Notas de Aula Fluídos- UTFPR CM

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MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 1
 
14.1 Fluidos. 
 
Os fluidos compreendem os líquidos e gases. Os líquidos 
escoam sob a ação da gravidade, ocupando as regiões mais 
baixas do recipiente que os contêm. Os gases se expandem 
até ocuparem todo o volume do recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Base da engenharia hidráulica, mas é aplicado em outras 
áreas: 
 Eng. Nuclear – fluido no sistema hidráulico de um 
reator; 
 Eng. Médica – fluido sanguíneo nas artérias do 
paciente; 
 Eng. Ambiental – drenagem de depósito de lixo ou 
irrigação de plantações; 
 Eng. Naval – resgate em águas profundas; 
 Eng. Civil – tubulação hidráulica das edificações; 
 Eng. Alimentos – Escoamento de alimentos em 
tubulações e embalagens. 
 
 
 
 
 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 2
14.3 Densidade e pressão 
Propriedade das substâncias 
representada pela razão entre sua 
massa e seu volume. 
volume
massadensidade  
ou simplesmente: 
V
m
 
A letra grega  (rô) é 
normalmente usada para 
simbolizar a densidade 
 
Unidades: 
No sistema cgs é 3cm
g
 
No sistema internacional (SI) é 3m
kg
 
Uma unidade conveniente de volume para os fluidos é o 
litro (L): 
3333 10101 mcmL  
A 4oC, a massa específica da água é 
3/00,1/00,1/00,1 cmgmLgLkg  . 
 
 Se a massa específica de um corpo for maior que a da 
água, ele afunda na água; 
 Se a massa específica de um corpo for menor que a da 
água, ele flutua na água. 
 A razão entre a massa específica de uma substância e a 
massa específica da água é chamada de densidade 
relativa ou simplesmente densidade. 
Algumas densidades ( 3/ mkg ) 
Ósmio 22,5 x103 
Ouro 19,3x103 
Mercúrio 13,6x103 
Chumbo 11,3x103 
Cobre 8,93x103 
Ferro 7,96 x103 
Terra (média) 5,52 x103 
Cimento 2,7-3,0 x103 
Alumínio 2,7 x103 
Vidro (comum) 2,4-2,8 x103 
Osso 1,7-2,0 x103 
Água do mar 1,025 x103 
Água 1,00 x103 
Gelo 0,92 x103 
Álcool (etanol) 0,806 x103 
Gasolina 0,68 x103 
Ar 1,293 
Vapor de água 0,6 (100oC) 
Hélio 0,1786 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 3
 A Densidade relativa de um corpo, ou simplesmente 
 densidade, é igual ao peso de um volume igual de 
água. 
águaE
w
águadevolumeigualdepeso
arnocorpodopeso
Densidade  
 
Ex. A densidade do alumínio é 2,7. Isto quer dizer que a 
massa do alumínio tem 2,7X a massa de água para um 
mesmo volume. 
 
 Os sólidos e líquidos dilatam muito pouco com a 
variação da temperatura, não influenciando 
significativamente no volume; 
 Os gases se expandem muito com a variação da 
temperatura e pressão, que precisam ser especificadas 
ao se informar a densidade do gás. 
 
Exemplo: 
Um frasco de 200mL está cheio de água a 40C. Quando o 
frasco é aquecido a 800C, 6g de água derramam para fora 
do frasco. Qual a massa específica da água a 800C? 
(Suponha que a expansão do frasco seja desprezível.) 
gcmcmgVm
V
m 200)200()/00,1( 33   
perdeu 6g, logo: 
3
3
,
, /97,0
200
194 cmg
cm
g
V
m
 
Exercício: Um cubo metálico maciço tem 8cm de aresta e 4,08kg 
de massa. (a) Qual a massa específica do cubo? (b) Se o cubo 
fosse feito de um único elemento listado na tabela anterior, qual 
seria esse elemento? (Resp. 7,97kg/L). 
 
