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Prof. Duarte - Aula 4 página 1 
 Probabilidade e Estatística – Aula 4 Prof.: Duarte 
 
 
I. Experimentos Aleatórios 
 
Experimentos aleatórios são experimentos cujos resultados não é possível prever com certeza. 
 
Exemplos: 
 
a) Se lançarmos uma moeda e observarmos a face para cima, o resultado será “cara” ou “coroa”. 
b) Lançamento de duas moedas diferentes e observando as faces voltadas para cima: consideremos c para cara e k 
para coroa, então podemos ter: { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) }. 
c) Se lançarmos um dado e observarmos o número obtido na face para cima, o resultado será um dos números do 
conjunto {1,2,3,4,5,6}. 
d) Se lançarmos uma moeda e um dado e observar as faces de cima o resultado o resultado pertencerá ao conjunto: 
{ (c , 1), (c , 2), (c , 3), (c , 4), (c , 5), (c , 6), (k , 1), (k , 2), (k , 3), (k , 4), (k , 5), (k , 6) } 
e) Considere uma pessoa desastrada que deixa cair no chão uma fatia de pão com manteiga. Ao o atingir o resultando 
pertencerá ao conjunto: {manteiga para cima, manteiga para baixo}. 
f) No estudo para sua dissertação, sobre a eficiência do defeso do Xiphopenaeus kroyeri (que também atende pelo 
nome de camarão sete-barbas), Duarte mediu o comprimento de 751 camarões. Obteve o menor comprimento 
x = 38,42mm e o maior x = 96,77mm. Se pegarmos um camarão dessa amostra seu comprimento estará no intervalo 
38,42mm  x  96,77mm. 
 
 II. Espaço Amostral 
 
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. 
Cada um destes resultados é denominado ponto amostral. 
 
Indicaremos por E o espaço amostral e por n(E) o número de elementos deste espaço quando E for finito. 
 
Exemplos: 
a) E = {c,k}, onde c representa cara e k representa coroa, é o espaço amostral do experimento "lançar uma moeda" 
do exemplo a) e n(E) = 2. 
b) E = { (c,c), (c,k), (k,c), (k,k) } é o espaço amostral do experimento “lançar duas moedas” do exemplo b) e n(E) = 4. 
c) E = {1,2,3,4,5,6} é o espaço amostral do experimento "lançar um dado" do exemplo c) e n(E) = 6. 
d) E = { (c , 1), (c , 2), (c , 3), (c , 4), (c , 5), (c , 6), (k , 1), (k , 2), (k , 3), (k , 4), (k , 5), (k , 6) } é o espaço amostral do 
experimento “lançar uma moeda e um dado” do exemplo d) e n(E) = 12. 
e) E = {manteiga para cima, manteiga para baixo} é o espaço amostral do exemplo e) e n(E) = 2. 
f) 
 77,96x42,38/xE 
 é o espaço amostral do exemplo f). Este é um espaço amostral infinito. 
 
 
III. Evento 
 
Evento é qualquer subconjunto A do espaço amostral E. 
Os conjuntos E (todo o espaço amostral) e  = { } (conjunto vazio) serão denominados respectivamente de evento 
certo e evento impossível. 
 
Exemplos: 
 
1) Considere o experimento: “lançar uma moeda e verificar a face de cima”. 
O espaço amostral será E = {c , k} (c = cara e k = coroa). 
Considere o evento A: ocorrer cara. 
Então esse evento é representado pelo conjunto A = {c}. 
 
2) Considere o experimento: “ lançar um dado e verificar a face de cima”. 
O espaço amostral será E = {1,2,3,4,5,6}. 
Considere o evento B: ocorrer face par. 
Então esse evento é representado pelo conjunto B = {2,4,6}. 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 2 
3) Considere o experimento “lançar 2 moedas simultaneamente” . 
O espaço amostral será E = {(c,c) , (c,k) , (k,c) , (k,k)} e n(E) = 4. 
Considere o evento A: sair exatamente uma cara. 
Então esse evento é representado pelo conjunto A = {(c,k) , (k,c)}. 
 
4) Considere o experimento “lançar 2 dados simultaneamente” . 
O espaço amostral será 
 E = {(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , 
 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , 
 (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , 
 (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , 
 (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , 
 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)}. 
 n(E) = 36. 
 
Considere o evento A: a soma dos pontos é 5. 
Então esse evento será representado pelo conjunto A = {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) }. 
 
Considere o evento B: a soma dos pontos é par e menor que 8. 
Neste caso esse evento será representado pelo conjunto B = {(1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (4,2) , 
(5,1)}. 
 
