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APOSTILA DE CÁLCULO 2 Professor : Gustavo 2 Cálculo 2 A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas linhas com interpretações distintas: tem um procedimento inverso à diferenciação e é um método eficaz no cálculo de áreas sob uma curva. Devemos destacar que o cálculo de áreas de figuras planas, cujos contornos são segmentos de reta, para nós, é bastante familiar. A integração surgiu historicamente da necessidade de se calcular áreas de figuras cujos contornos são não retilíneos. Porém, vale realçar que o cálculo integral, não se restringe apenas à determinação dessas áreas. São inúmeras as aplicações da Integral. Como operação, a integração é a inversa da diferenciação. Neste contexto, devemos considerar que a integral é um processo para se achar uma função a partir do conhecimento de sua derivada. Primitiva de uma função Dada a função f, definida num intervalo real, chamamos de primitiva de f à função g, tal que g’(x) = f(x). Assim, se f(x) = 2x então as funções: g(x) = x²; g(x) = 2x + 4; g(x) = 2x – 10, são algumas das primitivas de f. Devemos considerar que as diversas primitivas de uma função f, diferenciam-se por uma constante real. Assim, podemos estabelecer a família de primitivas de f como sendo g(x) = x² + c, onde c é um número real. Exemplo Calcule a primitiva das funções abaixo: a) f(x) = 3x² ⇒ g(x) = x³ + c b) f(x) = senx ⇒ g(x ) = cosx + c c) f(x) = x 1 ⇒ g(x) = nl x + c Integral Indefinida O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, assim, dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa por: ∫ += CxfdxxF )()( , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a integral definida que é f(x) + C. Fórmulas de Integração; As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de derivação. Assim: 1. ∫ duu m = 1 1 + + m um + C 2. ∫ uducos = senx + C 3 3. ∫ xdxsen = - cosx + C 4. ∫ u du = nl u + C 5. ∫ dua u = na au l + C Exemplos: Questão 1. ∫ dxx 3 = 13 13 + +x = 4 4x + C Questão 2. ∫ xdcos = senx + c Questão 3. ∫ dx x2 = 2 2 n x l + C Propriedades da integral definida Se f e g são funções contínuas e K um número real então: 1. ∫ dxxfk )(. = K. ∫ dxxf )( 2. ∫ + dxxgf ))(( = ∫ ∫+ dxxgdxxf )()( 3. ∫ ∫ − dxxgf ))(( = ∫ ∫− dxxgdxxf )()( Exemplos: Questão 1. ∫ +− dxxx )13( 2 = ∫ ∫ ∫+− dxxdxdxx 232 = Cx xx ++− 2 2 3 3 23 Questão 2. ∫ +− dx x xx 2 23 35 = ∫ −+− )35( 2xx = C x x x +−− 35 2 2 Questão 3. ∫ − dxx x )45( = ∫ ∫− x dxdxx 45 = Cnx n x +− l l 4 5 5 Questão 4. ∫ + dxxe x )cos35( = 5 ∫ ∫+ xdxdxex cos3 = 5e x + 3 senx + C Questão 5. ∫ − dxxx )( 2 = ∫ dxx2 - ∫ dxx 2 1 = Cxx +− 3 2 3 2 3 3 4 Questão 6. ∫ dxn x )5.3( l = ∫ dxn x35l = 3 x . Cn +5l Questão 7. ∫ + dxx 2)43( = ∫ ++ dxxx )16249( 2 = 3x³ + 12x² + 16x + C Questão 8. ∫ + dx x x 2)1( = ∫ ++ dx x xx 2 1 221 = ∫ ++ − dxxxx )2( 232121 = = 2x 2 1 + 2 3 3 4 x + Cx +2 5 5 2 O método de substituição no cálculo da integral Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo ∫ dxxf )( , torna-se conveniente, fazer uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular ∫ + .)1(2 42 dxxx Fazendo u = (x² + 1), teremos xdx du 2= , onde du = 2xdx e. dx = x du 2 , substituindo-se na integral acima: ∫ x du ux 2 ..2 4 = ∫ duu 4 = 5 5u , fazendo a volta temos: ∫ =+ dxxx )1(2 2 C x + + 5 )1( 52 . Exemplos: Questão 