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Gabarito da questão 2 da AD1 de Métodos Determinísticos I

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AD1 - Questa˜o 2 - Resoluc¸a˜o
a) (1.0 pt) Considere a proposic¸a˜o composta: “Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.”.
Vamos supor que: “Ana na˜o e´ elegante”.
i) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o composta acima, designando para
cada uma delas uma letra diferente.
ii) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item i), reescreva a proposic¸a˜o composta
e a suposic¸a˜o.
iii) Analisando a proposic¸a˜o composta e a suposic¸a˜o dadas, marque a afirmac¸a˜o que e´ verdadeira:
( ) Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa
( X ) Ana na˜o e´ loira ou baixa
( ) Ana e´ loira e na˜o e´ baixa
( X ) Ana e´ loira ou baixa
( X ) Ana e´ loira e baixa
Soluc¸a˜o:
i) Proposic¸o˜es simples:
p: Ana e´ elegante;
q: Ana e´ loira;
r: Ana e´ baixa;
ii) Proposic¸a˜o composta: p ∨ (q ∧ r) (Ana e´ elegante, ou Ana e´ loira e baixa.)
Suposic¸a˜o: ∼ p (Ana na˜o e´ elegante )
iii) Pela suposic¸a˜o sabemos que ∼ p e´ verdadeira, logo, p e´ falsa.
Como uma disjunc¸a˜o so´ e´ verdadeira quando pelo menos uma das duas proposic¸o˜es e´ ver-
dadeira segue de p ∨ (q ∧ r) que (q ∧ r) e´ verdadeira.
E como uma conjunc¸a˜o e´ verdadeira, se as duas proposic¸o˜es envolvidas sa˜o verdadeiras,
segue de (q ∧ r) que q e r sa˜o verdadeiras. Ou seja, “Ana e´ loira” e “Ana e´ baixa” sa˜o
verdadeiras. Disso resulta que:
• “Ana na˜o e´ loira” e´ falsa.
• “Ana na˜o e´ baixa” e´ falsa.
Consequentemente,
• “Ana na˜o e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa.
• “Ana na˜o e´ loira ou baixa” e´ verdadeira.
• “Ana e´ loira e na˜o e´ baixa” e´ falsa.
• “Ana e´ loira ou baixa” e´ verdadeira.
• “Ana e´ loira e baixa” e´ verdadeira.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 2
b) (1.5 pt) Numa situac¸a˜o idealizada entre dois estabelecimentos comerciais, A e B, para a venda
de x unidades de um produto, sabe-se que os lucros dos estabelecimentos A e B sa˜o medidos,
respectivamente, por
LA = x
(
1
2
+ 3
)
e LB = 5
(
27
5
− 2x
)
,
i) Determine a quantidade vendida pelo estabelecimento A, quando o lucro dele e´ de 140 reais.
ii) Determine para que quantidade vendida do produto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao
lucro do estabelecimento B.
Soluc¸a˜o:
i) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento A, quando LA e´ igual a
140 reais, temos de resolver a equac¸a˜o
140 = x
(
1
2
+ 3
)
⇐⇒ 140 = x
(
1
2
+
6
2
)
⇐⇒ 140 = x
(
7
2
)
⇐⇒ 280 = 7x
⇐⇒ 7x = 280
⇐⇒ x =
280
7
⇐⇒ x = 40.
Portanto, o estabelecimento A vende uma quantidade de 40 unidades do produto, quando o
lucro deste estabelecimento e´ de 140 reais.
ii) Para determinar a quantidade vendida x, para que o lucro LA do estabelecimento A seja
igual ao lucro LB do estabelecimento B, temos de resolver a equac¸a˜o
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 2 3
LA = LB
⇐⇒ x
(
1
2
+ 3
)
= 5
(
27
5
− 2x
)
⇐⇒ x
(
7
2
)
= 27− 10x
⇐⇒
7x
2
= 27− 10x
⇐⇒ 7x = 54− 20x
⇐⇒ 7x+ 20x = 54
⇐⇒ 27x = 54
⇐⇒ x =
54
27
⇐⇒ x = 2.
Portanto, o lucro do estabelecimento A e´ igual ao do estabelecimento B quando forem vendi-
das 2 unidades do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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