Teoria das estruturas I - introdução ao analise estrutural

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Teoria das Estruturas I 
1 INTRODUÇÃO AO ANÁLISE ESTRUTURAL 
Conceitos Fundamentais 
• Estrutura 
É o conjunto de peças ou elementos estruturais que constitui o esqueleto destinado a suportar as 
cargas de uma construção (figura 1), equipamento ou máquinas. 
As peças estão ligadas entre si e com o meio exterior, como pode ser visto na figura 2, de modo a 
formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las 
internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu 
sistema estático equilibrante. 
 
Por exemplo, um pilar de concreto de um edifício recebe em cada andar o peso de aquele piso e o 
transmite ao pilar do andar de baixo até o último lance do pilar, que transmite a carga total às 
fundações, e estas ao solo. 
 
• Projeto Estrutural 
O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma ESTRUTURA que atenda a todas as 
necessidades para as quais ela será construída, satisfazendo condições de segurança, de 
utilização, econômicas, estéticas, ambientais, construtivas e legais. 
O arranjo estrutural deve ser concebido de modo a ser capaz de absorver as solicitações externas e 
transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se em repouso, isto é, a estrutura em equilíbrio. 
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• Análise Estrutural 
A Análise Estrutural é a parte do Projeto Estrutural em que é feita a idealização do 
comportamento da estrutura quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, 
movimentos de apoios, etc..), e tem como objetivo a determinação: 
• Dos esforços solicitantes internos (ESI) (Força axial, N, cortante, V e momento, M): 
Necessária para o posterior dimensionamento dos elementos estruturais. 
 Das deformações ou deslocamentos em alguns pontos: limitação destes valores 
respeitando as recomendações das normas para evitar deformações excessivas. 
 Das reações de apoio a que elas ficam submetidas: Necessária para a consideração da 
ação da estrutura (ou dos elementos estruturais) sobre os quais esta se apoia. 
 
Em sua maioria, as construções são muito complicadas quanto às características dos materiais, à 
forma e geometria dos elementos estruturais, aos tipos de carregamento, seus vínculos etc. e, a 
menos que sejam estabelecidos hipóteses e esquemas de cálculo simplificadores, a análise dos 
problemas seria impraticável. A validade de tais hipóteses é constatada experimentalmente. 
Algumas destas Hipóteses são: 
Os materiais são considerados: 
 Contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc), 
 Homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e 
 Isótropos (iguais propriedades em todas as direções). 
Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a 
solução matemática dos problemas. 
 Princípio de Saint-Venant: é possível substituirmos um sistema de forcas por outro, 
estaticamente equivalente, significando maior simplificação nos cálculos. 
 Superposição de efeitos: os efeitos causados por um sistema de forças externas agindo sob 
um corpo é igual à soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo 
isoladamente. 
 
• Elementos estruturais. Tipos 
 Unidimensionais ou lineares: 
Elementos que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior que as outras 
duas (a~b<<<c). 
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Exemplos: vigas, pilares, elementos de treliças, arcos, escora, ..etc. 
 
 Bidimensionais ou de superfície: 
Elementos que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor que as outras duas 
(a<<<b~c); 
 
 
Exemplos: Parede, laje e casca. 
 
 Tridimensionais ou de volume: 
 
 Elementos cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza (a~b~c); 
 
 
Exemplo: Bloco de fundação. 
 
 
 
• Classificação das Estruturas 
 
 Estruturas reticulares ou unidimensionais: Compostas por elementos unidimensionais 
chamados de elementos ou barras. 
 
Exemplos: 
 Vigas 
 
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 Pórticos 
 
 
 
 Treliças 
 
 
 Grelhas: Embora geometricamente plana as forças estão aplicadas no plano 
perpendicularmente ao plano da estrutura. 
 
 
 
 Estruturas bidimensionais 
 
 Lajes: As cargas agem perpendicularmente a estrutura. São elementos estruturais 
horizontais ou inclinados 
 Paredes: As cargas agem no plano da estrutura. São elementos estruturais verticais 
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 Cascas: As cargas são radias 
 
 Estruturas tridimensionais 
 
 Bloco de coroamento ou bloco de estacas; 
 Bloco de fundação; 
 Barragem 
 
 
 
 Conceitos Elementares 
Antes de continuarmos a análise das Estruturas, quanto ao carregamento e quanto ao vínculo, 
vamos relembrar duas grandezas fundamentais: Força e momento. 
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 Forças no plano 
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força 
atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 
abaixo. 
 
