Métodos de Integração de Funções Trigonométricas

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7. Me´todos de integrac¸a˜o
Conteu´do da Segunda avaliac¸a˜o
7.1 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Trigonome´tricas
7.2 Integrac¸a˜o de Algumas Func¸o˜es Envolvendo Func¸o˜es Trigonome´tricas
7.3 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Trigonome´trica
7.4 Problemas
7.5 Integrac¸a˜o de func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
7.6 Problemas
7.7 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais de Seno e Cosseno
7.8 Integrais Envolvendo Expresso˜es da Forma
√
ax2 + bx+ c(a 6= 0)
7.9 Problemas
Segunda avaliac¸a˜o
Aulas da Segunda Unidade
7.1 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Trigonome´tricas
7.1.1 As integrais
∫
senudu e
∫
cosudu
7.2 Integrac¸a˜o de Algumas Func¸o˜es Envolvendo Func¸o˜es Trigonome´tricas
7.2.1 As integrais
∫
sennudu e
∫
cosnudu onde n e´ um nu´mero positivo
Nestas integrais, podemos usar artificios de ca´lculo com aux´ılio das identidades
trigonome´tricas
sen2x+ cos2x = 1 (1)
sen2x =
1− cos2x
2
(2)
cos2x =
1 + cos2x
2
(3)
7.2.2 Exemplos
1) Calcular as integrais:
a)
∫
cos5xdx
Soluc¸a˜o:
Como cos5x = cosx− 2sen2xcosx+ sen4xcosx,
Portanto,∫
cos5xdx =
∫
(cosx− 2sen2xcosx+ sen4xcosx)dx∫
cos5xdx =
∫
cosxdx− 2 ∫ (sen2xcosx)dx+ ∫ (sen4xcosx)dx
c)
∫
sen4xdx
Soluc¸a˜o:
Como sen4x = 3
8
− 1
2
cos2x− 1
8
cos4x,
Portanto,∫
sen4xdx =
∫
(3
8
− 1
2
cos2x− 1
8
cos4x)dx∫
sen4xdx =
∫
(3
8
)dx− 1
2
∫
(cos2x)dx− 1
8
∫
(cos4x)dx∫
sen4xdx = 3x
8
− 1
4
sen2x+ 1
32
sen4x+ C
Observamos que o racioc´ınio usado neste exemplo e´ va´lido para as poteˆncias pares.
7.2.3 As integrais
∫
senmucosnudu onde m e n sa˜o inteiros positivos.
quando pelo menos um dos expoentes e´ impar, usamos a identidade (1) e, quando os dois
expoentes sa˜o pares, usamos (2) e (3) e, eventualmente, tambe´m (1).
7.2.4 Exemplos
1
Calcular as integrais:
1)
∫
sen5xcos2xdx
Soluc¸a˜o:
sen5xcos2x = cos2xsenx− 2cos4xsenx+ cos6xsenx∫
(sen5xcos2x)dx =
∫
(cos2xsenx)dx− 2 ∫ (cos4xsenx)dx+ ∫ (cos6xsenx)dx∫
(sen5xcos2x)dx = −1
3
cos3x+ 2
5
cos5x− 1
7
cos7x+ C
2)
∫
sen2xcos4xdx
Soluc¸a˜o:
sen2xcos4x = 1
16
− 1
16
cos4x+ 1
8
cos2xsen22x∫
(sen2xcos4x)dx =
∫ 1
16
− 1
16
∫
(cos4x)dx+ 1
8
∫
(cos2xsen22x)dx∫
(sen2xcos4x)dx = x
16
− 1
64
sen4x+ 1
48
sen32x
7.2.5 As integrais
∫
tagnudu e
∫
cotgnudu onde n e´ inteiro positivo.
Na preparac¸a˜o do integrando, usamos as identidades
tan2u = sec2u− 1 e
cotg2u = cosec2u− 1
Os artificios sa˜o semelhantes aos usados nas sec¸o˜es anteriores. Temos:
tannu = tann−2tan2u = tann−2(sec2u− 1) e
cotgnu = cotgn−2cotg2u = cotgn−2(cosec2u− 1)
7.2.6 Exemplos
Calcular as integrais:
1)
∫
tan33θdθ
Soluc¸a˜o:
Preparando o integrando temos:
tan33θ = tan3θtan23θ = tan3θsec23θ − tan3θ∫
(tan33θ)dθ =
∫
(tan3θsec23θ)dθ − ∫ (tan3θ)dθ∫
(tan33θ)dθ = 1
6
tan23θ + 1
3
ln|cos3θ|+ C
2)
∫
cotg42xdx
Soluc¸a˜o:
Preparando o integrando temos:
cotg42x = cotg22xcosec22x− cosec22x+ 1.