1. ∫ − dxx 9)5( Solução: fazendo u = x – 5 temos 1= dx du ou du = dx, substituindo-se: ∫ = 10 10 9 uduu , então; ∫ + − =− Cxdxx 10 )5()5( 10 9 Questão 2. ∫ − dxxx 32 2 Solução: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx ∴ dx = x du 2 então ∫ − 32 2xx dx = ∫ x du ux 2 .2 = 3 .2 2 3 2 1 uduu =∫ = C x + − 3 )1(2 32 Questão 3. ∫ − dx x x 13 2 5 Solução : u = x³ - 1 → du = 3x² dx ∴ dx = 23x du ∫ 2 2 3 . x du u x = ∫ u du 3 1 = nul 3 1 = Cxn +− )1( 3 1 3 l Questão 4. ∫∫ = dxx x tgxdx cos sen Solução: u = cosx → du = -senx dx ∴ dx = - x du sen ∫ − )sen( sen x du u x = - ∫ u du = - nul = - Cxn +)(cosl Questão 5. ∫ + dxxx 4 2 Solução : u = x² + 4 → du = 2x dx ∴ dx = x du 2 ∫ x du ux 2 . = ∫ duu 2 1 2 1 = 2 3.2 1 2 3 u = 3 3u = Cx ++ 3 42 Questão 6. ∫ dxx e x 2 1 Solução : u = x 1 → du = - dx x2 1 ∴ dx = - x² du ∫ − )( 22 duxx eu = - ∫ due u = - e u = - e x 1 + C Questão 7. ∫ + dxe e x x 3)1( Solução : u = e 1+x → du = xe dx ∴dx = xe du ∫ x x e du u e .3 = ∫ − duu 3 = - 22 1 u = - C ex + + 2)1(2 1 Integração por partes 6 Se duas funções u e v são diferenciáveis então: d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde : ∫udv = uv - ∫vdu • Como foi mostrada a integração por partes se aplica no geral em funções expressas como produto de duas funções dadas. Assim, torna-se necessário à escolha minuciosa das partes u e dv, de modo a tornar a integral dada mais simples possível. Exemplos: Questão 1. ∫ dxxx .sen. Solução: Fazendo u = x, temos du = dx e dv = senx dx têm-se v = ∫ xdxsen ∴ v = - cosx Substituindo na fórmula ∫udv = uv - ∫vdu , temos : ∫ dxxx .sen = x.(-cosx) - ∫ − dxx)cos( = -x cosx + ∫ xdxcos então: ∫ dxxx .sen. = -x cosx + senx + C Vale salientar que as escolhas de u e v foi bastante feliz, visto que recaímos em uma integral de solução simples. Para comprovar o fato, vejamos o caso em que a escolha fosse feita de outra forma: Fazendo u = senx temos du = cosx dx dv = x dx → v = ∫ dxx. Q v = 2 2x Substituindo na fórmula ∫udv = uv - ∫vdu , temos: ∫ dxxx .sen. = senx. ( 2 2x ) - ∫ dx x x ) 2 .(cos 2 o que torna o cálculo da integral muito mais complexo. Questão 2. ∫ dxex x .. Solução: Fazendo u = x → du = dx dv = e x dx → v = ∫ dxe x ∴ v = e x , substituindo na fórmula: ∫ dxex x .. = x.e x - ∫ dxe x . = x.e x - e x = e x ( x – 1) + C Integral definida 7 Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: ∫ += Cxgdxxf )()( . A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença g(b) – g(a) a qual indicamos por: ∫ b a dxxf )( = g(b) – g(a) Propriedades da integral definida Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma constante qualquer, então: P1. ∫ ∫=b a b a dxxfcdxxcf )()( P2. ∫ ∫ ∫±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ P3. ∫ ∫ ∫+= b a c a b c dxxfdxxfdxxf )()()( para a < c < b P4. ∫ ∫−= b a a b dxxfdxxf )()( Teorema Fundamental do Cálculo Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva dessa função, então: ∫ −== b a b a agbgxgdxxf )()()]()( Exemplos: Questão 1. ∫ − 1 1 2 .dxx Solução: ∫ − 1 1 2dxx = 3 3x ] 1 1− = 33 )3 1() 3 1( −− = 27 2 Questão 2. ∫ + 1 0 2 1 2 dx x x 8 Solução: Calculando a integral: Fazendo u = x² + 1 → du = 2x dx ∴ dx = x du 2 ∫ 1 0 2 2 x du u x = ∫ 1 0 u du = nul = )1( 2 +xnl ]10 = 1)2( nn ll − = 2nl Questão 3. ∫ − − 1 1 32 )2( dxxx Solução: ∫ − − 1 1 32 )2( dxxx = [ 43 2 43 