Polígrafo 1

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GEOMETRIA DESCRITIVA:
Geometria Descritiva é a ciência que ensina a representar (projetar) sobre um plano os elementos do espaço (tridimensional) de modo a poder resolver graficamente os problemas relativos a sua forma, grandeza e posição por meio de traçados.
Gaspar Monge (matemático francês) foi o inventor da geometria descritiva, 1746 a 1818.
Monge imaginou dois planos cortando-se perpendicularmente e os chamou de Plano Vertical e Plano Horizontal de projeção. Esses planos dividiram o espaço geométrico em quatro diedros, que ele numerou na ordem anti-horário.
 
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SISTEMAS DE PROJEÇÃO:
Esses traçados obtém-se projetando sobre um plano dado os diversos pontos de uma figura ou, pelo menos, os necessários a sua determinação no espaço.
Entende-se geralmente, por projeção de um ponto sobre um plano a interseção com esse plano de uma reta que passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e pode ser traçada paralelamente a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo.
Estas duas condições dividem a projeção em dois grandes sistemas:
Obs: Vista é a imagem vista por um observador num plano de referência.
Algumas Definições:
ÂNGULO DIEDRO é o ângulo formado pela interseção de dois planos (quadrantes).
PROJEÇÃO ORTOGONAL de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular baixada desse ponto até esse plano ( P1, P2, P0 ).
PROJETANTE é a perpendicular traçada do ponto do espaço até sua projeção no plano ( PP2 , PP1 , PP0 ).
LINHA DE CHAMADA é a linha que liga as projeções de um ponto na épura, é a projeção da projetante ( P2 R P1 , P2 Q P0 , P1 S P0 ).
SISTEMA ORTOGONAL é quando as suas projetantes chegam a 90° em relação ao plano de projeção.
Vistas Ortográficas: 
Utilizam mais de um plano de projeção (frontal, superior, inferior, laterais direita e esquerda, posterior).
Perspectiva Axonométricas: utiliza apenas um plano de projeção e posiciona o objeto no espaço de modo que o observador possa ver mais de uma face.
Tipos: isométricas, dimétricas e trimétricas.
Isométrica: as três arestas se projetam de forma a ficar 120º entre si.
Dimétrica: formada por dois ângulos iguais e um diferente.
Trimétrica: formada por três ângulos diferentes.
Perspectiva Isométrica 
Os eixos isométricos da largura e profundidade formam 30º em relação a uma horizontal.
Perspectiva Cavaleira
A face principal do objeto é paralela ao plano vertical de projeção.
se for 30º a medida “a” sofre uma redução de 1/3 do objeto real.
se for 45º a medida “a” sofre uma redução de 1/2 do objeto real. 
Se for 60º a medida “a” sofre uma redução de 2/3 do objeto real.
Projeções Cônicas: passam por um ponto único.
Ponto de fuga é por onde as projetantes se convergem, coincide com a posição do observador.
A altura do observador é em relação a um plano de referência onde esta o objeto.
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO DAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS:
Será usado o de Gaspar Monge, que combina dois planos perpendiculares entre si para planos de projeção, de sorte que o ponto do espaço seja determinado pela interseção de duas retas perpendiculares a esses planos de projeção.
É o método da dupla projeção ortogonal. Esse método é nas convenções seguintes:
1º- Os planos ortogonais escolhidos são: horizontal de projeção e o outro o vertical de projeção. A interseção desses dois planos chama-se Linha de Terra (LT).
2º- Separados pela linha de terra esses dois planos constituem quatro semi-planos: horizontal anterior HA, horizontal posterior HP, vertical superior VS, vertical inferior VI.
3º- Estes dois planos formam quatro diedros retos. Chama-se 1ºdiedro, ao formado pelos semi-planos VS-HA; 2ºdiedro ao formado pelos semi-planos VS-HP; 3ºdiedro, àquele que é formado pelos semi-planos VI-HP; e finalmente o 4ºdiedro é formado pelos semi-planos VI-HA.
4º- Fazendo coincidir o plano vertical com o horizontal de projeção, com uma rotação em torno da Linha de Terra obtemos a planificação do sistema, obtendo-se as projeções das figuras nesses dois planos num só plano. Transformamos o sistema tridimensional em um bidimensional.
Convenções:
A(x,y,z)((abscissa, afastamento, cota).