Portanto,∫
(cotg42x)dx =
∫
(cotg22xcosec22x)dx− ∫ (cosec22x+ 1)dx.∫
(cotg42x)dx = −1
6
cotg32x+ 1
2
cotg2x+ x+ C
7.2.7 As integrais
∫
secnudu e
∫
cosecnudu onde n e´ inteiro positivo.
Estas integrais, para o caso de n ser um nu´mero par, sa˜o resolvidas utilizando as identidades
(5) e (6). Temos
secnx = (sec2x)
n−2
2 sec2x = (tan2x+ 1)
n−2
2 sec2x e
cosecnx = (cosec2x)
n−2
2 cosec2x = (cotg2x+ 1)
n−2
2 cosec2x.
Quando n for impar, devemos aplicar o me´todo da integrac¸a˜o por partes visto na sec¸a˜o 6.5.
7.2.8 Exemplos
Calcular as integrais:
1)
∫
cosec6xdx
Soluc¸a˜o:
Preparando o integrando temos:
cosec6x = (cosec2x)2cosec2x = (cotg2x+ 1)2cosec2x = (cotg4x+ 2cotg2x+ 1)cosec2x
cosec6x = cotg4xcosec2x+ 2cotg2xcosec2x+ cosec2x
Portanto,
2
∫
cosec6xdx =
∫
(cotg4xcosec2x)dx+ 2
∫
(cotg2xcosec2x)dx+
∫
(cosec2x)dx∫
cosec6xdx = −1
5
cotg5x− 2
3
cotg3x− cotgx+ C
2)
∫
sec3xdx
Soluc¸a˜o:
Nesta integral aplicar o me´todo da integrac¸a˜o por partes. Seja
secx −→ du = secx.tanxdx
sec2xdx −→ v = ∫ secxdx = tanx
Enta˜o∫
(sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (tanx.secx.tanx)dx∫
(sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (tan2x.secx)dx∫
(sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (sec2x− 1).secxdx∫
(sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (sec3x)dx+ ∫ secxdx
Adicionando
∫
(sec3x)dx a cada membro, obtemos:
2
∫
(sec3x)dx = secx.tanx+
∫
secxdx
2
∫
(sec3x)dx = secx.tanx+ ln|secx+ tanx|∫
(sec3x)dx = 1
2
secx.tanx+ 1
2
ln|secx+ tanx|+ C
7.2.9 As integrais
∫
tanmusecnudu e
∫
cotgmucosecnudu onde m e n sa˜o inteiros positivos.
7.2.10 Calcular as integrais:
1)
∫
tan7xsec6xdx
Soluc¸a˜o:
tan7xsec6x = tan11xsec2x+ 2tan9xsec2x+ tan7xsec2x∫
tan7xsec6xdx =
∫
(tan11xsec2x)dx+ 2
∫
(tan9xsec2x)dx+
∫
(tan7xsec2x)dx
Portanto,∫
tan7xsec6xdx = 1
12
tan12x+ 1
5
tan5x+ 1
8
tan8x+ C∫
tan7xsec5xdx
Soluc¸a˜o:
tan7xsec5x = (sec10xx− 3sec8x+ 3sec6x− sec4x)secxtanx∫
tan7xsec5xdx =
∫
(sec10xx− 3sec8x+ 3sec6x− sec4x)secxtanxdx
Portanto,∫
tan7xsec5xdx = 1
11
sec11x− 1
3
sec9x+ 3
7
sec7x− 1
5
sec5x+ C
7.2.11 Fo´rmulas de Reduc¸a˜o ou Recorreˆncia
As mais usadas sa˜o:∫
sennudu = −1
n
senn−1ucosu+ n−1
n
∫
senn−2udu∫
cosnudu = 1
n
cosn−1usenu+ n−1
n
∫
cosn−2udu∫
secnudu = 1
n−1sec
n−2utanu+ n−2
n−1
∫
secn−2udu∫
cosecnudu = −1
n−1sec
n−2ucotgu+ n−2
n−1
∫
cosecn−2udu
7.2.12 Exemplo Aplicar uma fo´rmula de recorreˆncia para calcular a integral
1)
∫
sen52xdx
Fazendo u = 2x e du = 2dx∫
sen52xdx = 1
2
∫
sen5udu = −1
10
sen4ucosu− 2
15
sen2ucosu− 4
15
cosu+ C∫
sen52xdx = 1
2
∫
sen5udu = −1
10
sen42xcos2x− 2
15
sen22xcos2x− 4
15