 
 
IV. Operações com Eventos 
 
Consideremos um espaço amostral finito E = { a1 , a2 , a3 , . . . , an }. Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E. 
 
a) Reunião: A reunião dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A ou a B, 
ou seja, a pelo menos um dos eventos. 
 
 
 BaouAa/EaBA iii 
 
 
 
 
 
b) Intersecção: A intersecção dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e 
a B, ou seja, que pertença simultaneamente aos dois eventos. 
 
 
 
 BaeAa/EaBA iii 
 
 
 
 
 
 
c) Diferença: A diferença dos eventos A e B é formada pelos elementos (pontos amostrais) que pertençam a A e não 
pertençam a B, ou seja, que pertençam somente ao evento A. 
 
 
 
 BaeAa/EaBA iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 3 
d) Complementar: O complementar do evento A é formado pelos elementos (pontos amostrais) que não pertençam 
ao evento A. 
 
 
 AaeAa/EaAE iii 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Quando 
BA
(conjunto vazio), dizemos que os eventos A e B são 
mutuamente exclusivos. 
 
 
Exemplo: 
 
5) Seja E = {1,2,3,4,5,6} o espaço amostral do experimento "tirar uma bola de uma urna, contendo 6 bolas numeradas 
de 1 a 6, e observar o número obtido". Considerando os eventos A = {1,2} e B = {1,3,5}, temos que: 
 
 5,3,2,1BA 
 
 1BA 
 
 6,5,4,3A 
 
 6,4,2B 
 
 2BA 
 
 5,3AB 
 
 
 
Exercícios: Para cada experimento aleatório, descreva o espaço amostral e os eventos relacionados: 
 
6) Experimento: lançamento de um dado e observação da face superior. 
 
Espaço Amostral: 
  6)E(n6,5,4,3,2,1E 
 
 
Evento A: ocorrência de número ímpar. 
  3)A(n5,3,1A 
 
 
Evento B: ocorrência de número par maior que 3. 
  2)B(n6,4B 
 
 
Evento C: ocorrência de um número menor que 7. 
  6)C(n6,5,4,3,2,1C 
. Evento certo. 
 
Evento D: ocorrência de um número maior que 6. 
  0)D(nD 
. Evento impossível. 
 
7) Experimento: lançamento de 3 moedas simultaneamente e observação das faces superiores. 
 
Espaço Amostral: 
  8)E(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(,)c,c,c(E 
 
 
 Evento A: ocorrência de coroa no 1o lançamento. 
  7)A(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(A 
 
 
 Evento B: ocorrência de exatamente uma coroa. 
  3)B(n)c,c,k(,)c,k,c(,)k,c,c(B 
 
 
 Evento C: ocorrência de no máximo duas caras. 
  7)C(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)c,c,k(,)k,k,c(,)c,k,c(,)k,c,c(C 
 
 
 
 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 4 
Evento D: ocorrência de pelo menos duas coroas. 
  4)D(n)k,k,k(,)c,k,k(,)k,c,k(,)k,k,c(D 
 
 
8) Experimento: extração sucessivamente e sem reposição de duas bolas de uma caixa que contém 4 bolas 
numeradas de 1 a 4. 
 
                         12)E(n3,4,2,4,1,4,4,3,2,3,1,3,4,2,3,2,1,2,4,1,3,1,2,1E 
 
 
Evento A: a soma dos números é igual a 5. 
       4)A(n1,4,2,3)3,2(,4,1A 
 
 
Evento B: o número da 1a bola é maior que o número da 2a bola 
             6)B(n3,4,2,4,1,4,2,3,1,3,1,2B 
 
 
Evento C: o produto dos números é ímpar. 
     2)C(n1,3,3,1C 
 
 
 
 
I. Probabilidade 
 
Se um eventoA pode ocorrer de n(A) maneiras diferentes em um número total de n(E) maneiras possíveis do espaço 
amostral E, igualmente prováveis, então a probabilidade do evento A é dada pelo quociente de n(A) por n(E). 
 
 
Propriedades: 
 
a) Quando n(A) = n(E) temos P(A) = 1 a probabilidade é certa. 
b) Quando 
  )A(n
 (vazio) a probabilidade é impossível. 
c) 
1)A(P0 
 
 
 
 
 
d) 
1)A(P)A(P 
 
 
 
 
 
 
 
II. Cálculo de Probabilidades 
 
Seja um espaço amostral E finito e A um evento de E. A probabilidade de A ocorrer é dada por: 
 
)E(n
)A(n
E de elementos de número
 Ade elementos de número
)A(P 
 
 
Exemplo: 
 
9) Vamos considerar um pote com 8 balas de baunilha e 2 de café. Retiraram-se uma bala ao acaso qual a 
probabilidade de: 
a) A bala ser de baunilha? 
b) A bala ser de café? 
 
