Apostila Cálculo Diferencial e Integral I

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Cálculo Diferencial e Integral I 2015 
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Conjuntos Numéricos 
I) Números Naturais: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } 
 
II) Números Inteiros: Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } 
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um 
subconjunto de Z 
III) Números Racionais: São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b 
são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. 
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z 
com b diferente de 0 } 
Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,... 
-Números decimais exatos são racionais 
Pois 0,1 = 1/10 , 2,3 = 23/10 ... 
 
- Números decimais periódicos são racionais. 
0,1111... = 1/9 , 0,3232 ...= 32/99 , 2,3333 ...= 21/9 , 0,2111 ...= 19/90 
-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1. 
IV) Números Irracionais: São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com 
a e b inteiros e b diferente de 0. 
-São compostos por dízimas infinitas não periódicas. 
Exs: 
 
e = 2,7182818284 ( conhecido como número de Euler – Leonhard Euler/1707-1783). 
V) Números Reais: É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. 
 
Resumindo: 
 
 
 
 
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Intervalos: Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos 
de R chamados intervalos. 
Intervalo fechado nos extremos a e b: = 
Intervalo fechado em a e aberto em b: 
Intervalo aberto em a e fechado em b: 
Intervalo aberto em a e b: 
Temos também: 
 
 
 
Conceito de função 
O conceito de função surge, de maneira natural e espontânea, toda vez que consideramos 
duas grandezas que estejam relacionadas entre si de maneira que a cada valor de uma 
delas corresponde um valor da outra. Vejamos alguns exemplos: 
1. Comparação dos indivíduos e sua respectiva impressão digital. 
2. A quantidade de gasolina colocada no tanque do carro e o valor a ser pago. 
Uma função é uma relação entre dois conjuntos de modo que a cada elemento do primeiro 
conjunto corresponda exatamente um elemento no segundo conjunto. 
Exemplo: 
1-) Um estagiário em administração ganha R$ 30,00 por dia trabalhado. Quanto este 
estagiário ganhará após alguns dias de trabalho? 
1. Em 4 dias de trabalho? E em 12 dias? 
2. A expressão algébrica 30.x, representa o cálculo do ganho do estagiário. Portanto, a 
expressão algébrica nos permite calcular o ganho desse estagiário por meio da 
multiplicação da variável x (número de dias trabalhados) pelo valor 30 reais. 
3. Aqui temos uma função do salário em relação a hora trabalhada. 
 
Podemos representar uma função através de uma tabela, escrevendo uma fórmula ou 
construindo um gráfico. 
 
2-) Um vendedor de equipamentos ganha R$ 1000,00 fixos mais R$15,00 por hora 
trabalhada. Sabe–se que o número de horas trabalhadas varia todo mês. Observando–se os 
dados, estabeleça a relação entre o salário (S) e o número de horas trabalhadas (h). 
Inicialmente vamos expressar essa relação sob forma de uma tabela, usando valores de 1 a 
5. 
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Representando os dados na tabela podemos perceber que para cada valor de h existe um 
único correspondente em S. Podemos escrever uma lei de formação para esta função. A lei 
de formação é uma expressão algébrica que expressa o salário do operário em relação à 
hora trabalhada. Lei de formação: S = 1000 + 15h 
 
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único 
elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função, o conjunto B é 
o contra-domínio da função e os elementos que estão associados aos elementos do domínio 
formam o conjunto imagem. 
Considerando que os elementos do conjunto A são representados pela variável x e os 
elementos do conjunto B pela variável y, chamaremos a variável x de variável 
independente e a variável y de variável dependente. 
Exemplos: 
1-) Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua companhia está relacionado com o 
seu nível de produção. 
2-) Um biólogo gostaria de saber como o tamanho da população de uma certa cultura de 
bactérias mudará ao longo do tempo. 
Em cada uma dessas situações estamos preocupados como uma quantidade depende da 
outra. A relação entre duas quantidades é convenientemente descrita em matemática pelo 
uso do conceito de função. 
 