cos2x+ C
7.2.13 Integrac¸a˜o de func¸o˜es envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes
senacosb = 1
2
[sen(a+ b) + sen(a− b)]
senacosb = 1
2
[cos(a− b)− cos(a+ b)]
cosacosb = 1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)]
7.2.14 Exemplos Calcular as integrais:
1)
∫
sen4xcos2xdx
3
Soluc¸a˜o:
sen4xcos2x = 1
2
[sen6x+ sen2x]∫
sen4xcos2xdx = 1
2
∫
[sen6x+ sen2x]dx = −1
4
[1
3
cos6x+ cos2x] + C
2)
∫
sen5xsen2xdx
Soluc¸a˜o:
sen5xsen2x = 1
2
[cos3x− cos7x]∫
sen5xsen2xdx = 1
2
∫
[cos3x− cos7x]dx = 1
2
[1
3
sen3x− 1
7
sen7x] + C
3)
∫
cos5xcos3xdx
Soluc¸a˜o:
cos5xcos3x = 1
2
[cos8x+ cos2x]∫
sen5xsen2xdx = 1
2
∫
[cos8x+ cos2x]dx = 1
4
[1
4
sen8x+ sen2x] + C
7.3 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Trigonome´trica
a) A func¸a˜o integrando envolve
√
a2 − u2.
Neste caso usamos u = asenθ. Enta˜o du = acosθdθ. Supondo que −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
, temos√
a2 − u2 = √a2 − a2sen2θ =
√
a2(1− sen2θ) =
√
a2(cos2θ) = acosθ
b) A func¸a˜o integrando envolve
√
a2 + u2.
Neste caso usamos u = atgθ. Enta˜o du = asec2θdθ. Supondo que −pi
2
< θ < pi
2
, temos√
a2 + u2 =
√
a2 + a2tan2θ =
√
a2(1 + tan2θ) =
√
a2(sec2θ) = asecθ.
c) A func¸a˜o integrando envolve
√
u2 − a2.
Neste caso usamos u = asecθ. Enta˜o du = asecθtanθdθ. Supondo que 0 ≤ θ < pi
2
ou
pi ≤ θ < 3pi
2
, temos√
u2 − a2 = √a2sec2θ − a2 =
√
a2(sec2θ − 1) =
√
a2(tan2θ) = atanθ
7.3.1 Exemplos Calcular as integrais:
1)
∫ √9−x2
2x2
usamos x = 3senθ. Enta˜o dx = 3cosθdθ. Assim√
9− x2 = 3cosθ, para −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
,
logo,∫ √9−x2
2x2
= 1
2
∫ 3cosθ
9sen2θ
3cosθdθ = 1
2
∫
cotg2θdθ∫ √9−x2
2x2
= 1
2
∫
(cosec2θ − 1)dθ = 1
2
(−cotgθ − θ) + C
como θ = arcsenx
3
cotgθ = 9−x
2
x
,
Portanto,∫ √9−x2
2x2
dx = 1
2
(−
√
9−x2
x
− arcsenx
3
) + C
2)
∫ x2
3
√
x2+4
dx =√
x2 + 4 = 2secθ, para −pi
2
< θ < pi
2
Logo,∫ x2
3
√
x2+4
dx = 1
3
∫ 4tan2θ
2secθ
2sec2θdθ = 4
3
∫
tan2θsecθdθ∫ x2
3
√
x2+4
dx = 4
3
∫
(sec3θ − secθ)dθ = 2
3
secθtanθ − 2
3
ln|secθ + tanθ|+ C∫ x2
3
√x2+4
dx = 1
6
x
√
x2 + 4− 2
3
ln(
√
x2 + 4 + x) +D
onde D = C + 2
3
ln2
7.4 Problemas 35 problemas das pag 309-312.
7.5 Integrac¸a˜o de func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais
Seja f(x) uma func¸a˜o racional definida como o quociente de duas func¸o˜es polinomiais, ou
seja,
4
f(x) = p(x)
q(x)
onde p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios
7.5.1 Proposic¸a˜o Se p(x) e´ um polinoˆmio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso
como um produto de fatores lineares e/ou quadra´ticos, todos com coeficientes reais.