Neste caso o espaço amostral é n(E) = 10, para o evento sair bala de baunilha temos n(B) = 8 e para o evento sair 
bala de café n(C) = 2; 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 5 
a) Retirando uma bala a probabilidade de ela ser de baunilha será: 

10
8
)E(n
)B(n
)B(P
5
4
)B(P 
. 
 
b) Retirando uma bala a probabilidade de ela ser de café será: 

10
2
)E(n
)C(n
)C(P
5
1
)C(P 
. 
 
 
Exercícios: 
 
10) Consideremos o experimento aleatório: "lançar um dado e observar o número de pontos da face voltada para 
cima", cujo espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}. Qual a probabilidade da face ser par? 
 
Espaço Amostral: 
  6)E(n6,5,4,3,2,1E 
 Par: 
  3)A(n6,4,2A 
 
 

6
3
)A(P
)E(n
)A(n
)A(P
2
1
)A(P 
 
 
11) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de obtermos o evento: 
a) ocorrer face com número maior que 4. 
b) ocorrer face com número primo. 
c) ocorrer face com número divisível por 3. 
 
Espaço Amostral: 
  6)E(n6,5,4,3,2,1E 
 
 
a) 
  2)A(n6,5A 
 

6
2
)A(P
)E(n
)A(n
)A(P
3
1
)A(P 
 
 
b) 
  3)B(n5,3,2B 
 

6
3
)B(P
)E(n
)B(n
)B(P
2
1
)B(P 
 
 
c) 
  2)C(n6,3C 
 

6
2
)C(P
)E(n
)C(n
)C(P
3
1
)C(P 
 
 
 
12) Lançando-se duas moedas qual a probabilidade de se obter o evento: 
a) duas caras? 
b) uma cara e uma coroa? 
 
Espaço Amostral: 
  4)E(n)k,k(,)c,k(,)k,c(,)c,c(E 
 
 
a) 
  1)A(n)c,c(A 
 

)E(n
)A(n
)A(P
4
1
)A(P 
 
 
 
b) 
  2)B(n)c,k(,)k,c(B 
 

4
2
)B(P
)E(n
)B(n
)B(P 2
1
)B(P 
 
 
 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 6 
13) No lançamento de dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos os eventos: 
a) Ocorrer faces com números iguais. 
b) Ocorrer 7 na soma dos números das faces. 
c) Ocorrer 8 na soma dos números das faces. 
 
36)E(n66)E(n)E(n)E(n 21 
 
 
a) 
  6)A(n)6,6(,)5,5(,)4,4(,)3,3(,)2,2(,)1,1(A 
 

36
6
)A(P
)E(n
)A(n
)A(P
6
1
)A(P 
 
 
b) 
  6)B(n)1,6(,)2,5(,)3,4(,)4,3(,)5,2(,)6,1(B 
 

36
6
)B(P
)E(n
)B(n
)B(P
6
1
)B(P 
 
 
c) 
  5)C(n)2,6(,)3,5(,)4,4(,)5,3(,)6,2(C 
 

)E(n
)C(n
)C(P
36
5
)C(P 
 
 
14) Numa sexta a noite, após as aulas, um grupo de alunos de engenharia da Unisanta se reúnem para tomar cerveja. 
Desses 6 são alunos da Civil, 5 da Mecânica e 4 da Química. Um deles é “sorteado” para pagar a conta. Determine a 
probabilidade dele: 
a) ser aluno da Civil; 
b) não seja aluno da Civil; 
c) seja aluno da Civil ou Química. 
 
15 alunos no total: n(E) = 15. 
 
a) Temos 6 alunos da Civil: n(C) = 6. 
 

)E(n
)C(n
)C(P 
15
6
)C(P
5
2
)C(P 
 
 
b) Temos 9 alunos que não fazem Civil: 
  9)C(nQMn 
. 
 

)E(n
)C(n
)C(P 
15
9
)C(P
5
3
)C(P 
 
Obs.: 
1)V(P)V(P 
. Coincidência? 
 
c) Temos 10 alunos que fazem Civil ou Química: 
10)QC(n 
. 
 