Tipos particulares de funções 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x . 
Exemplos: 
a) f(x) = 5 
b) f(x) = -3 
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 
 
 
h S 
1 1015 
2 1030 
3 1045 
4 1060 
5 1075 
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FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a  0 . 
 
Exemplos : 
a) f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
b) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). 
Nota : o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax
2
 + bx + c , com a  0 . 
 
Exemplos: 
a) f(x) = x
2
 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; 
b) y = - x
2
 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) 
Nota : o gráfico de uma função do 2º grau é sempre uma parábola de eixo vertical . 
 
Gráficos de funções 
 
Um gráfico pode ser uma maneira útil de exibir informação. Pode ajudar a resolver 
problemas e fazer previsões. Daí vem à necessidade de construir um gráfico com escala 
adequada. Um problema na construção da escala pode trazer uma informação falsa dos 
dados que estão sendo analisados. 
 
Definição 
 
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy tal que x está 
no domínio de f e y = f(x). O eixo x é chamado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das 
ordenadas. Na intersecção dos dois eixos está o número zero. No eixo x, á esquerda do 
zero vem os números negativos e a direita os números positivos. No eixo y abaixo do zero 
estão os números negativos e acima os números positivos. 
 
Exercícios: 
1-) Complete a tabela abaixo e escreva a fórmula. 
litros 2 4 5 10 15 
reais 1,054 1,581 2,635 5,27 6,324 
 
2-) Dê uma fórmula para a função representada em cada uma das tabelas abaixo. 
a-) 
 
 
x 1 2 3 4 5 
y 2 4 6 8 10 
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b-) 
 
 
c-) 
 
 
 
d-) 
 
1) 
 
3-) Construa uma tabela, escreva a função que descreve o seguinte fato e represente em 
um gráfico: 
Salário mensal y de um operário que ganha $ 830,00 fixos mais $12,00 por hora extra, 
sabendo que o número x de horas extras varia todo mês. 
 
4-) Num certo período foram observados os custos totais de produção e as respectivas 
quantidades produzidas: 
 
 
Escrever a lei de formação e construir o gráfico desta função. Qual o custo total de 
produção se fossem produzidas 50 unidades? 
 
 
5-) Numa comunidade são consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de 
mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados: 100 pessoasconsomem o tipo A, 150 pessoas consomem o tipo B, 200 consomem o tipo C, 20 pessoas 
consomem A e B, 40 pessoas consomem B e C, 30 consomem A e C, 10 pessoas consomem 
A, B e C e 160 não consomem nenhum dos três tipos de leite. Determine: 
 
a) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
b) Quantas pessoas não consomem o leite tipo B? 
 
 
 
 
 
x 9 16 25 36 49 
y 3 4 5 6 7 
x 0 1 2 3 4 
y 8 9 10 11 12 
x 2 3 4 5 6 
y 22 33 44 55 66 
Quant 10 12 15 20 
Custo 20 24 30 40 
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Propriedades da função do 1º grau: 
 
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b  0, f é dita função afim. 
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler. 
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de 
abcissa x = - b/a. 
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), onde b é chamado coeficiente linear. 
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 
6) se a  0 , então f é crescente. 
7) se a  0 , então f é decrescente. 
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa 
na origem. 
 
Exemplo: 
1-) Para procurar um indivíduo, membros de uma equipe de salvamento se separam e 
caminham paralelamente uns aos outros através da área a ser investigada. A experiência 
mostra que a chance da equipe achar um indivíduo perdido está relacionada com a distância 
d que separa os membros da equipe. Para um particular tipo de terreno, a porcentagem de 
achados para várias separações está registrada na tabela abaixo: 
 
 
 
a) A função aqui representada é uma função linear? Por quê? 
 
b) A função aqui representada é crescente ou decrescente? Por quê? 
 
c) Qual a expressão algébrica que representa a função que gerou esta tabela? 
 





ba
ba
4080
2090
 





ba
ba
4080
2090
 
y = -0,5x + 100. 
d) Qual o coeficiente linear e angular da função? 
 