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
O deslocamento associado a uma força é uma translação ou deslocamento linear 
 
 Momento 
 
Para ilustrar e definirmos o conceito de Momento, vamos analisar a barra abaixo, e seu equilíbrio. 
 
É fácil ver que, para contrabalançar a rotação da barra “AB”, no ponto “C”, a carga aplicada em “A” 
deve ser inferior a 10 Kg, por estar mais afastado de “C” do que este último; por tentativas veríamos 
que seu valor deve ser 5 Kg. 
Este exemplo simples ilustra o fato de que o efeito de rotação de uma força em torno de um ponto 
depende do valor da força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente proporcional a 
ambos. 
 
 
O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto provocada por uma 
força. O momento é função da força e da distância perpendicular entre a línea de aplicação da 
força e o ponto (braço de alavanca). 
 
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 Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
No decorrer do curso são usadas várias unidades de medidas. O sistema adotado é o SI, que no 
Brasil, está oficializado desde 1962. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades 
derivadas. 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Como mostrado na tabela a 
seguir: 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
 
 
Algumas unidades derivas são: 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Área metro quadrado m2 
Volume metro cúbico m3 
Força Newton N 
Momento Newton -metro N-m 
Tensão Pascal Pa= N/m2 
 
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 Esforços ou ações 
 
Os esforços ou ações que agem na estrutura se classificam em: 
 
 
 
O objetivo do engenheiro civil é garantir a condição: 
 
 
 
 
 
 
ESFORÇOS RESISTENTES INTERNOS ≥ ESFORÇOS SOLICITANTES INTERNOS 
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 Esforços solicitantes externos ativos ou Carregamentos aplicados 
 
São também chamados de ações solicitantes externas ativas ou simplesmente cargas. 
As cargas são a causa que provocam o aparecimento de esforços internos ou deformações nas 
estruturas. 
Quanto ao tipo, podem ser classificadas em forças e momentos e em quanto á formas de 
aplicação se classificam em: 
 
 
Exemplos: 
 
 
Unidades: Newton/metro ( N/m) 
 
 
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Exemplos: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Resultante ou carga equivalente de carregamentos distribuídos 
A resultante ou carga equivalente de uma carga distribuida ao longode um comprimento L, 
expressa pela função q(x), é igual à área delimitada pela função q(x), com 0< x <L. O ponto de 
aplicação da resultante coincide com o centro de gravidade do diagrama de q(x). 
 
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• Graus de Liberdade 
 
São as possibilidades de translação e rotação que têm um corpo no espaço ou no plano. 
 No espaço a estrutura tem 6 graus de liberdade: translações nos três eixos trigonométricos 
e momentos em relação aos eixos. 
 No plano a estrutura tem 3 graus de liberdade 
 
Esses graus de liberdade são restringidos para possibilitar o equilíbrio da estrutura. Esta restrição 
é fornecida através dos vínculos ou apoios, os quais impedem os movimentos do corpo a través 
do aparecimento de reações destes apoios sobre o corpo, nas direções dos movimentos que eles 
impedem. Essas reações serão determinadas pelas condições de equilíbrio. 
 
• Apoios ou Vínculos 
 
No caso de estruturas carregadas no próprio plano os apoios são: 
 
1. Apoio de primeiro gênero - articulação móvel: Impedem translação normal ou 
perpendicular ao plano e apoio, permitem translação paralela à superfície e a rotação. 
 
 A reação aparece na direção do grau de liberdade impedido. 
 
 
Este suporte para a viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte 
esteja livre para se expandir e contrair devido às mudanças de temperatura. 
2. Apoio do segundo gênero – articulação fixa ou rótula: Impede a translação em duas 
direções, na direção normal e na paralela ao plano de apoio e permite a rotação em torno 
dele. 
 
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3. Apoio do terceiro gênero - engaste: Impede translação e rotação. Imobilizam o corpo 
completamente. 
 
 NOTA: Quando o sentido das reações ou do momento desconhecidos não é previsível, se 
deve colocar arbitrariamente. Se quando calculado a resposta for positiva o sentido 
colocado é o correto. 
 