Exercício: Uma barra de ouro tem 5cmx10cmx20cm. Qual a sua 
massa? (19,3kg). 
 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 4
Pressão num Fluido 
Quando um corpo está imerso num fluido, sofre a ação de 
uma força perpendicular em cada ponto de sua superfície. 
Essa força por unidade de área é chamada de pressão. 
A
FP  
No SI, pressão é dada em 2/ mN , chamada de Pascal (Pa). 
PamN 1/1 2  
 
Outras unidades: 
)/( 2inlb libra por polegada quadrada – inglês; 
)(atm pressão atmosférica 
)/70,14760325,1011( 2inlbmmHgkPaatm  
 
14.4 Fluidos em Repouso: 
Para suportar o peso de uma coluna de líquido de altura 
h , a pressão na base da coluna tem que ser maior do 
que no topo. O peso da coluna de líquido é dado por: 
hgAgVmgw   )( 
Se 0P é a pressão no topo e P é a pressão na 
base, a força resultante orientada para cima, 
exercida por essa diferença de pressão, é 
APPA 0 . Igualando essa força ao peso da 
coluna, obtém-se: 
hgAAPPA  0 ou hgPP  0 
hgPP  0 , com  constante. 
 
 
 
 
h 
0P 
P 
A 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 5
Exercício: 
A pressão de 2atm corresponde a que profundidade da 
superfície de um lago? (a pressão na superfície é de 1atm). 
Resp. 10,3m 
 
Exemplo 
Uma represa retangular, de 30m de 
largura, suporta uma massa de água 
com 25m de profundidade. Calcule a 
força horizontal total que age sobre a 
represa. ghLdhPdAdF  
2
0
2
0 2
1
2
gLHhgLghLdhF
HHh
h
 





 


 
2232 )25)(30)(/81,9)(/1000(
2
1
2
1 mmsmmkggLHF   NxF 71020,9 
 A pressão aumenta linearmente com a profundidade em qualquer 
recipiente, independentemente da sua forma. 
 A pressão é a mesma em todos os pontos à mesma profundidade. 
 
14.5 Medindo a Pressão: 
 
 O Barômetro de Mercúrio – é 
um tubo longo de vidro 
preenchido com mercúrio e 
invertido com sua extremidade 
aberta mergulhada em um 
recipiente com mercúrio. 
 01 y , 01 pp  e hy 2 , 02 p 
 A pressão atmosférica em termos 
 da altura h da coluna de mercúrio 
 será: ghp 0 
H 
L 
h 
dh 
0p 
0p 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 6
 Manômetro de Tubo 
Aberto – é um medidor 
simples de pressão, 
constituído de um 
reservatório que se 
comunica com um tubo 
em “U”. Uma das 
extremidades do tubo 
está sujeita à pressão p , 
que será medida e a 
outra extremidade 
aberta, está sujeita a pressão atmosférica 0p . A 
diferença de pressão 0pp  , é chamada de pressão 
manométrica manp . Logo, a pressão que se deseja 
medir será: 
0pppman  
Na prática, a pressão é freqüentemente medida em 
milímetros de mercúrio (mmHg), uma unidade chamada 
torr, em homenagem a Evangelista Torricelli. Os sistemas 
se relacionam por: 
2/7,14325,1019,297607601 inlbkPainHgtorrmmHgatm 
Exemplo 13-4: 
A pressão manométrica média na aorta humana é de 
aproximadamente 100mmHg. Converta essa pressão 
sanguínea média em pascals. 
 
kPaP
mmHg
mmHgkPaP
3,13
)760(
)100).(325,101(


 
 
 
Exercício: Converta a pressão de 45kPa a (a) mmHg e 
(b)atm. Resp.338mmHg e 0,444atm 
(?)100
325,101760
PmmHg
kPammHg


 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 7
14.6 O Princípio de Pascal: 
“Uma alteração de pressão aplicada a 
um líquido confinado é transmitida, sem 
qualquer diminuição, a todos os pontos 
do líquido e às paredes do recipiente”. 
2
2
1
1
A
F
A
F