Distância d da separação entre os membros da equipe, em pés. 20 40 60 80 100 
Porcentagem P de pessoas encontradas por essa equipe no tipo 
de terreno estudado 
90 80 70 60 50 
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Propriedades da função de 2º grau: 
 
1) se a  0 a parábola tem um ponto de mínimo. 
2) se a  0 a parábola tem um ponto de máximo. 
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a, yv = -  /4a , onde  = b
2
 - 4ac. 
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da 
equação ax2 + bx + c = 0 . 
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 
7) ymax = -  / 4a ( a  0 ) 
8) ymin = -  /4a ( a  0 ) 
9) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a } ( a  0 ) 
10) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a} ( a  0) 
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax
2 + bx + c , então ela pode ser 
escrita na forma fatorada a seguir: y = a(x - x1).(x - x2) 
 
 
Exemplos: 
1-) Determinar, se existirem, os zeros da função quadrática e o vértice da função 
f(x)= x2 – 2x – 3. 
 
 
 
2-) Determinar, se existirem, os zeros da função quadrática e o vértice da função 
f(x)= – x2 + 2x + 8. 
 
 
 
 
 
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Inequações do 1º grau. 
Na inequação usamos desigualdades para descrever, por exemplo, a ordem dos números 
sobre a reta dos números reais. 
Uma inequação linear pode ser escrita na forma ax + b< 0, ax + b≤ 0, ax + b> 0 ou 
ax + b≥0 onde a e b são números reais com a ≠ 0. 
Resolver uma inequação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a 
inequação é verdadeira. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que 
chamamos de conjunto solução. O conjunto das soluções de uma inequação linear com uma 
variável forma um intervalo de números reais. 
OBS: A multiplicação (ou divisão) de uma inequação por um número positivo preserva a 
desigualdade. A multiplicação (ou divisão) de uma inequação por um número negativo 
inverte a desigualdade. 
Exemplos: 
1-) Resolva a inequação e represente graficamente na reta real. 
a-) x – 4 < 2 
b-) 3(x – 1) + 2 ≤ 5x + 6 
 
c-) 
 
 
d-) 
 
 
Inequações do 2º grau. 
Para resolver uma inequação quadrática tal como x2 – x – 12 > 0, iniciamos resolvendo a 
correspondente equação quadrática x2 – x – 12 = 0. Então, determinamos os valores de x 
para quais o gráfico de y = x2 – x – 12 está acima do eixo horizontal x (pelo fato de a 
desigualdade ser maior que zero). 
Resolução: 
x
2
 – x – 12 = 0 x’ = 4 e x’’ = - 3 
As soluções da equação do segundo grau são – 3 e 4, porém não são as soluções da 
inequação original porque 0 > 0 é falso. Os pontos sobre o gráfico de y = x2 – x – 12 que 
estão acima do eixo horizontal x são tais que os valores de x estão à esquerda de – 3 ou à 
direita de 4. 
A solução da inequação é ] -, - 3[  ]4, [ ou s= {x  / x < - 3 e x > 4}. 
 
3
1
42
1
3

xx
5
3
52
3 


x
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Exercícios 
1-) Um fabricante de pranchas obteve os seguintes dados: custo y (em dólares) ao número 
de pranchas (x) produzidas: 
Número de pranchas produzidas, x 0 20 40 60 80 100 
Custo, y 200 210 220 230 240 250 
 
a-) Represente graficamente o custo em função da quantidade produzida. 
b-) Determine a equação da reta. 
c-) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre o custo e o nível de 
produção, estime o custo de se produzirem 54 pranchas. 
 
2-) Uma função linear foi usada para gerar os valores abaixo. 
x 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
y 27,8 29,2 30,6 32,0 33,4 
 
a-) A função aqui representada é crescente ou decrescente? Por quê? 
b-) Qual a expressão algébrica que representa a função que gerou esta tabela? 
c-) Qual o coeficiente angular? 
d-) Construa o gráfico da função. 
 
