Questão 3 da AD1 de métodos determinísticos - gabarito

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AD1 - QUESTA˜O 3 - Resoluc¸a˜o
a) (1.1 pt) Se a fantasia de Pierroˆ esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata. Ou
a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na˜o usa fantasia de Pierroˆ. Ora, Manoel usa
fantasia de Pierroˆ.
i) (0.2 pt) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas nas premissas do enunciado acima e designe
para cada uma delas uma letra diferente.
ii) (0.2 pt) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as pre-
missas dadas no enunciado.
iii) (0.7 pt) Analise as premissas e marque a alternativa verdadeira.
(A) A fantasia de Pierroˆ esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(B) A fantasia de Pierroˆ esta´ cara e a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.
(C) A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(D) A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.
(E) Se A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina esta´ barata.
Soluc¸a˜o:
i) Vamos escrever as proposic¸o˜es elementares envolvidas nas premissas do enunciado acima e
representa´-las por letras:
P : a fantasia de Pierroˆ esta´ cara;
C: a fantasia de Colombina esta´ barata;
M : Manoel usa fantasia de Pierroˆ.
ii) Agora, vamos escrever as premissas usando os s´ımbolos lo´gicos:
I) P ⇒∼ C (Se a fantasia de Pierroˆ esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina na˜o esta´ barata.);
II) C∨˙ ∼M (Ou a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na˜o usa fantasia de Pierroˆ.);
III) M (Manoel usa fantasia de Pierroˆ.)
iii) Analisemos as premissas que temos.
Pela premissa III), sabemos que M e´ verdadeira. Logo, ∼M e´ falsa.
Na premissa II), temos uma disjunc¸a˜o exclusiva (ou ... ou...). Logo, apenas uma das
duas proposic¸o˜es envolvidas nessa premissa e´ verdadeira. Como ∼ M e´ falsa, segue que
C e´ verdadeira. O que significa que ∼ C e´ falsa.
Sabemos que a premissa I) e´ verdadeira. Assim, como ∼ C e´ falsa, a u´nica forma de ter a
premissa I) verdadeira e´ que P seja falsa. Ou seja, ∼ P e´ verdadeira.
Conclu´ımos que:
• Manoel usa fantasia de Pierroˆ.
• a fantasia de Colombina esta´ barata
• a fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara.
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - Questa˜o 3 2
Consequentemente, sa˜o verdadeiras as alternativas:
(C) “A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata”. (A
conjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es verdadeiras e´ verdadeira)
(E) “Se A fantasia de Pierroˆ na˜o esta´ cara, enta˜o a fantasia de Colombina esta´ barata”
. (A implicac¸a˜o em que a condic¸a˜o e a consequeˆncia sa˜o verdadeiras e´ verdadeira)
b) (1.4 pt) Considere os conjuntos A =
{
0,
2
9
,
4
3
,
16
3
}
e B =
{
−2,−
1
3
, 0,−8
}
. Escreva por extenso
as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas
respostas.
i) (0.5 pt) ∀ x ∈ A,
(
x2 + x < 15
)
ii) (0.4 pt) ∃ x ∈ B, (3x+ 3) e´ par
iii) (0.5 pt) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ A,
(x
3
− y = x
)
Soluc¸a˜o:
i) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto A, tem-se
que x2+x < 15”. Desta forma, para que a proposic¸a˜o seja verdadeira, e´ necessa´rio que para
todo elemento x de A, a soma do quadrado de x com x seja menor do que 15. Isto e´ falso,
pois existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que a soma do quadrado de x com
x na˜o e´ menor do que 15. De fato, o elemento x =
16
3
∈ A e´ tal que
x2 + x =
256
9
+
16
3
=
256
9
+
48
9
=
304
9
> 15.
ii) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Existe x que pertence ao conjunto B, tal que
3x+3 e´ par”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira, devemos encontrar, pelo menos,
um elemento do conjunto B, de modo que 3x + 3 seja par. Isto e´ verdadeiro, pois, para
x = −
1
3
∈ B, temos que 3
(
−
1
3
)
+ 3 = −1 + 3 = 2 e´ par.
iii) Verdadeira.
∀ x ∈ B, ∃ y ∈ A,
(x
3
− y = x
)
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a˜o. “Para todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto A tal que
x
3
−y = x”. Para que a proposic¸a˜o acima seja verdadeira,
para todo elemento x do conjunto B, devemos encontrar, pelo menos, um elemento y do
conjunto A, tal que
x
3
− y = x. Isto e´ verdadeiro pois temos
• para x = −2 ∈ B, y =
4
3
∈ A, que
x
3
− y =
−2
3
−
4
3
= −
6
3
= −2;
• para x = −
1
3
∈ B, y =
2
9
∈ A, que
−
1
3
3
−
2
9
= −
1
9
−
2
9
= −
3
9
= −
1
3
;
• para x = 0 ∈ B, y = 0 ∈ A, que
x
3
− y =
0
3
− 0 = 0;
• para x = −8 ∈ B, y =
16
3
∈ A, que
x
3
− y =
−8
3
−
16
3
= −
24
3
= −8.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