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Prof. Duarte - Aula 4 página 1 Probabilidade e Estatística – Aula 4 Prof.: Duarte I. Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são experimentos cujos resultados não é possível prever com certeza. Exemplos: a) Se lançarmos uma moeda e observarmos a face para cima, o resultado será “cara” ou “coroa”. b) Lançamento de duas moedas diferentes e observando as faces voltadas para cima: consideremos c para cara e k para coroa, então podemos ter: { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) }. c) Se lançarmos um dado e observarmos o número obtido na face para cima, o resultado será um dos números do conjunto {1,2,3,4,5,6}. d) Se lançarmos uma moeda e um dado e observar as faces de cima o resultado o resultado pertencerá ao conjunto: { (c , 1), (c , 2), (c , 3), (c , 4), (c , 5), (c , 6), (k , 1), (k , 2), (k , 3), (k , 4), (k , 5), (k , 6) } e) Considere uma pessoa desastrada que deixa cair no chão uma fatia de pão com manteiga. Ao o atingir o resultando pertencerá ao conjunto: {manteiga para cima, manteiga para baixo}. f) No estudo para sua dissertação, sobre a eficiência do defeso do Xiphopenaeus kroyeri (que também atende pelo nome de camarão sete-barbas), Duarte mediu o comprimento de 751 camarões. Obteve o menor comprimento x = 38,42mm e o maior x = 96,77mm. Se pegarmos um camarão dessa amostra seu comprimento estará no intervalo 38,42mm x 96,77mm. II. Espaço Amostral Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. Cada um destes resultados é denominado ponto amostral. Indicaremos por E o espaço amostral e por n(E) o número de elementos deste espaço quando E for finito. Exemplos: a) E = {c,k}, onde c representa cara e k representa coroa, é o espaço amostral do experimento "lançar uma moeda" do exemplo a) e n(E) = 2. b) E = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) } é o espaço amostral do experimento “lançar duas moedas” do exemplo b) e n(E) = 4. c) E = {1,2,3,4,5,6} é o espaço amostral do experimento "lançar um dado" do exemplo c) e n(E) = 6. d) E = { (c , 1), (c , 2), (c , 3), (c , 4), (c , 5), (c , 6), (k , 1), (k , 2), (k , 3), (k , 4), (k , 5), (k , 6) } é o espaço amostral do experimento “lançar uma moeda e um dado” do exemplo d) e n(E) = 12. e) E = {manteiga para cima, manteiga para baixo} é o espaço amostral do exemplo e) e n(E) = 2. f) 77,96x42,38/xE é o espaço amostral do exemplo f). Este é um espaço amostral infinito. III. Evento Evento é qualquer subconjunto A do espaço amostral E. Os conjuntos E (todo o espaço amostral) e = { } (conjunto vazio) serão denominados respectivamente de evento certo e evento impossível. Exemplos: 1) Considere o experimento: “lançar uma moeda e verificar a face de cima”. O espaço amostral será E = {c , k} (c = cara e k = coroa). Considere o evento A: ocorrer cara. Então esse evento é representado pelo conjunto A = {c}. 2) Considere o experimento: “ lançar um dado e verificar a face de cima”. O espaço amostral será E = {1,2,3,4,5,6}. Considere o evento B: ocorrer face par. Então esse evento é representado pelo conjunto B = {2,4,6}. Prof. Duarte - Aula 4 página 2 3) Considere o experimento “lançar 2 moedas simultaneamente” . O espaço amostral será E = {(c,c) , (c,k) , (k,c) , (k,k)} e n(E) = 4. Considere o evento A: sair exatamente uma cara. Então esse evento é representado pelo conjunto A = {(c,k) , (k,c)}. 4) Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente” . O espaço amostral será E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. n(E) = 36. Considere o evento A: a soma dos pontos é 5. Então esse evento será representado pelo conjunto A = {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) }. Considere o evento B: a soma dos pontos é par e menor que 8. Neste caso esse evento será representado pelo conjunto B = {(1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (4,2) , (5,1)}. IV. Operações com Eventos Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E. a) Reunião: A reunião dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A ou a B, ou seja, a pelo menos um dos eventos. BaouAa/EaBA iii b) Intersecção: A intersecção dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e