 
3-) Resolva as Inequações: 
 
a-) 2x -1≤ 4x + 3 
b-) 2≤ x + 6 < 9 
c-) -1≤ 3x – 2 < 7 
d-) 3x – 1 ≥ 6x + 8 
 
e-) 
 
 
f-) 
 
 
g-) 
 
 
3
4
75

x
0
)2(
)4).(1(



x
xx
1
10
)1(3
4



xx
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4-) Resolva as Inequações e represente graficamente. 
a-) 2x2 + 3x ≤ 20 
b-) x2 - 4x + 1  0 
c-) x2 + 2x + 2 < 0 
d-) 2x2 + 17x + 21 ≤ 0 
e-) 2x2 + 7x > 15 
f-) -3x2 -5x + 2 < 0 
g-) 4x2 - 9x + 2 < 0 
h-) - x2 + 4x + 21 ≤ 0 
i-) x2 - 4 x - 1 < 0 
j-) 9x2 + 12x - 1  0 
l-) x2 - 6x + 9 ≤ 0 
 
5-) Seguindo o exemplo da Federação Nacional da Vida Selvagem, o Departamento do 
Interior de um País Sul-Americano começou a registrar um índice de qualidade ambiental 
que mede o progresso e o declínio da qualidade ambiental de suas florestas. O índice para 
os anos de 1984 a 1994 é aproximado pela função I (t)= t2 – 5t (0 ≤ t ≤ 10), onde t = 0 
corresponde ao ano de 1984. Encontre os intervalos onde a função é crescente e os 
intervalos onde a função é decrescente. Qual o valor mínimo atingido? Qual o ano em que o 
índice atinge o valor mínimo? Qual é a imagem desta função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Limites 
 
Noção intuitiva de Limite 
Seja a função f:  , f(x) = 2x + 1, vamos analisar seu comportamento nas 
proximidades do ponto x = 2. (Quando dizemos “ponto” x = 2, estamos nos referindo ao 
ponto onde marcamos o número real 2 ao apresentar o domínio de f, que é , numa reta.) 
Atribuindo a x valores menores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que 
estamos fazendo x tender a 2 pela esquerda, e escrevemos x  2 – (leia: x tende a dois 
menos). A tabela seguinte mostra o que ocorre, neste caso, com f(x) = 2x + 1: 
X 1,8 1,9 1,99 1,999 x  2 – 
f(x)= 2x + 1 4,6 4,8 4,98 4,998 f(x}  5 
 
Atribuindo a x valores maiores que 2, cada vez mais próximos de 2, dizemos que 
estamos fazendo x tender a 2 pela direita, e escrevemos x  2 + ( leia: x tende a dois 
mais). A tabela seguinte mostra o que ocorre, neste caso, com f(x) = 2x + 1: 
X 2,2 2,1 2,01 2,001 x  2 + 
f(x)= 2x + 1 5,4 5,2 5,02 5,002 f(x}  5 
 
Em ambos casos, quando x tende a 2, f(x) tende a 5. Podemos obter valores de f(x) tão 
próximos de f(2) quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo 
de 2. Dizemos, então, que o limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a f(2) = 5. 
Simbolicamente, escrevemos: (leia: limite de f(x) quando x 
tende a 2 é f(2) que é igual a cinco.) 
Graficamente temos: 
 
 
4,2 
4,4 
4,6 
4,8 
5 
5,2 
5,4 
5,6 
1,8 1,9 2 2,1 2,2 
y
 
x 
5)2()(lim
2


fxf
x
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Agora, um exemplo prático, considere , a função que nos fornece a 
velocidade média de um carro. 
Suponhamos que temos que calcular o valor de v(t), quando t se aproxima de 2 (sem 
atingí-lo). Observaremos que, à medida que os valores de t se aproximam de 2 pela direita 
(valores maiores que 2) ou pela esquerda (valores menores que 2), os valores da 
velocidade média correspondentes também se aproximam cada vez mais de 16m/s. 
 