)E(n
)QC(n
)QC(P 
15
10
)QC(P
3
2
)QC(P 
 
 
Obs.: poderíamos fazer: 
  10Mn)QC(n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 7 
15) Seja um baralho 40 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus, cada um deles com 10 cartas: 
ás, dois, três, ....., sete, Valete, Dama e Rei. Uma carta é extraída desse baralho de 40 cartas. 
Encontre a probabilidade de ela ser 
a) um rei b) um 2 de paus ou um 6 de copas 
c) uma carta de paus d) qualquer naipe exceto ouros 
e) um 6 ou uma carta de espadas f) nem 5 nem paus 
 
n(E) = 40 
 
a) 
4)R(n 
 b) 
2)c6p2(n 
 

40
4
)E(n
)R(n
)r(P
10
1
)R(P 
 



40
2
)E(n
)c6p2(n
)c6p2(P
20
1
)c6p2(P 
 
 
c) 
10)p(n 
 d) 
30)o(n 
 

40
10
)p(P
)E(n
)p(n
)p(P 4
1
)p(P 
 

40
30
)o(P
)E(n
)o(n
)o(P
4
3
)o(P 
 
 
e) 
13)e6(n 
(lembre que um 6 é de espadas) f) 
271340)p5(n13)p5(n 
 
 



)E(n
)e6(n
)e6(P
40
13
)e6(P 
 



)E(n
)p5(n
)p5(P
40
27
)p5(P 
 
 
16) Numa experiência existem somente duas possibilidades para o resultado. Se a probabilidade de um resultado é 
1/3, calcule a probabilidade do outro, sabendo que eles são complementares. 
 
Seja 
3
1
)A(P 
. São complementares 
1)A(P)A(P 
. 
 



3
13
)A(P
3
1
1)A(P1)A(P
3
1
1)A(P)A(P
3
2
)A(P 
 
 
 
 
Curiosidade: Qual a probabilidade de você acertar a sena na loteria com apenas um bilhete? 
 
Primeiro devemos calcular qual o espaço amostral n(E), ou seja, quantas combinações, sem importar a ordem, 
existem de 6 dezenas em 60. 
 
 
 
 
  50063860En
!6!660
!60
En
! p ! pn
!n
C)E(n 6,60 




 
 
 
 
 
 8109974,1)A(P
50063860
1
)A(P
50063860
1
)A(P
En
An
)A(P
%000002,0)A(P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Duarte - Aula 4 página 8 
Resolva os exercícios: 
 
17) Roleta é um jogo de azar, onde se tem 37 números, de 0 até 36, sendo 18 vermelhos e 18 pretos (o 0 é verde). 
Determina a probabilidade de: 
a) Um jogador jogar num número qualquer e acertar; 
b) Jogar numa cor qualquer e acertar. Obs.: não se pode jogar no verde. 
 
18) Uma amiga sua fez uma rifa com números de 00 até 99. Se você comprou dois números qual a probabilidade de 
você ganhar? 
 
19) Uma sacola tem 8 balas de morango, 4 de abacaxi e 3 de uva. Um garoto retira aleatoriamente uma bala da 
sacola. Qual a probabilidade de: 
a) a bala ser de uva? 
b) a bala ser de abacaxi ou morango? 
c) a bala não ser de morango? 
 
20) Um baralho comum é constituído de 52 cartas, divididas em 4 naipes: copas, espada, ouros e paus, cada um 
deles com 13 cartas: ás, dois, três, ....., dez, valete, dama e rei. Uma carta é extraída desse baralho de 52 cartas. 
Para simplificar, use c, e, o, p para indicar copas, espada, ouros e paus respectivamente; e A, 2, 3, 4, ..., 10, J, Q, K 
para Ás, 2, 3, ...., 10, valete, dama e rei. 
Então 3

c significará 3 de copas, enquanto 3

c significará 3 ou copas. 
Encontre a probabilidade de ela ser 
a) um ás b) um valete de copas 
c) um 3 de paus ou um 6 de copas d) uma carta de copas 
e) qualquer naipe exceto copas f) um 8 ou uma carta de espadas 
g) nem 4 nem paus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
17) 
37
1
 ; 
37
18
 – 18) 
50
1
 – 19) 
5
1
)U(P 
 ; 
5
4
)MA(P 
 ; 
15
7
)M(P 
 – 20) 
13
1
)A(P 
 ; 
52
1
)cJ(P ; 
26
1
)c6p3(P 
 ; 
4
1
)c(P 
 ; 
4
3
)c(p 
 ; 
13
4
)e8(P 
 ; 
13
9
)p4(P 
.

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