xx − ] 1 1− = − − − − 4 1 3 2 4 1 3 2 = 3 4 Cálculo de Áreas Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por A = ∫ b a dxxf )( A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X e pelas retas x = a e x = b . Exemplos: Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas x = 0 e x = 2. a f(x) b 0 2 9 Solução: A = ∫ + 2 0 23 )3( dxxx A = [ 3 4 4 x x + ] 20 = 12 Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro quadrante. Solução: A = ∫ −+ 3 0 32 )6( dxxxx = 3 0 43 2 43 3 −+ xx x A = 4 63 Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, no intervalo [ 1 , 3 ]. Solução: A = ∫ −+− 3 1 2 )63( dxxx = 3 1 23 6 2 3 3 −+ − x xx A = - 3 26 • Na definição de área ficou estabelecido que f(x) era uma função contínua e não negativa em [a, b]. Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está abaixo do eixo X, então, o valor de A = ∫ b a dxxf )( é negativo. Essas áreas são denominadas de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 0 em [a , b] Então, ∫ −= b a Axf .)( . Dessa forma, a área do exemplo é A = - ( - 3 26 ) = 3 26 . Convém lembrar que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 2, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo X. 0 3 3 1 10 Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: Área total = ∑ ∑− )()( ivasáreasnegativasáreasposit De um modo geral se f(x) 0≥ em [ a , c] e f(x) 0≤ em [c , b], Então, a área total absoluta é A = ∫ b a dxxf )( = ∫ ∫− c a b c dxxfdxxf )()( = A 1 - A 2 A1 a c b A 2 Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2pi ] Solução: Tomando como base o gráfico da função: 0 pi 2pi Temos: A = ∫ pi2 0 sen xdx = ∫ ∫− pi pi pi0 2 sensen xdxxdx = [ ] [ ] pipipi 20 coscos xx −−− A = - (cospi - cos0) +(cos 2pi - cos pi ) = 2 + 2 = 4 Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas x = - 1 e x = 1. Solução: Gráfico ao lado -1 0 1 A = - ∫ − −+ 0 1 32 )2( dxxxx + ∫ −+ 1 0 32 )2( dxxxx 3 11 A = - 0 1 43 2 43 − −+ xx x + 1 0 43 2 43 −+ xx x A = ) 12 5( 12 13 −− = 2 3 Áreas compreendidas entre curvas Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 0 )()( xfxg ≤≤ para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os gráficos de f(x) e g(x) de x = a a x = b é dada por: A = ∫ − b a dxxgxf )]()([ Exemplos: Questão 6. Achar a área limitada pelas curvas: y = x² e y = x. Solução: Achando os pontos de interseção das curvas: x² = x ∴ x² - x = 0 → x’= 1 ou x’’ = 0 Então : A = ∫ − 1 0 2)( dxxx = 1 0 32 32 − xx = 6 1 0 1 Volume de um Sólido de Revolução Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. Por exemplo, fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0 , x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro. 12 (1) Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, é definido por: ( )[ ]∫= ba dxxfV .2pi Ex.1: A região R, limitada pela curva 2 4 1 xy = , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. dxxV 2 4 1 2 4 1 ∫ = pi = 4 1 5 5 . 16 xpi = [ ]55 14 80 − pi = ( )vu. 80 1023 pi Ex.2: A região limitada pela parábola cúbica y = x³, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. Observe que a função é y = x³ e a rotação em relação ao eixo y, então, a integral será ∫ ydy , teremos que mudar a variável de x para y, logo, se: y = x³ 3 yx => . 