Tempo (t) 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 
V(m/s) 15,6 15,96 15,996 16 16,004 16,04 16,4 
 
Então podemos concluir que, quando t se aproxima de 2 segundos tanto pela direita 
como pela esquerda, v(t) se aproxima de 16m/s, e escreveremos 
 
, onde uma função f(x) tem limite L, quando x se Podemos escrever 
aproxima de a, logo, podemos fazer o valor de f(x) tão próximo do número L quanto x a 
quisermos, tomando x suficiente próximo (mas não igual) a “a”. 
 
Propriedades dos Limites: 
1-) O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites 
 
 
Exemplo: 
 
 
2-) O limite do produto é o produto dos limites. 
 
Exemplo: 
 
 
3-) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. 
 
 Exemplo: 
 
 
 
2
)4.(4
)(
2



t
t
tV
16
2
)4.(4
lim)(lim
2
22




 t
t
tv
tt
Lxf
ax


)(lim
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
atatat 

  )(lim . )(lim)( . )(lim xgxfxgxf
atatat 

at
at
at xg
xf
xg
xf









)(lim
)(lim
)(
)(
lim
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4-) . 
 
 
Exemplo: 
 
5-) . 
 
 
Exemplo: 
 
 
Exercícios 
1-) Calcule os seguintes limites: 
 
a-) . b-) . c-) 
. 
 
 
 
 d-) . e-) . f-) 
 
 
 
Limites em pontos de Descontinuidade 
Um ponto de descontinuidade de uma função é um ponto onde o gráfico apresenta 
uma interrupção (um buraco ou um salto). Ao fazer o gráfico, num ponto de 
descontinuidade precisamos “tirar o lápis do papel”. 
A função 
x
xx
xf


2
)(
 é descontínua em x = 0 porque não está definida para x igual a 
zero, isto é, não existe f(0). Entretanto, existem os valores de f(x) para todos os números 
de x de um intervalo aberto contendo o zero, exceto em x = 0. Assim, podemos fazer x 
tender a zero, mantendo x  0, e analisar o eu acontece em f(x). 
x 0,2 0,1 0,05 0,01 0,001 0,0001 x 0
+ 
f(x) 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 f(x) 1 
 
  

nxfxf
n
at
n
at
,)(lim)(lim
) ,0)( .(0)( ,)(lim)(lim * imparénxfsexfenxfxf n
at
n
at


34
32²
lim
1 

 x
xx
x
2
1 23
1²2
 lim 







 x
xx
x
3
2- 34²
23²2³
 lim


 xx
xxx
x
3
1 43²
52²3
 lim 







 xx
xx
x








 56²
23
 lim
2 xx
x
x
x
xx
x 46
23²2
lim
2 


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x - 0,2 - 0,1 - 0,05 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 x 0
- 
f(x) 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 f(x) 1 
 
Observamos que quando x tende a zero, f(x) tende a 1. Podemos ter f(x) tão próximo de 1 
quanto quisermos, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de zero. 
Concluímos, então, que o limite de f(x) quando x tende a zero é 1: 
.1)(lim
0


xf
x
 
Este é o caminho a seguir quando queremos calcular o limite de uma função f(x) num ponto 
x0 onde f é descontínua: ele é igual ao limite da função contínua h(x) eu coincide com f(x) 
num intervalo aberto contendo x0, exceto x0. 
Exemplo: 
x
xx
x


2
0
lim
 , neste caso teremos que fatorar. 
 
1
)1(2




x
x
xx
x
xx
 
 
 110)1(lim lim
0
2
0



x
x
xx
xx
 
 
Exercícios 
1-) Calcule os seguintes limites: 
a-) 
xx
x
x 2²
4
lim
2
2 


 b-) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 c-) 
x
x
x 

 2
²4
lim
2 
 d-) 
32
94
lim
2
3
2 

 x
x
x
 
 
e-) 
6²
34
lim
2
3 

 xx
xx
x
 f-) 
35²3³
14²³2
lim
1 

 xxx
xxx
x
 g-) 
1²3³2
2²4³3
lim
1 

 xx
xxx
x
 
 
h-) 
34
23³
lim
41 

 xx
xx
x
 i-) 
2²³
3²3³
lim
1 - 

 xx
xxx
x 
j-) 
58²4³
46²3³
lim
1 

 xxx
xxx
x
 
 
k-) 
3
21
lim
3 

 x
x
x
 l-) 
1
1
lim
1- 

 x
x
x
 m-) 
1
23
lim
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
15 
 
Derivada 
 Seja f uma funçãodefinida em um intervalo aberto I e x0 um elemento de I. 
Chama-se derivada de f no ponto x0 o limite 
0
0
0x xx
)x(f)x(f
lim 


