM = 2DM
2
1++= ii XXDM
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método da Dupla Distância Meridiana (DDM)
'1_1_5_'5'5_5_44_3_'3'1_1_2_'2'2_2_3_'31_5_4_3_2_1 AAAAAA −−−+=
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método da Dupla Distância Meridiana (DDM)
'1_1_5_'5'5_5_44_3_'3'1_1_2_'2'2_2_3_'31_5_4_3_2_1 AAAAAA −−−+=
1_51_55_45_44_34_32_12_13_23_2 yDMyDMyDMyDMyDMA ∗−∗−∗−∗+∗=
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Método da Dupla Distância Meridiana (DDM)
2
1++= ii XXDM
1_5
15
5_4
54
4_3
43
3_2
32
2_1
21 )
2
()
2
()
2
()
2
()
2
( yXXyXXyXXyXXyXXA ∗+−∗+−∗+−∗++∗+=
( ) ( ) ( ) 1_5155_4544_3433_2322_121 )()(2 yXXyXXyXXyXXyXXA ∗+−∗+−∗+−∗++∗+=
22
xDDMAouyDDMA YpoligonalXpoligonal
∗=∗=
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
1_51_55_45_44_34_32_12_13_23_2 yDMyDMyDMyDMyDMA ∗−∗−∗−∗+∗=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método 
da dupla distância meridiana.
10,000,00
DDM X
4+23,87-34,68
3+53,49-20,67
2+34,07+37,17
DDM Y * xDDM X * yY(m)X(m)
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
-23,87+34,68
-29,62-14,01
+19,42-57,84
+34,07+37,17
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
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 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método 
da dupla distância meridiana.
-34,6810,000,00
-55,35
+16,50
+37,17
DDM X
4+23,87-34,68
3+53,49-20,67
2+34,07+37,17
DDM Y * xDDM X * yY(m)X(m)
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
1++= iiX XXDDM
-23,87+34,68
-29,62-14,01
+19,42-57,84
+34,07+37,17
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método 
da dupla distância meridiana.
+23,87-34,6810,000,00
-55,35
+16,50
+37,17
DDM X
+77,364+23,87-34,68
+87,563+53,49-20,67
+34,072+34,07+37,17
DDM Y * xDDM X * yY(m)X(m)
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
1++= iiY YYDDM
-23,87+34,68
-29,62-14,01
+19,42-57,84
+34,07+37,17
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
UFSCar – Topografiaaplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método 
da dupla distância meridiana.
+827,8116+23,87-34,6810,000,00
Σ
-55,35
+16,50
+37,17
DDM X
+4054,0905
+1639,467+77,364+23,87-34,68
+320,43+87,563+53,49-20,67
+1266,3819+34,072+34,07+37,17
DDM Y * xDDM X * yY(m)X(m)
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
-23,87+34,68
-29,62-14,01
+19,42-57,84
+34,07+37,17
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método 
da dupla distância meridiana.
+827,8116+827,8116+23,87-34,6810,000,00
Σ
-55,35
+16,50
+37,17
DDM X
-4054,0905+4054,0905
-1083,8136+1639,467+77,364+23,87-34,68
-5064,4704+320,43+87,563+53,49-20,67
+1266,3819+1266,3819+34,072+34,07+37,17
DDM Y * xDDM X * yY(m)X(m)
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
-23,87+34,68
-29,62-14,01
+19,42-57,84
+34,07+37,17
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
2045,2027
2
|0905,4054| mApoligonal ==
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv 
 
Exercício proposto
Calcular a área da poligonal fornecida, utilizando o método da dupla 
distância meridiana.
5+26,9860-45,2706
10,00000,0000
DDM X
4-7,7820-71,4408
3-54,4932-88,2716
2-53,0455-32,5446
DDM Y * xDDM X * yYX
Áreas Duplas
DDM YPonto
Coordenadas Totais
+34,7680+26, 1702
-26,9860+45,2706
+46,7112+16,8308
-1,4477-55,7270
-53,0455-32,5446
y(m)x(m)
Coord. parciais 
compensadas
UFSCar – Topografia aplicada à Engenharia Civil – Profa Eliane Viviani
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 U
FS
Ca
r -
 D
EC
iv