4. Outro tipo de apoio 
 
• Equações de equilíbrio estático 
 
Para uma estrutura submetida a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que as 
forças não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação à estrutura. 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio é que: 
ΣF=0 
ΣM0=0 
Nessas fórmulas, ΣF representa a soma de todos os vetores forças que agem sobre o corpo, e 
ΣM0, é a soma dos vetores momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto “0” dentro 
ou fora do corpo. 
Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto “O”(no espaço), os 
vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos 
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coordenados, e as duas equações apresentadas podem ser escritas como seis equações em 
forma escalar, ou seja, 
 
ΣFx=0 ΣMx=0 
ΣFy=0 ΣMy=0 
ΣFz=0 ΣMz=0 
 
ΣMx → Momento das forças em relação ao eixo “x” 
(forças que estão no plano “zy”). 
 
Na prática da engenharia muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser representada como um 
sistema de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as forças encontrarem-se no plano x-y, 
então as condições de equilíbrio do corpo podem ser especificadas por apenas três equações de 
equilíbrio em forma escalar, isto e, 
 
• Estabilidade e Estaticidade das estruturas 
 
 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da 
estrutura. Estes apoios devem estar aplicados em posições que confiram equilíbrio às estruturas. 
Neste caso o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de 
equilíbrio disponíveis, chegando-se a um sistema de equações determinado que vai resolver o 
problema. Neste caso ocorre uma situação de equilíbrio estável. 
Este tipo de estrutura é estudado na disciplina Teoria das Estruturas I 
 
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Exemplo: 
 
 
Temos: 
3 Reações de Apoio → Rax , Ray e Rby 
3 Equações de Equilíbrio → ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Mz = 0 
 ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS 
Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da 
estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, chegando-se a um 
sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, 
instável. 
As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. 
 
 
Exemplo: 
 
Temos: 
2 Reações de Apoio → Ray e Rby 
3 equações de Equilíbrio → ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Mz = 0 
 
 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da 
estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um 
sistema indeterminado. As equações universais da Estática não serão, então, suficientes para a 
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de 
deformações. A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável. 
Este tipo de estrutura é estudado na disciplina Teoria das Estruturas II 
 
número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio 
 
número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio 
número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio 
 
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Exemplo: 
 
Temos: 
4 Reações de Apoio → Rax , Ray , Rbx e Rby 
3 Equações de Equilíbrio → ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Mz = 0 
 
 
 Esforços solicitantes externos reativos ou Reações de apoios 
 
Definidos os apoios, o cálculo de suas reações é imediato, pois elas são forças (ou momentos) de 
ponto de aplicação e direção conhecidas e tais que equilibrem as cargas aplicadas à estrutura. 
Serão calculadas, então, a partir das equações de equilíbrio da estática. 
Para a determinação das reações de apoio é necessário definir um sistema referencial GLOBAL. 
Será escolhido de tal maneira que as coordenadas X, Y e Z sejam sempre positivas. 
 
Exemplos: Calcular as reações de apoio. 
(exercícios resolvidos na aula) 
 
 Esforços solicitantes internos 
Já vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra seu equilíbrio através das 
reações de apoio que provocam. Vejamos, agora, quais os efeitos estáticos que estas cargas e 
reações provocam em cada uma das secções do corpo. 
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Considere um corpo mantido em equilíbrio pelas quatro forças externas. 
 
Imaginando este corpo secionado em duas partes na seção “S”, vê-se a necessidade do surgimento 
de um sistema de forças internas para manter o equilíbrio das duas partes do corpo. Segundo a 
terceira lei de Newton ou o princípio de ação e reação, estas forças sempre são de igual direção, 
intensidade e sentido oposto. A parte direita de “S” age sobre a parte esquerda e vice-versa, de tal 
forma que as forças que aparecem em ambos os lados formam também um sistema de forças, 
desta vez internas, em equilíbrio. 
 
Assim obtemos como resultantes internas: 
 
Assim, os Esforços Solicitantes Internos na seção “S” de uma estrutura espacial ficam: 
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N: Esforço Normal Tende a afastar (tração - positivo) ou aproximar (compressão - negativo) as 
partes do corpo na direção perpendicular à superfície de corte. 
 
Q: Esforço Cortante Tende a deslizar relativamente as partes do corpo numa direção paralela à 
superfície virtual de corte. 
 
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M: Momento Fletor Tende girar relativamente as partes do corpo em torno de um eixo paralelo à 
superfície virtual de corte. 
 
 
T: Momento Torsor Tende girar relativamente as partes do corpo em torno da direção 
perpendicular à superfície virtual de corte. 
 
 
Exemplo: 
 
Determinar os valores dos esforços internos (N, Q e M) na seção “C” separada de 1m do engaste.