7.5.2 Exemplos 1) O polinomio q(x) = x2 − 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos
fatores lineares x− 2 e x− 1, ou seja, q(x) = (x− 2)(x− 1)
2) O polinomio q(x) = x3 − x2 + x − 1 pode ser expresso como o produto do fator linear
x− 1 pelo fator quadra´tico irredut´ıvel x2 + 1, isto e´,
q(x) = (x2 + 1)(x− 1)
As diversas situac¸o˜es sera˜o exploradas nos exemplos.
Caso 1
Os fatores de q(x) sa˜o lineares e distintos.
Neste caso, podemos escrever q(x) na forma
q(x) = (x− a1)(x− a2)...(x− an)
onde os ai i = 1...n, sa˜o distintos dois a dois.
A decomposic¸a˜o da func¸a˜o racional f(x) = p(x)
q(x)
em frac¸o˜es mais simples e´ dada por:
f(x) = A1
x−a1 +
A2
x−a2 + ...+
An
x−an
onde A1, A2, ...,An sa˜o constantes que devem ser determinadas
7.5.3 Exemplos
1) Calcular I =
∫ x−2
x3−3x2−x+3dx
Soluc¸a˜o: Temos
x−2
x3−3x2−x+3 =
x−2
(x−1)(x+1)(x−3) =
A1
x−1 +
A2
x+1
+ A3
x−3 .
Pelo Me´todo de Heavidise determinamos A1, A2, A3.
para x = 1 A1 =
(x−2)(x−1)
(x−1)(x+1)(x−3) =
−1
(2)(−2) =
1
4
para x = −1 A2 = (x−2)(x+1)(x−1)(x+1)(x−3) = −3(−2)(−4) = −38
para x = 3 A3 =
(x−2)(x−3)
(x−1)(x+1)(x−3) =
1
(2)(4)
= 1
8
Portanto, a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ dada por:
x−2
(x−1)(x+1)(x−3) =
1/4
x−1 +
−3/8
x+1
+ 1/8
x−3
Enta˜o
I = 1
4
∫ dx
x−1 − 38
∫ dx
x+1
+ 1
8
∫ dx
x−3
I = 1
4
ln|x− 1| − 3
8
ln|x+ 1|+ 1
8
|x− 3|+ C
2) Calcular I =
∫ x−4
x3−3x2−x+3dx
Soluc¸a˜o: Temos
x−4
x3−3x2−x+3 =
x−2
(x−1)(x+1)(x−3) =
A1
x−1 +
A2
x+1
+ A3
x−3 .
Pelo Me´todo de Heavidise determinamos A1, A2, A3.
para x = 1 A1 =
(x−4)(x−1)
(x−1)(x+1)(x−3) =
−3
(2)(−2) =
3
4
para x = −1 A2 = (x−4)(x+1)(x−1)(x+1)(x−3) = −5(−2)(−4) = −58
para x = 3 A3 =
(x−4)(x−3)
(x−1)(x+1)(x−3) =
−1
(2)(4)
= −1
8
Portanto, a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ dada por:
x−2
(x−1)(x+1)(x−3) =
3/4
x−1 +
−5/8
x+1
+ −1/8
x−3
Enta˜o
I = 3
4
∫ dx
x−1 − −58
∫ dx
x+1
+ −1
8
∫ dx
x−3
I = 3
4
ln|x− 1| − −5
8
ln|x+ 1|+ −1
8
|x− 3|+ C
Caso 3 Os fatores de q(x) sa˜o lineares e quadra´ticos irredut´ıveis, e os fatores quadra´ticos
na˜o se repetem.
