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Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalos de confiança Aula 11 – Cap 06 Estatística Inferencial Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalos de confiança para variância e desvio padrão Confiando no erro... Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalos de Confiança para variância e desvio padrão Na produção industrial, é necessário controlar o tamanho da variação de um processo Exemplos: Um fabricante de peças automotivas deve produzir milhares de peças para serem usadas no processo de fabricação. É importante que estas partes variem muito pouco ou nada. Como podemos medir e, consequentemente, controlar o tamanho da variação? A estimativa pontual para σ2 é s2 A estimativa pontual para σ é s s (desvio padrão amostral) é a melhor estimativa não enviesada para σ2 Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Um processo de amostragem diz-se enviesado quando tende sistematicamente a selecionar elementos de alguns segmentos da População, e a não selecionar sistematicamente elementos de outros segmentos da População. Intervalos de Confiança para variância e desvio padrão Uma amostra que não seja representativa da População diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas. Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r A distribuição qui-quadrado Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r A distribuição qui-quadrado Se a variável aleatória X tiver uma distribuição normal, então a distribuição de: 2 2 2 )1( σχ sn −= formará uma distribuição qui-quadrado p/ amostras n>1. 1-Todos os valores de χ2 são maiores ou iguais a zero; 2- As dist. χ2 formam uma família de curvas, cada uma delas determinada por g.l.= n-1 Para construir um intervalo de confiança para a variância e para o desvio padrão utilizaremos a distribuição qui-quadrado. Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r A distribuição qui-quadrado 3- A área sob cada curva de χ2 = 1; 4- As dist. χ2 são positivamente assimétricas. Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Tabela – Distribuição qui-quadrado Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalos de Confiança para variância e desvio padrão 2 Lχ 2Rχ Se o tamanho da amostra é n, pode-se usar uma distribuição c2 com n-1 g.l. para formar um intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão populacional. 2 Rχ valor crítico da cauda a direita 2 Lχ valor crítico da cauda a esquerda Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalos de Confiança para variância e desvio padrão Para c = 95% e n=17, temos g.l.= n-1= 16 Com o auxílio da Tabela obtemos os valores críticos 025,0 2 )95,01( 2 )1( =−=−= c 975,0 2 )95,01( 2 )1( =+=+= c Área acumulada a direita de Área acumulada a direita de 2 Rχ 2 Lχ Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalo de confiança para σ2 e σ Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Intervalo de confiança para σ2 e σ Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Exemplo Construindo um intervalo de confiança para a variância e o desvio padrão Você seleciona aleatoriamente e pesa 30 amostras de um determinado antialérgico. O desvio padrão da amostra é de 1,2 miligrama. Supondo que os pesos tenham uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 99% para a variância e o desvio padrão populacionais Solução: Usando os valores de n = 30, g.l. = 29, c = 0,99, os valores críticos encontrados na tabela são: Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Exemplo – cont. Usando estes valores e s = 1,2, teremos Portanto, pode-se afirmar com 99% de confiança que a variância populacional está entre 0,798 e 3,183. e que o desvio padrão populacional está entre 0,98 e 1,78. Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r Lista de exercícios recomendados... * Cap. 05 Pag.164: 11, 17, 19 Pag. 171: 5, 9, 11, 15, 17, 20, 23 Pag. 183: 1, 9, 13, 18, 24, 25, 31, 37 Pag. 194: 4 Pag. 203: 3, 5, 15, 17 Cap. 06 Pag. 216: 5, 7, 11, 24, 27 Pag. 225: 1, 9, 11 Pag. 232: 1, 4, 10 Pag. 238: 1, 3, 7, 11 * s ã o p o u c o s , m a s s ã o d e c o r a ç ã o . . . Estatística e Probabilidade P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r P r o f . D r . A l y s s o n S t e i m a c h e r E terminou hoje a matéria da 2ª. avaliação... (10/05/10) Prova valendo 8, 0 Lista valendo 2.0 Na próxima aula: Cap. 07 – Testes de Hipótese E terminou hoje a matéria da 2ª. avaliação... (10/05/10) Prova valendo 8, 0 Lista valendo 2.0 Na próxima aula: Cap. 07 – Testes de Hipótese
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