 
Exemplo 13-3: Prensa hidráulica. 
O pistão grande de uma prensa hidráulica tem 20cm de raio. Que 
força deve ser aplicada ao pistão menor, de 2cm de raio, para 
elevar um carro com 1500kg de massa? 
11 PAF  e mgPAF  22 logo 
2A
mgP  
N
cm
cmsmkg
r
rmgA
A
mgF 147
20
2)/81,9)(1500(
2
2
2
2
2
1
1
2
2 







 
 
14.7 Empuxo e Princípio de Arquimedes. 
 
Se um objeto maciço submerso em água for 
pesado por uma balança de mola (dinamômetro), o 
peso aparente do objeto quando submerso será 
menor do que o peso do objeto. Isso ocorre porque 
a água exerce uma força de baixo para cima que 
equilibra parcialmente a força da gravidade. Essa 
força é chamada de empuxo. 
“Um corpo inteiro ou parcialmente submerso 
em um fluido sofre um empuxo que é igual ao 
peso do volume de fluido deslocado”. 
 
ff gVE 

 
 
 
m 
1F

 
2F

 
1A2A 
w 
m 
E

 
apw
 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 8
 Peso Aparente em um Fluido: 
 
O peso aparente de um 
corpo submerso em um 
fluido é igual a diferença 
entre seu peso w e o 
empuxo E : 
Ewwap


 
logo: 
apwwE

 
Exemplo 13-5: 
Um anel, supostamente de ouro, pesa 0,158N no ar. 
Quando o anel é preso por um fio e submerso em água, seu 
peso é de 0,150N. O anel é de ouro puro? 
 





150,0158,0
158,0
apágua ww
w
E
wDensidade 
Exercício: 
Um bloco de um material desconhecido pesa 3N e tem um peso aparente de 
1,89N quando submerso em água. Qual o material do bloco? Resp. alumínio. 
 
Exercício: 
Uma amostra de chumbo (densidade = 11,3) pesa 80N no ar. Qual o seu 
peso quando submersa em água? (resp. 72,9N). 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 9
14.8 Fluidos Ideais em Movimento 
 Escoamento estacionário (laminar) – A velocidade do 
fluido em movimento em qualquer ponto fixo não varia 
com o tempo, nem em módulo nem em sentido. 
 Escoamento incompressível – sua densidade tem um 
 valor uniforme e constante. 
 Escoamento não-viscoso – a viscosidade do fluido é a 
medida do quanto o fluido resiste ao escoamento. 
 Escoamento irrotacional – não se mova em trajetória 
circular. 
 
14.9 Fluidos em Movimento. 
O escoamento de um fluido em movimento pode ser muito 
complexo. Ele pode ser Regular ou Turbulento. O 
escoamento turbulento é muito difícil de ser descrito, de 
forma que, neste estudo, nos restringiremos ao escoamento 
não turbulento, em regime permanente, de um fluido 
“ideal”. 
 
Para a tubulação abaixo, considere que o fluido está 
escoando da esquerda para a direita, e a porção sombreada 
à esquerda representa o volume V de um fluido que passa 
pelos pontos 1 e 2 durante um tempo t . Desta forma 
podemos escrever: 
 
 
tvAV  11
 e 
tvAV  22
, logo: 
2211 vAvA  
A grandeza Av é chamada de vazão volumétrica vI . Assim: 
A1 A2 
v1 
v2 
tv 1 
tv 2 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 10
teconsAvIv tan 
que é a equação da continuidade de um fluido incompressível. 
Exercício: 
O sangue flui numa aorta, cujo raio é de 1,0cm, a 30cm/s. 
Qual a vazão volumétrica em L/min? min)/65,5( LI v  
Exercício: 
O sangue flui numa artéria com raio de 0,3cm, com 
velocidade de 10cm/s. Devido a uma arteriosclerose, numa 
região o raio é reduzido a 0,2cm. Qual a velocidade do 
sangue nesta região? 22,5cm/s 
 