a B, ou seja, que pertença simultaneamente aos dois eventos. BaeAa/EaBA iii c) Diferença: A diferença dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e não pertençam a B, ou seja, que pertençam somente ao evento A. BaeAa/EaBA iii Prof. Duarte - Aula 4 página 3 d) Complementar: O complementar do evento A é formado pelos elementos (pontos amostrais) que não pertençam ao evento A. AaeAa/EaAE iii Observação: Quando BA (conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Exemplo: 5) Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma bola de uma urna, contendo 6 bolas numeradas de 1 a 6, e observar o número obtido". Considerando os eventos A = {1,2} e B = {1,3,5}, temos que: 5,3,2,1BA 1BA 6,5,4,3A 6,4,2B 2BA 5,3AB Exercícios: Para cada experimento aleatório, descreva o espaço amostral e os eventos relacionados: 6) Experimento: lançamento de um dado e observação da face superior. Espaço Amostral: 6)E(n6,5,4,3,2,1E Evento A: ocorrência de número ímpar. 3)A(n5,3,1A Evento B: ocorrência de número par maior que 3. 2)B(n6,4B Evento C: ocorrência de um número menor que 7. 6)C(n6,5,4,3,2,1C . Evento certo. Evento D: ocorrência de um número maior que 6. 0)D(nD . Evento impossível. 7) Experimento: lançamento de 3 moedas simultaneamente e observação das faces superiores. Espaço Amostral: 8)E(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(,)c,c,c(E Evento A: ocorrência de coroa no 1o lançamento. 7)A(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(A Evento B: ocorrência de exatamente uma coroa. 3)B(n)c,c,k(,)c,k,c(,)k,c,c(B Evento C: ocorrência de no máximo duas caras. 7)C(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(C Prof. Duarte - Aula 4 página 4 Evento D: ocorrência de pelo menos duas coroas. 4)D(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)k,k,c(D 8) Experimento: extração sucessivamente e sem reposição de duas bolas de uma caixa que contém 4 bolas numeradas de 1 a 4. 12)E(n3,4,2,4,1,4,4,3,2,3,1,3,4,2,3,2,1,2,4,1,3,1,2,1E Evento A: a soma dos números é igual a 5. 4)A(n1,4,2,3)3,2(,4,1A Evento B: o número da 1a bola é maior que o número da 2a bola 6)B(n3,4,2,4,1,4,2,3,1,3,1,2B Evento C: o produto dos números é ímpar. 2)C(n1,3,3,1C I. Probabilidade Se um eventoA pode ocorrer de n(A) maneiras diferentes em um número total de n(E) maneiras possíveis do espaço amostral E, igualmente prováveis, então a probabilidade do evento A é dada pelo quociente de n(A) por n(E). Propriedades: a) Quando n(A) = n(E) temos P(A) = 1 a probabilidade é certa. b) Quando )A(n (vazio) a probabilidade é impossível. c) 1)A(P0 d) 1)A(P)A(P II. Cálculo de Probabilidades Seja um espaço amostral E finito e A um evento de E. A probabilidade de A ocorrer é dada por: )E(n )A(n E de elementos de número Ade elementos de número )A(P Exemplo: 9) Vamos considerar um pote com 8 balas de baunilha e 2 de café. Retiraram-se uma bala ao acaso qual a probabilidade de: a) A bala ser de baunilha? b) A bala ser de café? Neste caso o espaço amostral é n(E) = 10, para o evento sair bala de baunilha temos n(B) = 8 e para o evento sair bala de café n(C) = 2; Prof. Duarte - Aula 4 página 5 a) Retirando uma bala a probabilidade de ela ser de baunilha será: 10 8 )E(n )B(n )B(P 5 4 )B(P . b) Retirando uma bala a probabilidade de ela ser de café será: 10 2 )E(n )C(n )C(P 5 1 )C(P . Exercícios: 10) Consideremos o experimento aleatório: "lançar um dado e observar o número de pontos da face voltada para cima", cujo espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}. Qual a probabilidade da face ser par? Espaço Amostral: 6)E(n6,5,4,3,2,1E Par: 3)A(n6,4,2A 6 3 )A(P )E(n )A(n )A(P 2 1 )A(P 11) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos o evento: a) ocorrer face com número maior que 4. b) ocorrer face com número primo. c) ocorrer face com número divisível por 3. Espaço Amostral: 6)E(n6,5,4,3,2,1E a) 2)A(n6,5A 6 2 )A(P )E(n )A(n )A(P 3 1 )A(P b) 3)B(n5,3,2B 6 3 )B(P )E(n )B(n )B(P 2 1 )B(P c) 2)C(n6,3C 6 2 )C(P )E(n )C(n )C(P 3 1 )C(P 12) Lançando-se duas moedas qual a probabilidade de se obter o evento: a) duas caras? b) uma cara e uma coroa? Espaço Amostral: 4)E(n)k,k(,)c,k(,)k,c(,)c,c(E a) 1)A(n)c,c(A )E(n )A(n )A(P 4 1 )A(P b) 2)B(n)c,k(,)k,c(B 4 2 )B(P )E(n )B(n )B(P 2 1 )B(P Prof. Duarte - Aula 4 página 6 13) No lançamento de dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos os eventos: a) Ocorrer faces com números iguais. b) Ocorrer 7 na soma dos números das faces. c) Ocorrer 8 na soma dos números das faces. 