Projeção horizontal: índice 1, A1 .
Projeção vertical: índice 2, A2.
3º vista : índice 0, A0 (auxiliar).
Linha de Terra: ¶1 ¶2.
Pontos: letras latinas maiúsculas ( A, B, C ...).
Retas: letras latinas minúsculas ( a, b, c ....).
Planos: letras gregas minúsculas ( α , β, γ....).
Traços do Plano: Plano Vertical ( α¶2 , β¶2 ...)
			Plano Horizontal ( α¶1 , β¶1 ...)
Traços da Reta: Traço Vertical ( V )
		 Traço Horizontal ( H )
Linhas de Terra auxiliares: ¶1¶4 , ¶2¶3 , ¶3¶4
ÉPURA:
É o resultado do rebatimento do plano vertical de projeção sobre o plano horizontal de projeção no sentido anti-horário .
ou
É o resultado do rebatimento do plano horizontal de projeção sobre o plano vertical de projeção no sentido horário.
Planificando o sistema X, Y, Z que é formado pela interseção dos planos de projeção ( ¶1 e ¶2 ) e um plano auxiliar projeção lateral de terceira vista (¶0)
Obs:
De acordo com a geometria plana, um plano é considerado infinito, por isso o sistema é representado somente pela interseção dos planos..
REPRESENTAÇÃO DO PONTO:
A-A2 ( afastamento(y)
A-A1 ( cota(z)
A-A0 ( abscissa(x)
Todo ponto situado acima do plano horizontal de projeção tem cota positiva(+) e os situados abaixo do referido plano tem cota negativa(-).
Todo ponto situado à frente do plano vertical de projeção tem afastamento positivo(+) e os situados atrás do referido plano tem afastamento negativo(-).
Todo ponto que possui qualquer uma de suas coordenadas nula está contido em um dos planos de projeção.
EXERCÍCIOS:
Representar em épura os seguintes pontos (incluindo a 3º vista) e dizer o diedro.
A(25,17,32)mm
B(30,0,18)mm
C(0,26,14)mm
D(10,15,15)mm
E(13,-30,13)mm
F(16,23,0)mm
G(17,0,0)mm
H(0,0,0)mm
I(22,13,Z)mm Z / Y=2
J(15,30,0)mm
K(0,12,-24)mm 
L(19,Y,6)mm Z / Y = 1 / 3
M(17,Y,7)mm Y / Z = 3
N(21,9,Z)mm Y / Z = 1 / 3
O(X,18,24)mm X = Z
P(X,32,8)mm X = Y / Z
ESTUDO DA RETA:
Uma reta pode ser determinada por dois pontos distintos.
Uma reta pode ser determinada por um ponto e uma direção.
A interseção de dois planos determina uma reta.
Posições assumidas pela reta em relação a um plano:
A reta pode ocupar 3 posições:
a)Paralela (// ) projeção em verdadeira grandeza ( VG ).
b)Perpendicular ( () projeção acumulada ( PA ).
c)Oblíqua (_/)( projeção reduzida ( PR ).
Posições assumidas pela reta em relação ao plano de projeção:
A reta pode ocupar sete posições:
FRONTO-HORIZONTAL OU RETA PARALELA:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP):
paralela ao ¶1 VG
paralela ao ¶2 VG
perpendicular ao ¶0 PA
 Em relação ao coordenadas:
abscissas ≠
afastamentos =
cotas =
Reta Horizontal ou Reta de Nível:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP):
paralela ao ¶1 VG
oblíqua ao ¶2 PR
oblíqua ao ¶0 PR
 Em relação ao coordenadas:
abscissas ≠
afastamentos ≠
cotas =
TRAÇO DE UMA RETA:
É o ponto de interseção da reta com um dos planos de projeção. Portanto, uma reta pode furar o plano horizontal, o plano vertical ou os dois.
Quando uma reta fura o plano horizontal de projeção dizemos que a mesma possui Traço Horizontal ( ponto de cota nula ).
Quando uma reta fura o plano vertical de projeção dizemos que a mesma possui Traço Vertical ( ponto de afastamento nulo ).
Os traços V e H de uma reta permitem-nos localizar os pontos em que uma reta muda de diedro.