 se este existir e for finito. 
 A derivada de f no ponto x0 é habitualmente indicada com uma das seguintes 
notações: 
f’ (x0) ou 






dx
df
 ou Df(x0) 
 A diferença x = x - x0 é chamada acréscimo ou incremento da variável x 
relativamente ao ponto x0. A diferença y = f(x) – f(x0) é chamada acréscimo ou 
incremento da função f relativamente ao ponto x0. O quociente 
0
0
xx
)x(f)x(f
x
y





 recebe 
o nome de razão incremental de f relativamente ao ponto x0. 
 Frisemos que a derivada de f no ponto x0 pode ser indicada das seguintes formas: 
0
0
xx
0
xx
)x(f)x(f
)x('f lim
0




 
 ou 
x
y
)x('f lim
0xx
0




 
 ou 
x
)x(f)xx(f
)x('f 00
0x
0 lim 



 
 Quando existe f’(x0) dizemos que f é derivável no ponto x0. Dizemos também que f 
é derivável no intervalo aberto I quando existe f’(x0) para todo x0  I . 
 Seja f uma função contínua no intervalo aberto I. Admitamos que exista a derivada 
de f no ponto x0  I. Dado um ponto x  I, tal que x  x0, consideremos a reta s 
determinada pelos pontos P (x0, f(x0) e Q (x, f(x)). 
 
 
 
 
 
 
 
 A reta s é secante com o gráfico de f e seu coeficiente angular é: 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
16 
 
0
0
xx
)x(f)x(f
tg



 , portanto, tg  é a razão incremental de f relativamente ao ponto x0. 
 Se f é contínua em I, então, quando x tende a x0, Q desloca-se sobre o gráfico da 
função e aproxima-se de P. Consequentemente, a reta s desloca-se tomando 
sucessivamente as posições s1, s2, s3, ... e tende a coincidir com a reta t, tangente à curva 
no ponto P. 
 Como existe 













tgtgtg
xx
)x(f)x(f
)x('f limlimlim
000 xxxx0
0
xx
0 
, concluímos: 
 A derivada de uma função f no ponto x0 é igual ao coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x0. 
 
Função Derivada 
 Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Para cada x0 pertencente a I 
existe e é único o limite 
x
)x(f)xx(f
)x('f 00
0x
0 lim 



 . Portanto, podemos definir uma 
função f’: I  que associa a cada x0  I a derivada de f no ponto x0. Esta função é 
chamada função derivada de f ou, simplesmente, derivada de f. 
Exemplo: 
1-) Dada f(x) = 5x² + 6x – 1, encontre f’(x). usando a definição, 
x
)x(f)xx(f
)x('f lim
0x 



 = 
=  
x
)1x6²x5(1xx6)xx(5 2
0x
lim 


= 
= 
x
²x5x6)²x(5x.x10x5 2
0x
lim 


= 
= 
x
)6x5x10(x
lim
0x 


 = 10x + 6. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
17 
 
 A partir de agora vamos procurar sistematizar o cálculo das derivadas de modo a 
obtermos regras de derivação que nos permitam determinar a derivada de uma função f(x) 
sem ter sempre que recorrer à definição. 
DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades operatórias das derivadas: 
1) Derivada do produto de uma constante por uma função 
Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c.f(x). Se f’ (x) 
existe, então, 
g’(x) = c.f’(x). 
2) Derivada de uma soma 
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f’ (x) e g’ (x) 
existem, então, 
 h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
18 
 
 
Exercícios: 
1-) Calcule a derivada da função f(x) = 3x –2, usando a definição de limite. 
 