13 ( )[ ]∫= dc dyygV 2pi > [ ]∫= 80 23 dyyV pi > 8 0 3 5 5 3 . = yV pi > 3 5 8 5 3pi =V > vu. 5 96pi (2) A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. Supondo f(x) ≥ g(x) , [ ]bax ,∈∀ , o volume do sólidoT, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x, é dado por: ( )[ ] ( )[ ]( )∫ −= ba dxxgxfV 22pi . (3) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L , temos: ( )[ ] .2dxLxfV b a∫ −= pi . Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos : ( )[ ]∫ −= dc dyMygV 2pi . 14 Ex. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola y = ( )²13 4 1 x− e pela reta y = ( )5 2 1 +x . ( ) ( ) dxxxV ∫ − +− −= 1 3 22 2 5 2 113 4 1 pi > ( ) ( )∫ − ++−+−= 1 3 4 2510² 4 1 ²26169 16 1 dxxxxxV pi ( )∫ − +−−= 1 3 4 ²304069 16 dxxxxV pi > 1 3 5 5 ³10²2069 16 − +−−= x xxxV pi > 80 1924pi . Ex. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 4, da região limitada por Y = x 1 , y = 4 e x = 4. Neste exemplo, observamos que o raio da secção transversal do sólido não é f(x) – L, más sim L – f(x), já que f(x) < L. Porém, como (f(x) – L)² = (L – f(X))² , a fórmula continua a mesma. [ ]∫ −= ba dxLxfV 2)(pi > ∫ −= 4 4 1 2 41 dx x pi > ∫ +− 4 4 1 16 8 ² 1 dx xx pi > 4 4 1 16ln81 +−− xx x pi = vu.16ln8 4 255 −pi . Ex. A região R delimitada pela parábola x = 1² 2 1 +y e pelas retas x = -1, y = - 2 e y = 2, gira em torno da reta x = - 1 . Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 15 ( )[ ]∫ −= dc dyMygV 2pi ∫ − −−+= 2 2 2 )1(1² 2 1 dyypi > ∫ − + 2 2 2 2² 2 1 dyypi > ∫ − ++ 2 2 4 4²2 4 1 dyyypi > 2 2 35 4 3 2 20 − ++ yyypi > = vu. 15 448pi . Área de uma Superfície de Revolução Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S obtida quando uma curva C, de equação y = f(x), [ ]bax ,∈ , gira em torno do eixo dos x. Vamos supor que f(x) 0≥ , para todo [ ]bax ,∈ , e que f é uma função derivável em [ ]ba, . Definição : Seja C uma curva de equação y = f(x) , onde f e f’ são funções contínuas em [ ]ba, e [ ]baxxf ,,0)( ∈∀≥ . A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por: [ ] dxxfxfA b a∫ += 2)('1)(2pi . Ex. Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x , da curva dada por y = x4 , 4 4 1 ≤≤ x . 16 ( ) ( )[ ]∫ += ba dxxfxfA 2'12pi > dxxx 41.42 4 4 1 +∫pi > dx x x x 4 .42 4 4 1 + ∫pi > dx∫ + 4 4 1 48pi > ( ) 4 4 1 2 3 2 3 48 +x pi > ( ) au.17172128 3 2 − pi Ex. Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos y, da curva dada por x = y³ , 10 ≤≤ y . ( ) ( )[ ]∫ += dc dyygygA 2'12pi > A = ( )∫ +10 223 312 dyyypi > A = dyyy∫ +10 43 912pi > A = ( ) 1 0 2 3 491 54 2 + ypi > A = ( ) ..11010 27 au− pi Integração por Substituição Trigonométrica Uma integral que envolve uma das seguintes expressões radicais ²² xa − , ²² xa + ou ²² ax − ( onde a é uma constante positiva) pode, muitas vezes, ser transformada numa integral trigonométrica familiar, utilizando-se uma substituição trigonométrica adequada ou uma mudança de variável. Obs: quando uma integral aparece: ²² ua − ou a² - u², deve-se substituir nesta expressão, “u” por “asenz” Pois: ( )zsenasenzaaasenzaua ²1²²²²)(²²² 2 −⇒−=−=− zazsena ²cos²1 ⇒−⇒ zacos= . Cqd. Sendo assim temos as substituições: 17 X= asenz, substitui ²² xa − X = atangz, substitui ²² xa + X = asecz, substitui ²² ax − Ex. Calcular a integral dx x x ∫ − ²2 ²9 U = x , a = 3 > x = 3 senσ > σσddx cos3= > σσ σ σ d sen cos3. ²9 cos3 2 1 ∫ > ∫ σσdg 2cot 2 1 > ( ) cg +−− σσcot 2 1 > c x arcsen x x + − − − 3 ²9 2 1 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Já vimos que uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja, ( ) ( )( )xq xp xf = , onde p(x) e q(x) são polinômios. Vamos apresentar um procedimento sistemático para calcular a integral de qualquer função racional. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para isto, usaremos um resultado importante da álgebra, que é dado na proposição seguinte. Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. Exemplo: O polinômio q(x) = x² - 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares x – 2 e x – 1, ou seja, q (x) = (x - 2 ) (x – 1). O polinômio q(x) = x³ - x² + x – 1 pode ser expresso como o produto de fator linear x – 1 pelo fator quadrático irredutível x² + 1, isto é, q (x) = ( x² + 1 ) ( x – 1 ) . A decomposição da função racional f(x) = )( )( xq xp em frações mais simples está subordinada ao modo como o denominador q(x) se decompõe nos fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. Vamos considerar os vários casos separadamente. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da álgebra e não serão demonstradas. Para o desenvolvimento do método, vamos considerar que o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio d denominados q(x) é 1. Se isso não ocorrer, dividimos o numerador da função racional f(x) por esse coeficiente. Vamos supor, também, que o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). Caso isso não ocorra, devemos primeiro efetuar a divisão de p(x) por q(x). As diversas situações serão exploradas no exemplos. 18 Os fatores de q(x) são lineares e distintos. Nesta caso, podemos escrever q(x) na forma q(x) = ( )( ) ( ),...21 naxaxax −−− onde os 1a , i = 1,...,n, são distintos dois a dois. A decomposição da função racional f(x) = ( )( )xq xp em frações mais simples é dada por: 1, onde nAAA ,...,, 21 são constantes que devem ser determinadas. Ex. Fatores lineares distintos: a) Calcular a integral ∫ − 4²x dx 224² 1 + + − = − x B x A x > ( ) ( ) ( )( )22 22 4² 1 +− −++ = − xx xBxA x > 1 = Ax + 2A + Bx – 2B 1 = Ax + Bx + 2A – 2B > 1 = x(A + B) + 2A – 2B > =− =+ 122 0 BABA > A = - B > 2(-B) – 2B 1 -2B – 2B = 1 > -4B = 1 > B = 4 1− > A = 4 1 > 2 4 1 2 4 1 4² 1 + − + − = − xxx > ∫ ∫ ∫ + − + − = − dx x dx xx dx 2 4 1 2 4 1 4² > ∫ ∫ ∫ + − − = 24 1 24 1 x dx x dxd > ∫∫ ∫ −= u du u dud 4 1 4 1 > ∫ +−−= 2ln4 12ln 4 1 xxd + c. Lista de Exercícios – Revisão de Conteúdo 1) Calcule as seguintes derivadas: a) ( ) ( )( )12.1 −+= xxxf b) ( ) ( ) ( )xxxf cos.12 += c) ( ) x x xf 23 += d) ( ) ( ) 12 − = x xsen xf e) ( ) 2x e xf x = f) 3 ln)( x x xf = 2) Calcule as integrais indefinidas: a) ∫ + dxxx )5( 2 b) ∫ ++ dxxx )1053( 24 c) dxxxe x ∫ +− 435 d) ∫ + dxxx )cos( 3 e) ∫ + dxx )73( f) ∫ + dxxxsen )cos43( 19 g) ∫ +− dxxx )35( 2 h) dxxx 5 2 2 3 −+∫ i) ∫ dxx6 1 j) ∫ − dxx 52 k) ∫ − dx x x 2 2 1 l) ∫ dxx5 m) ∫ dxx3 2 n) ∫ dxx3 1 o) ∫ − dttsent )2(cos 3) Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: a) ∫ + dxxx 212 b) ∫ + dxx1 c) dxxx∫ + )2cos( 43 d) ∫ + dxx )13(cos e) ∫ dxe x5 f) ∫ dxxsen )7(7 g) ∫ + dxx 17)1( h) ∫ dxe x33 i) ∫ dxex x 2 j) ∫ dxxe xsen cos k) ∫ dxx)3(cos 4) Calcule as integrais definidas: a) ∫ 1 0 dxx b) ∫ 2 1 2 dxx c) ∫ 2 0 cos pi dxx d) ∫ +− 2 0 2 )53( dxxx e) ∫ 2 0 pi dxxsen f) ∫ − 1 1 7 dx g) ∫ 2 1 2 1 dx x h) ∫ + 2 0 )cos1( pi dxx i) ∫ − 1 1 2 dxx j) ∫ − 1 1 42 dxx k) dt t∫ 2 1 4 3 l) ∫ + pi pi 2 )cos( dxxxsen 5) Calcule as seguintes integrais: a) dxx.6∫ b) ( )dxxx .423 35∫ +− c) ( )dxxsen .2∫ d) dxx . 