5
A cada fator quadra´tico x2 + bx+ c de q(x) correspondera´ uma frac¸a˜o parcial da forma
Cx+D
x2+bx+c
7.5.5 Exemplos
1) Calcular I =
∫ 2x2+5x+4
x3+x2+x−3
Soluc¸a˜o:
Temos q(x) = (x− 1)(x2 + 2x+ 3). Assim
2x2+5x+4
x3+x2+x−3 =
A
x−1 +
Cx+D
x2+2x+3
Pelo me´todo de Heaviside:
para x = 1 A = (2x
2+5x+4)(x−1)
x3+x2+x−3 =
11
6
Eliminando os denominadores, vem o sistema
A+ C = 2
2A− C +D = 5
3A−D = 4
Como A = 11
6
temos que C = 1
6
e D = 9
6
Portanto,
2x2+5x+4
x3+x2+x−3 =
1
6
1
x−1 +
1
6
x+9
x2+2x+3
e de essa forma
I = 1
6
∫ dx
x−1 +
1
6
∫ x+9
x2+2x+3
dx = 11
6
ln|x− 1|+ 1
6
I1 + C
onde I1 =
∫ x+9
x2+2x+3
dx
substituindo u = x+ 1 e x = u− 1 com dx = du
I1 =
∫ x+9
x2+2x+3
dx =
∫ u−1+9
u2+2
du = udu
u2+2
+ 8
∫ du
u2+2
I1 =
1
2
ln(u2 + 2) + 8√
2
arctg u√
2
+ C
I1 =
1
2
ln(x2 + 2x+ 3) + 8√
2
arctg x+1√
2
+ C
Logo,
I = 11
6
ln|x− 1|+ 1
6
[1
2
ln(x2 + 2x+ 3) + 8√
2
arctg x+1√
2
] + C
7.6 Problemas pag:325-326.
bf 7.7 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais de Seno e Cosseno
Usar a substituic¸a˜o:
t = tg
x
2
− pi < x < pi (4)
Quando fazemos a substituic¸a˜o t = tg x
2
, podemos utilizar as fo´rmulas
senx =
2t
1 + t2
; cosx =
1− t2
1 + t2
e dx =
2dt
1 + t2
(5)
Por isso, ela tambe´m e´ conhecida como a substituic¸a˜o universal para a integrac¸a˜o de ex-
presso˜es trigonome´tricas.
7.7.1 Exemplos
1) Calcular
I =
∫ dx
3+5cosx
Fazendo x = tg t
2
e usando (5), vem
I =
∫ 2dt
1+t2
3+5 1−t2
1+t2
6
I = − ∫ dt
t2−4
Resolvendo esta integral pelo me´todo das frac¸o˜es parciais, vem
I = − ∫ dt
t2−4 = −[−14
∫ dt
t+2
+ 1
4
dt
t−2 ]
I = 1
4
ln|t+ 2| − 1
4
ln|t− 2|+ C = 1
4
ln |t+2||t−2| + C
Finalmente substituindo t = tg x
2
, obtemos
I = 1
4
ln
|tg x
2
+2|
|tg x
2
−2| + C
7.8 Integrais Envolvendo Expresso˜es da Forma
√
ax2 + bx+ c(a 6= 0)
Algumas integrais que envolvem a expressa˜o
√
ax2 + bx+ c podem ser resolvidas usando-se
uma substituic¸a˜o conveniente. Podemos completar o quadrado do trinoˆmio ax2 + bx + c para
visualizar a substuic¸a˜o.
7.8.1 Exemplos
1) Calcular I =
∫ dx√
x2+8x+15
Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 8x+ 15. Temos:
x2 + 8x+ 15 = (x+ 4)2 − 1
Substituir u = x+ 4 e du = dx
que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22))
Temos:
I =
∫ du√
u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+
√
u2 − 1|+ C
Portanto,
I = argcosh(x+ 4) + C = ln|x+ 4 +√x2 + 8x+ 15|+ C
2) Calcular I =
∫ dx√
x2+6x+8
Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 6x+ 8. Temos:
x2 + 6x+ 8 = (x+ 3)2 − 1
Substituir u = x+ 3 e du = dx
que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22))
Temos:
I =
∫ du√
u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+
√
u2 − 1|+ C
Portanto,
I = argcosh(x+ 3) + C = ln|x+ 3 +√x2 + 6x+ 8|+ C
3) Calcular I =
∫ dx√
x2+4x+3
Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 4x+ 3. Temos:
x2 + 4x+ 3 = (x+ 2)2 − 1
Substituir u = x+ 2 e du = dx
que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22))
Temos:
I =
∫ du√
u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+
√
u2 − 1|+ C
Portanto,
I = argcosh(x+ 2) + C = ln|x+ 2 +√x2 + 4x+ 3|+ C
7.9 Problemas Paginas 333-334.
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