 
2-) Calcule a derivada da função 2x – 10, usando a definição de limite. 
 
3-) Calcule a derivada de: 
a-) f(x) = 3x4 + 8x + 5 
 
b-) g(y) = 9y5 – 4y2 + 2y + 7 
 
c-) h(x) = 5 + x + 3x 
 
 
3) Derivada de um produto 
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) . g(x). Se f’ (x) e g’ (x) 
existem, então, 
 h’ (x) = f(x) . g’ (x) + f’ (x) . g(x) 
 
 
4) Derivada de um quociente 
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) / g(x). onde g(x)  0. Se 
f’ (x) e g’ (x) existem, então, 
 
 2)x(g
)x('g).x(f)x('f).x(g
)x('h


 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
19 
Derivada de função composta 
 Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f (x). Para todo x 
tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y = g(u) = g [f(x)], isto é, podemos 
considerar a função composta (g o f) (x). 
 Por exemplo, uma função tal como y = (x² + 5x +2)7 pode ser vista como a 
composta das funções y = u7 = g (u) e u = x² + 5x + 2 = f(x). 
 Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas 
du
dy
 e 
dx
du
 existem, então a função composta 
y = g [f(x)] tem derivada que é dada por 
dx
dy
 = 
du
dy
 . 
dx
du
 ou y ’ (x) = g ’ (u) . f ’ (x). 
Em resumo: F(x) = g [ f(x)]  F’ (x) = g ’ [ f(x) ] . f ’ (x). 
 
Exercícios: 
1-) Determinar a derivada das funções: 
a-) F(x) = cos (2x). b-) F(x) = sen³ (x). 
c-) F(x) = x2x7 2e  d-) y = (x² + 5x + 2)
7 
e-) y = 5
1x2
2x3
 







 f-) (3x² +1)³ . (x – x²)². 
g-) f(x) = 
3x5 2 
 h-) f(x) = 
x)4x2(x 38 
 
i-) 
3x
1x
y
2 


 l-) 3x (8x³ - 2). 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
20 
 
Taxa de variação 
 Na interpretação física a velocidade representa a razão de variação do deslocamento 
por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s’(t) é a taxa de variação da função 
s(t) por unidade de variação t. 
 O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v’(t). Ela representa a 
razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t. 
 Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função 
y = f(x), quando a variável independente varia de s a x + x, a correspondente variação 
de y será y = f(x + x) – f(x). O quociente representa a 
taxa média de variação de y em relação a x. 
 
 A derivada é a taxa instantânea de variação como 
uma razão de variação de y em relação a x. 
 A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas 
mais diversas ciências. 
Exemplos: 
1-) No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante 
t é dada por s(t) = 16t – t². Determinar: 
a-) a velocidade do corpo no instante t = 2; 
 
 
b-) a aceleração no instante t = 4. 
 
 
2-) Uma cidade X é atingida por uma moléstiaepidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a 
partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por 
a-) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
 
 
b-) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
 
x
xfxxf
x
y




 )()(
3
64)(
3t
ttf 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
)(' lim
0
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
21 
 
Estudo da variação das funções 
 As derivadas de uma função f(x) fornecem informações importantes sobre o 
comportamento de f(x) no que se refere ao crescimento ou decrescimento e aos valores 
extremos (máximos ou mínimos). 
 Seja uma função f(x) derivável em I. Lembremos que a sua derivada em cada ponto 
dá o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico. Se uma função é crescente em um 
conjunto, então a sua derivada é positiva ou nula no conjunto, e que, se uma função é 
decrescente, a sua derivada é negativa ou nula. 
 Reciprocamente, poderíamos mostrar que, se uma função derivável f(x), não 
constante, é tal que f ‘(x)  0 em um conjunto A, então f(x) é crescente em A, e se f ‘(x) 
 0 em A, então f(x) é decrescente em A. 
 Dizemos que um ponto x0 do domínio de uma função f é um ponto de máximo local 
de f se existir uma vizinhança de x0 de modo que, para todo x pertencente a essa 
vizinhança, tenhamos f(x)  f(x0). Nesse caso, f(x0) é denominado máximo local de f. 
 Analogamente, dizemos que um ponto x0 do domínio de uma função f é um ponto de 
mínimo local de f se existir uma vizinhança de x0 de modo que, para todo x pertencente a 
essa vizinhança, tenhamos f(x)  f(x0). Nesse caso, f(x0) é denominado mínimo local de 
f. 
 Chamamos também de máximo absoluto de f(x) ou somente de máximo de f(x) 
o maior valor que a função atinge no seu domínio, e mínimo absoluto de f(x) ou somente 
mínimo de f(x) o menor valor atingido por f(x). Observemos estes gráficos: 
 