36)E(n66)E(n)E(n)E(n 21 a) 6)A(n)6,6(,)5,5(,)4,4(,)3,3(,)2,2(,)1,1(A 36 6 )A(P )E(n )A(n )A(P 6 1 )A(P b) 6)B(n)1,6(,)2,5(,)3,4(,)4,3(,)5,2(,)6,1(B 36 6 )B(P )E(n )B(n )B(P 6 1 )B(P c) 5)C(n)2,6(,)3,5(,)4,4(,)5,3(,)6,2(C )E(n )C(n )C(P 36 5 )C(P 14) Numa sexta a noite, após as aulas, um grupo de alunos de engenharia da Unisanta se reúnem para tomar cerveja. Desses 6 são alunos da Civil, 5 da Mecânica e 4 da Química. Um deles é “sorteado” para pagar a conta. Determine a probabilidade dele: a) ser aluno da Civil; b) não seja aluno da Civil; c) seja aluno da Civil ou Química. 15 alunos no total: n(E) = 15. a) Temos 6 alunos da Civil: n(C) = 6. )E(n )C(n )C(P 15 6 )C(P 5 2 )C(P b) Temos 9 alunos que não fazem Civil: 9)C(nQMn . )E(n )C(n )C(P 15 9 )C(P 5 3 )C(P Obs.: 1)V(P)V(P . Coincidência? c) Temos 10 alunos que fazem Civil ou Química: 10)QC(n . )E(n )QC(n )QC(P 15 10 )QC(P 3 2 )QC(P Obs.: poderíamos fazer: 10Mn)QC(n Prof. Duarte - Aula 4 página 7 15) Seja um baralho 40 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus, cada um deles com 10 cartas: ás, dois, três, ....., sete, Valete, Dama e Rei. Uma carta é extraída desse baralho de 40 cartas. Encontre a probabilidade de ela ser a) um rei b) um 2 de paus ou um 6 de copas c) uma carta de paus d) qualquer naipe exceto ouros e) um 6 ou uma carta de espadas f) nem 5 nem paus n(E) = 40 a) 4)R(n b) 2)c6p2(n 40 4 )E(n )R(n )r(P 10 1 )R(P 40 2 )E(n )c6p2(n )c6p2(P 20 1 )c6p2(P c) 10)p(n d) 30)o(n 40 10 )p(P )E(n )p(n )p(P 4 1 )p(P 40 30 )o(P )E(n )o(n )o(P 4 3 )o(P e) 13)e6(n (lembre que um 6 é de espadas) f) 271340)p5(n13)p5(n )E(n )e6(n )e6(P 40 13 )e6(P )E(n )p5(n )p5(P 40 27 )p5(P 16) Numa experiência existem somente duas possibilidades para o resultado. Se a probabilidade de um resultado é 1/3, calcule a probabilidade do outro, sabendo que eles são complementares. Seja 3 1 )A(P . São complementares 1)A(P)A(P . 3 13 )A(P 3 1 1)A(P1)A(P 3 1 1)A(P)A(P 3 2 )A(P Curiosidade: Qual a probabilidade de você acertar a sena na loteria com apenas um bilhete? Primeiro devemos calcular qual o espaço amostral n(E), ou seja, quantas combinações, sem importar a ordem, existem de 6 dezenas em 60. 50063860En !6!660 !60 En ! p ! pn !n C)E(n 6,60 8109974,1)A(P 50063860 1 )A(P 50063860 1 )A(P En An )A(P %000002,0)A(P Prof. Duarte - Aula 4 página 8 Resolva os exercícios: 17) Roleta é um jogo de azar, onde se tem 37 números, de 0 até 36, sendo 18 vermelhos e 18 pretos (o 0 é verde). Determina a probabilidade de: a) Um jogador jogar num número qualquer e acertar; b) Jogar numa cor qualquer e acertar. Obs.: não se pode jogar no verde. 18) Uma amiga sua fez uma rifa com números de 00 até 99. Se você comprou dois números qual a probabilidade de você ganhar? 19) Uma sacola tem 8 balas de morango, 4 de abacaxi e 3 de uva. Um garoto retira aleatoriamente uma bala da sacola. Qual a probabilidade de: a) a bala ser de uva? b) a bala ser de abacaxi ou morango? c) a bala não ser de morango? 20) Um baralho comum é constituído de 52 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espada, ouros e paus, cada um deles com 13 cartas: ás, dois, três, ....., dez, valete, dama e rei. Uma carta é extraída desse baralho de 52 cartas. Para simplificar, use c, e, o, p para indicar copas, espada, ouros e paus respectivamente; e A, 2, 3, 4, ..., 10, J, Q, K para Ás, 2, 3, ...., 10, valete, dama e rei. Então 3 c significará 3 de copas, enquanto 3 c significará 3 ou copas. Encontre a probabilidade de ela ser a) um ás b) um valete de copas c) um 3 de paus ou um 6 de copas d) uma carta de copas e) qualquer naipe exceto copas f) um 8 ou uma carta de espadas g) nem 4 nem paus Respostas: 17) 37 1 ; 37 18 – 18) 50 1 – 19) 5 1 )U(P ; 5 4 )MA(P ; 15 7 )M(P – 20) 13 1 )A(P ; 52 1 )cJ(P ; 26 1 )c6p3(P ; 4 1 )c(P ; 4 3 )c(p ; 13 4 )e8(P ; 13 9 )p4(P .
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