Ângulos:
É aquele em quefaz com o plano de projeção, podendo ser α ou β.
c) Reta Frontal ou Reta de Frente:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP): 	
oblíqua ao ¶1 PR	
paralela ao ¶2 VG			
oblíqua ao ¶0 PR
 Em relação ao coordenadas:
abscissas ≠
afastamentos =
cotas ≠
d) Reta de Topo:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP):
paralela ao ¶1 VG
perpendicular ao ¶2 PA
paralela ao ¶0 VG
 Em relação ao coordenadas:
abscissas =
afastamentos ≠
cotas =
e) Reta de Perfil:
A reta de perfil possui sempre suas projeções perpendiculares à linha de terra.
Para determinar a verdadeira grandeza da reta de perfil é necessário a determinação da terceira vista.
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP): 
oblíqua ao ¶1 PR
oblíqua ao ¶2 PR
paralela ao ¶0 VG
 Em relação ao coordenadas:
abscissas =
afastamentos ≠
cotas ≠ 
f) Reta Vertical:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP):
perpendicular ao ¶1 PA
paralelo ao ¶2 VG
paralela ao ¶0 VG
 Em relação ao coordenadas:
abscissas =
afastamentos =
cotas ≠
g) Reta Qualquer ou Reta Oblíqua ou Reta Genérica:
Características:
Em relação aos planos de projeção (PP):
oblíqua ao ¶1 PR
oblíqua ao ¶2 PR
oblíqua ao ¶0 PR
 Em relação ao coordenadas:
abscissas ≠
afastamentos ≠
cotas ≠
		
Exercícios:
Representar em épura as retas abaixo, determinando o seu traço, as três projeções e denominá-las, o ângulo e com que plano faz.
a) AB	A(50,30,20)mm		B(10,30,20)mm
b) CD	C(50,50,20)mm		D(10,0,20)mm
c) EF	E(30,25,10)mm		F(50,25,40)mm
d) GH	G(30,30,0)mm		H(30,0,0)mm
e) IJ		I(50,40,30)mm		J(20,10,50)mm
f) KL		K(40,0,15)mm		L(20,0,15)mm
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_1171697180.doc
¶1
¶0
¶1¶2
¶2
¶1¶2
p2
β
α
V0
p1
H0
H1 = H
V1 = H2
V =V2
p0
p
p0
β
α
p1
V0
V2
p2
H0
H1
V1 = H2
_1171698744.doc
¶1
¶0
.
t1
t2 = V2
¶1¶2
V1
.
t1
V0
¶2
t1
¶1¶2
t0
V1
t
V0
t2 = V = V2
_1260250077.doc
Vistas ortográficas
PERPENDICULARES
(ortogonais)
Perspectivas Axonométricas
SISTEMAS
DE 
PROJEÇÃO
PROJ.
CILINDRICAS
OBLIQUAS
Perspectivas Cônicas
Perspectiva Cavaleira
PROJ.
CÔNICAS
_1171697859.doc
1
~
~
~
1
2
2
~
0
~
r
1
H H1
H2
r
2
r
0
H0
2
1
~
~
r
1
H1
r
2
r
0
H2
H0
r
_1171696610.doc
¶1¶2
¶2
¶0
H2
¶1
α
β
f1
f2
¶1¶2
f0
 H =H1
f
H0
α
β
f0
f2
f1
H0
H1
H2
_1171696972.doc
β
α
¶1
¶1¶2
¶2
¶0
V1 =H2
 V = V2
V0
p2
p1
H = H1
β
H0
p0
p
α
¶1¶2
V0
V2
H0
H1
V1 = H2
p0
p1
p2
_1171696503.doc
2
1
~
~
1
~
¶1¶2
H =H1
2
~
0
~
V0
O
0
H0
H2
O
2
O
1
O
V =V2
V1
O
1
O
2
O
0
V1
H0
V0
V2
H2
H1
_913587798.doc
VS
LT
HA
LT
 ÉPURA
(É A PLANIFICAÇÃO DO 
SISTEMA DE PROJEÇÃO)
1º DIEDRO
¶2
¶1
_913585896.doc
2º DIEDRO
1º DIEDRO
3º DIEDRO
4º DIEDRO
L.T.
HP
VS
VI
HA
_913586511.doc
VS
VS - HP
¶1¶2
¶1
¶2
HA
VI
HP
¶1¶2
VI - HA
¶2
¶1
¶1¶2
VS - HP
VI - HA
¶2
¶1