 A Equação de Bernoulli – relaciona a pressão, a 
elevação e a velocidade de um fluido incompressível 
num escoamento em regime permanente. Pode ser 
deduzida aplicando-se o teorema do trabalho-energia a 
um segmento do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma: 
2
1
2
21221 2
1
2
1 vvghghPP   , 
que reunindo os termos para o ponto 1 e 2 tem-se: 
2
222
2
111 2
1
2
1 vghPvghP   
Este resultado pode ser reescrito como: 
teconsvghP tan
2
1 2  
 
A1 
A2 
v1 
v2 
tv 1 
tv 2 
Referencial 
1h 
2h 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 11
Equação de Bernoulli 
 Para um fluido em repouso, 021  vv , assim: 
hgghghPP   1221 
 Se as alturas forem iguais: 
2
1
2
221 2
1
2
1 vvPP   
Exemplo 13-9: 
Um grande tanque de água, 
aberto no topo, tem um 
pequeno orifício a uma 
distância h abaixo da superfície 
livre da água. Calcule a 
velocidade do escoamento da 
água para fora do orifício. 
 
2
22
2
10
2
1
2
1
bbbaa
bbbaaa
vghPghP
vghPvghP




 
Como a superfície em a e o orifício em b estão a mesma 
pressão, a atmosférica, temos que: 
hgv
hghhgghghv
vghghvghgh
vghPghP
b
babab
bbabba
bbatmaatm




2
2)(2)(2
2
1
2
1
2
10
2
22
2


 
Note que a velocidade com que o fluido sai do ponto b só 
depende da altura em relação ao nível da água. 
 
 
 
 
ah 
bh 
h 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 12
 Efeito Venturi – Quando a velocidade de um fluido 
aumenta, a pressão diminui. 
 Tubo de Venturi – Dispositivo usado para medir a 
velocidade de escoamento num fluido. 
 
Exemplo 13-10: 
A figura ao lado mostra um 
medidor Venturi, usado para 
medir a vazã de um fluido. O 
fluido de massa 
específica f atravessa um 
tubo de áres de seção 
transversal 1A com um 
estrangulamento de área de 
seção transversal 2A . As duas partes do tubo estão conectadas por 
um manômetro de tubo em U, parcialmente cheio com um líquido 
de massa específica L . Como a velocidade é maior na região do 
estrangulamento, a pressão nesta seção é menor do que na outra 
seção do tubo. A diferença de pressão é medida pela diferança de 
nível do líquido no tobo em U, dada por h . Expresse a velocidade 
2v em termos da altura h e das grandezas conhecidas f , L e 
21 AAr  . 
- Escrevendo as equações de Bernoulli e da continuidade para este caso 
temos: 
2
1
2
221 2
1
2
1 vvPP ff   e 2211 vAvA   11
2
1
2 rvvA
Av  
2
1
22
1
2
1
22
1
2
221 )1(2
1)(
2
1)(
2
1 vrvvrvvPP fff   
- A diferença de pressão )( 21 PP  é igual à queda de pressão em uma coluna 
de altura h do líquido e em uma coluna de fluido de mesma altura. 
 hgghghPP fLfL  )(1221  , logo: 
)1(
)(2
)()1(
2
1
21
2
1
2



r
hg
vhgvr
f
fL
fLf 

 
 
1A 2
A
1v 2v
1P
2P
L
f
h
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 13
Exercício: Calcule 1v quando cmh 3 e 421  AAr . 
Considere que o fluido em escoamento no tubo é o ar ( 3/29,1 mkgf  ) 
e o líquido manométrico do Venturi é a água ( 33 /10 mkgL  ). Resp ; 
5,51m/s. 
 
 
Exercício: Um tubo de Venturi de 4,0cm de diâmetro, com uma 
garganta de 2,0 cm de diâmetro, é usado para medir a velocidade 
de um líquido ideal. A diferença de pressão dada pelo manômetro é 
25mmHg. Calcule (a) a velocidade do líquido no tubo principal e (b) 
a vazão do líquido. Resp. ((a) 0,66m/s ; (b) 8,4x10-4 m3/s = 0,84 l/s) 
 