2 3∫ e) dxx.3∫ f) ( )dxxx .3 2∫ − g) ∫ 3 0 .dxx h) ∫ − 2 0 . 2 1 dxx i) ∫ − 2 1 .4 dx j) ( )∫ +4 1 2 dxxx 6) Determine a equação da velocidade do corpo no instante t, a partir dos valores fornecidos. 412)( −= ttA , sabendo-se que V(2) = 10 m/s. 20 7) Calcule a área entre a parábola e o eixo x. 3694 2 =+ yx 8) Calcule a área das figuras (limitadas e fechadas) abaixo, utilizando uma integral definida: a) Resp: 2 unidades de área b) Resp: 6 unidades de área 9) Calcule a área das figuras limitadas e fechadas pelas funções e o eixo x nos respectivos intervalos, esboçando o gráfico: a) xy = em [0,3] b) 82 2 +−= xy em [-2, 2] c) 4=y em [0,4] c) 122 ++= xxy em [-3, 3] d) xseny = em [0, ∏] e) xey = em [1, 3] 10) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados. a) y = x + 1 , x = 0, x = 2 e y = 0 , ao redor do eixo dos x. b) y² = 2x , x = 0, y = 0 e y= 2 , ao redor do eixo dos y. c) y = 2x -1, y = 0, x = 0, x = 4, ao redor do eixo dos x. d) y = senx , de 2 pi− até 2 3pi , ao redor do eixo dos x. e) y = x² , x = 0, y = 0 e y = 4, ao redor do eixo dos . f) y² = 16x e y = 4x , ao redor do eixo dos x. g) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y = 1 – x² , x = -2 , x = 2 e y = 2. h) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 2, da região limitada por y = 3 + x² , x = -2 , x = 2 e y = 2. i) Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4x , 20 ≤≤ x , em torno do eixo dos x e depois em torno do eixo dos y. j) Calcular a área da superfície obtida pela revolução do arco da parábola y² = 8x , 121 ≤≤ x , ao redor do eixo dos x. k) Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo dos x pela curva y= 2x³ , 20 ≤≤ x l) yx = , 41 ≤≤ y , ao redor do eixo dos y. 11) Calcular a integral indefinida. a) ∫ − 25²² xx dx 21 b) dx x x ∫ − 9² ³ c) dxxx∫ − ²4² d) dx x x ∫ + ³ ²1 e) dxx∫ + ²4 f) dxx∫ − ²16 g) ∫ − ²169 t dt 12) Calcule as integrais: a) ∫ −+ + dx xxx x 6²³ 1 b) ∫ −+ + dx xxx x 2²³ 32 c) ∫ +−− − dx xxx x 3²3³ 2 d) ∫ +− − dx xx x 65² 15 SINTESE DA UNIDADE As integrais foram desenvolvidas em estudos realizados ainda no século XVII e o seu principal objetivo é centrado no cálculo de somas muito grandes, isto é, somatórias de áreas infinitesimais. É possível também calcular áreas de figuras planas limitadas por funções curvilíneas, bem como resolver vários tipos de equações diferenciais. 22 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AVILA, Geraldo. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988. GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São Paulo: Atual Editora. 1999. MEDEIROS, Matemática Básica Para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas. 2002. MORETTIN, Pedro A. Hazzan, Samuel & BUSSAB, Wilton de O. Cálculo de funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. WHIPKEY, Kenneth & WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suas múltiplas aplicações. Rio de Janeiro: Campus, 1982. FLEMMING,Diva Marília.GONÇALVES, Mirian Buss.Cálculo A.São Paulo.6 Edição.Pearson.2006. Apostila Matematiquês – adaptada por Prof. Luiz Gustavo B.M. Porto .
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