 
Nesses dois casos a reta tangente no ponto x0 é horizontal, isto é, seu coeficiente 
angular é igual a 0, ou seja, f ’(x0) = 0. Observemos também que x0 é o ponto de máximo 
local num exemplo e ponto de mínimo local no outro. Podemos enunciar uma propriedade. 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015 
22 
 
Se uma função f definida numa vizinhança do ponto x0 for derivável em x0 e x0 for 
ponto de máximo local ou de mínimo local de f, então f ’(x) = 0. A recíproca não é 
verdadeira, ou seja, f ’(x) = 0 não acarreta que x0 seja ponto de máximo local ou de 
mínimo local. 
Vejamos agora uma propriedade que permitira indicar se um ponto é de máximo 
local ou de mínimo local. 
Consideremos uma função f definida numa vizinhança de x0, admitindo até a 
derivada de segunda ordem (f ”(x)) e tal que f ’(x0) = 0. Assim: 
 Se f ”(x) > 0, então x0 é ponto de mínimo local de f. 
 Se f ”(x) < 0, então x0 é ponto de máximo local de f. 
 
Exemplo: 
1-) Dada a função f(x) = x³ - 6x² + 9x +1, determine o conjunto em que f é crescente ou 
decrescente e o ponto de máximo e mínimo local. 
f ’(x) = 3x² - 12x + 9  as raízes são 1 e 3 
f ’(x) > 0  3x² - 12x + 9 > 0, que ocorre quando x’ < 1 e x” > 3. Logo, 
f é crescente em (-, 1]  [3, ). 
f ’(x) < 0  3x² - 12x + 9 < 0, que ocorre quando 1 < x < 3. Logo, 
f é decrescente em [1, 3]. 
f ”(x) = 6x – 12. 
f ”(1) = 6 . 1 – 12 = - 6 < 0 (1 é ponto de máximo local) 
f ”(3) = 6 . 3 – 12 = 6 > 0 (3 é ponto de mínimo local) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 2015
23 
Exercícios: 
1-) Determine os pontos críticos das funções abaixo, dizendo se são de máximo local ou 
mínimo local: 
a-) f(x) = x³ – 3x. 
 
b-) f(x) = x³ – 6x² + 12 x – 6. 
 
c-) f(x) = 2x³ – 3x² – 12 x – 4. 
 
d-) f(x) = 3x4 – 4x³ + 1. 
 
e-) f(x) = x4 – 2x² + 3. 
 
 
2-) Para fabricar uma caixa sem tampa utiliza-se um pedaço de cartolina quadrado de lado 
12 cm. Em cada canto da cartolina deve-se recortar um quadradinho de lado x. Determine o 
valor de x de modo que o volume da caixa seja máximo. Qual é o volume máximo? 
 
 
3-) Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se 
existe material suficiente para se construir 80 metros de cerca, quais as dimensões do 
cercado para se ter a maior área cercada possível? 
 
 
4-) Na construção de uma caixa quadrada que encerre um volume de 108 cm³. Quais as 
dimensões da caixa para se gastar o mínimo de material (área mínima)? 
 
 
5-) Na montagem de uma trave para um campo de futebol é preciso enterrar cada lado a 
uma profundidade de 1 metro. Para isso dispõe-se de 10 metros de madeira numa peça 
única. Como deverá ser cortada a peça de madeira para que se tenha a maior área possível 
sob a trave?