Escoamento Viscoso – Na prática 
observa-se uma queda de pressão 
quando o fluido avança da direção do 
fluxo. Uma diferença de pressão será 
necessária para vencer a força de 
arraste exercida pelo tubo sobre a 
camada de fluido adjacente que se 
move com velocidade ligeiramente diferente. Essas forças 
de arraste são chamadas de forças viscosas. Devido a essas 
forças, a velocidade do fluido é maior nas vizinhanças do 
eixo do tubo e tende a zero quando o fluido entra em 
contato com as paredes do tubo. 
 Seja 1P a pressão no ponto 1 e 2P a pressão no ponto 2, 
 numa distância L a jusante do ponto 1, Q queda de 
 pressão 21 PPP  é proporcional a vazão volumétrica: 
RIPPP V 21 
 Onde vAIV  é a vazão volumétrica, e a constante de 
 proporcionalidade R é a resistência ao escoamento, que 
 depende do comprimento do tubo L, do raio r e da 
 viscosidade do fluido. 
 
 
L 
1P 2P v 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 14
Exemplo 13-11: 
O sangue flui da aorta pelas artérias principais, pelas 
artérias pequenas, pelos vasos capilares e pelas veias, até 
que alcança a aurícula direita. No curso desse 
escoamento, a pressão (manométrica) cai de 
aproximadamente 100torr para zero. Se a vazão for de 
0,8L/s, estime a resistência total do sistema circulatório. 
 
3
33 /.6,1610
1
760
101
/8,0
100 mskPa
m
L
torr
kPa
sL
torr
I
PR
V



 = 
 
 
Exercícios Cap. 14: 
21. Calcule a massa de um cilindro de cobre com 6cm de comprimento e 2cm 
de raio. 
 
22. Calcule amassa de uma esfera de chumbo com 2cm de raio. 
 
27. Um elevador hidráulico é usado para elevar um automóvel de 1500kg de 
massa. O raio do cabo do elevador é de 8cm e o do pistão é de 1cm. Que 
força deve ser aplicada ao pistão para elevar o automóvel? 
 
37. Uma amostra de cobre de 500g (9,0 de densidade) está suspensa por um 
dinamômetro e mergulhada em água. Qual a leitura do dinamômetro? 
 
38. Quando uma pedra de 60N é presa a um dinamômetro e mergulhada em 
água, o dinamômetro acusa 40N. Qual a massa específica da pedra. 
 
39. Um bloco de material desconhecido pesa 5N no ar e 4,55N quando 
mergulhado em água. (a) Qual a massa específica do material? (b) De que 
material é feito o bloco? 
 
40. Uma amostra de metal sólido pés 90N no ar e 56,6N quando mergulhada 
em água. Determine a massa específica desse metal. 
 
43. Um pedaço grande de cortiça pesa 0,285N no ar. Um dinamômetro é fixo 
no fundo de um recipiente contendo água e a cortiça é presa nele. Devido ao 
empuxo, a leitura no dinamômetro é 0,855N. Calcule a massa específica da 
cortiça. 
 
MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 15
45. Um corpo tem empuxo neutro quando sua massa específica é igual à 
do líquido no qual está mergulhado, de forma que não aflora à superfície 
nem afunda. Se a massa específica média de um mergulhador de 85kg for de 
0,96kg/L, que massa de chumbo deve carregar para lhe dar empuxo neutro? 
 
53. Água escoa a 3m/s em um tubo horizontal, sob uma pressão de 200kPa. 
O diâmetro do tubo é reduzido à metade do seu diâmetro original. (a) Qual a 
velocidade do fluxo na seção reduzida do tubo? (b) Qual a pressão na seção 
reduzida? (c) Qual a razão entre as vazões da água nas duas seções? Admita 
que o escoamento é laminar e despreze a viscosidade do fluido. 
 
Respostas dos exercícios: 
 
21 - kg673,0 
22 - ? 
27 – N230 
37 – N36,4 
38 - ? 
39 – 33 /101,11)( mkgxa ; chumbob)( 
40 - ? 
43 - 3/250 mkg 
45 - kg89,3 
53 - sma /0,12)( ; kPab 133)( ; iguaissãoasvolumétricvazõesasc)(